Урок решения задач по геометрии

Технологическая карта урока геометрии в 8 классе

«ПЛОЩАДЬ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА И ТРЕУГОЛЬНИКА»

Учебник: Геометрия: Учеб. для 7-9 кл. общеобразоват. учреждений /Л.С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.- М.: Просвещение, 2012.Изучали тему площади многоугольника.

Личностные ууд: обеспечивают ориентацию учащихся в социальных ролях и межличностных отношениях.

Коммуникативные ууд: управление поведением партнёра - контроль и оценка действий партнёра.

Актуализация и фиксирования индивидуального затруднения в проблемном учебном действии

Формулы нахождения площади каких многоугольников мы с вами уже изучали?

Скажите, пожалуйста, по какой формуле вычисляется площадь прямоугольника?

Совершенно верно! Чему равна площадь параллелограмма?

Хорошо! И, наконец, скажите, чему равна площадь произвольного треугольника?

(На доске заготовлены следующие рисунки.)

Посмотрите, пожалуйста, на доску. Рассмотрим первый рисунок, чему равна площадь параллелограмма?

Вычислите площадь второго параллелограмма?

Что в данной ситуации является основание, а что высотой параллелограмма?

Чему равна площадь треугольника на третьем рисунке?

Верно! Рассмотрим 4-й рисунок. Чему равна площадь прямоугольного треугольника?

Вычислите площадь этого прямоугольного треугольника.

Чем вы пользовались при нахождении высоты ВН?

Сформулируйте его.

Совершенно верно!

Изучали тему площади многоугольника.

Прямоугольника, параллелограмма и треугольника.

Площадь прямоугольника равна произведению смежных сторон.

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

Половине произведения основания на высоту, проведённую к этому основанию.

35 квадратных единиц.

Тоже 35 квадратных единиц.

BH - высота, DC - основание.

24 кв. ед.

Половине произведения катетов.

24 кв.ед.

Свойством прямоугольного треугольника.

Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы.

Регулятивные ууд:

контроль в форме сличения своего результата с результатом других, коррекция - внесение необходимых дополнений.

Целеполагание и мотивация

Обеспечение мотивации учения детьми, принятие ими целей урока

На прошлых занятиях мы изучали формулы для нахождения площади некоторых многоугольников, скажите, чем мы будем заниматься сегодня?

Какие цели мы должны поставить перед собой?

Отвечают на вопрос

(сегодня мы с вами будем решать ключевые задачи на применение изученных формул)

Формулируют общие и конкретные цели, как для урок, так и для себя.

Коммуникативные ууд:

умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами.

Познавательные ууд:

Самостоятельное выделение - формулирование познавательной цели.

Регулятивные ууд:

целеполагание.

Усвоение новых знаний и способов усвоения

Выявить суть метода, вывести алгоритм и определить в каких условиях данный метод может быть использован.

Откройте пожалуйста учебники на странице 124, прочитайте задачу №461.

(Учитель работает с классом фронтально. Сначала идёт обсуждение решения задачи с классом, затем учитель вызывает одного ученика к доске. Решение задачи записывается на доске и в тетрадях.)

(Формулировка задачи: смежные стороны параллелограмма равны 12 см и 14 см, а его острый угол равен 30 градусам. Найдите площадь параллелограмма.)

С чего начинаем решение геометрической задачи?

(на доске появляется рисунок)

Что дано в задаче?

Что требуется найти?

По какой формуле мы находим площадь параллелограмма?

Какие элементы в этой формуле нам известны, а какие нам необходимо найти?

Построим высоту на рисунке, обозначим её ВН. Какая ещё фигура появилась на рисунке?

Что в этом треугольнике можно найти?

Как вычислить ВН?

Теперь все элементы в формуле известны, чему равна площадь параллелограмма?

Теперь запишем решение задачи на доске и в тетрадях.

(учитель вызывает ученика к доске)

(Ученики записывают решение в своих тетрадях.)

Что нужно было найти в этой задаче?

Как мы находили площадь?

Составим схему решения этой задачи. (учитель пишет на доске, ученики в тетрадях.)

Нам известно основание параллелограмма а, высоту параллелограмма мы находим по свойству прямоугольного треугольника, площадь параллелограмма равна произведению основания параллелограмма на высоту.

Рассмотрим следующую задачу. (Учитель диктует, ученики записывают.)

Формулировка: площадь параллелограмма равна 84 см², а его смежные стороны 12см и 14 см. Найти высоты параллелограмма.

(Учитель вызывает ученика к доске.)

Сделайте новый рисунок.

Что нам известно в этой задаче?

Что требуется найти?

Обозначим высоты h₁ и h₂. Как их можно вычислить?

Запишем решение.

Какой является решённая задача по отношению к предыдущей?

Почему?

То есть, нам были известны основания параллелограмма и его площадь. (учитель рисует схему на доске)

Из чего мы находили высоты , .

Постройте схему в своих тетрадях.

Посмотрим ещё раз на решённые задачи и на схемы их решения. Данные задачи являются ключевыми в данной теме, так как они направлены на прямое применение формулы для вычисления площади. В первой задаче мы вычисляем площадь параллелограмма через линейные параметры. Во второй задаче мы выражаем линейные параметры через площадь.

Перейдём к следующей задаче.

(задача написана на доске)

Формулировка: в параллелограмме известны смежные стороны а=18 см и b=30 см, и меньшая из высот h₁=6. Найдите h₂.

Сделаем рисунок аналогичный тому, что был в предыдущей задаче. (учитель сам делает рисунок)

Дан параллелограм, его сторона а=18 см, b=30 см. Проведём в параллелограмме две высоты h₁ и h₂, h₁ < h₂, и h₁=6 см. Нужно найти вторую высоту h₂.

Можно ли сразу найти h₂?

А что мы можем сделать сразу?

Чему будет равна площадь параллелограмма? (учитель записывает на доске)

Теперь мы попадаем в условия предыдущей задачи, где была известна площадь параллелограмма и сторона. Как найдём h₂?

(учитель записывает на доске)

Таким образом, S=b* h₁ и S=a* h₂. Чему же тогда будет равна будет равна высота h₂?

Совершенно верно, мы получили второй способ решения этой задачи, запишем его.

Каким методом мы решали эту задачу?

Где мы ранее встречались с этим методом?

Совершенно верно! В чём суть этого метода?

Хорошо! Теперь попробуйте составить аналогичную задачу для треугольника, которая бы также решалась методом площадей.

(Учитель даёт ученикам время подумать, затем просит одного выйти к доске.)

Постройте, пожалуйста, треугольник и проведите в нем две высоты.

По аналогии с предыдущей задаче, скажите, что должно быть дано в этой задаче?

Как будем искать h₂?

(Ученик записывает на доске, ученики в тетрадях.)

Совершенно верно! Пусть теперь неизвестно а, выразите а через известные величины, используя полученное равенство.

Хорошо.

Метод площадей часто используется при решении более сложных задач. В домашней работе также будут задачи, которые решаются этим методом.

Сейчас мы попробуем с вами решить такую задачу.

Формулировка: докажите, что площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Перед тем как начать решать эту задачу, давайте вспомним, какой многоугольник называется ромбом?

Каким свойством обладает ромб.

Постройте ромб.

Запишем условие задачи, что дано?

Пусть точка пересечения диагоналей - точка О. Что нужно доказать в задачей?

Как будем решать задачу? Посмотрите на рисунок, на какие фигуры ромб делят его диагонали?

Какие это треугольники?

Хорошо! Скажите, чему равна площадь одного такого треугольника?

Почему?

Сформулируйте эти свойства.

Хорошо! А теперь запишем решение на доске и в тетрадях.

(Ученик выходит к доске.)

Проговорим ещё раз, какой метод мы использовали при решении этой задачи?

Как мы разбивали ромб?

Как данный приём помог нам при решении задач?

С построения чертежа.

ABCD - параллелограмм; АВ=12 см.; AD=14 см.; ےBAH=30`

S_ABCD - площадь параллелограмма.

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.

Нам известна длина основания, но нам неизвестна высота.

Мы получили прямоугольный треугольник АВН.

Катет ВН, который также является высотой параллелограмма.

(по свойству прямоугольного треугольника)

Решение.

1. Проведём высоту из вершины В к основанию AD - ВН.

2. Рассмотрим треугольник АВН - прямоугольный.
   
   ВН=АВ*, по свойству прямоугольного треугольника;
   
   ВН= (см).

3. (см²)

Ответ: =84 см².

Площадь параллелограмма.

Для нахождения площади использовали данную в условии задачи сторону параллелограмма, а высоту нашли по свойству прямоугольного треугольника.

Площадь параллелограмма ABCD, смежные стороны AB и AD.

Высоты параллелограмма.

Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, значит высота равна отношению площади к стороне: см; см.

Решение.

1. S_ABCD=AD*h₁;
   
   ;

2. S_ABCD=CD*h₂;
   
   .

Ответ: см; см.

Эта задача является обратной.

В первой задаче мы находили площадь параллелограмма по известным элементам, а в этой задаче нам была дана площадь, а неизвестные мы выражали из формулы площади.

Нет.

Площадь параллелограмма.

S=b* h₁=30*6=180

(В тетрадях и на доске.

Решение.

1. S=b* h₁=30*6=180 (см²) - площадь параллелограмма;

2. S=a* h₂;
   
   (см) - высота h₂.

Ответ: h₂=10 см.)

h₂=

(Второй способ:

S=b* h₁, S=a* h₂, тогда

h₂= (см).)

При решении мы использовали метод площадей.

При доказательстве теорем. Теорема о площади прямоугольника.

Вычисляем площадь многоугольника различными способами, приравниваем полученные выражения и из полученного равенства выражаем искомые величины.

Две стороны и одна из высот.

Пусть a=16, b=22, h₁=11.

Решение.

;

;

;

=8.

Ответ: .

.

Универсальные логические действия:

- построение логической цепи рассуждений.

Усвоение новых знаний и способов усвоения. Первичное закрепление.

сформировать способность применять известные методы в новых условиях.

Хорошо!

Посмотрите на решённую задачу, попробуем решить его другим способом. Какой ещё метод мы использовали ранее при решении задача и доказательстве теорем?

До какой фигуры нам будет удобно достроить ромб?

Достроим ромб до прямоугольника, обозначим его KMNL. Чему будет равна площадь этого прямоугольника?

Посмотрите на рисунок, на какие фигуры разбит прямоугольник KMNL?

Почему эти треугольники равны между собой?

Из скольких равных треугольников состоит ромб ABCD?

Чему будет равна его площадь?

Хорошо! Мы получили другой способ решения этой задачи.

Какой метод мы использовали для её решения?

Хорошо! Запишите этот способ решения в своих тетрадях дома, также в домашнем задании вам нужно будет решить задачу: вывести формулу для вычисления площади четырёхугольника, диагонали которого взаимно перпендикулярны. При решении этой задачи обратитесь к задаче, решённой на этом уроке. Можете решить её тем способом, который кажется вам наиболее удобным.

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

Ромб, обозначим его ABCD, AC и BD его диагонали, взаимно перпендикулярны.

.

Диагонали делят ромб на 4 треугольника.

Все эти треугольники прямоугольные и равны между собой, по двум катетам.

Половине произведения его катетов, то есть ,где , а , значит, .

По свойствам площади.

Равные многоугольники имеют равные площади.

Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.

Решение.

1. Диагонали ромба ABCD делят его на 4 прямоугольных треугольника АОВ, ВОС, COD, AOD. Эти треугольники равны между собой, по двум катетам;

2. , (по свойствам площади);

3. Вычислим площадь прямоугольного треугольника
   
   ,
   
   , ,
   
   ;

4. .

Метод разбиения.

Диагонали ромба разбили его на 4 равных между собой прямоугольных треугольника.

Площади треугольников мы могли найти по данным задачи, а площадь ромба, по свойству площадей, равна сумме площадей этих треугольников.

Метод достраивания.

До прямоугольника со смежными сторонами равными диагоналям ромба.

Произведению его смежных сторон, то есть произведению .

KMNL разбит на 8 равных прямоугольных треугольников.

Все треугольники прямоугольные и равны по двум катетам.

Из 4 равных треугольников.

Половине площади прямоугольника.

Метод достраивания и разбиения. Мы достроили ромб до прямоугольника, а затем разбили прямоугольник на 8 равных треугольников.

Общеучебные уд: придумывание аналогичногго примера.

Регулятивные ууд:

контроль в форме сличения способа действия и его результата с заданным эталоном с целью обнаружения отклонений и отличий от эталона; коррекция - внесение необходимых дополнений и корректив в план и способ действия в случае расхождения эталона, реального действия и его продукта;

Оценка - выделение и осознание учащимся того, что уже усвоено и что еще подлежит усвоению, осознание качества и уровня усвоения

Подведение итогов урока. Информация о домашнем задании

Дать качественную уценку работы класса и отдельных обучаемых

Чем мы занимались на этом занятии?

Какие методы мы использовали при решении задач?

В чём заключается метод площадей.

В чём суть метода дополнительных построений - достраивание?

В чём особенность метода разбиения?

Что нового вы узнали на занятии?

Дома я предлагаю вам решить следующие задачи из учебника: 462, 463, 465, 476а и 478.

Перед тем как приступить к решению задач, ещё раз просмотрите задачи, решённые в классе. Особое внимание прошу уделить задаче 478. Прочитайте её сейчас. Как вы будете решать эту задачу?

Решали задачи на применение изученных формул для вычисления площади.

Метод площадей, метод дополнительных построений (достраивание и разбиение), метод площадей.

Вычисляем площадь многоугольника различными способами, полученные выражения приравниваем, а затем получаем из полученного равенства искомые величины.

Достраиваем данный многоугольник до многоугольника, который удобно рассматривать при решении задачи.

Разбиваем многоугольник на многоугольники, которые удобно рассматривать при решении задачи.

Мы вывели формулу для вычисления площади ромба.

Аналогично последней задаче, решённой в классе.

Познавательные ууд:

рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности;

самостоятельное формулирование познавательной цели.

Регулятивные ууд:

оценка- выделение и осознание учащимися того, что еще подлежит усвоению, осознание качества и уровня усвоения.

Коммуникативные ууд:

умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации.

Рефлексия

Инициировать рефлексию детей по поводу психоэмоционального состояния, мотивации их собственной деятельности и взаимодействия с другими детьми в классе

Как вы считаете, мы выполнили поставленные задачи?

Поднимите руки те, кто хорошо понял тему урока.

Теперь поднимите руки те, кто совсем не понял тему урока.

рефлексия

</<font face="Times New Roman, serif">Познавательные: рефлексия.