Пробный ОГЭ по математике 9 класс 2016 год

Пробный ОГЭ-2015г.

Вариант 1

Часть1

1. Запишите в ответе номера выражений, значения которых положительны.

Номера запишите в порядке возрастания без пробелов, запятых и других дополнительных символов.1)

2)

3)

4)

Решение.

Найдём значения выражений:

Таким образом, искомое выражение указано под номером 3.

Ответ: 3

2. Известно, что . Выберите наибольшее из чисел.

1) 2) 3) 4)

Решение.

Поскольку число отрицательно, и . Число положительно и больше 1. Поэтому оно является наибольшим.

Правильный ответ указан под номером 3.

Ответ: 3

3. В какое из следующих выражений можно преобразовать дробь ?

1) 2) 3) 4)

Решение.

Упростим дробь:

Правильный ответ указан под номером 3.

Ответ: 3

4. Решите ура внение .

Если корней несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.

Решение.

По теореме, обратной теореме Виета - сумма корней равна 5, а их произведение равно −14.

Тем самым, это числа −2 и 7.

Ответ: −2; 7.

Ответ: -2; 7

5.Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

1) 2) 3) 4)

Ответ укажите в виде последовательности цифр без пробелов и запятых в указанном порядке.

Решение.

Определим вид графика каждой из функций.

1) уравнение параболы, ветви которой направленны вверх.

2) уравнение прямой.

3) уравнение верхней ветви параболы, направленной вправо.

4) уравнение гиперболы.

Тем самым найдено соответствие: A - 1, Б - 4, В - 2.

Ответ: 142.

Ответ: 142

6. Дана арифметическая прогрессия 14, 9, 4, ... Какое число стоит в этой последовательности на 81-м месте?

Решение.

Определим разность арифметической прогрессии:

Член арифметической прогрессии с номером может быть найден по формуле

Поэтому

Ответ: 414.

Ответ: 414

7.Найдите значение выражения при .

Решение.

Упростим выражение:

При , значение полученного выражения равно 16.

Ответ: 16.

Ответ: 16

8. Решите систему неравенств

На каком из рисунков изображено множество её решений?

Решение.

Решим систему:

Правильный ответ указан под номером 3.

Ответ: 3

9. В выпуклом четырехугольнике ABCD , , , . Найдите угол A. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360°. Имеем: Так как , и - общая треугольника ABD и BDC. Из равенства треугольников следует, что . Таким образом, .

Ответ: 95.

Ответ: 95

10. Найдите , если градусные меры дуг и равны 112° и 170° соответственно.

Решение.

Так как вписанный угол равен половине дуги на которую он опирается, имеем , а . В треугольнике OKM , .

Ответ: 39.

Ответ: 39

11. Одна из сторон параллелограмма равна 12, другая равна 5, а один из углов - 60°. Найдите площадь параллелограмма, делённую на .

Решение.

Площадь параллелограмма равна произведению сторон на синус угла между ними, имеем:

Ответ: 30.

----------

В открытом банке иррациональный ответ.

Ответ: 30

12 На квадратной сетке изображён угол . Найдите .

Решение.

Опустим перпендикуляр BH. Треугольник ABH - прямоугольный. Таким образом,

Ответ: 3.

Ответ: 3

13. Какие из следующих утверждений верны?

1) Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на синус угла между ними.

2) Если катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12, то его гипотенуза равна 13.

3) Треугольник ABC, у которого AB = 5, BC = 6, AC = 7, является остроугольным.

4) В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен разности квадратов гипотенузы и другого катета

Если утверждений несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.

Решение.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на синус угла между ними.» - неверно, квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

2) «Если катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12, то его гипотенуза равна 13.» - верно, по теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

3) «Треугольник ABC, у которого AB = 5, BC = 6, AC = 7, является остроугольным.» - верно, остроугольным называется треугольник у которого все углы меньше 90°.

4) «В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен разности квадратов гипотенузы и другого катета.» - верно, по теореме Пифагора.

Ответ: 2; 3; 4.

Ответ: 2; 3; 4

14 В таблице даны рекомендуемые суточные нормы потребления (в г/сутки) жиров, белков и углеводов детьми от 1 года до 14 лет и взрослыми.

Какой вывод о суточном потреблении углеводов мужчиной можно сделать, если по подсчётам диетолога в среднем за сутки он потребляет 488 г углеводов?

1) Потребление в норме.

2) Потребление выше рекомендуемой нормы.

3) Потребление ниже рекомендуемой нормы.

4) В таблице недостаточно данных.

Решение.

Суточная норма потребления углеводов мужчины лежит в пределах 257−586 г. Потребление 488 г жиров в сутки соответствует норме.

Правильный ответ указан под номером 1.

Ответ: 1

15. На рисунке изображен график движения автомобиля из пункта в пункт и автобуса из пункта в пункт . На сколько километров в час скорость автомобиля больше скорости автобуса?

Решение.

Автобус проехал 240 км за 5 часов. Таким образом, его скорость равна 48 км/ч. Автомобиль проехал это же расстояние за 3 часа со скоростью 80 км/ч. Таким образом, скорость автомобиля больше скорости автобуса на 32 км/ч.

Ответ: 32

16. На многопредметной олимпиаде всех участников получили дипломы, остальных участников были награждены похвальными грамотами, а остальные 144 человека получили сертификаты об участии. Сколько человек участвовало в олимпиаде?

Решение.

Все участвовавшие в олимпиаде делятся на три группы: участники, получившие дипломы, участники, получившие сертефикаты, участники, получившие похвальные грамоты. Известно что всех участников получили дипломы, следовательно, оставшаяся часть составила от общего числа участников. Из участников, получивших дипломы, участников были награждены похвальными грамотами, оставшиеся участников составили 144 человека. Пусть x - общее число участников, тогда:

Тем самым, в олимпиаде участвовал 231 учащийся.

Ответ: 231.

Ответ: 231

17. Короткое плечо шлагбаума имеет длину 1 м, а длинное плечо - 3 м. На какую высоту (в метрах) опустится конец короткого плеча, когда конец длинного плеча поднимается на 1,8 м?

Решение.

Найдём синус угла, на который поднимается длинное плечо:

Угол подъема длинного плеча равен углу на который опустится короткое плечо. Пусть x - высота, на которую опустится короткое плечо, имеем:

Таким образом, короткое плечо опустится на 0,6 м.

Ответ: 0,6.

Ответ: 0,6

18 На диаграмме представлено распределение количества пользователей некоторой социальной сети по странам мира. Всего в этой социальной сети 12 млн пользователей.Какое из следующих утверждений неверно?

1) Пользователей из России больше, чем пользователей из Белоруссии и Украины вместе.

2) Пользователей из Украины больше, чем пользователей Латвии.

3) Примерно две трети общего числа пользователей - из России.

4) Пользователей из Украины больше 3 миллионов.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение.

Разъясним каждый вариант ответа:

1) Очевидно, что пользователей из России больше, чем пользователей из Украины и Белоруссии вместе.

2) Сектор «Украина» занимает большую площадь диаграммы, чем сектор «Другие страны», а т. к. «Латвия» включена в «Другие страны», имеем: пользователей из Украины больше, чем пользователей из Латвии.

3) Сектор в две трети диаграммы отсекается углом в 2·360°/3 = 240°. Очевидно, что угол, отсекающий сектор «Россия» примерно равен 240°, значит примерно две трети общего числа пользователей - из России.

4) Видно, что пользователей из Украины меньше четверти всех пользователей, значит, меньше 12/4=3 миллионов.

Ответ: 4.

Ответ: 4

19. В лыжных гонках участвуют 13 спортсменов из России, 2 спортсмена из Норвегии и 5 спортсменов из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен не из России.

Решение.

Вероятность благоприятного случая() - отношение количества благоприятных случаев к количеству всех случаев. В данной задаче благоприятным случаем является старт спортсмена не из России под номером 1. Всего благоприятных случаев 2 + 5 = 7, а количество всех случаев 13 + 2 + 5 = 20. Отношение соответственно равно

Ответ: 0,35.

Ответ: 0,35

20. Площадь трапеции можно вычислить по формуле , где - основания трапеции, - высота (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите высоту , если основания трапеции равны и , а её площадь . Часть 2

Решение.

Выразим высоту трапеции из формулы площади:

Подставляя, получаем:

Ответ: 4.

Приведём другое решение.

Подставим в формулу известные значения величин:

Ответ: 4

21. Разложите на множители .

Решение.

Имеем:

.

Ответ: .

22.Два оператора, работая вместе, могут набрать текст газеты объявлений за 8 ч. Если первый оператор будет работать 3 ч, а второй 12 ч, то они выполнят только 75% всей работы. За какое время может набрать весь текст каждый оператор, работая отдельно?

Решение.

Пусть первый оператор может выполнить данную работу за часов, а второй за часов. За один час первый оператор выполняет часть всей работы, а второй . Составим систему уравнений:

Ответ: первый оператор за 12 ч, второй оператор за 24 ч.

23. Найдите наименьшее значение выражения и значения и , при которых оно достигается: .

Решение.

Сумма принимает наименьшее значение, равное 0, только в том случае, когда оба слагаемых одновременно равны 0. Получаем систему уравнений

Решим её:

Ответ: 0; (2;1).

24. Найдите угол АСО, если его сторона СА касается окружности, О - центр окружности, а дуга AD окружности, заключённая внутри этого угла, равна 140°.

Решение.

Проведём радиус OA. Треугольник AOC - прямоугольный, ∠A = 90°. ∠COA = 180° − ∠AOD = 180° − 140° = 40°; ∠ACO = 90° − 40° = 50°.

Ответ: 50.

25. В окружности с центром проведены две равные хорды и . На эти хорды опущены перпендикуляры и . Докажите, что и равны.

Решение.

Проведем ОK, ON, ON, OM - радиусы. Треугольники KOL и MON равны по трем сторонам, тогда высоты OH и OS также равны как элементы равных треугольников. Что и требовалось доказать.

26. Через середину K медианы BM треугольника ABC и вершину A проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке P. Найдите отношение площади четырёхугольника KPCM к площади треугольника AM

Вариант 2

Часть1

1. Укажите наименьшее из следующих чисел: 1)

2)

3)

4)

Решение.

Заметим что Поскольку число является наименьшим.

Таким образом, правильный ответ указан под номером 1.

Ответ: 1

2 На координатной прямой отмечены числа , , . Какой из следующих утверждений неверно?

1) 2) 3) 4)

Решение.

Заметим, что и Проверим все варианты ответа:

1) - верно, так как , а ;

2) - верно, так как , а ;

3) - неверно, так как ;

4) - верно, см. случай 1).

Правильный ответ указан под номером 3.

Ответ: 3

3. Какое из следующих выражений равно

1) 2) 3) 4)

Решение.

При делении степеней с одинаковыми основаниями их показатели вычитаются. Таким образом, правильный ответ под номером 1.

Ответ: 1

4. Решите уравнение .

Решение.

Последовательно получаем:

Ответ: −1,6.

Ответ: -1,6

5.Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

1) 2)

3) 4)

Ответ укажите в виде последовательности цифр без пробелов и запятых в указанном порядке

Решение.

Определим вид графика каждой из функций.

1) уравнение гиперболы.

2) уравнение параболы, ветви которой направленны вниз.

3) уравнение прямой.

4) уравнение верхней ветви параболы, направленной вправо.

Тем самым найдено соответствие: A - 3, Б - 1, В - 2.

Ответ: 312.

Ответ: 312

6.Дана арифметическая прогрессия (а_n): −6, −2, 2, … . Найдите a₁₆.

Решение.

Определим разность арифметической прогрессии:

Член арифметической прогрессии с номером может быть найден по формуле

Необходимо найти , имеем:

Ответ: 54.

Ответ: 54

7.Найдите значение выражения

при

Решение.

Упростим выражение:

(при и ).

Найдём значение выражения при

Ответ: 14.

Ответ: 14

8.Решение какого из данных неравенств изображено на рисунке?

1) 2)

3) 4)

Решение.

Решим каждое из неравенств:

1) - решений нет.

2)

3) - верно для всех

4)

Правильный ответ указан под номером 4.

Ответ: 4

9. В треугольнике ABC угол C прямой, BC=3 , cosB = 0,6. Найдите AB.

Решение.

В прямоугольном треугольнике:

Ответ:

Ответ: 5

10.Центральный угол AOB опирается на хорду АВ так, что угол ОАВ равен 60° . Найдите длину хорды АВ, если радиус окружности равен 8.

Решение.

В треугольнике ( - радиус окружности), следовательно треугольник - равнобедеренный, то есть . Найдём угол

Заметим, что следовательно треугольник - равносторонний,

Ответ: 8.

Ответ: 8

11 Периметр равностороннего треугольника равен 30. Найдите его площадь делённую на .

Решение.

Так как в равностороннем треугольнике все стороны равны, то сторона данного треугольника равна 10. Угол равностороннего треугольника равен . Площадь треугольника равна половине произведения сторон на синус угла между ними, имеем:

Ответ: 25.

----------

В открытом банке иррациональный ответ.

Ответ: 25

12.Найдите тангенс угла, изображённого на рисунке.

Решение.

Углы и в сумме образуют развёрнутый угол Значит,

Рассмотрим прямоугольный треугольник, изображённый на рисунке. Тангенс угла в прямоугольном треугольнике - отношение противолежащего катета к прилежащему:

Ответ: −3.

Ответ: -3

13. Какие из следующих утверждений верны?

1) Если катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны соответственно 6 и 10, то второй катет этого треугольника равен 8.

2) Любые два равнобедренных треугольника подобны.

3) Любые два прямоугольных треугольника подобны.

4) Треугольник ABC, у которого AB = 3, BC = 4, AC = 5, является тупоугольным.

Если утверждений несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.

Решение.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Если катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны соответственно 6 и 10, то второй катет этого треугольника равен 8.»- верно, по теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

2) «Любые два равнобедренных треугольника подобны.» - неверно, так как углы, заключенные между пропорциональными сторонами, не равны.

3) «Любые два прямоугольных треугольника подобны.» - неверно, так как нет второго равного угла.

4) «Треугольник ABC, у которого AB = 3, BC = 4, AC = 5, является тупоугольным.» - неверно, треугольник с такими сторонами является прямоугольным.

Ответ: 1.

Ответ: 1

14. В таблице представлены налоговые ставки на автомобили в Москве с 1 января 2013 года.

*л. с. − лошадиная сила

Сколько рублей должен заплатить владелец автомобиля мощностью 185 л. с. в качестве налога за один год?

1)45

2)50

3)8000

4) 9250

Решение.

При мощности автомобиля в 185 л. с. он попадает в диапазон от 176-201 л. с., т. е. налоговая ставка составит 50 руб за л. с. в год.

Значит налог к уплате составит 185 · 50=9250.

Правильный ответ указна под номером 4.

Ответ: 4

15.На рисунке изображён график изменения атмосферного давления в городе Энске за три дня. По горизонтали указаны дни недели и время, по вертикали - значения атмосферного давления в миллиметрах ртутного столба. Укажите значение атмосферного давления во вторник в 6 часов утра.

Решение.

Из графика видно, что значение давления во вторник в 6:00 равно 758 мм рт. ст.

Ответ: 758.

Ответ: 758

16.Государству принадлежит 60% акций предприятия, остальные акции принадлежат частным лицам. Общая прибыль предприятия после уплаты налогов за год составила 40 млн. р. Какая сумма из этой прибыли должна пойти на выплату частным акционерам?

Решение.

Один процент от 40 млн равен: руб. На выплату частным акционерам пошло: руб.

Ответ: 16000000.

Ответ: 16000000

17.Короткое плечо шлагбаума имеет длину 1 м, а длинное плечо - 3 м. На какую высоту (в метрах) опустится конец короткого плеча, когда конец длинного плеча поднимается на 1,8 м?

Решение.

Найдём синус угла, на который поднимается длинное плечо:

Угол подъема длинного плеча равен углу на который опустится короткое плечо. Пусть x - высота, на которую опустится короткое плечо, имеем:

Таким образом, короткое плечо опустится на 0,6 м.

Ответ: 0,6.

Ответ: 0,6

18. На диаграмме показано содержание питательных веществ в какао, молочном шоколаде, фасоли и сушёных белых грибах. Определите по диаграмме, в каком продукте содержание белков превышает 30%.

*К прочему относятся вода, витамины и минеральные вещества.

1) какао 2) шоколад 3) фасоль 4) грибы

Решение.

Из диаграмм видно, что содержание белков превышает 30% в грибах. Таким образом, верный ответ указан под номером 4.

Ответ: 4

19.В мешке содержатся жетоны с номерами от 2 до 51 включительно. Какова вероятность, того, что номер извлеченного наугад из мешка жетона является однозначным числом?

Решение.

Всего в мешке 50 жетонов. Среди них 8 с однозначными номерами. Таким образом, вероятность, того, что номер извлеченного наугад из мешка жетона является однозначным числом равна

Ответ: 0,16

20 Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия (t °C) в шкалу Фаренгейта (t °F), пользуются формулой F = 1,8C + 32 , где C - градусы Цельсия, F - градусы Фаренгейта. Какая температура по шкале Цельсия соответствует 158° по шкале Фаренгейта? Ответ округлите до десятых.

Часть 2

Решение.

Подставим в формулу значение переменной F:

Ответ: 70.

Ответ: 70

21.Найдите значение выражения: при

Решение.

Имеем:

При получаем:

Ответ:

22.Две трубы наполняют бассейн за 8 часов 45 минут, а одна первая труба наполняет бассейн за 21 час. За сколько часов наполняет бассейн одна вторая труба?

Решение.

По условию первая труба за одну минуту наполняет часть бассейна, а две трубы вместе за одну минуту наполняют часть бассейна. Таким образом, одна вторая труба за минуту наполняет часть бассейна, то есть она наполняет весь бассейн за 15 часов.

Ответ: 15.

23.Постройте график функции и определите, при каких значениях прямая имеет с графиком ровно три общие точки.

Решение.

Раскрывая модуль, получим, что график функции можно представить следующим образом:

Этот график изображён на рисунке:

Из графика видно, что прямая имеет с графиком функции ровно три общие точки при и

Ответ: 0; 4.

24.Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите радиус окружности, если угол между касательными равен 60°, а расстояние от точки А до точки О равно 8.

Решение.

Опустим радиусы на каждую касательную. Соединим точки A и O. Получившиеся треугольники - прямоугольные, так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. По гипотенузе и катету эти треугольники равны, таким образом, мы получили, что угол, лежащий напротив катета равен Катет, лежащий напротив угла в равен половине гипотенузы, тогда радиус равен 4.

Ответ: 4.

25.В параллелограмме АВСD проведены перпендикуляры ВЕ и DF к диагонали АС (см. рисунок). Докажите, что ВFDЕ - параллелограмм.

Решение.

- параллелограмм, поэтому стороны и равны. Углы и равны, как накрест лежащие при параллельных прямых и и секущей Рассмотрим треугольники и они прямоугольные, их гипотенузы равны и угол равен углу следовательно эти треугольники равны по гипотенузе и углу, значит, равны отрезки и и следовательно . Противоположные стороны четырёхугольника равны и параллельны, следовательно этот четырёхугольник - параллелограмм.

26.На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 2 м, а длинное плечо - 3 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 1 м?

Решение.

Введём обозначения, приведённые на рисунке. Здесь - плечи "журавля" до опускания, - после, - высота, на которую поднялся конец короткого плеча, - высота, на которую опустился конец длинного. Рассмотрим треугольники и углы и равны, как вертикальные, следовательно равны и углы при основаниях:

Следовательно, треугольники и подобны по двум углам, то есть

Рассмотри прямые и их пересекает секущая углы, обозначенные на рисунке 1 и 2 накрест лежащие и равны друг другу, следовательно прямые и параллельны. Стороны углов 3 и 4 параллельны друг другу, следовательно они равны.

Рассмотрим треугольники и они прямоугольные, имеют равные углы, следовательно они подобны, значит:

Ответ: 1,5.

Примечание

Можно привести несколько иное доказательство подобия треугольников и . На приведённой ниже картинке есть два маленьких треугольника обозначенные и , они прямоугольные и одна пара углов равна друг другу как накрест лежащие при параллельных прямых, следовательно они подобны.

Затем, можно заметить, что у треугольников и соответственные углы, не важно какие, равны друг другу, потому что их стороны параллельны, следовательно, треугольники подобны. Аналогично с треугольниками и Из трёх пар подобий этих треугольников следует, что треугольники и подобны.

Вариант 3

Часть1

1. Расположите в порядке убывания числа 0,1327; 0,014; 0,13.

1) 0,1327; 0,014; 0,13

2) 0,014; 0,13; 0,1327

3) 0,1327; 0,13; 0,014

4) 0,13; 0,014; 0,1327

Решение.

Запишем все числа с четырьмя знаками после запятой и поразрядно сравним цифры в их записи:

0,1327,

0,0140,

0,1300.

Наибольшим является первое число, наименьшим - второе число.

Правильный ответ указан под номером 3.

Ответ: 3

2. На координатной прямой отмечены точки x и y.

Какое из следующих неравенств верно?

1) 2)

3) 4)

Решение.

Заметим, что 0 < x < 1, 2 < y < 3. Тогда неравенство не верно. Для выражения x − y верно двойное неравенство −3 < x − y < −1. Для выражения 1 − x верно двойное неравенство 0 < 1 − x < 1. Для выражения верно двойное неравенство

Правильный ответ указан под номером 4.

Ответ: 4

3. Укажите наибольшее из чисел:

1) 2) 3) 4)

Решение.

Определим, между какими натуральными числами лежат числа, приведенные в ответах.

1)

2)

3)

Таким образом, осталось сравнить второе и четвёртое число. Поскольку имеем , т.е. четвёртое число больше второго.

Правильный ответ указан под номером 4.

Ответ: 4

4. Найдите корни уравнения: те их через точку с запятой в порядке возрастания.

Решение.

По теореме, обратной теореме Виета, сумма корней равна 3, а их произведение равно −18. Тем самым, это числа −3 и 6.

Ответ: −3; 6.

Ответ: -3;6

5. На рисунке изображены графики функций вида . Установите соответствие между знаками коэффициентов и и графиками.

КОЭФФИЦИЕНТЫ

А)

Б)

В)

ГРАФИКИ

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:А

Б

В

Решение.

Если значение функции возрастает с увеличением x, то коэффициент k положителен, если убывает - отрицателен. Значение b соответствует значению функции в точке x = 0, следовательно, если график пересекает ось ординат выше оси абсцисс, то значение b положительно, если ниже оси абсцисс - отрицательно.

Таким образом, графикам соответствуют следующие коэффициенты: А - 3, Б - 2, В - 1.

Ответ: 321.

Ответ: 321

6. Дана арифметическая прогрессия (а_n): −6, −2, 2, … . Найдите a₁₆.

Решение.

Определим разность арифметической прогрессии:

Член арифметической прогрессии с номером может быть найден по формуле

Необходимо найти , имеем:

Ответ: 54.

Ответ: 54

7.Найдите значение выражения при .

Решение.

Упростим выражение:

При , значение полученного выражения равно 16.

Ответ: 16.

Ответ: 16

8.Решите неравенство:

На каком из рисунков изображено множество его решений?

1)1 2)2 3)3 4) 4Решение.

Решим неравенство методом интервалов:

Получаем

Правильный ответ указан под номером 3.

Ответ: 2

9. Углы, отмеченные на рисунке одной дугой, равны. Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

Решение.

Углы 1 и 2 равны как вертикальные, поэтому

Ответ: 40.

Ответ: 40

10. Центральный угол AOB, равный 60°, опирается на хорду АВ длиной 3. Найдите радиус окружности.

Решение.

Рассмотрим треугольник AOB: он равнобедренный, т. к. состоит из двух отрезков, равных радиусу. Углы при основании равнобедренного треугольника равны. Обозначим угол BAO буквой , тогда , где . Треугольник, у которого все углы равны, - равносторонний треугольник; значит, AO = 3.

Ответ: 3.

Ответ: 3

11. Периметр ромба равен 24, а тангенс одного из углов равен . Найдите площадь ромба.

Решение.

Периметр ромба равен сумме длин всех его сторон. Так как все стороны равны, сторона ромба равна 6. Площадь ромба равна произведению сторон на синус угла между ними. Найдем синус угла. В прямоугольном треугольнике тангенс определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему. Имеем:

Таким образом, , где x - число.

По теореме Пифагора гипотенуза этого прямоугольного треугольника равна:

.

В прямоугольном треугольнике синус определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе. Имеем:

Таким образом,

Ответ: 12.

Ответ: 12

12. Найдите тангенс угла А треугольника ABC, изображённого на рисунке.

Решение.

Тангенс угла в прямоугольном треугольнике - отношение противолежащего катета к прилежащему:

Ответ: 0,4.

Ответ: 0,4

13. Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.

1) Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его медианой.

2) Диагонали прямоугольника равны.

3) У любой трапеции боковые стороны равны.

Если утверждений несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.

Решение.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его медианой» - неверно, верным будет утверждение «Каждая из биссектрис равностороннего треугольника является его медианой».

2) «Диагонали прямоугольника равны» - верно, по свойству прямоугольника.

3) «У любой трапеции боковые стороны равны» - неверно, т. к. боковые стороны равны только у равнобедренной трапеции.

Ответ: 2.

Ответ: 2

14. Учёный Комаров выезжает из Москвы на конференцию в Санкт-Петербургский университет. Работа конференции начинается в 8:30. В таблице дано расписание ночных поездов Москва - Санкт-Петербург.Путь от вокзала до университета занимает полтора часа. Укажите номер самого позднего (по времени отправления) из московских поездов, которые подходят учёному Комарову.

1)032AB 2)026A 3)002A 4) 004A

Решение.

Поскольку путь от вокзала до университета занимает полтора часа, поезд должен прибыть на вокзал не позднее 07:00. Этому условию удовлетворяют поезда под номерами: 032АВ и 026А. Из них позже отправляется поезд под номером 026А.

Правильный ответ указан под номером 2.

Ответ: 2

15.На рисунке изображён график изменения атмосферного давления в городе Энске за три дня. По горизонтали указаны дни недели, по вертикали - значения атмосферного давления в миллиметрах ртутного столба. Укажите наименьшее значение атмосферного давления в среду.

Решение.

Очевидно, что минимальное значение давления в среду равно 752 мм рт. ст.

Ответ: 752.

Ответ: 752

16. Перед представлением в цирк для продажи было заготовлено некоторое количество шариков. Перед началом представления было продано всех воздушных шариков, а в антракте - еще 12 штук. После этого осталась половина всех шариков. Сколько шариков было первоначально?

Решение.

Пусть - количество всех шариков, тогда - количество проданных шариков. Из условия задачи известно, что продали половину шариков. Имеем уравнение:

Ответ: 120.

Ответ: 120

17. Сколько всего осей симметрии имеет фигура, изображённая на рисунке?

Решение.

Ось симметрии данной фигуры - биссектрисса, проходящая через вершину звезды. Данная фигура имеет 5 осей симметрии.

Ответ: 5.

Ответ: 5

18.На диаграмме представлены семь крупнейших по площади территории (в млн км²) стран мира.Какое из следующих утверждений неверно?

1) Площадь территории Индии составляет

2) Площадь Китая больше площади Австралии.

3) Россия - крупнейшая по площади территории страна мира.

4) площадь Канады больше площади США на

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение.

Утверждения 1−3 верны. Утверждение 4) неверно: площадь Канады больше площади США на 0,5 млн км², а не на 1,5 млн км².

Ответ: 4.

Ответ: 4

19.Для экзамена подготовили билеты с номерами от 1 до 25. Какова вероятность того, что наугад взятый учеником билет имеет номер, являющийся двузначным числом?

Решение.

Всего было подготовлено 25 билетов. Среди них 16 двузначных. Таким образом, вероятность взять билет с двухзначным номером равна

Ответ: 0,64

20. Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия (t °C) в шкалу Фаренгейта (t °F), пользуются формулой F = 1,8C + 32 , где C - градусы Цельсия, F - градусы Фаренгейта. Какая температура по шкале Цельсия соответствует 6° по шкале Фаренгейта? Ответ округлите до десятых.

Часть 2

Решение.

Подставим в формулу значение переменной :

Ответ: −14,4.

Ответ: -14,4

21. Упростите выражение: .

Решение.

Имеем:

Ответ: 2,4.

22. При смешивании первого раствора соли, концентрация которого 40%, и второго раствора этой же соли, концентрация которого 48%, получился раствор с концентрацией 42%. В каком отношении были взяты первый и второй растворы?

Решение.

Пусть первый раствор взят в количестве x грамм, тогда он содержит 0,4x грамм соли, а второй раствор взят в количестве y грамм, тогда он содержит 0,48y грамм соли. При смешивании двух этих растворов получится раствор массой x + y грамм, по условию задачи, он содержит 0,42(x + y) соли. Следовательно, можно составить уравнение:

Выразим x через y:

Следовательно, отношение, в котором были взяты растворы:

Ответ:

23. При каком значении прямая имеет с параболой ровно одну общую точку? Найдите координаты этой точки. Постройте в одной системе координат данную параболу и прямую при найденном значении .

Решение.

График функции изображён на рисунке.

Запишем условие общей точки:

Прямая будет иметь с параболой единственную общую точку при условии, что дискриминант полученного квадратного уравнения равен нулю: откуда Подставив значение параметра в уравнение, находим

Ответ: (-2;0).

24. В треугольнике угол равен 56°, угол равен 64°, . Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

Решение.

Угол треугольника равен = 180° − − = 60°. Радиус описанной окружности равен .

Ответ: 3.

25. В равностороннем треугольнике ABC точки M, N, K - середины сторон АВ, ВС, СА соответственно. Докажите, что треугольник MNK - равносторонний.

Решение.

Так как точки M, N, K - середины сторон и треугольник ABC- равносторонний, то отрезки AM, MB, BN, NC, KC, AK равны. В равностороннем треугольнике все углы равны, таким образом, треугольники AMK, NMB, CNK равны по двум сторонам и углу между ними. Тогда MN=MK=KN, значит треугольник MNK- равносторонний.

26.Три окружности с центрами O₁, O₂ и O₃ радиусами 1, 2 и 6 соответственно попарно касаются внешним образом. Найдите угол O₁O₂O₃.

Вариант4

Часть1

1. Найдите значение выражения

Решение.

Сократим:

Ответ: 1,5.

Ответ: 1,5

2. Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу

Какая это точка?

1)точкаА 2)точкаВ 3)точкаС 4) точка D

Решение.

Возведём в квадрат числа 7, 8, 9:

Число 68 лежит между числами 49 и 64 и находится ближе к числу 49, поэтому соответствует точке A.

Правильный ответ указан под номером 1.

Ответ: 1

3.Какое из чисел больше: или ?

1) 2)3)

Решение.

В силу цепочки неравенств

первое число больше второго.

Правильный ответ указан под номером 3.

Ответ: 3

4. Найдите наименьшее значение , удовлетворяющее системе неравенств

Решение.

Решим систему:

Значит, наименьшее значение удовлетворяющее данной системе неравенств −4.

Ответ: −4.

Ответ: -4

5. График какой из приведенных ниже функций изображен на рисунке?

1)

2)

3)

4)

Решение.

Ветви изображённой на рисунке гиперболы лежат во II и IV четверти, её график растянут вдоль оси ординат в два раза. Этим условиям соответствует вариант 1

Графику соответствует вариант под номером 1.

Ответ: 1

6.Арифметическая прогрессия (a_n) задана условиями: a₁ = 3, a_n + 1 = a_n + 4. Найдите a₁₀.

Решение.

Определим разность арифметической прогрессии:

Член арифметической прогрессии с номером может быть найден по формуле

Необходимо найти , имеем:

Ответ: 39.

Ответ: 39

7. Упростите выражение ,

найдите его значение при ; . В ответ запишите полученное число.

Решение.

Упростим выражение:

(при и ).

Найдём значение выражения при , :

Ответ: 4,6.

Ответ: 4,6

8.Решите неравенство:

На каком из рисунков изображено множество его решений?

1)1 2)2 3)3 4) 4

Решение.

Решим неравенство методом интервалов:

Получаем

Правильный ответ указан под номером 3.

Ответ: 2

9. Биссектрисы углов B и C треугольника ABC пересекаются в точке K. Найдите , если , а

Решение.

По определению биссектрис , а . В треугольнике BKC:

.

Ответ: 120.

Ответ: 120

10.

Точка О - центр окружности, ∠AOB = 70° (см. рисунок). Найдите величину угла ACB (в градусах).

Решение.

Угол AOB- центральный он равен дуге, которую опирается, следовательно, дуга Угол ACB - вписанный, равен половине дуги на которую опирается, следовательно, его величина равна

Ответ: 35

11 Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 44 и одна сторона на 2 больше другой.

Решение.

Площадь прямоугольника равна произведению его сторон. Найдём стороны прямоугольника. Пусть x - меньшая сторона прямоугольника. Тогда периметр прямоугольника равен откуда Поэтому площадь прямоугольника равна

Ответ: 120.

Ответ: 120

12. Найдите тангенс угла треугольника , изображённого на рисунке.

Решение.

Тангенс угла в прямоугольном треугольнике - отношение противолежащего катета к прилежащему. Треугольник ABC - прямоугольный, поэтому

Ответ: 0,4.

Ответ: 0,4

13.Укажите номера верных утверждений.

1) Если угол равен 47°, то смежный с ним равен 153°.

2) Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то эти две прямые параллельны.

3) Через любую точку проходит ровно одна прямая.

Решение.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Если угол равен 47°, то смежный с ним равен 153°» - неверно, сумма смежных углов равна 180°.

2) «Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то эти две прямые параллельны» - верно, по признаку параллельности прямых.

3) «Через любую точку проходит ровно одна прямая» - неверно через ону точку проходит бесконечное множество прямых.

Ответ: 2.

Ответ: 2

14.Учёный Комаров выезжает из Москвы на конференцию в Санкт-Петербургский университет. Работа конференции начинается в 8:30. В таблице дано расписание ночных поездов Москва - Санкт-Петербург.Путь от вокзала до университета занимает полтора часа. Укажите номер самого позднего (по времени отправления) из московских поездов, которые подходят учёному Комарову.

1)032AB 2)026A 3)002A 4) 004A

Решение.

Поскольку путь от вокзала до университета занимает полтора часа, поезд должен прибыть на вокзал не позднее 07:00. Этому условию удовлетворяют поезда под номерами: 032АВ и 026А. Из них позже отправляется поезд под номером 026А.

Правильный ответ указан под номером 2.

Ответ: 2

15.

. На рисунке изображен график полета тела, брошенного под углом к горизонту. По вертикальной оси откладывается расстояние от земли (в м), по горизонтальной оси - пройденный путь (в м). По рисунку определите, на какой высоте от земли будет находиться тело в момент времени, когда оно пролетит 20 метров.

Решение.

По графику видно, что когда тело пролетит 20 метров, оно будет находится на высоте 2 м.

Ответ: 2.

Ответ: 2

16. Городской бюджет составляет 45 млн. р., а расходы на одну из его статей составили 12,5%. Сколько рублей потрачено на эту статью бюджета?

Решение.

Расходы составили

руб.

Ответ: 5625000.

Ответ: 5625000

17. Глубина бассейна составляет 2 метра, ширина - 10 метров, а длина - 25 метров. Найдите суммарную площадь боковых стен и дна бассейна (в квадратных метрах).

Решение.

Дно и стены бассейна - прямоугольники, поэтому площадь дна бассейна равна 10 · 25 = 250 м², а площадь четырех его стен равна 2 · (2 · 10 + 2 · 25) = 140 м². Тем самым, общая площадь равна 390 м².

Ответ: 390.

Ответ: 390

18. На диаграмме показано количество SMS, присланных слушателями за каждый час четырёхчасового эфира программы по заявкам на радио. Определите, на сколько больше сообщений было прислано за последние два часа программы по сравнению с первыми двумя часами этой программы.

Решение.

Последние два часа программы - это 3-й и 4-й часы. За это время было прислано 25 + 40 = 65 сообщений. За первые два часа эфира слушатели прислали 20 + 30 = 50 сообщений. Таким образом, за последние два часа программы было прислано на 65 − 50 = 15 сообщений больше, чем за первые два часа.

Ответ: 15.

Ответ: 15

19.В среднем на 147 исправных дрелей приходятся три неисправные. Найдите вероятность того, что выбранная дрель исправна.

Решение.

Количество всех дрелей равно 147 + 3 = 150. Поэтому, вероятность того, что выбранная дрель исправна равна

Ответ: 0,98

20.Площадь треугольника можно вычислить по формуле , где и - стороны треугольника, а - угол между этими сторонами. Пользуясь этой формулой, найдите площадь треугольника, если = 30°, = 5, = 6.

Часть 2

Решение.

Подставим известные значения величин в формулу для нахождения площади:

Ответ: 7,5.

Ответ: 7,5

21. Упростите выражение: .

Решение.

Имеем:

.

Ответ: 4.

22. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 34 км, выехал велосипедист. Одновременно с ним из В в А вышел пешеход. Велосипедист ехал со скоростью, на 8 км/ч большей скорости пешехода, и сделал в пути получасовую остановку. Найдите скорость пешехода, если известно, что они встретились в 24 км от пункта А.

Решение.

Пусть скорость пешехода - x км/ч, тогда скорость велосипедиста равна (x + 8) км/ч. Пешеход прошёл свою часть пути за , а велосипедист проделал свой путь за . Эти два времени равны, составим уравнение:

Корень −40 не подходит нам по условию задачи. Скорость пешехода равна 4 км/ч.

Ответ: 4 км/ч.

23. Известно, что графики функций и имеют ровно одну общую точку. Определите координаты этой точки. Постройте графики заданных функций в одной системе координат.

Решение.

Найдём абсциссы точек пересечения:

Графики функций, будут иметь ровно одну точку пересечения, если это уравнение имеет ровно одно решение. То есть, если дискриминант этого квадратного уравнения будет равен нулю.

Подставив параметр в уравнение, найдём координату точки пересечения этих функций:

Координата находится оттуда же путём подстановки координаты в любое из уравнений, например, во второе:

Теперь, зная можем построить графики обеих функций (см. рисунок).

Ответ: (2; -3).

24.

Сторона ромба равна 38, а острый угол равен 60° . Высота ромба, опущенная из вершины тупого угла, делит сторону на два отрезка. Каковы длины этих отрезков?

Решение.

Введём обозначения, как показано на рисунке. Треугольник ABH - прямоугольный, в нём угол A равен 60°. Тогда отрезок AH можно найти по формуле:

Найдём отрезок HD:

Ответ: 19,19.

25. В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке K. Докажите, что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника CKD.

Решение.

Проведём высоту так, чтобы она проходила через точку Углы и равны друг другу как вертикальные. Вспомним также, что диагонали делятся точкой пересечения пополам, следовательно, Рассмотрим треугольники и , они прямоугольные, имеют равные углы и равные гипотенузы, следовательно эти треугольники равны, а значит равны отрезки и . Таким образом,

Площадь параллелограмм равна а площадь треугольника

26. Площадь треугольника ABC равна 80. Биссектриса AD пересекает медиану BK в точке E, при этом BD:CD=1:3. Найдите площадь четырехугольника EDCK.

Вариант5

Часть1

1.Расположите в порядке возрастания числа 0,1439; 1,3; 0,14.

1) 0,1439; 0,14; 1,3

2) 1,3; 0,14; 0,1439

3) 0,1439; 1,3; 0,14

4) 0,14; 0,1439; 1,3

Решение.

Запишем все числа с четырьмя знаками после запятой и поразрядно сравним цифры в их записи:

0,1439,

1,3000,

0,1400.

Наименьшим является последнее число, наибольшим - второе число.

Правильный ответ указан под номером 4.

Ответ: 4

2.На координатной прямой отмечены числа и

Какое из следующих утверждений неверно?

1) 2)

3) 4)

Решение.

Заметим, что Проверим все варианты ответа:

1) неверно

2) - верно

3) - верно, т. к.

4) верно

Правильный ответ указан под номером 1.

Ответ: 1

3. Сравните числа и 14.

1) 2)

3)

Решение.

В силу цепочки неравенств

первое число меньше второго.

Правильный ответ указан под номером 1.

Ответ: 1

4. Решите уравнение

Решение.

Последовательно получаем:

Ответ: −4,5.

Ответ: -4,5

5. Установите соответствие между функциями и их графиками

ФУНКЦИИ

А) Б)

В)

ГРАФИКИ

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:А

Б

В

Решение.

Напомним, что если парабола задана уравнением , то: при то ветви параболы направлены вверх, а при - вниз; абсцисса вершины параболы вычисляется по формуле парабола пересекает ось Oy в точке с.

Уравнение задает параболу, ветви которой направлены вверх, абсцисса вершины равна , она пересекает ось ординат в точке 0. Ее график изображен на рисунке 4).

Уравнение задает параболу, ветви которой направлены вверх, абсцисса вершины равна , она пересекает ось ординат в точке 0. Ее график изображен на рисунке 4).

Уравнение задает параболу, ветви которой направлены вниз, абсцисса вершины равна , она пересекает ось ординат в точке 0. Ее график изображен на рисунке 3).

Тем самым, искомое соответствие: А-4, Б-1, В-3.

Ответ: 413.

Ответ: 413

6.Дана геометрическая прогрессия (b_n), знаменатель которой равен 2, а . Найдите сумму первых шести её членов.

Решение.

Сумма n первых членов геометрической прогрессии даётся формулой

По условию, откуда получаем

Ответ: −47,25.

Ответ: -47,25

7. Упростите выражение

Решение.

Упростим выражение:

Ответ: −3.

Ответ: -3

8. Решите неравенство и определите, на каком рисунке изображено множество его решений.

1)

2)

3)

4)

Решение.

Решим неравенство:

Решение неравенства изображено на рис. 3.

Правильный ответ указан под номером 3.

Ответ: 3

9.Найдите меньший угол равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ AC образует с основанием BC и боковой стороной CD углы, равные 30° и 105° соответственно.

Решение.

Поскольку угол С равен 135°, а сумма противоположных углов равнобедренной трапеции равна 180°, угол А равен 45°.

Ответ: 45.

Ответ: 45

10. Точка О - центр окружности, ∠AOB = 70° (см. рисунок). Найдите величину угла ACB (в градусах).

Решение.

Угол AOB- центральный он равен дуге, которую опирается, следовательно, дуга Угол ACB - вписанный, равен половине дуги на которую опирается, следовательно, его величина равна

Ответ: 35

11.В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10, а один из острых углов равен . Найдите площадь треугольника.

Решение.

Так как один из углов прямоугольного треугольника равен , то такой треугольник является равнобедренным. Найдем катет прямоугольного треугольника:

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов. Таким образом:

Ответ: 25.

Ответ: 25

12. Найдите тангенс угла, изображённого на рисунке.

Решение.

Углы и в сумме образуют развёрнутый угол Значит,

Рассмотрим прямоугольный треугольник, изображённый на рисунке. Тангенс угла в прямоугольном треугольнике - отношение противолежащего катета к прилежащему:

Ответ: -1,5.

Ответ: -1,5

13. Какие из следующих утверждений верны?

1) Если противоположные углы выпуклого четырехугольника равны, то этот четырехугольник - параллелограмм.

2) Если сумма трех углов выпуклого четырехугольника равна 200°, то его четвертый угол равен 160°.

3) Сумма двух противоположных углов четырехугольника не превосходит 180°.

4) Если основания трапеции равны 4 и 6, то средняя линия этой трапеции равна 10.

Если утверждений несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.

Решение.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Если противоположные углы выпуклого четырехугольника равны, то этот четырехугольник - параллелограмм.» - верно, если в четырехугольнике противоположные углы равны, то этот четырехугольник - параллелограмм.

2) «Если сумма трех углов выпуклого четырехугольника равна 200°, то его четвертый угол равен 160°.» - верно, Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360°.

3) «Сумма двух противоположных углов четырехугольника не превосходит 180°.» - неверно, сумма противоположных углов четырехугольника больше 180°.

4) «Если основания трапеции равны 4 и 6, то средняя линия этой трапеции равна 10.» - неверно, средняя линия трапеции равна полусумме оснований.

Ответ: 1; 2.

Ответ: 1; 2

14. Студент Петров выезжает из Наро-Фоминска в Москву на занятия в университет. Занятия начинаются в 9:00. В таблице приведено расписание утренних электропоездов от станции Нара до Киевского вокзала в Москве.

Путь от вокзала до университета занимает 40 минут. Укажите время отправления от станции Нара самого позднего из электропоездов, которые подходят студенту.

1)6:35 2)7:05 3)7:28 4) 7:34

Решение.

Поскольку путь от вокзала до университета занимает 40 минут, поезд должен прибыть на вокзал не позднее 08:20. Этому условию удовлетворяют поезда, отправляющиеся от станции Нара в 6:35 и 7:05. Таким образом, время отправления самого позднего из подходящих поездов 7:05.

Правильный ответ указан под номером 2.

Ответ: 2

15. На рисунке изображен график зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты колебаний. По вертикальной оси откладывается амплитуда (в м), по горизонтальной - частота колебаний (в Гц). По рисунку определите частоту колебаний, если амплитуда была равна 3 м.

Решение.

По графику видно, что в момент, когда амплитуда была равна 3 м, частота была равна 60 Гц.

Ответ: 60.

Ответ: 60

16.Какая сумма (в рублях) будет проставлена в кассовом чеке, если стоимость товара 520 р., и покупатель оплачивает его по дисконтной карте с 5%-ной скидкой?

Решение.

Рассчитаем скидку, которую получает покупатель оплачивая товар по дисконтной карте с 5%-ной скидкой: руб. Таким образом, итоговая цена со скидкой равна: руб.

Ответ: 494.

Ответ: 494

17. B 13 . Колесо имеет 5 спиц. Углы между соседними спицами равны. Найдите величину угла (в градусах), который образуют две соседние спицы.

Решение.

Колесо представляет собой круг. Количество спиц совпадает с количеством секторов на которые ими оно делится. Так как развёрнутый угол 360°, а всего спиц пять, угол между двумя соседними спицами равен 360° : 5 = 72°.

Ответ: 72.

Ответ: 72

18. Завуч школы подвёл итоги контрольной работы по математике в 9-х классах. Результаты представлены на круговой диаграмме.

Какие из утверждений относительно результатов контрольной работы верны, если всего в школе 120 девятиклассников?

1)Более половины учащихся получили отметку«3».

2) Около половины учащихся отсутствовали на контрольной работе или получили отметку «2».

3) Отметку «4» или «5» получила примерно шестая часть учащихся.

4) Отметку «3», «4» или «5» получили более 100 учащихся.

Если ответов несколько, запишите их в порядке возрастания через точку с запятой

Решение.

Проверим каждое утверждение:

1) Более половины учащихся получили отметку «3» - верно.

2) Около половины учащихся отсутствовали на контрольной работе или получили отметку «2» - неверно.

3) Отметку «4» или «5» получила примерно шестая часть учащихся - верно.

4) Отметку «3», «4» или «5» получили более 100 учащихся - неверно.

Ответ: 1; 3

19. В среднем на 50 карманных фонариков приходится два неисправных. Найдите вероятность купить работающий фонарик.

Решение.

На каждые 50 карманных фонариков приходится 2 неисправных, всего их 48. Вероятность купить исправный фонарик будет равна доле исправных фонариков на каждые 52 фонарика, то есть

Ответ: 0,96.

Ответ: 0,96

20.В фирме «Эх, прокачу!» стоимость поездки на такси (в рублях) рассчитывается по формуле C = 150+11 ⋅ (t − 5) , где t - длительность поездки, выраженная в минутах (t > 5). Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость 14-минутной поездки.

Часть 2

Решение.

Подставим в формулу значение переменной :

Ответ: 249.

Ответ: 249

21. Решите неравенство

Решение.

Умножим на 15, приведём подобные слагаемые и разложим на множители:

Произведение двух сомножителей будет меньше нуля, если сомножители имеют разный знак (см. рисунок). Таким образом, получаем ответ:

Ответ:

22. Чтобы накачать в бак 117 л воды, требуется на 5 минут больше времени, чем на то, чтобы выкачать из него 96 л воды. За одну минуту можно выкачать на 3 л воды больше, чем накачать. Сколько литров воды накачивается в бак за минуту?

Решение.

Пусть за минуту в бак накачивается литров воды. Тогда за минуту выкачивается л воды.

По условию задачи составим уравнение:

,

откуда

Получаем квадратное уравнение

,

имеющее корни: и .

Отбрасывая отрицательный корень, находим, что за минуту в бак накачивается 9 л воды.

Ответ: 9.

23. При каком значении прямая имеет с параболой ровно одну общую точку? Найдите координаты этой точки. Постройте в одной системе координат данную параболу и прямую при найденном значении .

Решение.

График функции изображён на рисунке.

Запишем условие общей точки:

Прямая будет иметь с параболой единственную общую точку при условии, что дискриминант полученного квадратного уравнения равен нулю: откуда Подставив значение параметра в уравнение, находим

Ответ: (-2;0).

24. Основание равнобедренной трапеции равны 8 и 18, а её периметр равен 52. Найдите площадь трапеции.

Решение.

Рассмотрим равнобедренную трапецию с основаниями и , периметр которой равен 52. Имеем

.

Пусть - высота трапеции. Тогда . Из прямоугольного треугольника находим . Значит, площадь трапеции равна .

Ответ: 156.

25. В параллелограмме АВСD проведены перпендикуляры ВЕ и DF к диагонали АС (см. рисунок). Докажите, что ВFDЕ - параллелограмм.

Решение.

Прямоугольные треугольники ABE и CDF равны по гипотенузе и острому углу (AB = CD как противолежащие стороны параллелограмма; ∠BAE = ∠DCF как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей AC). Следовательно, BE = DF. Кроме того, BE || DF, т. к. это перпендикуляры к одной прямой. Таким образом, в четырёхугольнике BFDE противолежащие стороны равны и параллельны, поэтому BFDE - параллелограмм.

26. Медиана BM треугольника ABC является диаметром окружности, пересекающей сторону BC в её середине. Длина стороны AC равна 4. Найдите радиус описанной окружности треугольника ABC.

Вариант 6

Часть1

1. Расположите в порядке убывания:

1)

2)

3)

4)

Решение.

Запишем заданные числовые выражения в виде десятичных дробей:

Заметим, что Поэтому верный вариант ответа указан по номером 3.

Ответ: 3

2 Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу . Какая это точка?

1)M 2)N 3)P 4) Q

Решение.

Чтобы ответить на вопрос, возведём в квадрат числа 5, 6, 7:

Число 37 лежит между 36 и 49 и ближе всех находится к числу 36. Значит, соответствует точке P.

Правильный ответ указан под номером 3.

Ответ: 3

3. В какое из следующих выражений можно преобразовать дробь

1) 2) 3) 4)

Решение.

Упростим дробь:

Правильный ответ указан под номером 1.

Ответ: 1

4.Найдите корни уравнения

Если корней несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.

Решение.

Вынесем общий множитель за скобки:

Ответ: −3; 0.

Ответ: -3;0

5. Укажите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

1) 2)

3) 4)

Ответ укажите в виде последовательности цифр без пробелов и запятых в указанном порядке

Решение.

Определим вид графика каждой из функций:

1) представляет собой график степенной функции с положительным дробным показателем.

В точке значение функции равно 0.

2) представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх.

Вершина параболы лежит в точке (-1;2).

3) представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх.

Вершина параболы лежит в точке (1;2).

4) представляет собой прямую, которая пересекает ось абсцисс в точке -1,5 ; ось ординат в точке 3.

Таким образом, искомое соответствие:

A-1, Б=2, В=4.

Ответ: 124

6. В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 75, а сумма второго и третьего членов равна 150. Найдите первые три члена этой прогрессии.

В ответе перечислите через точку с запятой первый, второй и третий члены прогрессии.

Решение.

По условию Запишем эти равенства в виде системы уравнений на первый член и знаменатель прогрессии и решим эту систему:

Теперь найдём второй и третий члены прогрессии:

Ответ: 25; 50; 100.

Ответ: 25;50;100

7.Упростите выражение

и найдите его значение при

В ответе запишите найденное значение.

Решение.

Упростим выражение:

(при ).

Найдём значение выражения при :

Ответ: 4.

Ответ: 4

8.Решите неравенство и определите, на каком рисунке изображено множество его решений.

1)

2)

3)

4)

Решение.

Решим неравенство:

Решение неравенства изображено на рис. 4.

Правильный ответ указан под номером 4.

Ответ: 4

9. Найдите угол АВС равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ АС образует с основанием AD и боковой стороной CD углы, равные 20° и 100° соответственно.

Решение.

Углы и равны как накрест лежащие, то есть

В равнобедренной трапеции углы при основаниях равны:

Ответ:

Ответ: 120

10 Центральный угол AOB, равный 60° , опирается на хорду АВ длиной 4. Найдите радиус окружности.

Решение.

В треугольнике ( - радиус окружности), следовательно треугольник - равнобедеренный, то есть

Заметим, что следовательно треугольник - равносторонний,

Ответ: 4.

Ответ: 4

11.Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.

Решение.

Площадь параллелограмма ищется путём перемножения длины основания и высоты. В данном параллелограмме длинна основания равна 3 + 2 = 5, а длина высоты - 4.

Ответ: 20.

Ответ: 20

12. На рисунке изображен параллелограмм . Используя рисунок, найдите .

Решение.

Тангенс угла в прямоугольном треугольнике - отношение противолежащего катета к прилежащему. Треугольник - прямоугольный, поэтому

Вычислим по теореме Пифагора длину гипотенузы :

Тогда

Ответ: 0,6.

Ответ: 0,6

13.Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.

1) Любой параллелограмм можно вписать в окружность.

2) Если две различные прямые на плоскости перпендикулярны третьей прямой, то эти две прямые параллельны.

3) Точка пересечения двух окружностей равноудалена от центров этих окружностей.

Если утверждений несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.

Решение.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Любой параллелограмм можно вписать в окружность» - неверно, поскольку в окружность можно вписать только параллелограмм у которого сумма противоположных углов равна 180°.

2) «Если две различные прямые на плоскости перпендикулярны третьей прямой, то эти две прямые параллельны» - верно, верно по признаку параллельности прямых.

3) «Точка пересечения двух окружностей равноудалена от центров этих окружностей» - неверно, поскольку эта точка удалена от каждой из окружностей на расстояние их радиуса.

Ответ: 2.

Ответ: 2

14. В таблице даны рекомендуемые суточные нормы потребления (в г/сутки) жиров, белков и углеводов детьми от 1 года до 14 лет и взрослыми.

Какой вывод о суточном потреблении жиров женщиной можно сделать, если по подсчётам диетолога в среднем за сутки она потребляет 55 г жиров?

1)Потребление в норме.

2) Потребление выше рекомендуемой нормы.

3) Потребление ниже рекомендуемой нормы.

4) В таблице недостаточно данных.

Решение.

Суточная норма жиров женщины лежит в пределах 60−102 г. Потребление 55 г жиров в сутки ниже нормы.

Правильный ответ указан под номером 3.

Ответ: 3

15. На рисунке изображён график изменения атмосферного давления в городе Энске за три дня. По горизонтали указаны дни недели, по вертикали - значения атмосферного давления в миллиметрах ртутного столба. Укажите наименьшее значение атмосферного давления в среду.

Решение.

Из графика видно, что наименьшее значение давления в среду составляет 753 мм.рт.ст.

Ответ: 753

16. Кисть, которая стоила 240 рублей, продаётся с 25%-й скидкой. При покупке двух таких кистей покупатель отдал кассиру 500 рублей. Сколько рублей сдачи он должен получить?

Решение.

Стоимость одной кисти равна 240 − 0,75 · 240 = 180 руб. Стоимость 2 кистей равна 360 руб. Значит, сдача с 500 рублей составит 140 рублей.

Ответ: 140.

Ответ: 140

17.Девочка прошла от дома по направлению на запад 500 м. Затем повернула на север и прошла 300 м. После этого она повернула на восток и прошла еще 100 м. На каком расстоянии (в метрах) от дома оказалась девочка?

Решение.

Девочка идёт вдоль прямоугольной трапеции, в которой длина боковой стороны, не перпендикулярной основаниям, есть искомое расстояние, которое можно найти по теореме Пифагора:

Ответ: 500.

Ответ: 500

18. На рисунке изображена зависимость температуры (в градусах Цельсия) от высоты (в метрах) над уровнем моря.

Определите по графику, на сколько градусов температура на высоте 200 метров выше, чем на высоте 650 метров.

Решение.

Температура на высоте 200 м составила 11 градусов, на высоте 650 м - 8 градусов. Следовательно, температура на высоте 200 м на 4 градуса выше температуры на высоте 650 м.

Ответ: 4.

Ответ: 4

19. В среднем из каждых 80 поступивших в продажу аккумуляторов 76 аккумуляторов заряжены. Найдите вероятность того, что купленный аккумулятор не заряжен

Решение.

Всего было подготовлено 25 билетов. Среди них 16 двузначных. Таким образом, вероятность взять билет с двухзначным номером равна

Ответ: 0,64

20. В фирме «Родник» стоимость (в рублях) колодца из железобетонных колец рассчитывается по формуле , где n - число колец, установленных при рытье колодца. Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость колодца из 5 колец.

Часть 2

Решение.

Подставим в формулу значение переменной :

Ответ: 26 500.

Ответ: 26500

21. Решите неравенство

Решение.

Умножим на 6, приведём подобные слагаемые и разложим на множители:

Произведение двух сомножителей будет меньше нуля, если сомножители имеют разный знак (см. рисунок). Таким образом, получаем ответ:

Ответ:

22. Туристы проплыли на лодке от лагеря некоторое расстояние вверх по течению реки, затем причалили к берегу и, погуляв 3 часа, вернулись обратно через 6 часов от начала путешествия. На какое расстояние от лагеря они отплыли, если скорость течения реки равна 3 км/ч, а собственная скорость лодки 9 км/ч?

Решение.

Пусть S км - расстояние, на которое от лагеря отплыли туристы. Зная, что скорость течения реки - 3 км/ч, а скорость лодки - 9 км/ч, найдём, что время, за которое они проплыли туда и обратно, составляет Учитывая, что они были на стоянке 3 часа и вернулись через 6 часов после отплытия можно составить уравнение:

Отсюда S = 12 км.

Ответ: 12 км.

23.Парабола проходит через точки A(0; - 6), B( - 5; - 1), C(1; - 1). Найдите координаты её вершины.

Решение.

Одна из возможных форм записи уравнения параболы в общем виде выглядит так: Координата вершины параболы находится по формуле Координату вершины параболы найдётся подстановкой в уравнение параболы. Таким образом, задача сводится к нахождению коэффициентов и Подставив координаты точек, через которые проходит парабола, в уравнение параболы и получим систему из трёх уравнений:

Найдём координаты вершины:

Ответ: (−1; −9).

24.Периметр прямоугольника равен 30, а диагональ равна 14. Найдите площадь этого прямоугольника.

Решение.

Пусть одна из сторон прямоугольника равна . Тогда другая сторона равна , а площадь . По теореме Пифагора:

Значит, искомая площадь равна 14,5.

Ответ: 14,5.

25. C 5 . В параллелограмме АВСD точки E, F, K и М лежат на его сторонах, как показано на рисунке, причём СF = АM, BE = DK. Докажите, что EFKM - параллелограмм.

Решение.

Противоположные стороны параллелограмма равны и по условию следовательно:

В параллелограмме противоположные углы равны: , Рассмотри треугольники и , в этих треугольниках , , следовательно эти треугольники равны, а значит, . Аналогично равны треугольники и а следовательно равны отрезки и Противоположные стороны четырехугольника равны, следовательно, по признаку параллелограмма, этот четырёхугольник - параллелограмм.

26. C 6 . Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 10. Окружность радиуса 9 с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается основания AC в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC

Вариант 7

Часть1

1.Найдите значение выражения .

Решение.

Вынесем общий множитель за скобки:

Ответ: −3.

Ответ: -3

2. Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу . Какая это точка?

1)точкаM 2)точкаN

3)точкаP 4) точка Q

Решение.

Возведём в квадрат числа 6, 7, 8:

Число 45 лежит между числами 36 и 49 и находится ближе к числу 49, поэтому соответствует точке N.

Правильный ответ указан под номером 2.

Ответ: 2

3 Какое из чисел больше: или?

1)

2)

3)

Решение.

В силу цепочки неравенств

первое число меньше второго.

Правильный ответ указан под номером 1.

Ответ: 1

4.Найдите корни уравнения .

Если корней несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.

Решение.

Последовательно получаем:

Ответ: -0,25; 0,25.

Ответ: -0,25; 0,25

5.На одном из рисунков изображен график функции . Укажите номер этого рисунка.

1)

2)

3)

4)

Решение.

График функции проходит через точку (1; 0). Этому условию удовлетворяет только график, изображённый на рисунке 4.

Таким образом, верный ответ указан под номером 4.

Ответ: 4

6. Дана арифметическая прогрессия: 33; 25; 17; … Найдите первый отрицательный член этой прогрессии.1)

2)

3)

4)

Решение.

Для члена имеем: По формуле нахождения n-го члена арифметической прогрессии имеем:

Первое число, которое удовлетворяет этому условию, число 6. Следовательно, первым отрицательным членом прогрессии является

Таким образом, правельный ответ указан под номером 1.

Ответ: 1.

Ответ: 1

7.Найдите значение выражения при .

Решение.

Упростим выражение:

Найдем значение выражения при

Ответ: 2,5.

Ответ: 2,5

8.На каком рисунке изображено множество решений неравенства ?

1)1 2)2 3)3 4) 4

Решение.

Решим данное неравенство: ответ к этому неравенству: (−∞; -3]U[; +∞).

Неравенству соответствует второй график.

Ответ: 2.

Ответ: 2

9.Сумма трех углов выпуклого четырехугольника равна 300°. Найдите четвертый угол. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Так как сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360°, четвертый угол равен 360° − 300° = 60°.

Ответ: 60.

Ответ: 60

10.Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5. Угол при вершине, противолежащий основанию, равен 120°. Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника.

Решение.

Воспользуемся теоремой косинусов:

Здесь и - боковые стороны равнобедренного треугольника, - основание.

Диаметр описанной окружности вычислим по формуле:

Ответ: 10.

Ответ: 10

11. Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.

Решение.

Площадь трапеции вычисляется по формуле где и - основания, а - высота трапеции.

Ответ: 270.

Ответ: 270

12. Найдите тангенс угла С треугольника ABC , изображённого на рисунке.

Решение.

Тангенс угла в прямоугольном треугольнике - отношение противолежащего катета к прилежащему:

Ответ: 0,75.

Ответ: 0,75

13. Какие из следующих утверждений верны?

1) Около любого правильного многоугольника можно описать не более одной окружности.

2) Центр окружности, описанной около треугольника со сторонами, равными 3, 4, 5, находится на стороне этого треугольника.

3) Центром окружности, описанной около квадрата, является точка пересечения его диагоналей.

4) Около любого ромба можно описать окружность

Если утверждений несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.

Решение.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Около любого правильного многоугольника можно описать не более одной окружности.»- верно, около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.

2) «Центр окружности, описанной около треугольника со сторонами, равными 3, 4, 5, находится на стороне этого треугольника.» - верно, треугольник с такими сторонами является прямоугольным, таким образом, центр окружности лежит на гипотенузе.

3) «Центром окружности, описанной около квадрата, является точка пересечения его диагоналей.» - верно, диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам, таким образом, центром окружности является точка пресечения диагоналей.

4) «Около любого ромба можно описать окружность.» - неверно, окружность можно описать только вокруг выпуклого многоугольника у которого равны все углы и стороны.

Ответ: 1; 2; 3.

Ответ: 1; 2; 3

14. На диаграмме представлено распределение количества пользователей некоторой социальной сети по странам мира. Всего в этой социальной сети 9 млн пользователей.

Какое из следующих утверждений неверно?

1) Пользователей из Украины больше, чем пользователей из Беларуси.

2) Пользователей из Украины меньше четверти общего числа пользователей.

3) Пользователей из Беларуси больше, чем пользователей из Эстонии.

4) Пользователей из России больше 8 миллионов.

Решение.

Проверим каждое утверждение:

1) Из диаграммы видно, что число пользователей из Украины больше, чем пользователей из Беларуси. Первое утверждение верно.

2) Из диаграммы видно, что пользователей из Украины меньше четверти общего числа пользователей. Второе утверждение верно.

3) Из диаграммы видно, что пользователей из Беларуси больше, чем пользователей из "других стран", а значит, и больше, чем пользователей из Эстонии. Третье утверждение верно.

4) Из диаграммы видно, что пользователей из России примерно две трети от общего числа пользователей. Всего пользователей 9 млн, значит пользователей из России около 6 млн, что меньше 8 млн. Четвёртое утверждение неверно.

Неверным является утверждение под номером 4.

Ответ: 4

15.На графике показано, сколько человек зарегистрировалось с 25 декабря 2012 года по 13 февраля 2013 года в качестве участников конференции. По горизонтали указаны числа месяцев, а по вертикали - количество человек.

Во сколько раз возросло количество зарегистрировавшихся с 4 января по 3 февраля?

Решение.

Из графика видно, что число зарегестрировавшихся на4 января состваляло 30 человек, а 3 февраля - 270. Следовательно, число зарегистрировавшихся возросло в 270 : 30 = 9 раз.

Ответ: 9.

Ответ: 9

16. На пост председателя школьного совета претендовали два кандидата. В голосовании приняли участие 120 человек. Голоса между кандидатами распределились в отношении 3:5. Сколько голосов получил победитель?

Решение.

Пусть x голосов приходится на одну часть, тогда 5x приходится на второго кандидата, а 3x - на первого. Зная, что в голосовании участвовало 120 человек составим уравнение:

Таким образом, победитель получил:

.

Ответ: 75.

Ответ: 75

17. Какой угол (в градусах) описывает минутная стрелка за 10 мин?

Решение.

Часовыми делениями циферблат разбит на 12 круговых секторов. Угол каждого из них равен 360° : 12 = 30°. Между минутной и часовой стрелкой два часовых деления. Они образуют угол 60°.

Ответ: 60.

Ответ: 60

18. Рок-магазин продаёт значки с символикой рок-групп. В продаже имеются значки пяти цветов: чёрные, синие, зелёные, серые и белые. Данные о проданных значках представлены на столбчатой диаграмме.

Определите по диаграмме, значков какого цвета было продано меньше всего. Сколько примерно процентов от общего числа значков составляют значки этого цвета?

1) 5 2) 10 3) 15 4) 20

Решение.

Из диаграммы видно, что было продано меньше всего значков зелёного цвета в количестве 150 штук. Определим сколько процентов от общего числа составляют зелёные значки:

Значит зелёных значков примерно 15% от общего числа.

Ответ: 3.

Ответ: 3

19. На тарелке лежат пирожки, одинаковые на вид: 4 с мясом, 8 с капустой и 3 с яблоками. Петя наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что пирожок окажется с яблоками

Решение.

Всего было подготовлено 25 билетов. Среди них 16 двузначных. Таким образом, вероятность взять билет с двухзначным номером равна

Ответ: 0,64

20. Из закона всемирного тяготения

выразите массу и найдите её величину (в килограммах), если и гравитационная постоянная

Часть 2

Решение.

Выразим массу: Подставим значения переменных:

Ответ: 1000.

Ответ: 1000

21. Решите неравенство

Решение.

Умножим на 10, приведём подобные слагаемые и разложим на множители:

Произведение двух сомножителей будет меньше нуля, если сомножители имеют разный знак (см. рисунок). Таким образом, получаем ответ:

Ответ:

22. Железнодорожный состав длиной в 1 км прошёл бы мимо столба за 1 мин., а через туннель (от входа локомотива до выхода последнего вагона) при той же скорости - за 3 мин. Какова длина туннеля (в км)?

Решение.

Поезд проходит через туннель за 3 минуты, при этом за одну минуту поезд проходит мимо выхода из туннеля, следовательно, от входа локомотива в туннель до выхода проходит 2 минуты. Мимо столба поезд длиной 1 км проходит за 1 минуту, поэтому его скорость равна 1 км/мин. Значит, за 2 минуты поезд пройдет 2 км, поэтому длина туннеля равна 2 км.

Ответ: 2.

23.Постройте график функции и определите, при каких значениях прямая имеет с графиком ровно три общие точки.

Решение.

Раскрывая модуль, получим, что график функции можно представить следующим образом:

Этот график изображён на рисунке:

Из графика видно, что прямая имеет с графиком функции ровно три общие точки при и

Ответ: 0; 4.

24. Диагонали и трапеции пересекаются в точке . Площади треугольников и равны соответственно и . Найдите площадь трапеции.

Решение.

Заметим, что площади двух треугольников, общей вершиной которых является точка пересечения диагоналей трапеции, а основаниями - боковые стороны, равны. Это следует, например, из того, что площади треугольников и равны (поскольку эти треугольники имеют общее основание , и их высоты, проведенные к этому основанию, равны как высоты трапеции), а . По условию, , поэтому и являются не боковыми сторонами, а основаниями трапеции. Тогда треугольники и подобны по двум углам, и отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия . Поэтому . Поскольку треугольники и имеют общую высоту, проведённую из вершины , то отношение их площадей равно отношению их оснований, т. е. . Значит, . Поэтому и . Но тогда .

Ответ: .

25.В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Докажите, что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника BOC.

Решение.

Проведём высоту так, чтобы она проходила через точку Углы и равны друг другу как вертикальные. Вспомним также, что диагонали делятся точкой пересечения пополам, следовательно, Рассмотрим треугольники и , они прямоугольные, имеют равные углы и равные гипотенузы, следовательно эти треугольники равны, а значит равны отрезки и . Таким образом,

Площадь параллелограмм равна а площадь треугольника

26. Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 10. Окружность радиуса 8 с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается основания AC в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

Вариант 8

Часть1

1. Найдите значение выражения .

Решение.

Найдем значение выражения:

Ответ: 81.

Ответ: 81

2. Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу Какая это точка?

1)A 2)B 3)C 4) D

Решение.

Приведём все дроби к одному знаменателю. Получим:

Поскольку точка С соответствует числу

Правильный ответ указан под номером 3.

Ответ: 3

3. Расположите в порядке возрастания числа: ; ; 6.

1) 2)

3) 4)

Решение.

Возведём каждое из чисел в квадрат:

Сравним квадраты заданных чисел:

Следовательно,

Правильный ответ указан под номером 2.

Ответ: 2

4.Найдите корни уравнения .

Если корней несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.

Решение.

Последовательно получаем:

Ответ: −4,5.

Ответ: -4,5

5.Найдите значение по графику функции , изображенному на рисунке.

Решение.

Парабола пересекает ось ординат в точке с ординатой 1, поэтому Тем самым, уравнение параболы принимает вид Парабола проходит через точки (1; 3) и (−2; 3). Отсюда имеем:

Ответ:

Ответ: 1

6. Арифметическая прогрессия задана формулой n-го члена и известно, что . Найдите пятый член этой прогрессии.

Решение.

Найдём разность прогрессии:

Тогда для пятого члена прогрессии

Ответ: 11.

Ответ: 11

7. Упростите выражение и найдите его значение при . В ответ запишите полученное число.

Решение.

Упростим выражение:

Найдем значение выражения при

Ответ: 4.

Ответ: 4

8.Решите неравенство .

1) 2)

3) 4)

Решение.

Решим неравенство методом интервалов:

Произведение равно нулю, если хотя бы один из его сомножителей равен нулю.

Правильный ответ указан под номером 2.

Ответ: 2

9.Разность углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 40°. Найдите меньший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Пусть меньший угол равен тогда больший угол равен

Поскольку сумма односторонних углов равна 180°, имеем:

Таким образом, наименьший угол параллелограмма равен 70°.

Ответ: 70.

Ответ: 70

10. Найдите , если градусные меры дуг и равны 152° и 80° соответственно.

Решение.

Так как вписанный угол равен половине дуги на которую он опирается, имеем , а . В треугольнике ABC , .

Ответ: 64.

Ответ: 64

11. Основания трапеции равны 18 и 12, одна из боковых сторон равна , а угол между ней и одним из оснований равен 135°. Найдите площадь трапеции.

Решение.

Пусть дана трапеция ABCD, где AD = 18, BC = 12, AB = , а Опустим перпендикуляр BH на сторонуAD. Угол ABH равен: Таким образом треугольник ABH является прямоугольным и равнобедренным. Найдем высоту BK:

Площадь трапеции равна полусумме оснований на высоту:

Ответ: 60.

Ответ: 60

12. Найдите тангенс угла AOB, изображенного на рисунке.

Решение.

Опустим перпендикуляр BH на отрезок OA и рассмотрим прямоугольный треугольник OBH:

Ответ: 2.

Ответ: 2

13.Какие из следующих утверждений верны?

1) В треугольнике ABC, для которого , , , сторона BC - наименьшая.

2) В треугольнике ABC, для которого AB = 4, BC = 5, AC = 6, угол B - наибольший.

3) Внешний угол треугольника больше каждого внутреннего угла.

4) Треугольник со сторонами 1, 2, 3 не существует.

Если утверждений несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.

Решение.

Проверим каждое из утверждений.

1) «В треугольнике ABC, для которого , , , сторона BC - наименьшая.» - верно, в треугольнике напротив меньшего угла лежит меньшая сторона.

2) « В треугольнике ABC, для которого AB = 4, BC = 5, AC = 6, угол - наибольший.» - верно, в треугольнике против большей стороны лежит больший угол.

3) «Внешний угол треугольника больше каждого внутреннего угла.» - неверно, внешний угол треугольника может быть больше внутреннего угла треугольника, например в случае тупоугольного треугольника.

4) «Треугольник со сторонами 1, 2, 3 не существует.» - верно, каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Ответ: 1; 2; 4.

Ответ: 1; 2; 4

14.

Учитель математики подвел итоги контрольной работы по алгебре среди учащихся 9-х классов. Результаты представлены на диаграмме. Сколько примерно учащихся получили отметку «4» и «5», если всего в этих классах учатся 200 учащихся?

1) 120

2) 50

3) 60

4) 140

Решение.

Определим доли учащихся, получивших оценки «4» и «5» по диаграмме. Оценку «5» получила примерно половина учащихся, что составляет 100 человек. Доля получивших «4» составляет примерно половину от оставшихся учащихся то есть 50 человек. Таким образом, оценки «4» и «5» получило около 150 человек. Наиболее близкий вариант ответа - 140 человек.

Правильный ответ указан под номером 4.

Ответ: 4

15. Мощность отопителя в автомобиле регулируется дополнительным сопротивлением, которое можно менять, поворачивая рукоятку в салоне машины. При этом меняется сила тока в электрической цепи электродвигателя - чем меньше сопротивление, тем больше сила тока и тем быстрее вращается мотор отопителя. На рисунке показана зависимость силы тока от величины сопротивления. На оси абсцисс откладывается сопротивление (в Омах), на оси ординат - сила тока в Амперах. Ток в цепи электродвигателя уменьшился с 8 до 6 Ампер. На сколько Омов при этом увеличилось сопротивление цепи?

Решение.

Из графика видно, что при уменьшении тока с 8 до 6 Ампер, сопротивление увеличилось на 0,5Ом.

Ответ: 0,5.

Ответ: 0,5

16.Стоимость проезда в пригородном электропоезде составляет 198 рублей. Школьникам предоставляется скидка 50%. Сколько рублей стоит проезд группы из 4 взрослых и 12 школьников?

Решение.

Стоимость поездки составляет: руб.

Ответ: 1980.

Ответ: 1980

17.На какой угол (в градусах) поворачивается минутная стрелка пока часовая проходит ?

Решение.

Минутная стрелка движется в 12 раз быстрее часовой, поэтому она пройдёт 24°.

Примечание.

Существенно, что циферблат предполагается 12-часовым.

Ответ: 24.

Ответ: 24

18.На диаграмме представлены семь крупнейших по площади территории (в млн км²) стран мира.Какое из следующих утверждений верно?

1) Площадь Австралии больше площади Китая.

2)Площадь России больше площади Бразилии более чем вдвое.

3) Площадь территории Индии составляет 4 млн км²

4) Аргентина входит в семерку крупнейших по площади территории стран мира.

В ответе запишите номер выбранного утверждения.

Решение.

Обратим внимание на второй вариант ответа:

Очевидно, что площадь России больше площади Бразилии более чем вдвое.

Ответ: 2.

Ответ: 2

19.В лыжных гонках участвуют 13 спортсменов из России, 2 спортсмена из Норвегии и 5 спортсменов из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен из России.

Решение.

-----------------

Дублирует 315161

Всего спортсменов 13 + 2 + 5 = 20 человек. Поэтому вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен из России равна

Ответ: 0,65.

Ответ: 0,65

20.Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия (t °C) в шкалу Фаренгейта (t °F), пользуются формулой F = 1,8C + 32 , где C - градусы Цельсия, F - градусы Фаренгейта. Какая температура по шкале Фаренгейта соответствует 111° по шкале Цельсия?

Часть 2

Решение.

Подставим в формулу значение переменной :

Ответ: 231,8.

Ответ: 231,8

21.Сократите дробь , если .

Решение.

Имеем:

Ответ: 1.

22. Найдите целое число, если из двух следующих утверждений верно только одно: 1) ; 2) .

Решение.

Если верно утверждение 1, то верно и утверждение 2, а это противоречит тому, что из этих двух утверждений верно только одно. Следовательно, верно только утверждение 2. Тогда . Этому неравенству удовлетворяет только одно целое число: .

Ответ: −17.

23.При каких отрицательных значениях прямая имеет с параболой ровно одну общую точку? Найдите координаты этой точки и постройте данные графики в одной системе координат.

Решение.

Для того, чтобы прямая и парабола имели одну общую точку необходимо, чтобы дискриминант равнялся нулю. Дискриминант равен: Он обращается в ноль при или По условию необходимо отрицательное , таким образом, Построим графики функций:

Найдем точку пересечения параболы с прямой:

таким образом

Ответ: При k=-2; Парабола пересекает прямую в точке

24.В трапеции ABCD основание AD вдвое больше основания ВС и вдвое больше боковой стороны CD. Угол ADC равен 60°, сторона AB равна 2. Найдите площадь трапеции.

Решение.

Опустим перпендикуляры BH и CK на большее основания AD. По условию тогда Катет, лежащий напротив в угла в равен половине гипотенузы, тогда Так как по условию, а HK=x, то Треугольники ABH и DCK равны по двум катетам, таким образом, трапеция ABCD- равнобедренная. Таким образом, АВ=2, AD=4, BH=. Площадь трапеции равна полусумме оснований на высоту, имеем:

Ответ:

25 В остроугольном треугольнике ABC точки A, C, центр описанной окружности O и точка пересечения высот H лежат на одной окружности. Докажите, что угол ABC равен 60°

Решение.

В треугольнике ABC имеем а

Таким образом, значит,

26. Так как биссектриса острого угла прямоугольного треугольника не может быть перпендикулярна , то биссектриса угла и серединный перпендикуляр к имеют ровно одну общую точку.

Вариант 9

Часть1

1. Укажите выражения, значения которых равны 0,25.

Номера запишите в порядке возрастания без пробелов, запятых и других дополнительных символов.1)

2)

3)

4)

Решение.

Вычислим значение каждого выражения:

Ответ 13.

Ответ: 13

2. Известно, что Выберите наименьшее из чисел.

1) 2) 3) 4)

Решение.

По условию оба числа отрицательны, причём .

Поэтому числа и положительны, а числа и - отрицательны.

Рассмотрим предложенные варианты ответа и выберем наименьшее число:

1) Заметим, что числа и , а числа и , так как числа и по условию отрицательны.

2) Верно неравенство .

3) Так как по условию Поэтому - наименьшее из заданных чисел.

Правильный ответ указан под номером 1.

Ответ: 1

3.Какое из следующих выражений равно ?

1) 2) 3) 4)

Решение.

При делении степеней с одинаковыми основаниями их показатели вычитаются. Таким образом, правильный ответ под номером 1.

Ответ: 1

4.Найдите корни уравнения .

Если корней несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.

Решение.

Разложим на множители левую часть уравнения:

Ответ: −7; 0.

Ответ: -7; 0

5.На рисунке изображён график квадратичной функции y = f(x).

Какие из следующих утверждений о данной функции неверны? Запишите их номера в порядке возрастания.

1) Функция возрастает на промежутке (−∞;  −1].

2) Наибольшее значение функции равно 8.

3) f(−4) ≠ f(2).

Решение.

Определим вид графика каждой из функций:

A) уравнение параболы, ветви которой направлены вниз.

Б) уравнение гиперболы, ветви которой лежат во II и IV четвертях.

В) уравнение прямой, которая проходит через точки (0; −1) и (3; 0).

Таким образом, искомое соответствие: A - 1, Б - 4, В - 2.

Ответ: 142.

Ответ: 142

6. Арифметическая прогрессия задана условиями: . Найдите

Решение.

Определим разность арифметической прогрессии:

Член арифметической прогрессии с номером может быть найден по формуле

Необходимо найти , имеем:

Ответ: 32.

Ответ: 32

7.Упростите выражение и найдите его значение при . В ответе запишите найденное значение.

Решение.

Упростим выражение:

Найдем его значение при :

Ответ: 6.

Ответ: 6

8.Решите неравенство .

1) 2)

3) 4)

Решение.

Решим неравенство:

.

Произведение двух сомножителей будет больше нуля, если оба сомножителя имеют одинаковый знак.

Правильный ответ указан под номером 1.

Ответ: 1

9. \Углы, отмеченные на рисунке одной дугой, равны. Найдите угол α. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Углы 1 и 2 равны как вертикальные, поэтому

Ответ: 40.

Ответ: 40

10. Радиус окружности с центром в точке пересекает хорду в точке и перпендикулярен ей. Найдите длину хорды , если = 1 см, а радиус окружности равен 5 см.

Решение.

Найдем отрезок DO: . Так как OB перпендикулярен AC, то треугольник AOD - прямоугольный. По теореме Пифагора имеем: . Треугольник AOC - равнобедренный так как AO = OC = r, тогда AD = DC. Таким образом, .

Ответ: 6.

Ответ: 6

11. Основания трапеции равны 18 и 12, одна из боковых сторон равна 6, а тангенс угла между ней и одним из оснований равен . Найдите площадь трапеции.

Решение.

Пусть дана трапеция ABCD, где AD = 18, BC = 12, AB = 6, а Опустим перпендикуляр BH на сторону AD. Найдем синус угла. В прямоугольном треугольнике тангенс определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему. Имеем:

Таким образом, , где x - число.

По теореме Пифагора гипотенуза этого прямоугольного треугольника равна:

.

В прямоугольном треугольнике синус определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе. Имеем:

Найдем высоту BK:

Площадь трапеции равна полусумме оснований на высоту:

Ответ: 30.

Ответ: 30

12. На рисунке изображен ромб . Используя рисунок, найдите .

Решение.

Тангенс угла в прямоугольном треугольнике - отношение противолежащего катета к прилежащему. Треугольник OBC - прямоугольный, поэтому .

Ответ: 0,75.

Ответ: 0,75

13.Какие из следующих утверждений верны?

1) Окружность имеет бесконечно много центров симметрии.

2) Прямая не имеет осей симметрии.

3) Правильный пятиугольник имеет пять осей симметрии.

4) Квадрат не имеет центра симметрии.

Если утверждений несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.

Решение.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Окружность имеет бесконечно много центров симметрии.»- неверно, плоская фигура обладает

центральной симметрией, если она симметрична сама себе относительно центра

2) «Прямая не имеет осей симметрии.» - неверно, прямая имеет бесконечное число осей симметрии.

3) «Правильный пятиугольник имеет пять осей симметрии.» - верно, каждая ось симметрии любого правильного многоугольника с нечетным числом сторон проходит через вершину и середину противоположной стороны.

4) «Квадрат не имеет центра симметрии.» - неверно, центр симметрии квадрата является точка пересечения диагоналей.

Ответ: 3.

Ответ: 3

14.В таблице представлены цены (в рублях) на некоторые товары в трёх магазинах:

Лариса Кузьминична хочет купить 0,4 кг орехов, 5 плиток шоколада и 1,5 кг зефира. В каком магазине стоимость такой покупки будет наименьшей, если в «Камее» проходит акция: скидка 20% на орехи и зефир, а в «Машеньке» скидка 10% на все продукты?

1)В«Машеньке»

2)В«Лидии»

3)В«Камее»

4) Во всех магазинах стоимость покупки будет одинаковой

Решение.

Найдем стоимость покупки в каждом магазине и выберем наименьшую.

1) В магазине «Машенька» стоимость покупки без учета скидки будет равна:

600 · 0,4 + 5 · 45 + 1,5 · 144 = 681 рубль.

С учетом 10% скидки на все товары стоимость будет равна 612 руб. 90 коп.

2) В магазине «Лидия» стоимость покупки будет равна: 585 · 0,4 + 5 · 65 + 1,5 · 116 = 733 рубля.

3) В магазине «Камея» стоимость покупки с учетом 20% скидок на орехи и зефир будет равна:

660 · (1−0,2) · 0,4 + 53 · 5 + 225 · (1−0,2) · 1,5 = 746 руб. 20 коп.

Таким образом, наименьшая цена с учетом всех имеющихся скидок в магазине «Машенька».

Правильный ответ указан под номером 1.

Ответ: 1

15. На рисунке изображен график изменения силы тока при подключении цепи, содержащей реостат, к источнику тока. По вертикальной оси откладывается сила тока (в A), по горизонтальной - время (в сек). По рисунку определите силу тока через 6 секунд с момента подключения данной цепи.Решение.По графику видно, что через 6 секунд сила тока достигла значения в 4 ампера.

Ответ: 4.

Ответ: 4

Решение.

По графику видно, что 21 ноября курс доллара США к рублю был равен 31,4218.

Ответ: 31,4218.

Ответ: 31,4218

16. В начале года число абонентов телефонной компании «Север» составляло 200 тыс. чел., а в конце года их стало 210 тыс. чел. На сколько процентов увеличилось за год число абонентов этой компании?

Решение.

За год добавилось 210 − 200 = 10 тыс. абонентов, что составляет 10 : 200 = 0,05 или 5 %.

Ответ: 5.

Ответ: 5

17. В 60 м одна от другой растут две сосны. Высота одной 31 м, а другой - 6 м. Найдите расстояние (в метрах) между их верхушками.

Решение.

Две сосны являются основаниями прямоугольной трапеции. Не перпендикулярная основаниям боковая сторона является расстоянием между верхушками. Найдем это расстояние по теореме Пифагора:

Ответ: 65.

Ответ: 65

18. На диаграмме показано количество SMS, присланных слушателями за каждый час четырёхчасового эфира программы по заявкам на радио. Определите, на сколько больше сообщений было прислано за последние два часа программы по сравнению с первыми двумя часами этой программы.

Решение.

Из диаграмм видно, что наименьшая доля земель сельскохозяйственного назначения в Дальневосточном ФО. Таким образом, верный ответ указан под номером 4.

Ответ: 4

19. На экзамене 25 билетов, Сергей не выучил 3 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

Решение.

--------------

Дублирует 315140

Сергей выучил 25 − 3 = 22 вопроса. Поэтому вероятность того, что ему попадётся выученный билет равна

Ответ: 0,88.

Ответ: 0,88

20. Период колебания математического маятника (в секундах) приближенно можно вычислить по формуле , где - длина нити (в метрах). Пользуясь данной формулой, найдите длину нити маятника, период колебаний которого составляет 7 с

Часть 2

Решение.

Выразим длину маятника:

Подставляя, получаем:

Ответ: 12,25.

Ответ: 12,25

21.Упростите выражение .

Решение.

Имеем:

.

Ответ: 3.

22.Железнодорожный состав длиной в 1 км прошёл бы мимо столба за 1 мин., а через туннель (от входа локомотива до выхода последнего вагона) при той же скорости - за 3 мин. Какова длина туннеля (в км)?

Решение.

Поезд проходит через туннель за 3 минуты, при этом за одну минуту поезд проходит мимо выхода из туннеля, следовательно, от входа локомотива в туннель до выхода проходит 2 минуты. Мимо столба поезд длиной 1 км проходит за 1 минуту, поэтому его скорость равна 1 км/мин. Значит, за 2 минуты поезд пройдет 2 км, поэтому длина туннеля равна 2 км.

Ответ: 2.

23.Постройте график функций и определите, при каких значениях прямая имеет с графиком одну общую точку.

Решение.

Разложим числитель на множители:

.

При исходная функция принимает вид , её график - парабола, из которой выколоты точки (−3; 6) и (2; −4).

Прямая имеет с графиком ровно одну общую точку либо тогда, когда проходит через вершину параболы, либо тогда, когда пересекает параболу в двух точках, одна из которых - выколотая.

Вершина параболы имеет координаты (0,5; −6,25).

Поэтому = −6,25, = −4 или = 6.

Ответ: −6,25; −4; 6.

24.Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 18, а периметр равен 56.

Найдите площадь трапеции.

Решение.

Трапеция равнобедренная, значит,

и

Тогда,

Ответ:

25 В параллелограмме KLMN точка Е - середина стороны LM. Известно, что EK = EN. Докажите, что данный параллелограмм - прямоугольник.

Решение.

Треугольники KLE и MEN равны по трём сторонам, значит, углы KLE и NME равны. Так как их сумма равна 180°, то углы равны 90°. Такой параллелограмм - прямоугольник.

26. Диагонали четырёхугольника , вершины которого расположены на окружности, пересекаются в точке . Известно, что = 72°, = 102°, = 110°. Найдите .

Вариант 10

Часть1

1. Найдите значение выражения . Ответ округлите до десятых

Решение.

Найдём значения выражений:

Таким образом, верные выражения указаны под номерами 1, 3, 4.

Ответ: 134.

Ответ: 134|1,3,4

2. О числах и известно, что . Какое из следующих неравенств неверно?

1)

2)

3)

4)

Решение.

Проверим все варианты ответа:

1) - верно,

2) - верно,

3) - верно,

4) - неверно.

Неверным является неравенство 4.

Ответ: 4

3. В какое из следующих выражений можно преобразовать дробь ?

1) 2) 3) 4)

Решение.

Упростим дробь:

Правильный ответ указан под номером 3.

Ответ: 3

4. Найдите корни уравнения .

Если корней несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.

Решение.

Последовательно получаем:

Ответ: 0; 4.

Ответ: 0; 4

5.График какой из приведенных ниже функций изображен на рисунке?

1)

2)

3)

4)

Решение.

Ветви изображённой на рисунке гиперболы лежат во II и IV четверти, её график растянут вдоль оси ординат в два раза. Этим условиям соответствует вариант 1

Графику соответствует вариант под номером 1.

Ответ: 1

6. Дана геометрическая прогрессия (b_n), знаменатель которой равен 2, а . Найдите сумму первых шести её членов.

Решение.

Сумма n первых членов геометрической прогрессии даётся формулой

По условию, откуда получаем

Ответ: −47,25.

Ответ: -47,25

7. Упростите выражение и найдите его значение при .

Решение.

Упростим выражение:

Найдем значение выражения при :

Ответ: −0,5.

Ответ: -0,5

8.Решите неравенство .

1) 2)

3) 4)

Решение.

Решим неравенство:

Правильный ответ указан под номером 2.

Ответ: 2

9. Биссектрисы углов B и C треугольника ABC пересекаются в точке K. Найдите , если , а

Решение.

По определению биссектрис , а . В треугольнике BKC:

.

Ответ: 120.

Ответ: 120

10.В окружность вписан равносторонний восьмиугольник. Найдите величину угла .

Решение.

Угол ABC - вписанный и опирается на диаметр AC. Таки образом,

Ответ: 90.

Ответ: 90

11.В прямоугольном треугольнике один из катетов равен , острый угол, прилежащий к нему, равен 30°, а гипотенуза равна 20. Найдите площадь треугольника делённую на .

Решение.

Катет, лежащий против угла в 30° равен половине гипотенузы, таким образом, AC = 10. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, имеем:

Ответ: 50.

----------

В открытом банке иррациональный ответ.

Ответ: 50

12. На квадратной сетке изображён угол . Найдите .

Решение.

Опустим перпендикуляр BH. Треугольник ABH - прямоугольный. Таким образом,

Ответ: 3.

Ответ: 3

13.Какие из следующих утверждений верны?

1) Если противоположные углы выпуклого четырехугольника равны, то этот четырехугольник - параллелограмм.

2) Если сумма трех углов выпуклого четырехугольника равна 200°, то его четвертый угол равен 160°.

3) Сумма двух противоположных углов четырехугольника не превосходит 180°.

4) Если основания трапеции равны 4 и 6, то средняя линия этой трапеции равна 10.

Если утверждений несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.

Решение.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Если противоположные углы выпуклого четырехугольника равны, то этот четырехугольник - параллелограмм.» - верно, если в четырехугольнике противоположные углы равны, то этот четырехугольник - параллелограмм.

2) «Если сумма трех углов выпуклого четырехугольника равна 200°, то его четвертый угол равен 160°.» - верно, Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360°.

3) «Сумма двух противоположных углов четырехугольника не превосходит 180°.» - неверно, сумма противоположных углов четырехугольника больше 180°.

4) «Если основания трапеции равны 4 и 6, то средняя линия этой трапеции равна 10.» - неверно, средняя линия трапеции равна полусумме оснований.

Ответ: 1; 2.

Ответ: 1; 2

14. В таблице приведены нормативы по бегу на лыжах на 1 км для 10 класса.

Какую отметку получит девочка, пробежавшая на лыжах 1 км за 6 минут 15 секунд?

1)Неудовлетворительно 2)«4»

3)«3» 4) «5»

Решение.

Время пробега дистанции в 1 км (для девочек) можно разделить на следующие категории:

1) 6 минут и менее - получение оценки «5»;

2) от 6 минут до 6 минут 30 секунд - получение оценки «4»;

3) от 6 минут 30 секунд до 7 минут 10 секунд - получение оценки «3»;

4) 7 минут 10 секунд и более - получение оценки «неудовлетворительно».

Значение 6 минут 15 секунд относится ко второму и соответствует получению оценки «4».

Правильный ответ указан под номером 2.

Ответ: 2

15 На графике показан процесс разогрева двигателя легкового автомобиля. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее от запуска двигателя, на оси ординат - температура двигателя в градусах Цельсия. Определите по графику, сколько минут двигатель нагревался до температуры 50 °C с момента запуска двигателя.

Решение.

По графику видно, что двигатель нагревался до температуры 50 °C в течение трёх минут.

Ответ: 3.

Ответ: 3

16. Клубника стоит 180 рублей за килограмм, а клюква - 250 рублей за килограмм. На сколько процентов клубника дешевле клюквы?

Решение.

Клубника дешевле клюквы на 250 − 180 = 70 рублей. Разделим 70 на 250:

Значит, клубника дешевле клюквы на 28%.

Ответ: 28.

Ответ: 28

17. От столба высотой 12 м к дому натянут провод, который крепится на высоте 3 м от земли (см. рисунок). Расстояние от дома до столба 12 м. Вычислите длину провода.

Решение.

Проведём отрезок, параллельный горизонтальной прямой, как показано на рисунке. Таким образом, задача сводится к нахождению гипотенузы прямоугольного треугольника катеты которого равны 9 см и 12 см. По теореме Пифагора для искомой гипотенузы имеем:

Ответ: 15.

Ответ: 15

18.156 учащимся восьмых классов некоторой школы была предложена контрольная работа по алгебре из 5 заданий. По результатам составили таблицу, в которой указали число учащихся, выполнивших одно, два три и т.д. заданий:Сколько человек получили оценку выше «3», если критерии выставления оценок определялись по таблице?

Решение.

По таблице мы видим, что оценку выше «3» получают учащиеся, выполнившие более трех заданий.

Таким образом оценку выше «3» получили 34+46=80 учащихся.

Ответ: 80.

Ответ: 80

19.В чемпионате по футболу участвуют 16 команд, которые жеребьевкой распределяются на 4 группы: A, B, C и D. Какова вероятность того, что команда России не попадает в группу A?

Решение.

Каждая команда попадет в группу с вероятностью 0,25. Таким образом, вероятность того, что команда не попадает в группу равна 1-0,25=0,75.

Ответ: 0,75

20. В фирме «Чистая вода» стоимость (в рублях) колодца из железобетонных колец рассчитывается по формуле , где - число колец, установленных при рытье колодца. Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость колодца из 11 колец.

Часть 2

Решение.

Подставим количество колец в формулу для расчета стоимости. Имеем:

Ответ: 50 500.

Ответ: 50500

21. Сократите дробь .

Решение.

Используем свойства степеней:

Ответ: 96.

22. Расстояние между городами А и В равно 490 км. Из города А в город В со скоростью 55 км/ч выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города В выехал со скоростью 90 км/ч второй автомобиль. На каком расстоянии от города А автомобили встретятся?

Решение.

За первый час пути автомобиль, выехавший из города А, проехал 55 километров и расстояние от него до города В стало равным 435 км. Далее, скорость сближения двух автомобилей равна 145 км/ч, значит, они встретятся через 3 часа после выезда второго автомобиля. Таким образом, первый автомобиль до встречи находился в пути 4 часов, и проехал за это время 220 километров.

Ответ: 220 км.

23.Известно, что парабола проходит через точку и её вершина находится в начале координат. Найдите уравнение этой параболы и вычислите, в каких точках она пересекает прямую .

Решение.

Уравнения параболы, вершина которой находится в начале координат: . Парабола проходит через точку , поэтому , откуда . Уравнение параболы: . Абсциссы точек пересечения с прямой найдем из уравнения .

Ответ: .

24. Найдите площадь выпуклого четырёхугольника с диагоналями 8 и 5, если отрезки, соединяющие середины его противоположных сторон, равны.

Решение.

Пусть - данный четырёхугольник, - середина стороны - середина стороны - середина стороны - середина стороны . Проведём диагонали и и отрезки и , последовательно соединяющие середины сторон четырёхугольника. Тогда, по свойству средней линии треугольника, отрезки и параллельны диагонали и равны её половине, а отрезки и параллельны диагонали и равны её половине. Поэтому - параллелограмм. А так как, по условию задачи, его диагонали и равны, то - прямоугольник, и угол - прямой. Отсюда следует, что и угол между диагоналями и тоже прямой, и, следовательно, площадь четырёхугольника будет равна половине произведения его диагоналей, то есть

Ответ: 20.

25 Дана равнобедренная трапеция . Точка лежит на основании и равноудалена от концов другого основания. Докажите, что - середина основания .

Решение.

Треугольник равнобедренный. Поэтому .

В равнобедренной трапеции .

Отсюда следует, что . Значит, треугольники и равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, .

26.Площадь треугольника равна 90. Биссектриса пересекает медиану в точке , при этом : = 2 : 1. Найдите площаль четырёхугольнка .

Вариант 11

Часть1

1. Каждому выражению поставьте в соответствие его значение: А.

Б.

В.

1) 3,2

2) 1,75

3) 0,45

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:А

Б

В

Решение.

Найдём значения выражений:

Искомое соответствие: 1, 3, 2.

Ответ: 132.

Ответ: 132|1,3,2

2. На координатной прямой отмечены числа и :

Какое из следующих утверждений неверно?

1) 2)

3) 4)

Решение.

Заметим, что Проверим все варианты ответа:

1) неверно

2) - верно

3) - верно, т. к.

4) верно

Правильный ответ указан под номером 1.

Ответ: 1

3 Найдите значение выражения при

1)−125 2)125 3) 4)

Решение.

Упростим выражение используя формулы , и :

Подставим значение :

Ответ: 2.

Ответ: 2

4. Найдите корни уравнения .

Если корней несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.

Решение.

Разложим на множители левую часть уравнения:

Ответ: 0; 5.

Ответ: 0; 5

5.Найдите значение по графику функции , изображенному на рисунке.

1)

2)

3)

4)

Решение.

Абсцисса вершины параболы равна −1, поэтому откуда Парабола пересекает ось ординат в точке с ординатой 3, поэтому Тем самым, уравнение параболы принимает вид Поскольку парабола проходит через точку (−1; 2), имеем:

Верный ответ указан под номером 2.

Ответ: 2.

Ответ: 2

6.Дана арифметическая прогрессия Найдите .

Решение.

Определим разность арифметической прогрессии:

Член арифметической прогрессии с номером может быть найден по формуле

Необходимо найти , имеем:

Ответ: 23.

Ответ: 23

7.Упростите выражение , найдите его значение при . В ответ запишите полученное число.

Решение.

Упростим выражение:

Найдём значение выражения при :

Ответ: 8.

Ответ: 8

8.На каком рисунке изображено множество решений неравенства

1)

2)

3)

4)

Решение.

Решим неравенство: Корнями уравнения являются числа 1 и 3. Поэтому

Множество решений неравенства изображено на рис. 1.

Правильный ответ указан под номером 1.

Ответ: 1

9.Один угол параллелограмма в два раза больше другого. Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Пусть x - меньший угол параллелограмма, а 2x - больший угол, x + 2x + x + 2x = 6x - сумма углов параллелограмма, откуда x = 60°.

Таким образом меньший угол параллелограмма равен 60°.

Ответ: 60.

Ответ: 60

10.В окружности с центром и - диаметры. Центральный угол равен 112°. Найдите вписанный угол . Ответ дайте в градусах.

Решение.

Так как угол AOD - центральный, то по свойству центрального угла дуга . Дуга так как AC - диаметр, тогда дуга . Угол DOC - центральный, таким образoм, по свойству центрального угла. Углы AOB и COD равны как вертикальные. Так как является центральным, а - вписанным и они опираются на одну дугу, то по свойству вписанного угла .

Ответ: 34.

Ответ: 34

11. В ромбе сторона равна 10, одна из диагоналей - 10, а угол, из которого выходит эта диагональ, равен . Найдите площадь ромба деленную на

Решение.

Площадь ромба равна произведению сторон на синус угла между ними, имеем:

Ответ:50.

Примечание:

Можно найти вторую диагональ по теореме косинусов и вычислить площадь ромба как половина произведения диагоналей.

Ответ: 50

12. На рисунке изображена трапеция . Используя рисунок, найдите .

Решение.

Тангенс угла в прямоугольном треугольнике - отношение противолежащего катета к прилежащему. Треугольник - прямоугольный, поэтому

Вычислим по теореме Пифагора длину гипотенузы :

Тогда

Ответ: 0,8.

Ответ: 0,8

13.Какие из следующих утверждений верны?

1) Если угол равен 45°, то вертикальный с ним угол равен 45°.

2) Любые две прямые имеют ровно одну общую точку.

3) Через любые три точки проходит ровно одна прямая.

4) Если расстояние от точки до прямой меньше 1, то и длина любой наклонной, проведенной из данной точки к прямой, меньше 1.

Если утверждений несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.

Решение.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Если угол равен 45°, то вертикальный с ним угол равен 45°» - верно, по теореме о вертикальных углах.

2) «Любые две прямые имеют ровно одну общую точку» - неверно, утверждение справедливо только для пересекающихся прямых.

3) «Через любые три точки проходит ровно одна прямая» - неверно, не всегда через три точки можно провести одну прямую.

4) «Если расстояние от точки до прямой меньше 1, то и длина любой наклонной, проведенной из данной точки к прямой, меньше 1.» - неверно, перпендикуляр, проведённый из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведённой из той же точки к этой прямой.

Ответ: 1.

Ответ: 1

14. Учащимся сочинских школ был задан вопрос: «По какому виду спорта вы хотели бы посетить соревнования на Зимней олимпиаде в Сочи?». Их ответы можно увидеть на диаграмме. Сколько примерно учащихся хотели бы посетить соревнования и по хоккею, и по санному спорту, если всего в опросе приняли участие 400 школьников?

1)180 2)240 3)120 4) 200

Решение.

Из диаграммы видно, что доля учащихся, которые хотели бы посетить соревнования по санному спорту, от общего числа учащихся, доля учащихся, которые хотели посетить соревнования по хоккею составляет от общего числа учащихся. Их общее количество равно · 400 + · 400 = 150 человек. Наиболее близкий к этому вариант ответа - 180 человек.

Правильный ответ указан под номером 1.

Ответ: 1

15.На рисунке изображён график изменения атмосферного давления в городе Энске за три дня. По горизонтали указаны дни недели, по вертикали - значения атмосферного давления в миллиметрах ртутного столба. Укажите наименьшее значение атмосферного давления во вторник.

Решение.

По графику видно, что наименьшее значение атмосферного давления во вторник было равно 751 мм рт. ст.

Ответ: 751.

Ответ: 751

16. В понедельник некоторый товар поступил в продажу по цене 1000 р. В соответствии с принятыми в магазине правилами цена товара в течение недели остается неизменной, а в первый день каждой следующей недели снижается на 20% от предыдущей цены. Сколько рублей будет стоить товар на двенадцатый день после поступления в продажу?

Решение.

Как известно, в неделе 7 дней. Значит, 12 день выпадает на вторую неделю, когда цена снижается на 20%, таким образом, товар будет стоить 80%. Имеем:

Ответ: 800.

Ответ: 800

</ 17. На карте показан путь Лены от дома до школы. Лена измерила длину каждого участка и подписала его. Используя рисунок, определите, длину пути (в м), если масштаб 1 см: 10000 см.

Решение.

Путь по карте равен 4 + 2 + 4 = 10 см. Так как масштаб равен 1 : 10000, Лена прошла 100 000 см или 1000 м.

Ответ: 1000.

Ответ: 1000

18. Рок-магазин продаёт значки с символикой рок-групп. В продаже имеются значки пяти цветов: чёрные, синие, зелёные, серые и белые. Данные о проданных значках представлены на столбчатой диаграмме.

Определите по диаграмме, значков какого цвета было продано меньше всего. Сколько примерно процентов от общего числа значков составляют значки этого цвета?

1) 5 2) 10 3) 16 4) 20

Решение.

Проверим каждое утверждение:

1) Более половины учащихся получили отметку «3» - верно.

2) Около половины учащихся отсутствовали на контрольной работе или получили отметку «2» - неверно.

3) Отметку «4» или «5» получила примерно шестая часть учащихся - верно.

4) Отметку «3», «4» или «5» получили более 100 учащихся - неверно.

Ответ: 1; 3

19. На экзамене 50 билетов, Руслан не выучил 5 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный билет.

Решение.

Количество выученных билетов равно 50-5=45. Поэтому ероятность попадания выученного билета будет равна отношению числа выученных билетов к общему числу экзаменационных билетов, то есть .

Ответ:0,9.

Ответ: 0,9

20.Площадь параллелограмма можно вычислить по формуле , где - сторона параллелограмма, - высота, проведенная к этой стороне (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите высоту , если площадь параллелограмма равна ,а сторона равна 3,6 м.

Часть 2

Решение.

Выразим высоту из формулы площади параллелограмма:

Подставляя, получаем:

Ответ: 5.

Ответ: 5

21. Сократите дробь .

Решение.

Используем свойства степеней:

Ответ: 96.

22. Дима и Саша выполняют одинаковый тест. Дима отвечает за час на 12 вопросов теста, а Саша - на 22. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Дима закончил свой тест позже Саши на 75 минут. Сколько вопросов содержит тест?

Решение.

Пусть x - количество вопросов теста через. Тогда получаем:

откуда находим x = 33 .

Ответ: 33

23.Постройте график функции и определите, при каких значениях построенный график не будет иметь общих точек с прямой .

Решение.

Преобразуем функцию: при и . График - прямая без двух точек и . Прямая не будет иметь с построенной прямой общих точек, если она будет ей параллельна, т. е. при , и если она будет проходить через выколотые точки. Через первую из этих точек прямая проходит, если , а через вторую - если .

Ответ:

24. В треугольнике угол равен 56°, угол равен 64°, . Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

Решение.

Угол треугольника равен = 180° − − = 60°. Радиус описанной окружности равен .

Ответ: 3.

25. На стороне АС треугольника АВС выбраны точки D и E так, что отрезки AD и CE равны (см. рисунок). Оказалось, что отрезки BD и BE тоже равны. Докажите, что треугольник АВС - равнобедренный.

Решение.

Так как по условию BD=BE, то треугольник BDE является равнобедренным. Пусть угол при основании этого треугольника равен x, тогда Треугольники BEC и BDA равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому AB=BC и треугольник ABC - равнобедренный.

26. В треугольнике биссектриса угла делит высоту, проведённую из вершины , в отношении , считая от точки . Найдите радиус окружности, описанной около треугольника , если .

Вариант 12

Часть1

1.Укажите наибольшее из следующих чисел: 1)

2)

3)

4)

Решение.

По правилу сравнения дробей Дробь По правилу сравнения дробей и

Таким образом, верный ответ указан под номером 2.

Ответ: 2

2.Известно, что . Выберите наибольшее из чисел.

1) 2) 3) 4)

Решение.

Поскольку число отрицательно, и . Число положительно и больше 1. Поэтому оно является наибольшим.

Правильный ответ указан под номером 3.

Ответ: 3

3. В какое из следующих выражений можно преобразовать дробь ?

1) 2) 3) 4)

Решение.

Упростим дробь:

Правильный ответ указан под номером 3.

Ответ: 3

4. Найдите корни уравнения .

Если корней несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.

Решение.

По теореме, обратной теореме Виета, сумма корней равна −3, а их произведение равно −18.

Тем самым это числа −6 и 3.

Ответ: -6; 3.

Ответ: -6; 3

5.Установите соответствие между функциями и их графиками.

А)

Б)

В)

Ответ укажите в виде последовательности цифр без пробелов и запятых в указанном порядке

Решение.

Определим вид графика каждой из функций:

A) уравнение параболы, ветви которой направлены вниз.

Б) уравнение гиперболы, ветви которой лежат во II и IV четвертях.

В) уравнение прямой, которая проходит через точки (0; −1) и (3; 0).

Таким образом, искомое соответствие: A - 1, Б - 4, В - 2.

Ответ: 142.

Ответ: 142

6.Какое из указанных чисел не является членом последовательности

1)

2)

3)

4)

Решение.

Рассмотрим несколько первых членов последовательности, начиная с

Тем самым, не является членом этой последовательности.

Ответ: 4.

Ответ: 4

7.Найдите значение выражения при

Решение.

Упростим выражение:

Подставим в полученное выражение значение

Ответ: 0,5.

Ответ: 0,5

8. Решите неравенство .

1) 2)

3) 4)

Решение.

Решим неравенство:

Правильный ответ указан под номером 4.

Ответ: 4

9. Диагональ AC параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 30° и 45°. Найдите больший угол параллелограмма.

Решение.

Так как угол А равен 75°, а сумма односторонних углов параллелограмма равна 180°, больший угол параллелограмма равен 105°.

Ответ: 105.

Ответ: 105

10. Величина центрального угла равна 110°. Найдите величину вписанного угла . Ответ дайте в градусах.

Решение.

Угол AOB смежный с углом AOD, таким образом, Центральный угол AOB и вписанный угол ACB опираются на одну дугу. Таким образом,

Ответ: 35

11. Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.

Решение.

Площадь трапеции() ищется путём перемножения длины высоты и средней линии(среднего арифметического двух оснований). В данной трапеции длина средней линии равна , а длина высоты - 6, таким образом, площадь трапеции равна:

Ответ: 36.

Ответ: 36

12.На клетчатой бумаге с размером клетки 1см x 1см отмечены точки А, В и С. Найдите расстояние от точки А до прямой ВС. Ответ выразите в сантиметрах.

Решение.

Расстояние от точки до прямой равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. По рисунку определяем это расстояние, оно равно двум клеткам, или 2 см.

Ответ: 2.

Ответ: 2

13.Укажите номера верных утверждений.

1) Биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая из вершины, противолежащей основанию, делит основание на две равные части.

2) В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны.

3) Для точки, лежащей на окружности, расстояние до центра окружности равно радиусу.

Если утверждений несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.

Решение.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая из вершины, противолежащей основанию, делит основание на две равные части» - верно по свойству равнобедренного треугольника.

2) «В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны» - неверно, это утверждение справедливо исключительно для ромба, а не для прямоугольника.

3) «Для точки, лежащей на окружности, расстояние до центра окружности равно радиусу» - верно, т. к. окружность - множество точек, находящихся на заданном расстоянии от данной точки.

Ответ: 1; 3.

Ответ: 1; 3

14 Бабушка, живущая в Краснодаре, отправила 1 сентября четыре посылки своим внукам, живущим в разных городах России. В таблице дано контрольное время в сутках, установленное для пересылки посылок наземным транспортом (без учёта дня приёма) между некоторыми городами России.

Какая из данных посылок не была доставлена вовремя?

1) пункт назначения - Белгород, посылка доставлена10сентября

2) пункт назначения - Астрахань, посылка доставлена12сентября

3) пункт назначения - Барнаул, посылка доставлена15сентября

4) пункт назначения - Архангельск, посылка доставлена 11 сентября

Решение.

Определим по таблице контрольное время для пересылки всех четырех посылок и сравним его с временем, которое посылка шла фактически:

1) Из Краснодара в Белгород: контрольное время 9 дней, шла 9 дней - доставлена вовремя;

2) Из Краснодара в Астрахань: контрольное время 9 дней, шла 11 дней - доставлена не вовремя;

3) Из Краснодара в Барнаул: контрольное время 14 дней, шла 14 дней - доставлена вовремя;

4) Из Краснодара в Архангельск: контрольное время 10 дней, шла 10 дней - доставлена вовремя.

Правильный ответ указан под номером 2.

Ответ: 2

15.На рисунке изображён график изменения атмосферного давления в городе Энске за три дня. По горизонтали указаны дни недели и время, по вертикали - значения атмосферного давления в миллиметрах ртутного столба. Укажите значение атмосферного давления во вторник в 6 часов утра.

Решение.

Из графика видно, что значение давления во вторник в 6:00 равно 758 мм рт. ст.

Ответ: 758.

Ответ: 758

16.В понедельник некоторый товар поступил в продажу по цене 1000 р. В соответствии с принятыми в магазине правилами цена товара в течение недели остается неизменной, а в первый день каждой следующей недели снижается на 20% от предыдущей цены. Сколько рублей будет стоить товар на двенадцатый день после поступления в продажу?

Решение.

Как известно, в неделе 7 дней. Значит, 12 день выпадает на вторую неделю, когда цена снижается на 20%, таким образом, товар будет стоить 80%. Имеем:

Ответ: 800.

Ответ: 800

17. Мальчик и девочка, расставшись на перекрестке, пошли по взаимно перпендикулярным дорогам, мальчик со скоростью 4 км/ч, девочка - 3 км/ч. Какое расстояние (в километрах) будет между ними через 30 минут?

Решение.

Найдем расстояние, которое прошла девочка:

Найдем расстояние, которое прошел мальчик:

Так как девочка и мальчик шли по взаимно перпендикулярным дорогам, их пути являются катетами прямоугольного треугольника, гипотенуза которого - расстояние между ними. Найдем это расстояние по теореме Пифагора:

Ответ: 2,5.

Ответ: 2,5

18. В математические кружки города ходят школьники 5-8 классов. Распределение участников математических кружков представлено в круговой диаграмме.

Какое утверждение относительно участников кружков верно, если всего их посещают 354 школьника?

1) в кружки не ходят пятиклассники

2) восьмиклассников ходит больше, чем семиклассников

3) больше половины участников кружков учатся не в седьмом классе

4) шестиклассников меньше 88 человек

Решение.

Проанализируем каждое утверждение.

Утверждение 1) неверно: пятиклассники занимаются в кружках.

Утверждение 2) не верно: семиклассников больше, чем восьмиклассников.

Утверждение 3) верно: семиклассников меньше половины всех учащихся, значит, не семиклассников больше половины всех учащихся.

Утверждение 4) неверно. Шестиклассников больше четверти всех учащихся, т. е. больше 354 : 4 = 88,5 человек.

Таким образом, верно третье утверждение.

Ответ: 3

19.Девятиклассники Петя, Катя, Ваня, Даша и Наташа бросили жребий, кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет мальчик.

Решение.

Из пятерых детей - мальчиков двое. Поэтому вероятность равна

Ответ: 0,4.

Ответ: 0,4

20.В фирме «Эх, прокачу!» стоимость поездки на такси (в рублях) рассчитывается по формуле , где - длительность поездки, выраженная в минутах . Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость 15-минутной поездки.

Часть 2

Решение.

Подставим в формулу значение переменной :

Ответ: 260.

Ответ: 260

21. Решите уравнение:

Решение.

Перенесем все члены влево и применим формулу разности квадратов:

Другой способ. Раскроем скобки, пользуясь формулой квадрата разности:

Ответ: 1.

22.Найдите целое число, если из двух следующих утверждений верно только одно: 1) ; 2) .

Решение.

Если верно первое утверждение, то верно и второе. Это противоречит тому, что верно только одно из двух данных утверждений. Следовательно, верно второе утверждение, а первое неверно. Получаем, что . Этому неравенству удовлетворяет единственное целое число: .

Ответ: 34.

23.Постройте график функции и определите, при каких значениях прямая не будет иметь с построенным графиком ни одной общей точки.

Решение.

Преобразуем выражение: при .

Значит,

Построим ветвь гиперболы при и удалим точку . Затем построим вторую часть графика симметрично первой относительно оси ординат.

На рисунке видно, что прямая не имеет с построенным графиком общих точек, если она горизонтальна, либо проходит через одну из удаленных точек или . Этим случаям соответствуют значения и .

Ответ: .

24. Периметр прямоугольника равен 30, а диагональ равна 14. Найдите площадь этого прямоугольника.

Решение.

Пусть одна из сторон прямоугольника равна . Тогда другая сторона равна , а площадь . По теореме Пифагора:

Значит, искомая площадь равна 14,5.

Ответ: 14,5.

25. Докажите, что у равных треугольников и биссектрисы, проведённые из вершины и , равны.

Решение.

Пусть и - биссектрисы треугольников и . В треугольниках и соответственно равны стороны и , а также углы и , и . Следовательно, треугольники равны по второму признаку равенства треугольников. Значит, , что и требовалось доказать.

26. В окружности с центром в точке проведены две хорды и . Прямые и перпендикулярны и пересекаются в точке , лежащей вне окружности. При этом . Найдите .

Вариант 13

Часть1

1. Вычислите:

Решение.

Приведём к общему знаменателю:

Ответ: 1,03.

Ответ: 1,03

2.На координатной прямой отмечены числа и Какое из следующих утверждений неверно?

1) 2)

3) 4)

Решение.

Заметим, что и , и проверим все варианты ответа:

1) - неверно.

2) - верно, поскольку каждый множитель отрицателен.

3) - верно.

4) - верно.

Неверным является утверждение 1.

Ответ: 1

3. Какое из чисел больше: или ?

1)

2)

3)

Решение.

В силу цепочки неравенств

первое число меньше второго.

Правильный ответ указан под номером 1.

Ответ: 1

4. Найдите корни уравнения

Если корней несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.

Решение.

Перенесём всё в уравнении в одну сторону:

По теореме, обратной теореме Виета, сумма корней равна 1, а их произведение равно −12. Тем самым, это числа −3 и 4.

Ответ: −3; 4.

Ответ: -3;4

5.Укажите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

1) 2)

3) 4)

Ответ укажите в виде последовательности цифр без пробелов и запятых в указанном порядке

Решение.

Определим вид графика каждой из функций.

1) уравнение прямой, которая пересекает ось абсцисс в точке 2 ; ось ординат в точке −2.

2) уравнение степенной функции с положительным дробным показателем. График проходит через точку (1; 0).

3) уравнение параболы, ветви которой направлены вверх.

4) уравнение степенной функции с положительным дробным показателем. График проходит через точку (−1; 0).

Таким образом, искомое соответствие: A - 4, Б - 3, В - 1.

Ответ: 431.

Ответ: 431

6. Последовательность задана условиями , . Найдите .

Решение.

Будем вычислять последовательно:

Данная последовательность образует арифметическую прогрессию. Найдем разность арифметической прогрессии:

тогда

Примечание.

Зная разность и первый член арифметической прогрессии, можно найти посредственно:

Ответ: −9.

Ответ: -9

7. Сократите дробь

Решение.

Сократим дробь:

Ответ: 84.

Ответ: 84

8.На каком рисунке изображено множество решений неравенства

1)

2)

3)

4)

Решение.

Решим неравенство: Корнями уравнения являются числа 1 и 3. Поэтому

Множество решений неравенства изображено на рис. 1.

Правильный ответ указан под номером 1.

Ответ: 1

9.В равностороннем треугольнике ABC биссектрисы CN и AM пересекаются в точке P. Найдите .

Решение.

В равностороннем треугольнике ABC все углы равны 60°. Биссектрисы CN и AM делят уголы пополам, поэтому = = Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому Вертикальные углы равны, следовательно,

Ответ: 120.

Ответ: 120

10 .

Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Найдите градусную меру угла C треугольника ABC, если угол AOB равен 48°.

Решение.

Угол AOB является центральным углом, ACB - вписанным. Оба угла опираются на одну и ту же дугу, следовательно, угол AOB в два раза больше угла ACB.

Ответ: 24.

Ответ: 24

11. Сторона ромба равна 5, а диагональ равна 6. Найдите площадь ромба.

Решение.

Диагонали ромба пересекаются под углом 90° и точкой пересечения делятся пополам. Из прямоугольного треугольника, катетами которого являются половины диагоналей ромба, а гипотенузой - сторона ромба, по теореме Пифагора найдем половину неизвестной диагонали: Тогда вся неизвестная диагональ равна 8.

Площадь ромба равна половине произведения диагоналей:

Ответ: 24.

Ответ: 24

12. Найдите тангенс угла AOB, изображенного на рисунке.

Решение.

Опустим перпендикуляр BH на отрезок OA и рассмотрим прямоугольный треугольник OBH:

Ответ: 2.

Ответ: 2

13.Какие из следующих утверждений верны?

1) Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду окружности, равны.

2) Если радиусы двух окружностей равны 5 и 7, а расстояние между их центрами равно 3, то эти окружности не имеют общих точек.

3) Если радиус окружности равен 3, а расстояние от центра окружности до прямой равно 2, то эти прямая и окружность пересекаются.

4) Если вписанный угол равен 30°, то дуга окружности, на которую опирается этот угол, равна 60°.

Если утверждений несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.

Решение.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду окружности, равны.» - неверно, вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу окружности, равны.

2) «Если радиусы двух окружностей равны 5 и 7, а расстояние между их центрами равно 3, то эти окружности не имеют общих точек.» - неверно, окружности имеют две общие точки.

3) «Если радиус окружности равен 3, а расстояние от центра окружности до прямой равно 2, то эти прямая и окружность пересекаются.» - верно, если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса, то прямая и окружность имеют две общие точки.

4) «Если вписанный угол равен 30°, то дуга окружности, на которую опирается этот угол, равна 60°.» - верно, вписанный угол измеряется половиной дуги,на которую он опирается.

Ответ: 3; 4.

Ответ: 3; 4

14. В таблице представлены нормативы по технике чтения в 3 классе.

Какую отметку получит третьеклассник, прочитавший в апреле 68 слов за минуту?

1)«2» 2)«3» 3)«4» 4) «5»

Решение.

Проверка техники чтения происходила во втором полугодии. Из таблицы видно, что 68 прочитанных за минуту слов попадают в интервал «69 и менее» слов. Это соответствует отметке «2».

Правильный ответ указан под номером 1.

Ответ: 1

15.В таблице приведены результаты двух полуфинальных забегов на дистанцию 60 м. В финальном забеге 6 участников. Из каждого полуфинала в финал выходят два спортсмена, показавших первый и второй результаты. К ним добавляют еще двух спортсменов, показавших лучшее время среди всех остальных участников полуфиналов.Запишите в ответ номера спортсменов, не попавших в финал.

Решение.

В полуфинале 1, лучшее время у спортсмена №4 и у спортсмена №1, таким образом, они выходят в финал.

В полуфинале 2, лучшее время у спортсмена №6 и у спортсмена №7 таким образом, они также выходят в финал.

Лучшее время из оставшихся спортсменов у спортсмена №2 и №5. таким образом таким образом, они тоже выходят в финал.

Таким образом, в финал не попали спортсмены под намерами 3 и 8.

Ответ: 38|3,8|8,3|83

16.На молочном заводе пакеты молока упаковываются по 12 штук в коробку, причём в каждой коробке все пакеты одинаковые. В партии молока, отправляемой в магазин «Уголок», коробок с полуторалитровыми пакетами молока втрое меньше, чем коробок с литровыми пакетами. Сколько литров молока в этой партии, если коробок с литровыми пакетами молока 45?

Решение.

Найдём количество коробок с полуторалитровыми пакетами молока: 45 : 3 = 15. Теперь рассчитаем количество литров молока в этой партии: 45 · 12 · 1 + 15 · 12 · 1,5 = 810 л.

Ответ: 810.

Ответ: 810

17. На каком расстоянии (в метрах) от фонаря стоит человек ростом 2 м, если длина его тени равна 1 м, высота фонаря 9 м?

Решение.

Пусть неизвестное расстояние равно х м. Рассмотрим два прямоугольных треугольника, выделенные на рисунке красным и зелёным. Они имеют общий угол и, следовательно, подобны. Поэтому отношения их катетов равны:

Тем самым, искомое расстояние равно 3,5 м.

Ответ: 3,5.

Ответ: 3,5

18.На диаграмме представлено распределение количества пользователей некоторой социальной сети по странам мира. Всего в этой социальной сети 9 млн пользователей.Какое из следующих утверждений неверно?

1) Пользователей из Беларуси меньше, чем пользователей из Украины.

2) Пользователей из России больше 4 миллионов.

3) Пользователей из Украины больше четверти общего числа пользователей.

4) Пользователей из Беларуси больше, чем пользователей из Финляндии.

В ответе запишите номер выбранного утверждения.

Решение.

Разъясним каждый вариант ответа.

1) Очевидно, что пользователей из Беларуси меньше, чем пользователей из Украины.

2) Видно, что пользователей из России больше половины всех пользователей, значит, больше 9/2 = 4,5 млн, а значит, больше 4 миллионов.

3) Сектор в четверть диаграммы отсекается углом в 360°/4 = 90°. Очевидно, что угол, отсекающий сектор «Украина» меньше 90°, значит, меньше четверти пользователей сети - из Украины.

4) Сектор «Беларусь» занимает большую площадь диаграммы, чем сектор «Другие страны», а т. к. «Финляндия» включена в «Другие страны», имеем: пользователей из Белоруссии больше, чем пользователей из Финляндии.

Ответ: 3.

Ответ: 3

19. В фирме такси в данный момент свободна 21 машина: 11 черных, 2 желтых и 8 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет зеленое такси. Полученный ответ округлите до сотых.

Решение.

Вероятность того, что приедет зеленая машина равна отношению количества зеленых машин к общему количеству машин:

Ответ: 0,38.

Ответ: 0,38

20.Площадь параллелограмма можно вычислить по формуле , где - стороны параллелограмма (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите площадь параллелограмма, если его стороны 10 м и 12 м и .

Часть 2

Решение.

Подставим в формулу известные значения величин:

Ответ: 60.

Ответ: 60

21.Решите систему уравнений:

Решение.

Сложим два уравнения системы:

откуда получаем или

Вычтем из первого уравнения системы второе:

Таким образом, решения систему

Ответ:

22. Две трубы наполняют бассейн за 8 часов 45 минут, а одна первая труба наполняет бассейн за 21 часов. За сколько часов наполняет бассейн одна вторая труба?

Решение.

По условию первая труба за одну минуту наполняет часть бассейна, а две трубы вместе за одну минуту наполняют часть бассейна. Таким образом, одна вторая труба за минуту наполняет часть бассейна, то есть она наполнит весь бассейн за 15 часов.

Ответ: 15.

23.При каком значении прямая имеет с параболой ровно одну общую точку? Найдите координаты этой точки. Постройте в одной системе координат данную параболу и прямую при найденном значении .

Решение.

График функции изображён на рисунке.

Запишем условие общей точки:

Прямая будет иметь с параболой единственную общую точку при условии, что дискриминант полученного квадратного уравнения равен нулю: откуда Подставив значение параметра в уравнение, находим

Ответ: (-2;0).

24. Найдите угол АСО, если его сторона СА касается окружности, О - центр окружности, а дуга AD окружности, заключённая внутри этого угла, равна 140°.

Решение.

Проведём радиус OA. Треугольник AOC - прямоугольный, ∠A = 90°. ∠COA = 180° − ∠AOD = 180° − 140° = 40°; ∠ACO = 90° − 40° = 50°.

Ответ: 50.

25.Дана равнобедренная трапеция . Точка лежит на основании и равноудалена от концов другого основания. Докажите, что - середина основания .

Решение.

Треугольник равнобедренный. Поэтому .

В равнобедренной трапеции .

Отсюда следует, что . Значит, треугольники и равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, .

26. Диагонали четырёхугольника , вершины которого расположены на окружности, пересекаются в точке . Известно, что = 74°, = 102°, = 112°. Найдите .

Вариант 14

Часть1

1.Найдите значение выражения .

Решение.

Умножим числитель и знаменатель на 100:

Ответ: 1,5.

Ответ: 1,5

2.О числах , , и известно, что , , . Сравнитe числа и .

1) 2) 3) 4) Сравнить невозможно

Решение.

По условию поэтому

Правильный ответ указан под номером 2.

Ответ: 2

3.Значение какого из выражений является числом рациональным?

1) 2)

3) 4)

Решение.

Упростим каждое выражение.

1)

2)

3)

4)

Рациональным является значение первого выражения.

Ответ: 1

4. Решите систему уравнений

Решение.

Решим систему методом подстановки:

Ответ:

Ответ: (2; 3)

5.Укажите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

1) 2)

3) 4)

Ответ укажите в виде последовательности цифр без пробелов и запятых в указанном порядке

Решение.

Определим вид графика каждой из функций.

1) уравнение прямой, которая пересекает ось абсцисс в точке 2 ; ось ординат в точке −2.

2) уравнение степенной функции с положительным дробным показателем. График проходит через точку (1; 0).

3) уравнение параболы, ветви которой направлены вверх.

4) уравнение степенной функции с положительным дробным показателем. График проходит через точку (−1; 0).

Таким образом, искомое соответствие: A - 4, Б - 3, В - 1.

Ответ: 431.

Ответ: 431

6. Арифметическая прогрессия задана условиями: . Найдите

Решение.

Определим разность арифметической прогрессии:

Член арифметической прогрессии с номером может быть найден по формуле

Необходимо найти , имеем:

Ответ: 32.

Ответ: 32

7.Упростите выражение и найдите его значение при . В ответе запишите найденное значение.

Решение.

Упростим выражение:

При , значение полученного выражения равно 19:2 = 9,5.

Ответ: 9,5.

Ответ: 9,5

8.Решите неравенство .

1) 2)

3) 4)

Решение.

Решим данное неравенство:

. Произведение двух сомножителей будет больше нуля, если его сомножители имеют одинаковый знак.

В данном случае это выполняется при следующих значениях :

1) ;

2) ;

Решением неравенства будет являться объединение этих промежутков: , что соответствует первому варианту ответа.

Ответ: 1

Ответ: 1

9.Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 136°, угол CAD равен 82°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180°. Поэтому

Угол ABD и угол ACD - вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, а значит, они равны. Следовательно:

Ответ: 54.

Ответ: 54

10. Найдите , если градусные меры дуг и равны 152° и 80° соответственно.

Решение.

Так как вписанный угол равен половине дуги на которую он опирается, имеем , а . В треугольнике ABC , .

Ответ: 64.

Ответ: 64

11. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен , острый угол, прилежащий к нему, равен 30°, а гипотенуза равна 20. Найдите площадь треугольника делённую на .

Решение.

Катет, лежащий против угла в 30° равен половине гипотенузы, таким образом, AC = 10. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, имеем:

Ответ: 50.

----------

В открытом банке иррациональный ответ.

Ответ: 50

12. На квадратной сетке изображён угол . Найдите .

Решение.

Опустим перпендикуляр BH. Треугольник ABH - прямоугольный. Таким образом,

Ответ: 3.

Ответ: 3

13.На рисунке изображён график функции . Какие из утверждений относительно этой функции неверны? Укажите их номера.

1) функция возрастает на промежутке

2)

3)

4) прямая пересекает график в точках и

Если утверждений несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.

Решение.

Проверим каждое из утверждений.

1) Функция возрастает на промежутке - неверно, функция убывает на промежутке и затем возрастает на .

2) - неверно,

3) - верно, видно из графика.

4) Прямая пересекает график в точках и - верно, видно из графика.

Таким образом, неверные утверждения находятся под номерами 1 и 2.

Ответ: 1; 2.

Ответ: 1; 2

14. Дорожный знак, изображённый на рисунке, называется «Ограничение высоты». Его устанавливают перед мостами, тоннелями и прочими сооружениями, чтобы запретить проезд транспортного средства, габариты которого (с грузом или без груза) превышают установленную высоту.

Какому из данных транспортных средств этот знак запрещает проезд?

1)молоковозу высотой 3770 мм

2) пожарному автомобилю высотой 3400 мм

3) автотопливозаправщику высотой 2900 мм

4) автоцистерне высотой 3350 мм

Решение.

Переведём допустимую высоту в миллиметры: 3,5 м = 3500 мм и сравним с предложенными вариантами:

1) 3770 > 3500 - проезд запрещен.

2) 3400 < 3500 - проезд разрешен.

3) 2900 < 3500 - проезд разрешен.

4) 3350 < 3500 - проезд разрешен.

Таким образом, знак «Ограничение высоты» запрещает проезд молоковозу.

Правильный ответ указан под номером 1.

Ответ: 1

15. B 11На рисунке изображен график изменения силы тока при подключении цепи, содержащей реостат, к источнику тока. По вертикальной оси откладывается сила тока (в A), по горизонтальной - время (в сек). По рисунку определите силу тока через 6 секунд с момента подключения данной цепи.

Решение.

По графику видно, что через 6 секунд сила тока достигла значения в 4 ампера.

Ответ: 4.

Ответ: 4

16.Тест по математике содержит 30 заданий, из которых 18 заданий по алгебре, остальные -- по геометрии. В каком отношении содержатся в тесте алгебраические и геометрические задания?

Варианты ответа1.

3:2

2.

2:3

3.

3:5

4.

5:3

Решение.

Количество заданий по геометрии равно: шт. Таким образом, алгебраические и геометрические задачи находятся в отношении: 18 : 12 = 3 : 2.

Правильный ответ указан под номером 1.

Ответ: 1

17. Обхват ствола секвойи равен 4,8 м. Чему равен его диаметр (в метрах)? Ответ округлите до десятых.

Решение.

Поскольку длина окружности выражается через её диаметр формулой имеем

Ответ:1,5.

Ответ: 1,5

18. На диаграмме представлено распределение количества пользователей некоторой социальной сети по странам мира. Всего в этой социальной сети 9 млн пользователей.Какое из следующих утверждений неверно?

1) Пользователей из Беларуси меньше, чем пользователей из Украины.

2) Пользователей из России больше 4 миллионов.

3) Пользователей из Украины больше четверти общего числа пользователей.

4) Пользователей из Беларуси больше, чем пользователей из Финляндии.

В ответе запишите номер выбранного утверждения.

Решение.

Разъясним каждый вариант ответа.

1) Очевидно, что пользователей из Беларуси меньше, чем пользователей из Украины.

2) Видно, что пользователей из России больше половины всех пользователей, значит, больше 9/2 = 4,5 млн, а значит, больше 4 миллионов.

3) Сектор в четверть диаграммы отсекается углом в 360°/4 = 90°. Очевидно, что угол, отсекающий сектор «Украина» меньше 90°, значит, меньше четверти пользователей сети - из Украины.

4) Сектор «Беларусь» занимает большую площадь диаграммы, чем сектор «Другие страны», а т. к. «Финляндия» включена в «Другие страны», имеем: пользователей из Белоруссии больше, чем пользователей из Финляндии.

Ответ: 3.

Ответ: 3

19.Телевизор у Маши сломался и показывает только один случайный канал. Маша включает телевизор. В это время по трем каналам из двадцати показывают кинокомедии. Найдите вероятность того, что Маша попадет на канал, где комедия не идет.

Решение.

Количество каналов, по которым не идет кинокомедий Вероятность того, что Маша не попадет на канал, по которому идут кинокомедии равна отношению количества каналов, по которым не идут кинокомедии к общему числу каналов:

Ответ: 0,85.

Ответ: 0,85

20.Площадь параллелограмма можно вычислить по формуле , где - стороны параллелограмма (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите площадь параллелограмма, если его стороны 10 м и 12 м и .

Часть 2

Решение.

Подставим в формулу известные значения величин:

Ответ: 60.

Ответ: 60

21. Сократите дробь .

Решение.

Используем свойства степеней:

Ответ: 96.

22. На изготовление 231 детали ученик тратит на 11 часов больше, чем мастер на изготовление 462 таких же деталей. Известно, что ученик за час делает на 4 детали меньше, чем мастер. Сколько деталей в час делает ученик?

Решение.

Предположим, что ученик делает деталей в час. Тогда мастер делает детали в час.

На изготовление 231 детали ученик потратит ч, а мастер тратит ч на изготовление 462 деталей.

Составим уравнение по условию задачи:

.

Решим уравнение:

.

Корни полученного квадратного уравнения: −28 и 3. Отбрасывая отрицательный корень, находим, что ученик делает в час 3 детали.

Ответ: 3.

23. Постройте график функции . Найдите значения , при которых прямая не имеет с графиком данной функции общих точек.

Решение.

Найдем область определения функции:

1)

2) следовательно, функция определена при .

Далее,

.

График изображен на рисунке.

Прямая не имеет с графиком данной функции общих точек при .

Ответ: .

24.На сторонах угла , равного 20°, и на его биссектрисе отложены равные отрезки и . Определите величину угла .

Решение.

Имеем = 20° : 2 = 10°; равнобедренный, = (180° − 10°) : 2 = 85°; по двум сторонам и углу между ними, поэтому ; = 2 · 85° = 170°.

Ответ: 170°.

25.На стороне АС треугольника АВС выбраны точки D и E так, что отрезки AD и CE равны (см. рисунок). Оказалось, что отрезки BD и BE тоже равны. Докажите, что треугольник АВС - равнобедренный.

Решение.

Так как по условию BD=BE, то треугольник BDE является равнобедренным. Пусть угол при основании этого треугольника равен x, тогда Треугольники BEC и BDA равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому AB=BC и треугольник ABC - равнобедренный.

26.Длина катета прямоугольного треугольника равна 8 см. Окружность с диаметром пересекает гипотенузу в точке . Найдите площадь треугольника , если известно, что .

Вариант 15

Часть1

1. Вычислите:

Решение.

Приведём к общему знаменателю:

Ответ: 3,7.

Ответ: 3,7

2.На координатной прямой отмечены числа a, b и c:

Значение какого из следующих выражений отрицательно?

1)−a 2)a+c 3)b−c 4) c − a

Решение.

Заметим, что −2 < a < −1, 1 < b < 2 и 3 < c < 4. Тогда выражение −a положительно. Для выражения a + c верно двойное неравенство 1 < a + c < 3. Для выражения b − c верно двойное неравенство −2 < b − c < −1. Для выражения c − a верно двойное неравенство 4 < c − a < 6.

Таким образом, отрицательным является выражение b − c.

Правильный ответ указан под номером 3.

Ответ: 3

3.В какое из следующих выражений можно преобразовать дробь ?

1) 2) 3) 4)

Решение.

Упростим дробь:

Правильный ответ указан под номером 3.

Ответ: 3

4. Решите уравнение (x + 2)² = (x − 4)².

Решение.

Последовательно получаем:

Ответ: 1.

Приведем другое решение.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

Приведем другое решение.

Воспользуемся формулой разности квадратов:

Ответ: 1

5.График какой из приведенных ниже функций изображен на рисунке?

1)

2)

3)

4)

Решение.

Ветви изображённой на рисунке гиперболы лежат во II и IV четверти, её график растянут вдоль оси ординат в два раза. Этим условиям соответствует вариант 1

Графику соответствует вариант под номером 1.

Ответ: 1

6. Геометрическая прогрессия задана формулой n - го члена . Укажите третий член этой прогрессии.

Решение.

По формуле n-го члена геометрической прогрессии имеем:

Ответ: 12.

Ответ: 12

7.Представьте в виде дроби выражение и найдите его значение при . В ответ запишите полученное число.

Решение.

Упростим выражение:

Найдем значение выражения при

Ответ: −10.

Ответ: -10

8.Решите неравенство:

1) 2)3) 4)

Решение.

Решим неравенство: Корнями уравнения являются числа -23 и 0. Поэтому

Правильный ответ указан под номером 4.

Ответ: 4

9. Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 65° и 50°. Найдите меньший угол параллелограмма.

Решение.

Сумма смежных углов параллелограмма равна 180°. Тогда величина меньшего угла параллелограмма будет равна:

Ответ:

Ответ: 65

10. В окружности с центром в точке проведены диаметры и , угол равен 25°. Найдите величину угла .

Решение.

Углы OCD и OAB являются вписанными и опираются на одну дугу BD. Таким образом,

Ответ: 25.

Ответ: 25

11. Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.

Решение.

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту: 7 · 4 = 28.

Ответ: 28.

Ответ: 28

12. Найдите тангенс угла треугольника , изображённого на рисунке.

Решение.

Тангенс угла в прямоугольном треугольнике - отношение противолежащего катета к прилежащему. Треугольник ABC - прямоугольный, поэтому

Ответ: 0,75.

Ответ: 0,75

13.Какие из следующих утверждений верны?

1) Каждая сторона треугольника меньше разности двух других сторон.

2) В равнобедренном треугольнике имеется не более двух равных углов.

3) Если сторона и угол одного треугольника соответственно равны стороне и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.

4) В треугольнике ABC, для которого AB = 3, BC = 4, AC = 5, угол C наименьший.

Если утверждений несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.

Решение.

Проверим каждое из утверждений:

1)«Каждая сторона треугольника меньше разности двух других сторон.» - неверно, так как если имеем, что

2) «В равнобедренном треугольнике имеется не более двух равных углов.» - неверно, в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

3)«Если сторона и угол одного треугольника соответственно равны стороне и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.» - неверно, равенство определяется по трем элементам.

4)«В треугольнике ABC, для которого AB = 3, BC = 4, AC = 5, угол C наименьший.» - верно, в треугольнике против большего угла лежит большая сторона.

Ответ: 4.

Ответ: 4

14. Учёный Иванов выезжает из Москвы на конференцию в Санкт-Петербургский университет. Работа конференции начинается в 10:00. В таблице дано расписание ночных поездов Москва - Санкт-ПетербургНомер

поезда

Отправление из

Москвы

Прибытие в

Санкт-Петербург

026А

23:00

06:30

002А

23:55

07:55

038А

00:44

08:46

016А

01:00

08:38

Путь от вокзала до университета занимает полтора часа. Укажите номер самого позднего (по времени отправления) из московских поездов, которые подходят учёному Иванову.

1)026А 2)002А 3)038А 4) 016А

Решение.

Поскольку путь от вокзала до университета занимает полтора часа, поезд должен прибыть на вокзал не позднее 08:30. Этому условию удовлетворяют поезда под номерами: 026А и 002А. Из них позже отправляется поезд под номером 002А.

Правильный ответ указан под номером 2.

Ответ: 2

15.В таблице даны рекомендуемые суточные нормы потребления (в г/сутки) жиров, белков и углеводов детьми от 1 года до 14 лет и взрослыми.

Вещество

Дети от 1 года

до 14 лет

Мужчины

Женщины

Жиры

40-97

70-154

60-102

Белки

36-87

65-117

58-87

Углеводы

170-420

257-586

Какой вывод о суточном потреблении жиров, белков и углеводов 7-летней девочкой можно сделать, если по подсчётам диетолога в среднем за сутки она потребляет 42 г жиров, 35 г белков и 190 г углеводов? В ответе укажите номера верных утверждений.

1) Потребление жиров в норме.

2) Потребление белков в норме.

3) Потребление углеводов в норме.

Если утверждений несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.

Решение.

Проанализируем каждое утверждение.

1) Для семилетней девочки нормой является употребление от 40 до 97 граммов жиров в сутки, 42 грамма укладываются в этот промежуток. Первое утверждение верно.

2) Для семилетней девочки нормой является употребление от 36 до 87 граммов белков в сутки, 35 граммов не укладываются в этот промежуток. Второе утверждение неверно.

2) Для семилетней девочки нормой является употребление от 170 до 420 граммов углеводов в сутки, 190 граммов укладываются в этот промежуток. Третье утверждение верно.

Ответ: 1; 3.

Ответ: 1; 3

16.Площадь земель крестьянского хозяйства, отведённая под посадку сельскохозяйственных культур, составляет 24 га и распределена между зерновыми и овощными культурами в отношении 5:3. Сколько гектаров занимают овощные культуры?

Решение.

Овощные культуры занимают:

Ответ: 9.

Ответ: 9

17. Сколько досок длиной 3,5 м, шириной 20 см и толщиной 20 мм выйдет из четырехугольной балки длиной 105 дм, имеющей в сечении прямоугольник размером 30 см 40 см?

Решение.

Найдем объем доски : 350 · 20 · 2 = 14 000 см³. Найдем объем балки: 1050 · 30 · 40 = 1 260 000 см³.

Поэтому количество досок равно 1 260 000 : 14 000 = 90.

Ответ: 90.

Ответ: 90

18. На диаграмме представлены семь крупнейших по площади территории (в млн км²) стран мира.

Какое из следующих утверждений неверно

1) По площади территории Австралия занимает шестое место в мире.

2) Площадь территории Бразилии составляет 7,7 млн км².

3) Площадь Индии меньше площади Китая.

4) Площадь Канады меньше площади России на 7,1 млн км².

В ответе запишите номер выбранного утвержденияРешение.

Проверим каждое утверждение:

1) На диаграмме видно, что Австралия - шестая по площади страна в мире. Значит первое утверждение верно.

2) Из диаграммы видно, что площадь Бразилии - 8,5 млн км². Второе утверждение неверно.

3) Из диаграммы видно, что площадь Индии меньше площади Китая. Третье утверждение верно.

4) Из диаграммы видно, что площадь Канады меньше площади России на 17,1-10,0=7,1 млн км². Четвёртое утверждение верно.

Неверным является утверждение под номером 2.

Ответ: 2

Решение.

Проанализируем все утверждения.

1) Пользователей из России больше всех, тем самым, их больше чем пользователей из Украины.

2) Сектор «Беларусь» занимает большую площадь диаграммы, чем сектор «Другие страны», а т. к. «Швеция» включена в «Другие страны» пользователей из Беларуси больше чем пользователей из Швеции.

3) Сектор в треть диаграммы имеет угол 360° : 3 = 120°. Угол сектора «Украина» меньше 90°, следовательно, меньше трети пользователей сети из Украины.

4) Пользователей из России больше половины всех пользователей, значит, больше 9 : 2 = 4,5 млн, а значит, больше 4 миллионов.

Ответ:3.

Ответ: 3

19. Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 15 до 29 делится на 5?

Решение.

Чисел от 15 до 29 - 15 штук. Среди них на 5 делится только 3 числа. Таким образом, вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 15 до 29 делится на 5 равна

Ответ: 0,2

20.Объём пирамиды вычисляют по формуле , где - площадь основания пирамиды, - её высота. Объём пирамиды равен 40, площадь основания 15. Чему равна высота пирамиды?

Часть 2

Решение.

Выразим высоту пирамиды из формулы для ее объема:

Подставляя, получаем:

Ответ: 8.

Ответ: 8

21.Сократите дробь , если .

Решение.

Имеем:

Ответ: 1.

22.Пристани и расположены на реке, скорость течения которой на этом участке равна 3 км/ч. Лодка проходит туда и обратно без остановок со средней скоростью 8 км/ч. Найдите собственную скорость лодки.

Решение.

Пусть км/ч - собственная скорость лодки. Тогда скорость движения по течению равна км/ч, а скорость движения против течения равна км/ч. Обозначим расстояние между пристанями. Время, затраченное на весь путь, равно

.

По условию средняя скорость равна 8 км/ч, а весь путь равен . Следовательно,

.

Решим это уравнение:

Получаем: или . Корень −1 не является решением задачи. Значит, скорость лодки равна 9 км/ч.

Ответ: 9 км/ч.

23.Постройте график функции

и определите, при каких значениях прямая будет иметь с графиком единственную общую точку.

Решение.

Построим график функции (см. рисунок).

Из графика видно, что прямая будет иметь с графиком функции единственную точку пересечения при принадлежащем множеству [0; 1).

Ответ: [0; 1).

24. Медианы треугольника пересекаются в точке . Найдите длину медианы, проведённой к стороне , если угол равен 47°, угол равен 133°, .

Решение.

Обозначим середину стороны за . Продлим на свою длину за точку до точки . Четырёхугольник - параллелограмм, потому что и . Значит, = 133°, поэтому четырёхугольник - вписанный. Тогда .

Ответ: 6.

25. C 5 . В параллелограмме АВСD точки E, F, K и М лежат на его сторонах, как показано на рисунке, причём СF = АM, BE = DK. Докажите, что EFKM - параллелограмм.

Решение.

Противоположные стороны параллелограмма равны и по условию следовательно:

В параллелограмме противоположные углы равны: , Рассмотри треугольники и , в этих треугольниках , , следовательно эти треугольники равны, а значит, . Аналогично равны треугольники и а следовательно равны отрезки и Противоположные стороны четырехугольника равны, следовательно, по признаку параллелограмма, этот четырёхугольник - параллелограмм.

26.Медиана BM треугольника ABC является диаметром окружности, пересекающей сторону BC в её середине. Найдите длину стороны AC, если радиус описанной окружности треугольника ABC равен 7.