Урок по теме 'Применение определенного интеграла'

Государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования

Луганской Народной Республики

«Краснолучский колледж технологии строительства и прикладного искусства»

Методическая разработка урока

по теме: «Применение определенного интеграла»

по предмету: «Алгебра и начала анализа»

Разработал:

преподаватель математики

Бородина Елена Анатольевна

г. Красный Луч

2015

Аннотация

Разработка урока-игры по алгебре и началам анализа по теме: «Применение определенного интеграла» с медиапрезентацией, цель которого - способствовать формированию и развитию интеллектуальных и творческих способностей в процессе изучения материала; формировать понимание значимости предмета математики в других отраслях знаний; приблизить учебную ситуацию к профессиональной.

Для учащихся 11 классов и учащихся учреждений СПО по профессии экономической направленности.

ТЕМА УРОКА:

Применение определенного интеграла

ТИП:

Урок обобщения и систематизации знаний (бизнес-игра)

ЦЕЛИ:

Обучающие:

• обобщение знаний по теме «Определённый интеграл »;

• реализация деятельностного подхода в обучении;

• установление межпредметных связей

Развивающие:

• развитие интеллектуальных способностей учащихся;

• воспитание стремления к непрерывному совершенствованию своих знаний

Воспитательные:

• формирование ответственности и последовательности в выполнении своих действий;

• формирование умения работать в группе;

• формирование понимания значимости предмета математики в других отраслях знаний.

МЕТОДЫ И ПРИЁМЫ:

Коллективная робота

ОБОРУДОВАНИЕ:

Мультимедийный проектор, компьютер, бланки, «дерево компетентностей»

ПРИЛОЖЕНИЯ:

Видеоролики, мультимедийная презентация

ПЛАН УРОКА:

1. Организационный момент (4 мин)

1. 4. Объявление темы и цели заседания.

2. Актуализация опорных знаний (8 мин)

3. Основная часть (20 мин)

1. Применение интеграла в геометрии.

2. Применение интеграла в физике.

3. Применение интеграла в экономике.

3. Контроль и самопроверка знаний (10 мин)

4. Подведение итогов (3 мин)

ХОД УРОКА.

1. Организационный момент

Приветствие. Группа учащихся делится на конкурирующие фирмы (по 4-6 уч-ся) и аудиторов (2 уч-ся). Каждую фирму возглавляет президент.

Цели делового заседания:

1. Показать значимость интегрального исчисления в развитии различных областей наук;

2. Реализовать деятельностный подход в обучении.

Девиз урока: «Вряд ли мне следует объяснять, что одна из важнейших задач математики - помощь другим наукам». Морделл Луис Джоэл.

II. Актуализация опорных знаний

Прежде чем приступить к работе заседающих, предлагаю возобновить в памяти данные об интеграле. После просмотра видеоролика ответьте на вопросы:

1. Кем был введен символ интеграла? Готфридом Лейбницем в 1675 г.

2. Как называется множество всех первообразных для функции f(x)? Неопределенный интеграл

3. По свойству неопределенного интеграла чему равен интеграл суммы функций? Сумме интегралов от каждой из функций

4. В каком случае определенный интеграл равен 0. Если верхний и нижний пределы совпадают.

Чтобы тщательно изучить приложения определенного интеграла, необходимо знать формулы вычисления первообразных.

Президенты самостоятельно распределяют в фирме карточки с заданиями на соответствие. Карточки двух уровней: желтые -1 уровня сложности:

Установите соответствие между данными функциями (1-4) и их первообразной (А-Д).

1

А)

Б)

В)

Г)

Д)

А

Б

В

Г

Д

1

2

3

4

.

2.

3.

4.

зеленые -2 уровня сложности:

Установите соответствие между интегралами (1-4) и их числовыми значениями (А-Д).

1

А)

Б)

В) 0,75

Г) 20

Д) 1120,4

А

Б

В

Г

Д

1

2

3

4

.

2.

3.

4.

Результаты оценивают аудиторы.

III. Основная часть

1.1. Применение интеграла в геометрии: нахождение площади фигуры.

Не секрет, что с помощью определенного интеграла можно найти площадь фигуры, ограниченной линиями. Фирма, которая выбыла из борьбы, прислала вам видео-задачу. Внимание на экран…

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями х²-у=0, х²+у-2=0.

Решение:

.

Найдем пределы интегрирования, решив уравнение , , , .

.

Ответ: .

1.2. Применение интеграла в геометрии: нахождение объема тела вращения.

Предлагаю совместно рассмотреть, как можно найти объем конуса, применяя определенный интеграл.

Объем конуса:

Дано: y=kx ; x=0 ; x=h ; y=0

Криволинейная трапеция

ox-ось вращения

Доказать: V= 1/3Sh

V= 𠃲(x)

Доказательство: y=kx ; R=tg∙ r/h

V = (2/hx)²dx = r²/h²·x³/3 | = r²/h²·h³/3 = 1/3 r²h = 1/3Sh

2. Применение интеграла в физике.

В физике интеграл применяется для вычисления работы переменной силы, вычисления массы неоднородного стержня и для вычисления расстояния по известному закону изменения скорости. Рассмотрим задачу последнего типа.

Тело двигается прямолинейно со скоростью, которая изменяется по закону . Найти расстояние, пройденное телом за интервал времени от t₁=1с до t₂=3с.

Решение:

.

2. Применение интеграла в экономике.

Интеграл широко применяют при решении экономических задач. Например,

Определить запас товаров в магазине, образуемый за три дня, если поступление товаров характеризуется функцией f(t) = 2t + 5.

Решение. Имеем:

V =.

IV. Контроль и самопроверка знаний

Предлагаю каждой из фирм решить задачу экономического характера и представить её аудитории. А приглашенные аудиторы оценят работы.

Задача 1. Известно, что спрос на некоторый товар задается функцией p = 4 - q², где q - количество товара (в шт.), p - цена единицы товара (в грн.), а равновесие на рынке данного товара достигается при p* = q* = 1. Определите величину потребительского излишка.

Потребительский излишек можно посчитать по следующей формуле

Решение.

Задача 2. Определить объем продукции, произведенной рабочим за третий час рабочего дня, если производительность труда характеризуется функцией

f(t) = 3/(3t +1) + 4.

Решение. Если непрерывная функция f(t) характеризует производительность труда рабочего в зависимости от времени t, то объем продукции, произведенной рабочим за промежуток времени от t₁ до t₂ будет выражаться формулой V =.

В нашем случае

V = = ln 10 + 12 - ln 7 - 8 = ln 10/7 + 4.

V. Подведение итогов.

В завершении нашей встречи хочется отметить, что при выполнении заданий «шагая», пусть не всегда уверенно, но осознавая куда, зачем и как, вы, уважаемые учащиеся, получили ни с чем не сравнимый свой собственный драгоценный опыт!

На основании которого можно сделать вывод:

* Определенный интеграл - это некоторый фундамент для изучения математики, которая вносит незаменимый вклад в решение задач практического содержания.

* Тема «Интеграл» ярко демонстрирует связь математики с физикой, биологией, техникой и экономикой.

* Развитие современной науки немыслимо без использования интеграла. В связи с этим, начинать его изучение необходимо в рамках средней общеобразовательной школы!

Итак, урок окончен. Пользуясь «деревом компетентности» оцените свой уровень полученных знаний. Красный - радость успеха, зеленый - получил определенную сумму знаний, желтый - не доволен собой.

Стихотворение Петра Долженкова

«Определенный интеграл»

Определенный интеграл,

Ты мне ночами начал сниться,

Когда тебя впервые брал,

Я ощутил твои границы.

И ограниченность твоя

Мне придавала больше силы.

С тобой бороться должен я,

Но должен победить красиво!

Какое счастие познал

Я в выборе первообрАзной,

Как долго я ее искал,

Как мне далась она не сразу.

Замен и подстановок ряд

Привел к решению задачи.

Ты побежден! Ты мною взят!

Да и могло ли быть иначе…