Глядя на него, легко найти несколько первых пятиугольных чисел, 1,5, 12, 22, 35.

Можно показать, что n-е пятиугольное число выражается формулой

.

Шестиугольные числа. И вообще k-угольные числа, аналогично определяются с помощью правильного k-угольника.

Проводя анализ такого геометрического представления чисел, можно получить несколько простых соотношений. Остановимся лишь на одном примере. Уже давно было известно, что складывая последовательно нечетные числа, мы все время будем получать квадраты, например,

1+3=4, 1+3+5=9, 1+3+5+7=16 и т.д.

Чтобы доказать это соотношение, достаточно, лишь взглянуть на рис.5, на котором изображены последовательно вложенные квадраты.

Пифагорейцы рассматривали и пространственные фигурные числа, например, кубы 1, 8, 27 и так далее, а также пирамидальные числа, равные сумме треугольных чисел. [28]

Рис. 6. Класс кубических чисел

Рис. 7. Класс пирамидальных чисел.

3.Задания для работы в классе.

4. Подведение итогов занятия:

- Интересными ли явились задания?

- Не являются ли они сложными или, наоборот, простыми?

Учащиеся в паре оценивают работу друг друга по пятибалльной шкале. Также учитель ставит по одному баллу наиболее активным учащимся.

Занятие 6-7. Магические квадраты.

Цель: Познакомить учащихся с магическими квадратами и способами их образования.

Ход урока:

1.Обзорная лекция.

МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ, квадратная таблица из целых чисел, в которой суммы чисел вдоль любой строки, любого столбца и любой из двух главных диагоналей равны одному и тому же числу.

Магический квадрат - древнекитайского происхождения. Согласно легенде, во времена правления императора Ю (ок. 2200 до н.э.) из вод Хуанхэ (Желтой реки) всплыла священная черепаха, на панцире которой были начертаны таинственные иероглифы (рис. 1,а), и эти знаки известны под названием ло-шу и равносильны магическому квадрату, изображенному на рис. 1,б. В 11 в. о магических квадратах узнали в Индии, а затем в Японии, где в 16 веке магическим квадратам была посвящена обширная литература. Европейцев с магическими квадратами познакомил в 15 веке византийский писатель Э.Мосхопулос. Первым квадратом, придуманным европейцем, считается квадрат А.Дюрера (рис. 2), изображенный на его знаменитой гравюре Меланхолия 1. Дата создания гравюры (1514) указана числами, стоящими в двух центральных клетках нижней строки. Магическим квадратам приписывали различные мистические свойства. В 16 в. Корнелий Генрих Агриппа построил квадраты 3-го, 4-го, 5-го, 6-го, 7-го, 8-го и 9-го порядков, которые были связаны с астрологией 7 планет. Бытовало поверье, что выгравированный на серебре магический квадрат защищает от чумы. Даже сегодня среди атрибутов европейских прорицателей можно увидеть магические квадраты.

В 19 и 20 вв. интерес к магическим квадратам вспыхнул с новой силой. Их стали исследовать с помощью методов высшей алгебры и операционного исчисления.

Каждый элемент магического квадрата называется клеткой. Квадрат, сторона которого состоит из n клеток, содержит n2 клеток и называется квадратом n-го порядка. В большинстве магических квадратов используются первые n последовательных натуральных чисел. Сумма S чисел, стоящих в каждой строке, каждом столбце и на любой диагонали, называется постоянной квадрата и равна S = n(n2 + 1)/2. Доказано, что n  3. Для квадрата 3-го порядка S = 15, 4-го порядка - S = 34, 5-го порядка - S = 65.

Две диагонали, проходящие через центр квадрата, называются главными диагоналями. Ломаной называется диагональ, которая, дойдя до края квадрата, продолжается параллельно первому отрезку от противоположного края (такую диагональ образуют заштрихованные клетки на рис. 3). Клетки, симметричные относительно центра квадрата, называются кососимметричными. Таковы, например, клетки a и b на рис. 3.

Правила построения магических квадратов делятся на три категории в зависимости от того, каков порядок квадрата: нечетен, равен удвоенному нечетному числу или равен учетверенному нечетному числу. Общий метод построения всех квадратов неизвестен, хотя широко применяются различные схемы, некоторые из которых мы рассмотрим ниже.

Магические квадраты нечетного порядка можно построить с помощью метода французского геометра 17 в. А .де ла Лубера. Рассмотрим этот метод на примере квадрата 5-го порядка (рис. 4). Число 1 помещается в центральную клетку верхней строки. Все натуральные числа располагаются в естественном порядке циклически снизу вверх в клетках диагоналей справа налево. Дойдя до верхнего края квадрата (как в случае числа 1), продолжаем заполнять диагональ, начинающуюся от нижней клетки следующего столбца. Дойдя до правого края квадрата (число 3), продолжаем заполнять диагональ, идущую от левой клетки строкой выше. Дойдя до заполненной клетки (число 5) или угла (число 15), траектория спускается на одну клетку вниз, после чего процесс заполнения продолжается.

Метод Ф.де ла Ира (1640-1718) основан на двух первоначальных квадратах. На рис. 5 показано, как с помощью этого метода строится квадрат 5-го порядка. В клетку первого квадрата вписываются числа от 1 до 5 так, что число 3 повторяется в клетках главной диагонали, идущей вправо вверх, и ни одно число не встречается дважды в одной строке или в одном столбце. То же самое мы проделываем с числами 0, 5, 10, 15, 20 с той лишь разницей, что число 10 теперь повторяется в клетках главной диагонали, идущей сверху вниз (рис. 5,б). Поклеточная сумма этих двух квадратов (рис. 5,в) образует магический квадрат. Этот метод используется и при построении квадратов четного порядка.

МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ

Если известен способ построения квадратов порядка m и порядка n, то можно построить квадрат порядка mn. Суть этого способа показана на рис. 6. Здесь m = 3 и n = 3. Более крупный квадрат 3-го порядка (с числами, помеченными штрихами) строится методом де ла Лубера. В клетку с числом 1 (центральную клетку верхнего ряда) вписывается квадрат 3-го порядка из чисел от 1 до 9, также построенный методом де ла Лубера. В клетку с числом 2 (правую в нижней строке) вписывается квадрат 3-го порядка с числами от 10 до 18; в клетку с числом 3 - квадрат из чисел от 19 до 27 и т.д. В результате мы получим квадрат 9-го порядка. Такие квадраты называются составными.[28].

3. Закрепление изученного материала.

4. Подведение итогов занятия:

- Интересными ли явились задания?

- Не являются ли они сложными или, наоборот, простыми?

Выставление учениками самим себе баллов за каждое верно решенное задание (1 задание - 1 балл).

Занятие 8 .Решето Эратосфена.

Цель: Познакомить учащихся с таблицей простых чисел (решетом Эратосфена).

Ход урока:

1.Обзорная лекция.

Существует таблицы простых чисел, простирающиеся до очень больших чисел. Как можно было подступиться к составлению такой таблицы? Эта задача была решена (около 200г. до н.э.) Эратосфеном, математиком из Александрии. Его схема состоит в следующем: напишем последовательность всех целых чисел от 1 до числа, которым хотим закончить таблицу:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 11 12 13 14 15

2 2 2 3 2 2 2 3

Начнем с простого числа 2. Будем выбрасывать каждое второе число, начиная со 2 ( кроме самого числа 2), т.е четные числа 4, 6, 8, 10 и т.д., подчеркивая каждое из них. После этой операции первым неподчеркнутым числом будет число 3. Оно простое, так как не делиться на 2. Оставив число неподчеркнутым, будем подчеркивать каждое третье число после него, т.е. числа 6, 9. 12, 15, …;некоторые из них уже были подчеркнуты, поскольку они являются четными. На следующем шаге первым неподчеркнутым числом окажется число 5; оно простое, так как не делится ни на 2, ни на 3. Оставим число 5 неподчеркнутым. Но подчеркнем каждое пятое число после него, т.е. числа 10, 15, 20, 25, …; как и раньше, часть из них уже оказалась подчеркнутой. Теперь наименьшим неподчеркнутым числом окажется число 7. оно простое, так как не делится ни на одно из меньших его простых чисел 2,3, 5. Повторяя этот процесс получим последовательность неподчеркнутых чисел; все они (кроме числа 1) являются простыми.

Так как во времена Эратосфена писали на восковых табличках и не вычеркивали, а "выкалывали" цифры, то табличка после описанного процесса напоминала решето. Поэтому метод Эратосфена для нахождения простых чисел получил название «решето Эратосфена»

Многие важные результаты в современной теории чисел были получены методом решета. Приведем результат, известный еще Евклиду:

Существует бесконечное число простых чисел:

Доказательство. Предположим, что существует k простых чисел:

2, 3, 5, …, p_k.

Тогда в решете не оказалось бы неподчеркнутых чисел, больших чем p_k.Но это невозможно, так как произведение этих простых чисел

p= 2*3*5… p_k

будет отсеиваться k раз, по разу для каждого простого числа, поэтому следующее число p+1 не может быть подчеркнуто ни для одного из них. [28]

2.Закрепление изученного материала.

1. Составьте таблицы простых чисел для каждой из сотен: 1-100, 101-200,…., 901-1000 .

2. Попытайтесь определить количество простых чисел в диапазоне 10001-10100.[28]

3.Подведение итогов урока:

- Интересными ли явились задания?

- Не являются ли они сложными или, наоборот, простыми?

Выставление учениками самим себе баллов за каждое верно решенное задание (1 задание - 1 балл).

Занятие 9-13. Простые и составные числа.

Цель:

Познакомить учащихся с простыми и составными числами и способом образования составных чисел.

Ход урока:

1.Обзорная лекция.

Должно быть, одним из первых свойств чисел, открытых человеком, было то, что некоторые из них могут быть разложены на два или более множителя, например,

6=2*3, 9= 3*3, 30=2*15=3*10,

в то время как другие например,

3 , 7, 13, 37,

не могут быть разложены на множители подобным образом. Число c=a*b является произведением двух чисел a и b, то называем a и b множителями или делителями числа с. Каждое число имеет тривиальное разложение на множители

c=1*c=c*1

Соответственно называем числа 1 и с тривиальными делителями числа с.

Любое число c>1, у которого существует нетривиальное разложение на множители, называется составным. Если число с имеет только тривиальное разложение на множители, то оно называется простым. Среди первых 100 чисел простыми являются следующие 25 чисел:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41,

43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Все остальные числа, кроме 1, являются составными. Мы можем сформулировать следующее утверждение:

Теорема 1. Любое целое число c>1 является либо простым, либо имеет простой множитель.

Доказательство. Если с не является простым числом, то у него есть наименьший нетривиальный множитель р. Тогда р - простое число, так как если бы р - было составным, то число с имело бы еще меньший множитель.

Теперь мы подошли к нашей первой важной задаче в теории чисел: как определить, является ли произвольное число простым или нет, и в случае, если оно составное, то как найти какой-либо его нетривиальный делитель?

Первое, что может прийти в голову, - это попытаться разделить данное число с на все числа, меньшие его. Но надо полагать, что этот способ мало удовлетворителен. Согласно теореме 1идостаточно делить на все простые числа, меньшие с. Но мы можем значительно упростить задачу, заметив. Что при разложении на множители c=a*b оба множителя a и b не могут быть больше, чем , так как в противном случае получили бы a*b>*=с, что невозможно. Таким образом, чтобы узнать, имеет ли число с делитель, достаточно проверить, делится ли число с на простые числа не превосходящие .

Пример 1. Если с=91, то =9,…; проверив простые числа 2,3, 5, 7, находим, что 91=7*13.

Пример 2. Если с=1973, то находим, что =44,… Так как ни одно из простых чисел до 43 не делит с, по число является простым.

Очевидно, что для больших чисел этот метод может быть трудоемким. Как и при многих других вычислениях в теории чисел, можно использовать современные методы, т.е применение калькулятора и компьютера.

Другим очень простым методом является применение таблиц простых чисел. т.е. использование простых чисел уже найденными другими. За последние 200 лет было составлено и издано много таблиц простых чисел. Наиболее обширной является таблица Д.Х. Лемера, содержащая все простые числа до 10000000. Приведенная ниже таблица содержит все простые числа до 1000.

Разложение натуральных чисел на множители (каноническое разложение натуральных чисел)

Теорема 2. Любое натуральное число, отличное от 1, можно представить в виде произведения множителей, являющихся простыми числами, причем единственным образом.

Иногда эту теорему формулируют так: любое натуральное число, отличное от 1, можно единственным образом разложить на простые множители.

Например,

Равенство

и есть единственное разложение числа 816 на простые множители. Простыми множителями в данном примере являются числа 2, 3 и 17.

</ Бесконечность множества простых чисел

Теорема 3. Множество простых чисел бесконечно.

Доказательство. Будем доказывать эту теорему от противного, предположив, что множество простых чисел конечно.

Тогда рассмотрим число, равное произведению всех простых чисел плюс 1. Это число не делится ни на одно из простых чисел, поэтому его разложение на простые множители с одной стороны должно существовать, а с другой стороны не может содержать ни одного из множителей, являющихся простым числом.

Полученное противоречие доказывает, множество простых чисел должно быть бесконечным.

Таблица 1.

Простые числа среди первой тысячи чисел.

Задания.

1. Какие из следующих чисел являются простыми: а) год вашего рождения; б) текущий год, в) номер вашего дома.

2. Найдите простое число, следующее за простым число 1973.

3. Задача. Доказать, что полусумма двух последовательных простых чисел больших 2 является составным числом.

Решение. Поскольку все простые числа большие 2 являются нечетным числом, то их сумма будет четным числом, а полусумма - натуральным числом. [28]

4. а) Найти каноническое разложение числа 82798848.

Решение: 2⁸*3⁵*11³

б) Найти каноническое разложение числа 81057226635000.

Решение: 2³*3³*5⁴*7³*11²*17*23*37. [36]

5. К двузначному числу приписали такое же число. Может им полученное четырехзначное число быть простым.

6. Натуральные числа a и b таковы, что 31a=54 b. Докажите, что число a+b составное.

7. Натуральные числа a и b удовлетворяют условию 15а=32в. Может ли число a-b быть простым?

8. Какие остатки при делении на 6 может иметь простое число, большее, чем 3?

9.Докажите, что если a>1, то число a⁴+4 составное.

10.Докажите, что если произведение ab делится на простое число P, то хотя бы одно из числа а, в делится на P.

11.Известно, что числа p, p+10; p+14 простое. Чему равно p? [8]

4. Подведение итогов занятия:

- Интересными ли явились задания?

- Не являются ли они сложными или, наоборот, простыми?

Выставление учениками самим себе баллов за каждое верно решенное задание (1 задание - 1 балл).

5. Домашнее задание:

1.Определите, являются ли число 353 простым.

2. Какие из чисел, заключенных между 2320 и 2350 являются простыми?

3. Каким из чисел, заключенных между 40322 и 40330, являются простыми?

4. Какие из чисел, заключенных между 3628802 и 3628810, являются простыми? [36]

Занятие 12. Основная теорема о разложении на множители.

Цель: Рассмотреть основную теорему о разложении на множители.

Отработать с учащимися способы разложения составного числа на множители

Ход урока: 1.Обзорная лекция.

Любое составное число с может быть записано в виде произведения c=ab, причем ни один из делителей не равен 1 и каждый из них меньше, чем с; например,

72=8*9, 150=10*15

При разложении числа с на множители один из них, и даже оба (a и b) могут оказаться составными. Если а - составное, то разложение на множители можно продолжить:

a= a₁*a₂ c=a₁*a₂*b

Примерами этого могут служить рассмотренные выше числа

72=2*4*9, 150=2*5*15.

Этот процесс разложения на множители можно продолжить до тех пор, пока он не закончится; это должно произойти, так как делители становятся все меньше и меньше, но не могут стать единицей. Когда ни один из делителей нельзя уже будет разложить на множители, то все делители будут простыми числами. Таким образом, показали, что

Каждое целое число, большее 1, является простым числом или произведением простых чисел.

Последовательное разложение числа на множители может быть выполнено многими способами. При этом можно использовать таблицу делителей. Сначала найдем наименьшее простое число p₁, делящее число с, так что c=p₁*c₁. Если с₁- составное число, то по таблице делителей найдем наименьшее простое число р₂ делящее с₁, так что c₁ =p₂*c₂, c=p₁*p₂*c₂.

Затем найдем наименьший простой делитель числа c₂ и т.д.

Разложение числа на простые множители единственно.

Доказательство. Предположим, что наша теорема о единственности разложения на множители неверна. Тогда должны существовать числа, имеющие по крайней мере два различных разложения на простые множители. Выберем из них наименьшее и обозначим его через с₀. Для небольших чисел, меньших 10, истинность теоремы можно установить простой проверкой. Число с₀ имеет наименьший простой множитель р₀, т.о. можно записать:

С₀=p₀*d_o

Так как d₀<c₀, то число d₀ единственным образом раскладывается на простые множители. Отсюда следует, что разложение числа c₀ на простые множители, содержащее число p₀ единственно.

Т.к., по предположению, имеется по крайней мере два разложения числа с₀ на простые множители, то должно быть разложение, не содержащее число p₀. Наименьшее простое число в этом разложении обозначим через p₁ и запишем c₀=p₁* d₁.

Так как p₁>p₀ , то d₁<d₀ и, следовательно, p₀d₁<c₀. Рассмотрим число

c'₀=c₀-p₀d₁= (p₁-p₀)d₁

Так как оно меньше, чем число с₀, то оно должно раскладываться на простые множители единственным способом; при этом простые числа c'₀ состоят из простых множителей p₁-p₀ и d₁ . Так как число с₀ делится на р0, то из выражения c'₀=c₀-p₀d₁= (p₁-p₀)d₁ следует,что число c'₀ также делится р0. Следовательно, число, p0 должно быть делителем числа d1, либо p₁-p_{0 .} Но любой простой делитель числа d1 больше чем, чем p0, так как p1- наименьшее простое число в разложенииc₀=p₁* d₁ . Таким образом, остается единственная возможность: p0 должно быть делителем числаp₁-p₀

и, следовательно, оно делит p1. Итак, получили противоречие, потому что p1 является простым числом и не может делиться на другое простое число p0.

Существуют разложения в которых данная теорема не выполняется. Простейшим примером может служить арифметика четных чисел

2, 4, 6, 8, 10, 12, ….

Некоторые из них могут быть разложены на два четных множителя, а другие - нет; последние называются четно-простыми числами. Это числа, которые делятся на 2, но не делятся на 4:

2, 6, 10, 14, 18, …

Очевидно, что каждое четное число является четно-простым, либо записывается в виде произведения четно-простых чисел. Но такое разложение на четно-простые числа не всегда будет единственным. Например, число 420 может быть разложено на четно-простые числа различными способами:

420= 6*70= 10*42=14*30. [28]

3.Закрепление изученного материала

1. Найдите разложение на простые множители каждого из чисел 120, 365, 1970.

2. Найдите разложение на простые множители каждого из чисел: а) год вашего рождения; б) текущий год; в) номер вашего дома.

3. Запишите все разложения числа 360 на четно простые числа. [28]

4. В каких случаях четные числа обладают единственным разложением на четно-простые множители?

5. а) Представьте в виде 2n+1 числа 1101, 1543, -1101 и -1543.

б) Можно ли представить число 1543 в виде 2n-1?

Для решений можно воспользоваться следующими свойствами (см. таблицы 1,2). Таблица 1.

6. Доказать, что сумма двух нечетных чисел четна.

Доказательство. Пусть одно число есть 2а+1, а другое 2в+1, тогда сумма (2а+1)+(2в+1)=2(а+в+1)- четное число.

7. Произведение любых двух нечетных чисел нечетно. Докажите это.

Доказательство.

(2а+1)(2в+1)=4ав+2а+2в+1=2(2а+а+в)+1.

8.а) Произведение четного числа и любого целого числа четно.

б) Четов пишет на доске одно целое число, а Нечетов - другое. Если их произведение четно, победителем объявляется Четов, если нечетно, то Нечетов. Может ли один из них играть так, чтобы непременно выиграть?

9.Если сумма двух целых чисел нечетна, то произведение этих чисел четно. Докажите это. [38].

4. Подведение итогов занятия:

- Интересными ли явились задания?

- Не являются ли они сложными или, наоборот, простыми?

Выставление учениками самим себе баллов за каждое верно решенное задание (1 задание - 1 балл).

Занятие 14.Совершенные числа.

Цель: Познакомить учащихся с совершенными числами и способами их образования.

Ход урока:

1.Обзорная лекция.

Нумерология была распространенным увлечением у древних греков. Единственным объяснением этому является то, что числа в Древней Греции изображались буквами греческого алфавита, и поэтому каждому написанному слову, каждому имени соответствовало некоторое число. Люди могли сравнивать свойства чисел. соответствующих их именам.

Делители или аликвотные части чисел играли важную роль в нумерологии. В этом смысле идеальными, или, как их называют, совершенными числами являлись такие числа, которые составлялись из своих аликвотных частей, т.е. равнялись сумме своих делителей. Следует отметить, что древние греки не включали само число в состав его делителей.

Наименьшим совершенным числом является 6:

6= 1+2+3

За ним следует число 28:

28=1+2+4+7+14,

Далее число 496:

496= 1+2+4+8+16+31+62+124+ 248.

Указанные совершенные числа могут быть записаны в виде

6=2*3=2(2²-1)

28= 2²*7=2²(2³-1)

496=2⁴*31=2⁴(2⁵-1)

Гипотеза: Число является совершенным. Если оно представлено в виде

Р= 2 ^p-1(2^p-1)=2 ^p-1q,

q= 2^p-1 является простым числом Мерсенна.

Этот результат, известный еще грекам, несложно доказать. Делителями числа P. Включая само число P, очевидно, являются следующие числа:

1, 2, 2², …, 2 ^p-1,

q, 2q, 2²q,…, 2 ^p-1q.

Запишем сумму этих делителей

1+2+…+2^p-1+ q(1+2+…+2^p-1),

которая равна

(1+2+…+2 ^p-1)(q+1)=(1+2+…+2^p-1)2^p

Далее по формуле для суммы членов геометрической прогрессии

S=1+2+…+2^p-1, умножим эту сумму на 2:

2S=2+2²+…+2^p-1+2^p, а затем вычтем S получим S=2^p-1=q.

Таким образом, сумма всех делителей числа P есть

2^pq=2*2^p-1q, а сумма всех делителей, кроме самого числа P= 2 ^p-1q, равна 2*2 ^p-1q-2^p-1q=2^p-1q=P.

Итак, число является совершенным.

Из этого результата следует, что каждое простое число Мерсенна порождает совершенное число. По мере того как натуральные числа возрастают, совершенные числа встречаются всё реже. Третье совершенное число - 496 (1+2+48+16+31+62+124+248 = 496), четвёртое - 8128, пятое - 33 550 336, шестое - 8 589 869 056, седьмое - 137 438 691 328.

Первые четыре совершенные числа: 6, 28, 496, 8128 были обнаружены более 2000 лет назад. Эти числа приведены в Арифметике Никомаха Геразского. Пятое совершенное число было выявлено лишь 500 лет назад, в 1460г. Это число 33 550 336 обнаружил немецкий математик Региомонтан (XV век). В XVI веке немецкий ученый Шейбель нашел еще два совершенных числа: 8 589 869 056 и 137 438 691 328. В начале XX века были найдены ещё три совершенных числа. В дальнейшем поиск затормозился вплоть до середины XX века, когда с появлением компьютеров стали возможными вычисления, превосходившие человеческие возможности. На апрель 2010 года известно 47 чётных совершенных чисел.

Однако и с математической точки зрения чётные совершенные числа по-

своему уникальны. Все они - треугольные. Сумма величин, обратных всем делителям числа, включая само число, всегда равна двум. Остаток от деления совершенного числа, кроме 6, на 9 равен 1. В двоичной системе совершенное число Рр начинается р единицами, потом следуют р-1 нулей. Например:

7)Р2=110, Р3=11100, Р5 =111110000, Р7 =1111111000000 и т.д.

Последняя цифра чётного совершенного числа или 6, или 8, причём, если 8, то ей предшествует 2.

Существуют ли другие виды совершенных чисел? Все числа вида Р= 2 ^p-1(2^p-1)=2 ^p-1q являются четными. Существуют ли нечетные совершенные числа? В настоящее время мы не знаем ни одного такого числа, но имеется предположение, что это число должно иметь по крайней мере 36 знаков. 2.Закрепление изученного материала

1. Используя список простых чисел Мерсенна, найдите четвертое и пятое совершенные числа. [28]

3. Подведение итогов занятия:

- Интересными ли явились задания?

- Не являются ли они сложными или, наоборот, простыми?

Выставление учениками самим себе баллов за каждое верно решенное задание (1 задание - 1 балл).

Занятие 15. Дружественные числа.

Цель: Познакомить учащихся с дружественными числами и рассмотреть способы их образования. Выявить отличия совершенных, фигурных, простых и составных чисел.

Ход урока:

1.Обзорная лекция.

Дружественные числа также входят в наследство, доставшееся нам от греческой нумерологии. Если у двух людей имена были таковы, что их числовые значения удовлетворяли следующему условию: сумма делителей одного равнялась второму числу, и наоборот, то считалось, что это свидетельствует об их духовной близости. В действительности греки знали всего лишь одну пару таких чисел, а именно:

220= 2²*5*11. 284=2²*71

Суммами их делителей являются соответственно

1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284,

1+2+4+71+142=220

Долго считалось, что следующую пару дружественных чисел 17296 и 18416 открыл в 1636 году знаменитый французский математик Пьер Ферма. Но недавно в одном из трактатов арабского ученого Ибн аль-Банны (1256-1321) были найдены строки: «Числа 17296 и 18416 являются дружественными. Аллах всеведущ».

А задолго до Ибн аль-Банны другой арабский математик абу-Хасан Сабит ибн Курра (836-901) сформулировал правило, по которому можно получить некоторые дружественные числа:

если для некоторого n числа p=3·2^n-1-1, q=3·2ⁿ-1 и r=9·2^2n-1-1 простые,

то числа A=2ⁿpq и B=2ⁿr - дружественные.

При n=2, числа p=5, q=11, r=71 простые, и получается пара чисел Пифагора: 220 и 284.

При n=4, числа p=23, q=47, r=1151 простые, и получается пара чисел Ибн аль-Банны и Ферма 17296 и 18416.

При n=7 получается пара чисел, найденная в 1638 году французским математиком и философом Рене Декартом.

После Декарта первым получил новые дружественные числа Леонард Эйлер. Он открыл 59 пар дружественных чисел, среди которых были и нечетные числа, например, 9773505 и 11791935. Он предложил пять способов отыскания дружественных чисел. Эту работу продолжили математики следующих поколений. В настоящее время известно около 1100 пар дружественных чисел. В 1867 году шестнадцатилетний итальянец Николо Паганини потряс математический мир сообщением о том, что числа 1184 и 1210 дружественные! Эту пару, ближайшую к 220 и 284, проглядели все знаменитые математики, изучавшие дружественные числа.

Пару чисел 220 и 284 стали считать символом дружбы. В Средние века имели хождение талисманы с выгравированными на них числами 220 и 284, якобы способствующими укреплению любви.

Дружественные числа продолжают скрывать множество тайн. Например, есть ли пары, в которых одно число четное, а другое - нечетное? Конечно или бесконечно число пар дружественных чисел? Существует ли общая формула, позволяющая описать все пары дружественных чисел?

В XX веке математики обобщили понятие дружественных чисел и занялись поиском дружественных рядов (или общительных чисел) - замкнутых циклов из трех и более чисел. Например, в тройке чисел

1 945 330 728 960; 2 324 196 638 720; 2 615 631 953920

делители первого числа в сумме дают второе число, делители второго в сумме дают третье число, а делители третьего числа в сумме дают первое число. Самый длинный из известных циклов состоит из 28 чисел, первое из которых равно 14316.

Все пары дружественных чисел до 100000 приведены в таблице 1.

Таблица 1.

Дружественные числа до 1000002.Закрепление изученного материала.

3.Подведение итогов занятия.

- Интересными ли явились задания?

- Не являются ли они сложными или, наоборот, простыми?

Выставление учениками самим себе баллов за каждое верно решенное задание (1 задание - 1 балл).

Занятие 16. Наибольший общий делитель (НОД)

Цель: Рассмотреть способы получения наибольшего общего делителя. Развивать логическое мышление.

Ход урока:

1.Обзорная лекция.

Возьмем некоторую дробь a/b, отношение двух целых положительных чисел a и b. Сократим дробь на множители, общие для а и b. Эта операция не изменяет значение дроби, например, .

Общим делителем двух натуральных чисел a и b называется натуральное число d, которое является множителем как числа a, так и числа b, т.е.,.

Если число d-общий делитель чисел a и b, то он также делит числа a+b и a-b, так как , .

Когда известны разложения чисел a и b на простые множители, нетрудно найти все их общие делители. Выпишем эти два разложения на простые множители:

, .

Запишем разложения чисел а и b так, как если бы они имели одинаковые простые множители p₁, p₂, …,p_r, но с условием, что допускаем возможность использования показателя степени, равного 0. Например, если число p₁ делит число а, но не делит число b, полагаем, что в формуле ,.

Т.о., если а=140, b=110,

то , .

Из формулы , следует, что любой делитель a может иметь простыми множителями только числа , которые встречаются в числе a и каждое из них содержится в степени , не превосходящей соответствующей степени в числе a. Аналогичные условия имеют место и для любого делителя d числа b. Поэтому общий делитель d чисел a и b может иметь в качестве простых множителей только числа , которые встречаются одновременно в числах а и b, а степень числа в d не может превосходить меньшей из двух степеней: и .

Вывод: любые два натуральных числа а и b имеют наибольший общий делитель d₀. Простыми множителями числа d₀ являются те, которые одновременно встречаются в числах а и b, а степень числа в числе d₀ есть меньшее из двух чисел и .

Пример . Возьмем два числа а=140 и b=110, имеющие разложения на простые множители , ; очевидно, что

.

Так как степень простого числа в наибольшем общем делителе по крайней мере не меньше, чем у любого общего делителя, получим характеристическое свойство:

Любое общий делитель d делит наибольший общий делитель d₀.

Наибольший общий делитель двух чисел настолько важен, что существует специальное обозначение:

d₀=D(a, b). [28].

Признаки делимости

1.Число делится на 2 тогда и только тогда, когда оно оканчивается четной цифрой (цифры 0,2,4,6,8 - четные, цифры 1,3,5,7,9 -нечетные).

2. Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3(например, число 84 делится на 3. так как сумма его цифр - 8+4=12 делится на 3).

3.Число делится на 5 тогда и только тогда, когда оно оканчивается цифрой 0 или 5 (например, число 45 делится на 5, так как оканчивается цифрой 5).

4.Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9(например, число 198 делится на 9, так как сумма его цифр 1+9+8=18 делится на 9).

5.Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается цифрой 0 (например, число 60 делится на 10, так как оно оканчивается цифрой 0).

6. 40,88,72,12,48,60,52,… делятся на 4.

7. 41,89,75,89,50,90,… не делятся на 4

БЕЗ дополнительных вычислений можно смело утверждать, что числа 768940, 5623088, 6702372 ,67888812 ,89048, 2345609852 делятся на 4, а числа 56741, 389, 3875, 12389, 6850, 6754390 не делятся на 4.

Сформулируйте самостоятельно признак делимости натурального числа на 4.

2.Закрепление изученного материала:

1.Найдите наибольший общий делитель пар чисел: а) 360 и 1970, б) 30 и 365, в) номера вашего телефона и вашего почтового индекса.

2.Докажите, что число -иррациональное число, используя в доказательстве теорему о единственности разложения. [28]

3.а) Написать все простые числа от 1 до 50.

б) Выписать все числа от 1 до 50, представляющие собой произведение двух простых чисел.

4. а) Написать все простые числа от 51 до 100.

б) Выписать все составные числа первой сотни, состоящие из произведения одного простого сомножителя, повторяющегося несколько раз.

5. а) Разложить на составные множители числа: 48; 84; 150.

б) Разложить на простые множители (делители) числа: 8; 24; 81; 96; 100; 125; 400; 512; 680; 946; 1001; 3125; 4 500; 13860.

6. Найти общие делители чисел и указать, какой из них наибольший:

1) 12 и 18 2) 18 и 54 3) 60 и 45

4) 21 и 28 5) 20 и 24 6) 72 и 63

7) 42 и 56 8) 80 и 64 9) 120 и 96

10) 96 и 192 11) 150 и 180 12) 102 и 170

13) 84 и 120 14) 12; 18 и 30 15) 26; 65 и 130. [8]

3. Подведение итогов занятия:

- Интересными ли явились задания?

- Не являются ли они сложными или, наоборот, простыми?

Выставление учениками самим себе баллов за каждое верно решенное задание (1 задание - 1 балл).

Занятие 17. Взаимно простые числа.

Цель: Познакомить учащихся с взаимно простыми числами.

Ход урока:

1.Обзорная лекция.

Число 1 является общим делителем для любой пары чисел a и b. Если единица будет единственным их общим делителем, т.е d₀=D(a, b)=1.

В этом случае числа a и b взаимно простые.

Пример. (39, 22)=1.

Если числа имеют общий делитель, больший единицы, то они имеют простой делитель. Итак, два числа могут быть взаимно простыми только тогда, когда они не имеют общих простых множителей. Поэтому условие d₀=D(a, b)=1. означает, что числа а и b не имеют общих простых множителей, т.е. все их простые множители различны.

Возьмем некоторую дробь a/b, отношение двух целых положительных чисел a и b. Сократим дробь на множители, общие для а и b. Если d₀ есть наибольший общий делитель чисел а и b, то следует

а=a₀d₀, b=b₀d₀.

Тогда.

В формуле а =a₀d₀, b=b₀d₀ числа а₀ и b₀ не могут иметь простых общих множителей, в противном случае числа а и b имели бы общий множитель, больший, чем d₀ .

Следовательно, D(a₀, b₀)=1

Это означает, что для второй дроби в формуле дальнейшее сокращение невозможно.

Одним из часто применяемых свойств взаимно простых чисел является следующее.

Если произведение ab делится на число c, которое взаимно просто с число b, то число a делится на с.

Доказательство. Так как число c делит произведение ab, то простые множители числа c содержатся среди простых множителей чисел а и b. Но так как D(в, b)=1, то их не может быть среди множителей числа b. Таким образом, все простые множители числа c делят число а и не делят число b, и они появляются в степенях, не меньших, чем в числе с, так как число c делит ab.

Если произведение двух взаимно простых чисел является квадратом, , D(a, b)=1, то числа a и b являются квадратами:

, .

Доказательство. Для того чтобы некоторое число было квадратом, необходимо и достаточно, чтобы все степени в разложении его на простые множители были четными. Так как числа a и b - взаимно простые , D(a, b)=1, то любой простой множитель из c2 содержится либо в a, либо в b, но не в обоих; отсюда простые множители чисел a и b должны иметь четные степени. [28].

2.Закрепление изученного материала:

1.Какие числа взаимно простые с числом 2?

2. Почему D(n,n+1)=1?

3. Исследуйте пары дружественных чисел и найдите те из них, которые взаимно просты.

4. Может ли правило, выраженное в формулах , D(a, b)=1, , , быть справедливым не только для квадратов. Но и для произвольных степеней?

5. Написать несколько составных чисел, которые были бы взаимно простыми между собой.

6. Написать по два взаимно простых числа числам:8; 20; 84.

3. Подведение итогов занятия:

- Интересными ли явились задания?

- Не являются ли они сложными или, наоборот, простыми?

Выставление учениками самим себе баллов за каждое верно решенное задание (1 задание - 1 балл).

Занятие 18-19. Алгоритм Евклида.

Цель: Познакомить учащихся с алгоритмом Евклида. Рассмотреть два способа записи алгоритма Евклида. Развивать способность самостоятельного поиска ответов на вопросы.

1.Обзорная лекция.

Рассмотрим дробь a/b. Если a>b, то дробь является целым числом, большим 1, то дробь представляем в виде смешанного числа, т.е. целой и дробной части, меньшей единицы.

Примеры., .

В общем случае используем деление с остатком чисел a и b , а именно:

, где.

Очевидно, что это всегда возможно. Действительно, рассмотрим числа 0, 1, 2, … на числовой прямой (рис.1).

Рис.1.

На числовой прямой расположим число а. Начиная от точки 0 отметим точки b, 2b,3b и т.д. до точки qb такой что, qb не больше, чем a, в то время как (q+1)b уже больше a. Расстояние от точки qb до точки a и есть r. Число r - остаток при делении, а q- частное. Частное q имеет специальное обозначение:. Этот символ обозначает наибольшее целое число, не превосходящее числа a/b. Для примеров, приведенных выше получим ,.

Если a=qb+r, , то D(a ,b)=d=D(r ,b).

Доказательство. Запишем d₀=D(r,b), d₁=D(r,b). (1)

Таким образом, доказательство соотношения (1), означает доказательство того, что d₀= d₁. Любой общий делитель чисел a и b также делит число

r=a-qb.

Следовательно, число r делится на d_0.

Так как число d₀ является делителем числа r, так и числа b, то оно должно делить и число d₁=D(r,b); отсюда . С другой стороны, в соответствии с соотношением a=qb+r, любой общий делитель чисел r и b делит число a. Так как число d₁ делит также и число b, то оно должно делить и числоd₀=D(r,b), следовательно, . Из сказанного следует, что .

Пример, ; следовательно, (1066, 200)=(66, 200).

Этот результат, сформулированный в утверждении d₀=D(r,b), d₁=D(r,b), дает простой метод вычисления наибольшего общего делителя двух чисел. Вместо поисков наибольшего общего делителя чисел a и b достаточно найти наибольший общий делитель чисел r и b.Эта задача более проста, чем каждое чисел a и b. Что бы найти наибольший общий делитель чисел r и b, разделим число b на r: , где r1 меньше каждого из чисел b и r. В соответствии с правилом D(a,b)=d=D(r,b) получаем .

Далее, таким же способом обращаемся с числами r и r1 и т. д. В результате получаем последовательность пар чисел, каждая из которых имеет один и тот же наибольший общий делитель:

Так как остатки постоянно уменьшаются, то эта последовательность должна закончиться после получения остатка . Это происходит при делении, т.е число r_k делит число r _k-1. Тогда , из

видно, что .

Другими словами, число d0 равно первому из остатков, который делит предшествующий ему остаток.

Пример 1. Найти наибольший общий делитель чисел 1970 и 1066.

Решение. Разделим одно число на другое.

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Следовательно, (1970, 1066)=2.

Этот метод нахождения наибольшего общего делителя двух чисел называется алгоритмом Евклида, так как первое его описание содержится в «Началах» Евклида. ... = au + bv = ( a , b ).

Пример 2. Найти НОД: а = 525, b = 231.(запись деления уголком, и каждый раз то, что было в уголке, т.е. делитель, приписывается к остатку от деления с левой стороны, а остаток, как новый делитель, берется в уголок)Запись в виде цепочки равенств:

525 = 231 · 2 + 63

231 = 63 · 3 + 42

63 = 42 · 1 + 21

42 = 21 · 2

Таким образом, (525, 231) = 21. Линейное представление наибольшего общего делителя:

21 = 63 - 42 · 1 = 63 - (231 - 63 · 3) · 1 =

= 525 - 231 · 2 - (231 - (525 - 231 · 2) · 3) =

= 525 · 4 - 231 · 9. [28].

2.Закрепление изученного материала.

1. Найдите наибольший общий делитель пар чисел, используя алгоритм Евклида.

а) 360 и 1970, б) 30 и 365, в) номера вашего телефона и почтового индекса.

2. Найдите НОД для каждой из пяти первых дружественных чисел. Сравните результат с результатами, полученными с помощью разложения на простые множители (фронтальная работа). [28]

3.Найдите НОД с помощью алгоритма Евклида (данное упражнение можно выполнить как самостоятельно, так фронтально):

1) 1231, 1672; 2) 132, 21; 3) 135, 8211; 4) 549, 387; 5) 589, 343; 6 ) 12606, 6494;

7) 29719, 76501; 8) 162891, 32176; 9) 469459, 519203; 10) 738089, 3082607;

11) 179370199, 4345121; 12)3327449, 6314153; 13) 12870, 7650; 14) 41383, 103818;

15) 3640, 14300; 16) 24700, 33250.

4. Найдите НОД для следующий трех чисел (данное упражнение можно выполнить как самостоятельно, так фронтально, так и раздать карточки по усмотрению учителя):

1) 420, 126, 525; 2) 529, 1541, 1817; 3) 67283, 122433, 221703; 4) 549493, 863489, 2133125; 5) 738089, 3082607, 28303937; 6) 1767, 2223, 11913; 7) 476, 1258, 21114; 8) 3445, 4225, 5915.

5.Найдите НОД 111111 и 111111111.

6.Найдите НОД чисел 121212 и 121212121212.

7. Найдите трехзначное число, если оно при делении на 7, 11 и 13 дает соответственно остатки 5, 9 и 11. (Задания 5-7 можно предложить сильным учащимся). [8]

8. Сократите дробь (данное задание можно предложить в качестве домашнего задания)

1); 2); 3) ; 4); 5) ; 6); 7); 8)

9); 10) . [18]

3. Подведение итогов занятия:

- Интересными ли явились задания?

- Не являются ли они сложными или, наоборот, простыми?

Выставление учениками самим себе баллов за каждое верно решенное задание (1 зад. - 1 балл).

Занятие 20. Наименьшее общее кратное.

Цель: рассмотреть способы получения наименьшего общего кратного.

Развивать абстрактное и логическое мышление.

Ход урока:

1.Обзорная лекция.

Рассмотрим дроби и .

Чтобы сложить (вычесть) две дроби с разными знаменателями, то их необходимо привести к общему знаменателю, а затем складываем (вычитаем) числители.

Пример:.

Вообще, чтобы получить сумму +, должны найти общее кратное для чисел a и b, т.е. число m, на которое делятся как число a, так b. Одно из таких чисел очевидно, а именно, их произведение m=ab; в результате получаем в качестве суммы дробей

.

Но существует бесконечно много других общих кратных для чисел a и b. Предположим, что знаем разложение этих двух чисел на простые множители:

, (1).

Число m, которое делится одновременно на числа a и b, должно делиться на каждый простой делитель чисел a и b и содержать его в степени не меньшей, чем большая из двух степеней и . Таким образом, среди общих кратных существует наименьшее , в котором каждый показатель степени равен большему из чисел и . Очевидно, что число . Для наименьшего общего кратного существует специальное обозначение.

Пример. a=140, b=110. Разложение на простые множители этих чисел таково:

, , следовательно, .

Существует следующее простое соотношение между наибольшим общим делителем и наименьшим общим кратным: ab=D(a,b)K(a,b).

Доказательство. Перемножив два числа из (1) получим .

Как отмечала, степень числа в D(a,b) является меньшей из двух чисел и , в числе K(a,b) она большая из них. Предположим, что . Тогда степень числа в числе D(a,b) равна , а в K(a,b) равна ; следовательно их произведения

D(a,b) K(a,b) она равна +, что в точности равняется степени в произведении

. Это показывает справедливость соотношения ab=D(a,b)K(a,b).

Пример. a=140, b=110, D(a,b)=10, K(a,b)=1540.

D(a,b) K(a,b).

Из правила вытекает, что если a и b взаимно простые, то их произведение равно их наибольшему общему кратному; действительно, в этом случае D(a,b)=1 и поэтому ab= K(a,b). [28]

2.Закрепление изученного материала:

1.Найдите наибольшее общее кратное пар чисел.

а) 360 и 1970, б) 30 и 365, в) номера вашего телефона и почтового индекса.

2. Найдите НОК для каждой из четырех первых дружественных чисел. [28]

3. Написать несколько чисел, кратных 2 и 3; 3 и 7; 2, 5 и 11; 3, 5 и 7.

4. Написать несколько общих кратных для чисел: 5 и 15; 8 и 12; 20 и 25; 24 и 36.

5.Найти наименьшее общее кратное чисел:

1) 2 и 5 2) 3 и 7 3) 9 и 10

4) 14 и 25 5) 15 и 18 6) 24 и 36

7) 45 и 75 8) 100 и 120 9) 10; 21 и 23

10) 56; 70 и 126 11) 54; 90 и 162 12) 40; 60; 100 и 150.

6.Найти наименьшее общее кратное чисел:

1) 2 и 3 2) 3 и 11 3) 4 и 9

4) 10 и 21 5) 12 и 15 6) 25 и 45

7) 16 и 56 8) 25 и 75 9) 8; 15 и 19

10) 26; 51 и 78 11) 63; 126 и 252 12) 54; 81; 135 и 189.

7.Найти наименьшее общее кратное чисел и дополнительные множители к ним.

1) 154 и 210 2) 120 и 144 3) 255 и 510

4) 35 и 55 5) 105 и 165 6) 120 и 192

7) 12; 18 и 108 8) 60; 72 и 75 9) 240; 360 и 900

10) 50; 125 и 175 11) 210; 84 и 45 12) 450; 855 и 950.

8.Найти наименьшее общее кратное чисел и дополнительные множители к ним.

1) 66; 110 и 154 2) 42; 63 и 105 3) 60; 75 и 135;

4) 160; 240 и 2 000 5) 156; 195 и 3 900 6) 40; 64; 112 и 88.

1) 2 и 5 2) 3 и 7 3) 9 и 10

4) 14 и 25 5) 15 и 18 6) 24 и 36

7) 45 и 75 8) 100 и 120 9) 10; 21 и 23

10) 56; 70 и 126 11) 54; 90 и 162 12) 40; 60; 100 и 150.

(Задания 1-6 выполнить фронтально, задание 7- индивидуально, задание 8- можно выполнить в качестве домашнего задания).

Занятие 21-22. Зачет.

Цель: выявить уровень овладения учащимися знаниями и умениями на элективном курсе

Ход занятия: 1. Организационный момент. Работа составлена по типу контрольно-измерительных материалов единого государственного экзамена

2. Проверка уровня знаний и умений, уровня познавательной самостоятельности учащихся. Итоговая контрольная работа

Вариант 1- четные номера, Вариант 2- нечетные номера.

Часть 1.

1.Какое из чисел является делителем 36? 1) 8 2)12 3)24 4)72

2.Какое из чисел не является делителем 50? 1)5 2)10 3)20 4)50

3.Какое число является кратным 36? 1)9 2)18 3)48 4)72

4.Какое из чисел является делителем 36 и кратным 6? 1)24 2)12 3)9 4) 72

5.Какое из чисел не является кратным 3? 1) 15 2)27 3)35 4)45

6. Сколько натуральных делителей имеет число 12?

7.Сколько четных чисел удовлетворяют неравенству 11<x<20?

8.Какие цифры надо поставить вместо *, чтобы число 543* делилось на 2?

9.Какие цифры надо поставить вместо *, чтобы число 542* делилось на 3?

10.Какие цифры надо поставить вместо *, чтобы число 543* делилось на 5?

11.Какую цифру надо поставить вместо *, чтобы число 542* делилось 6?

12.Какую цифру надо поставить вместо*, чтобы число 541* делилось на 15?

13.Остаток от деления числа 94 на 7 равен

1)3 2)4 3)5 4)6

14.Частное от деления числа 94 на 7 равно

1)11 2)12 3)13 4)14

15.Наибольший общий делитель чисел а=2*3*3 *3*5*5 в=2*3*3*5*5*5

1)5 2)2*3*5 3)2*2*3*3*5*5 4)2*3*5*5*3

16.Наименьшее общее кратное чисел а=2*3*5*5 и в=2*2*3*5 равно

1)2*2*2*3*3*5*5*5 2)2*3*5 3)2*2*3*3*5*5 4)2*2*3*5*5

Часть 2.

17.Докажите что сумма 2⁵+4³+8³ делится на 19.

18.Докажите, что делится на 17.

19.найдите последнюю цифру числа 11*12*13*14*15.

20.Разложите на простые множители число 360.

21. Разложите на простые множители число 792.

22.Найдите наибольшее кратное чисел 180 и 270.

23.Найдите наибольший общий делитель чисел 180 и 270.

24.Найдите наименьшее общее кратное чисел 168 и 450.

25.Найдите наибольший общий делитель чисел 168 и 450.

26.Сократите дробь.

27.Сократите дробь.

28.Какие простые числа являются решениями неравенства 18<x<27?

29.Сколькими способами можно разложить на два натуральных множителя число 12? Способы, при которых произведения отличаются только порядком множителей, считаются за один способ.

Задания на 3.

30. Найдите последнюю цифру числа 3¹⁰⁰.

31.Остаток от деления некоторого натурального числа на 16 равен 9. Найдите остаток от деления этого числа на 4.

32.Остаток от деления некоторого натурального числа на 4 равен 1. Найдите остаток от деления этого числа на 16.

33. При делении на 12 число а дает остаток 7. Какой остаток получится при делении на 12 числа .

34.При делении на 5 одно целое число дает остаток 2, а другое - остаток 4. Найдите остаток от деления на 5 суммы этих чисел.

35.При делении на 5 одно целое число дает остаток 2, а другое - остаток 4.Найдите остаток от деления на 5 произведения этих чисел.

36. Сколько натуральных делителей имеет число ?

37.Найдите все четырехзначные числа, в записи которых входят только цифры 1,2 и которые делятся и на 2, и на 3.

38.Какую цифру надо приписать к числу 14 слева и справа, чтобы получилось число делящееся на 3?

39.Вдоль дороги от деревни Видное поставили столбы через каждые 48 метров. Эти столбы решили заменить другими, поставив их на расстоянии 60 метров друг от друга. Найдите расстояние от деревни Видное до ближайшего столба, которых будет стоять на месте старого.

40.Пакет сока стоит 19р.50к. Какое наибольшее число таких пакетов можно купить на 220 р.?

41. Для учащихся третьего класса приготовили одинаковые подарки. Во всех было 120 блокнотов, 280 ручек и 320 карандашей. Сколько учащихся в классе, если известно, что их больше 30 человек?

Задания на 4 балла.

42.Может ли при делении квадрата натурального числа на 4 получиться остаток 2?

43.Докажите, что на прямой 2х+4у=3 нет ни одной точки с целочисленными координатами.

44.Остаток от деления некоторого натурального числа на 6 равен 3, остаток от деления этого же числа на 15 равен 1. Найдите остаток от деления этого числа на 30.

45.Найдите все пары натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению .

46.Найдите все пары натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению .

47.На складе есть шоколадки двух видов: стоимостью 9 р. И стоимостью 15р. Может ли стоимость всех шоколадок быть равной 2009 р.?

48.найдите периметр треугольника, если длины двух его сторон равны 1 см и 9 см, а длина третьей стороны является натуральным числом.

49.На графике найдите все такие точки, абсциссы и ординаты которых являются натуральными числами.

50.В книге пронумеровали все страницы от 1 до 45. Сколько раз использовали цифру 3?

Учащимся предлагается пройти компьютерное тестирование по теме «Теория чисел». В работе представлено четыре задания уровня А, с выбором ответа, пять заданий уровня Б, где требуется написать свой ответ. Выполнение данных упражнений осуществляется с помощью компьютера. Подводится предварительный итог. Далее учащиеся на отдельном листе выполняют два задания уровня С, где требуется привести подробное решение. После их проверки учителем выставляется итоговая оценка.

3. Подведение итогов урока.

Ученикам сообщается, что окончательные результаты работы будут объявлены на следующем занятии.

Выясняется мнение учеников о проведенной зачетной работе.

Уравнение с двумя переменными и его график

9 класс

Тип урока:

Урок изучения нового материала с использованием ИКТ

Цели урока:

Образовательная:

• Расширить представление о способах решения уравнений.

• Сформировать умение решать уравнения графическим способом.

Развивающая:

• Работать над развитием понятийного аппарата;

• Развивать навыки самоконтроля.

• развивать логическое мышление, способность к абстрагированию, анализу.

Воспитательная:

• Воспитывать ответственное отношение к труду;

• Воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов.

Оборудование:

• АРМ

• Доска

• Листы рефлексии

• Поэтапное описание работы

Программное обеспечение:

1.Microsoft Power Point

Этапы урока:

1. Организационный момент.

2. Актуализация опорных знаний.

3. Исследовательская работа по добыванию новых знаний

4. Физкультминутка

.

5. Первичное закрепление материала. Тренировочные упражнения.

6. Итог урока. Постановка домашнего задания.

7. Рефлексия урока

Ход урока:

I. Организационный момент.

Проверка готовности учащихся к уроку

Рефлексия настроения.

На листах рефлексии делают выбор одной из геометрических фигур, которые характеризуют их настроение на каждом этапе урока

II. Актуализация опорных знаний.

1. Укажите виды уравнений и найдите среди них лишнее

1.

2.

3.

4.

5.

III.Изучение нового материала

Примеры уравнений с двумя переменными

• Уравнения х (х - у) = 4,

• 2у - х2 = - 2,

• х (х + у2) = х + 1

• могут служить примерами уравнений с двумя переменными.

3.Подставим в уравнение

х (х - у) = 4

• Вместо х значение(-1), а вместо у - значение 3,

• -1-(-1-3) = 4.

• 4=4

• Получилось верное равенство.

• Пара (-1; 3) значений переменных х и у является решением уравнения

х(х - у) = 4.

Определение.

Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.

Уравнение с двумя переменными имеет, как правило, бесконечно много решений.

Пример 1.Является ли пара чисел (-1;-8) решением уравнения x² +y²=62

(-1)²+(-8)²=62

65=62 (л)

Пара (-1; -8) не является решением уравнения

x² +y²=62

Определение равносильности двух уравнений.

• Два уравнения, имеющие одно и то же множество решений, называют равносильными уравнениями.

• Любое целое уравнение с двумя переменными можно заменить равносильным уравнением, в котором правая часть будет нулем, а левая - многочленом стандартного вида.

Например, уравнение

равносильно

уравнению , и значит, является уравнением четвертой степени.

Определение графика функции.

Графиком уравнения с двумя переменными называется множество точек координатной плоскости, координаты которых обращают уравнение в верное равенство.

Графики каких функций изображены на чертежах?

Как решить уравнение графическим способом?

Алгоритм решения уравнений графическим способом.

1. Преобразовать данное уравнение, чтобы обе части можно было рассмотреть как функции.

2. Построить в одной системе координат графики полученных функций.

3. Найти абсциссы точек пересечения графиков или установить, что их нет.

Учащиеся могут выдвигать предположения, ставится проблемный вопрос

Выполняют устные упражнений. Фронтальная работа.

Работа с

презентацией.

Выбирается уравнение, которое содержит две переменные. Ответ обосновывается.

Учащиеся записывают примеры уравнений с двумя переменными.

Учащиеся

проверяют, является данная точка решением уравнения.

Запись определений в тетради учащихся.

Ученики проверяют является пара чисел решением уравнения.

Запись в тетради учащихся определения равносильности.

Ученики определяют степень предложенных уравнений, обосновывая свои ответы.

Запись определения в тетрадях учащихся.

Учащиеся рассматривают графики данных функции, определяют аналитическую запись (уравнения, формулы).

Ученики предлагают способы решения уравнений с двумя переменными графически.

Запись алгоритма решения уравнений графическим способом в тетради.

III. Физкультминутка.

Упражнение: «Точка. Прямая. Плоскость»

Выполняется сначала правой рукой, потом левой, затем обеими одновременно. На парту кладётся кисть руки, согнутая в кулаке (большой палец зажат в кулаке) - «точка»; меняем положение кисти и кладём ладонь ребром - «прямая»; раскрытая ладонь кладётся на парту - «плоскость»

Кинезеологические упражнения активизируют работу правого и левого полушария головного мозга. Делается по 5 повторений.

III. Исследовательская работа по изучению взаимного расположения графиков .

Работа выполняется в парах. На каждой парте поэтапное описание работы. Учащиеся выполняют работу, выдвигают гипотезы, проверяют решение с помощью слайда презентации, делают выводы.

VI. 6. Итог урока. Постановка домашнего задания. Рефлексия.

Тремя предложениями выразить содержание урока:

1. На данном уроке говорилось о …

2. Открытием для меня стало…

3. Сегодня я понял(а), что…

С каким настроение вы уходите с урока?

Учащиеся записывают задание в дневники.

Несколько учащихся продолжают фразу.

Заполняется Лист рефлексии

Занятия 23-30.Уравнеине в целых числах.

Цель: формирование умения решать уравнения целых числах; развитие умения анализировать, обобщать, систематизировать.

Ход занятия:

1.Организационный момент.

2. Проверка домашнего задания. На доске записаны ответы к домашнему заданию. Ученики проверяют свои полученные ответы. Если у большинства ответ не верный, то задание разбирается подробно, иначе, те, кто не справился, обращаются после занятия за помощью к одноклассникам.

3.Обзорная лекция:

1. Применение теории делимости к решению неопределенных уравнений в целых числах.

Неопределенные уравнения - уравнения, содержащие более одного неизвестного. Под одним решением неопределенного уравнения понимается совокупность значений неизвестных, которая обращает данное уравнение в верное равенство.

Для решения в целых числах уравнения вида ах + by = c, где а, b, c - целые числа, отличные от нуля, приведем ряд теоретических положений, которые позволят установить правило решения. Эти положения основаны также на уже известных фактах теории делимости.

Теорема 1. Если НОД(а, b) = d, то существуют такие целые числа х и у, что имеет место равенство ах + bу = d.

(Это равенство называется линейной комбинацией или линейным представлением наибольшего общего делителя двух чисел через сами эти числа.)

Доказательство теоремы основано на использовании равенства алгоритма Евклида для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел (наибольший общий делитель выражается через неполные частные и остатки, начиная с последнего равенства в алгоритме Евклида).

Пример.

Найти линейное представление наибольшего общего делителя чисел 1232 и 1672.

Решение.

1. Составим равенства алгоритма Евклида:

1672 = 1232 ∙1 + 440,

1232 = 440 ∙ 2 + 352,

440 = 352 ∙ 1 + 88,

352 = 88 ∙ 4, т.е. (1672,352) = 88.

2) Выразим 88 последовательно через неполные частные и остатки, используя полученные выше равенства, начиная с конца:

88 = 440 - 352∙1 = (1672 - 1232) - (1232 - 1672∙2 + 1232∙2) = 1672∙3 - 1232∙4, т.е. 88 = 1672∙3 + 1232∙(-4).

Теорема 2. Если уравнение ах + bу = 1, если НОД(а, b) = 1, достаточно представить число 1 в виде линейной комбинации чисел а и b.

Справедливость этой теоремы следует из теоремы 1. Таким образом, чтобы найти одно целое решение уравнения ах + bу = 1, если НОД (а, в) = 1, достаточно представить число 1 в виде линейной комбинации чисел а и b.

Пример.

Найти целое решение уравнения 15х + 37у = 1.

Решение.

1. 37 = 15 ∙ 2 + 7,

15 = 7 ∙ 2 + 1.

2. 1 = 15 - 7∙2 = 15 - (37 - 15∙2) ∙2 = 15∙5 + 37∙(-2),

т.е. х = 5, у= -2 - решение данного уравнения.

Теорема 3. Если в уравнении ах + bу = с НОД (а, b) = d >1 и с не делится на d, то уравнение целых решений не имеет.

Для доказательства теоремы достаточно предположить противное.

Пример.

Найти целое решение уравнения 16х - 34у = 7.

Решение.

(16,34)=2; 7 не делится на 2, уравнение целых решений не имеет.

Теорема 4. Если в уравнении ах + bу = с НОД(а, b) = d>1 и с>d, то оно равносильно уравнению ах + bу = с, в котором НОД(а, b) = 1.

При доказательстве теоремы следует показать, что произвольное целое решение первого уравнения является также решением второго уравнения и обратно.

Теорема 5. Если в уравнении ах + bу = с НОД(а, b) = 1, то все целые решения этого уравнения заключены в формулах:

х = хс + bt, у = yc-at, где х, y - целое решение уравнения ах + bу = 1,

t - любое целое число.

При доказательстве теоремы следует показать, во-первых, что приведенные формулы действительно дают решения данного уравнения и, во-вторых, что произвольное целое решение этого уравнения заключено в приведенных формулах.

Приведенные теоремы позволяют установить следующее правило решения в целых числах уравнения ах+ bу = с НОД(а, b) = 1:

1. Находится целое решение уравнения ах + bу = 1 путем представления 1 как линейной комбинации чисел а и b (существуют и другие способы отыскания целых решений этого уравнения, например при использовании цепных дробей);

2. Составляется общая формула целых решений данного уравнения х = хс + bt, у = yc - at, где х, y - целое решение уравнения ах + bу = 1, t - любое целое число.

Придавая t определенные целые значения, можно получить частные решения данного уравнения: наименьшие по абсолютной величине, наименьшие положительные (если можно) и т.д.

Пример.

Найти целые решения уравнения 407х - 2816у = 33.

Решение.

1. Упрощаем данное уравнение, приводя его к виду 37х - 256у = 3.

2.Решаем уравнение 37х - 256у = 1.

256 = 37∙ 6 + 34,

37 = 34 ∙1 + 3,

34 = 3 ∙11 + 1.

1 = 34 - 3∙11 = 256 - 37∙6 - 11 (37 - 256 + 37∙6) = 256∙12 - 37∙83 =

= 37∙(-83) - 256∙(-12),

т.е. х= -83, y= -12.

3. Общий вид всех целых решений данного уравнения:

х = -83∙3 - 256t = -249 - 256t,

у = -12∙3 - 37 t = -36 - 37 t.

Положив t = -1, получим х= 7, у= 1 и общие формулы решений примут вид: х = 7 - 256t, у = 1-37t. [7]

2.Закрепление изученного материала.

Задача 1. имеются контейнеры двух видов на 130 кг и 160 кг. Сколько было контейнеров первого и второго вида, если они вместе весят 3 тонны. Укажите все решения.

Решение. Обозначим количество контейнеров первого вида через x, второго через y. Получаем уравнение.

130х+160у=3000

13х+16у=300

Попробуем воспользоваться делимостью на 13. Для этого 16у представим в виде 13у+3у. а 300 разделим на 13 с остатком.

13х+13у+3у=13*23+1; 3у-1=13*23-13х-13у

Первая часть последнего уравнения делится на 13, следовательно, и левая часть должна делится на 13. Для того чтобы найти значения у, при которых разность 3у-1 делится на 13, применим перебор.

При этом проще не придавать последовательные значения 1,2,3 и т.д., а приравнивать 3у-1 к числам делящимся на 13: 13, 26, 39, 52,65 и т.д. выясняя каждый раз, является ли корень соответствующего уравнения целым или дробным. Целые корни получаются в следующих случаях: 3у-1=26; у=9; 3у-1=65; у=22 и др.

Но уже при значении у=22 слишком велико, т.к. в этом случае 16у=16* 22=352>300.

При у=9 из уравнения можно найти х:

13х+16*9=300; 13х=156; х=12.

Ответ: 12 контейнеров по 130 кг и 9 по 160 кг.[8]

Задача 2. Найдите наименьшее натуральное число, которое делится на 28, а при делении на 15 дает в остатке 4.

Решение. Искомое число равно, с одной стороны, 28х, а с другой- 15у+4. где х и у -натуральные числа. Получаем уравнения 28х=15у+4.

Не нужно искать все решения этого уравнения в натуральных числах х, а только одно решение-то, для которого значения х и у минимальны. Для этой цели преобразуем уравнение, используя признак делимости на 15.

30х-2х=15у+4, 30х-15у=4+2х, откуда (2х+4):15, (х+2):15.

Поскольку нам требуется наименьшее значение х, удовлетворяющее последней делимости, то х+2 приравняем к 15:

Х+2=15, х=13. Ответ: 364. [8]

Задача 3.

«Шли сорок мышей, несли сорок грошей,

Две мыши несли по два гроша,

Немало мышей - вообще без грошей.

Большие совсем тащили по семь.

А остальные несли по четыре.

Сколько мышей шли без грошей?»

(И.Акулич. «Квант», №4, 1995).

Обозначим количество мышей, которые шли без грошей, через х, количество больших мышей - через у, а количество тех, которые несли по четыре гроша, - через z. Составим систему уравнений с неизвестными х, у и z:

Эта система двух линейных уравнений с тремя неизвестными.

Для ее решения учтем, что на основании первого уравнения у делится на 4. Кроме того, ; .

Откуда . Такое у только одно: у=4. Тогда из первого уравнения находим z, а затем из второго х:

; 4z=8, z=2, х+4+2=38, х=32. Ответ: 32. [8].

Задача 4.

Найдите все решения уравнения 5х-7у=3 в целых числах.

Решение. Выразим из уравнения то неизвестное, коэффициент при котором меньше по модулю - в данном случае х:

5х=7у+3, .

В числителе полученной дроби 7у разобьем на два слагаемых, одно из которых при любом целом у делится на 5, а у другого коэффициент меньше 5: 7у=5у+2у. Затем числитель дроби разделим почленно на знаменатель:

.

Дробь должна быть равна целому числу. Положим где z- целое. Тогда 2у+3=5z.

Получилось новое уравнение первой степени с двумя неизвестными, но с меньшими по модулю коэффициентами.

Из последнего уравнения выразим то неизвестное, коэффициент которого меньше по модулю, в данном случае у, и проделаем аналогичные преобразование:

, .

До каких пор продолжать такую процедуру. В общем случае- до тех пор, пока не получится уравнение, у которого коэффициент при одном из неизвестных равен 1 или -1. В данном случае она уже заканчивается. Дробь должна быть целым числом. Обозначим его через t:

, z+3=2t, z=2t-3, где t- целое число.

Выразим у и х через t..

Получили формулы х=7t-12, у=5t-9

Здесь t - целое число. Но является ли t любым целым числом? Для ответа на вопрос подставим выражения для х и у в левую часть исходного уравнения:

.

Следовательно, это формулы, где t- любое число, дают множество всех решений уравнения в целых числах.

Придавая t, например, значения 0, 1 и 2, получаем частные решения уравнения: (-12;-9), (-5;-4), (2;1). Ответ: х=7t-12,y=5t-9, где t любое целое число. [8].

Задачи для самостоятельного решения:2. Метод полного перебора всех возможных значений переменных, входящих в уравнение.

Найти множество всех пар натуральных чисел, которые являются решениями уравнения 49х + 51у = 602.Решение: Выразим из уравнения переменную х через у х =, так как х и у - натуральные числа, то х = 602 - 51у ≥ 49, 51у≤553, 1≤у≤10.

Полный перебор вариантов показывает, что натуральными решениями уравнения являются х=5, у=7.Ответ: (5;7). [8].

4. Подведение итогов.- Какова была тема занятия? Что нового узнали на занятии?

- Достигли ли цели, поставленной в начале занятия? Выставление учениками самим себе баллов за каждое верно решенное задание (1 задание - 1 балл).

Занятие 31-32. Зачет.

Цель: выявить уровень овладения учащимися знаниями и умениями на элективном курсе

Ход занятия:1. Организационный момент.

Работа составлена по типу контрольно-измерительных материалов единого государственного экзамена, который предстоит пройти по окончании школы.

Учащимся предлагается пройти компьютерное тестирование по теме «Теория чисел». В работе представлено четыре задания уровня А, с выбором ответа, пять заданий уровня Б, где требуется написать свой ответ. Выполнение данных упражнений осуществляется с помощью компьютера. Подводится предварительный итог. Далее учащиеся на отдельном листе выполняют два задания уровня С, где требуется привести подробное решение. После их проверки учителем выставляется итоговая оценка.

2. Проверка уровня знаний и умений, уровня познавательной самостоятельности учащихся. Итоговая контрольная работа

Вариант 1.

1. решить уравнение в целых числах 5х+63у=-1.

2. определите целые положительные значения коэффициентов а и в в уравнении ах+ву=58, при которых х=5, у=4.

Вариант 2.

1. решить уравнение в целых числах 9х+4у=43.

2. разложите число 100 на 2 части так, чтоб одна делилась на 7 без остатка, а другая - на 13 без остатка.

Задачи для самостоятельного решения

0. Решите уравнение, составленное в начале параграфа по представленным алгоритмам.

1. Решить уравнения в целых числах:

а) 27х - 40y = 1; б) 54x + 37y = 7; в) 107x + 84y =1;

г) 13x - 15y =7; д) 81x + 52y = 5; e) 24x - 56y = 72;

ж) 127x - 52y + 1 = 0; з) 6x + 10y - 7z = 11.

0. На какое наименьшее число надо умножить 7, чтобы произведение оканчивалось на 123.

1. Найти все четырёхзначные простые числа, начинающиеся и оканчивающиеся цифрой 1.

2. Кусок проволоки длиной 102 см нужно разрезать на части длиной 15 см и 12 см, так чтобы была использована вся проволока. Как это сделать? Решить уравнение в целых числах:

2.	27х - 40у = 1
3.	54х + 37у = 1
4.	107х + 84у = 1
5.	13х - 15у = 7
6.	42х + 34у = 5	уравнение целых решений не имеет
7.	81х + 52у = 5
8.	24х - 56у = 72

3. Подведение итогов урока.

Ученикам сообщается, что окончательные результаты работы будут объявлены на следующем занятии.

Выясняется мнение учеников о проведенной зачетной работе.

4. Постановка домашнего задания.

На следующем занятии - конференция по подведению итогов изучения курса. Класс делится на группы по 5-6 человек. Задача каждой группы подготовить выступление, в котором укажут, что было интересным при изучении, что сложным; что понравилось, что нет; какие предложения могут внести по усовершенствованию курса. Каждый ученик должен представить папку с задачами.

Занятие 33-34. Конференция.

Цель: подведение итогов изучения элективного курса;

Ход занятия:

1. Организационный момент: сообщение целей и плана занятия.

2. Выступление учащихся.

2.1. Защита творческих работ по теме «Тайны мира чисел» .

1. Итальянский купец Леонардо Фибоначчи и его кролики.

2. Системы счисления.

3. Арифметика на клетчатой бумаге «Квадраты и гномоны».

4. Леонард Эйлер.

5. Угадай число. Занимательные задачи.

6. О больших числах.

7. Методы решения диофантовых уравнений

8. Роль Диофанта в развитии математики.

9. Архимед - величайший древнегреческий математик, физик, инженер.

10. Математика в Древней Руси.

11. Жизнь и деятельность Пифагора.

12. Жизнь и деятельность Евклида.

2.2. Представители от каждой группы рассказывают о составленной в ходе изучения курса папки с задачами, выделяют наиболее интересные темы и задачи, наиболее трудные и легкие для усвоения.

2.3. Каждая группа отмечает «плюсы» и «минусы» данного курса, вносит свои предложения по его изучению.

3. Выступление учителя.

Учитель обобщает все сказанное учениками.

Подводит итоги по табелям баллов: сообщает уровень, на котором ученики освоили данный курс: 1 уровень - более 71 балла; 2 уровень - 41-70 баллов; 3 уровень - менее 40 баллов.

4. Подведение итогов. Вручение ученикам сертификатов, подтверждающих прохождение курса, с отмеченным в нем уровнем освоения курса.

Заключение.

Системы элективных курсов позволяют обучать персонифицировано, используя интеграцию инновационных технологий в педагогические методы, следствием чего является возможность в короткие сроки ввести слушателей в курс дела по необходимой области знаний.

Целями данной работы ставились рассмотрение положений по созданию элективных курсов и разработка элективного курса для 9 класса «Теория чисел».

В первой главе рассматривались основные положения по созданию элективных курсов. В частности, разобраны такие вопросы, как типы курсов, мотивы выбора, требования к содержанию, учебно-методический комплекс.

Во второй главе разработана методика преподавания элективного курса «Теория чисел»: представлено подробное описание каждого занятия с применяемыми методами и формами обучения, с примерами заданий, возможными формами контроля усвоения материала школьниками.

При выполнении работы было изучено и проанализировано большое количество научно - популярной и учебной литературы по указанной теме, в том числе и примеры решений уравнений в целых числах из Межрегиональной заочной математической олимпиады для школьников (Всероссийская школа математики и физики «Авангард»), из математических олимпиад Республики Мордовия, из Единого государственного экзамена (задания С6).

Данный элективный курс может иметь свое продолжение в старшей школе при изучении такого курса, как «Теория чисел».

Таким образом, цель данной работы достигнута, сформулированная гипотеза доказана.

На наш взгляд, элективные курсы незаменимы для достижения основных целей образования на старшей ступени школы. Этот материал может быть интересен и полезен учащимся, материал данной работы можно использовать для изучения на элективных занятиях, при подготовке к олимпиадам и к централизованному тестированию, а также для самостоятельного изучения.