Зачет по алгебре и началам анализа в 11 классе ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ

ЗАЧЕТЫ

ПО АЛГЕБРЕ И НАЧАЛАМ АНАЛИЗА

В 11 КЛАССЕ

Учитель математики: Чубарь Нина

Сергеевна

Зачет по теме:

«Производная и её применение»

Теоретические вопросы:

1. Приращение функции и аргумента.

2. Определение производной.

3. Геометрический и физический смысл производной.

Мгновенная скорость.

4. Таблица производных элементарных функций.

5. Правила вычисления производных (производная суммы,

разности, произведения и частного).

6. Производная сложной функции.

7. Непрерывность функции. Метод интервалов.

8. Критические точки функции.

9. Стационарные точки.

10. Точки перегиба.

11. Точки экстремума функции.

12. Необходимое и достаточное условие существования

экстремума функции.

13. Наибольшее и наименьшее значение функции.

14. Уравнение касательной функции.

15. Признак возрастания и убывания функции.

16. Приближенные вычисления.

17. Исследование функции с помощью производной.

Задачи

Уровень А

-каждое задание оценивается в 3 балла

1. Найдите приращение функции в точке х₀, если f(x)=; х₀=3; Δх =0,1.

2. Вычислите значение производной функции f(x) = 4x⁷+6x⁴+10x при х=1.

3. Решите неравенство f'(x)>0, если f(x)=-6x²-15x.

4. Вычислите производную функции f(x)=

5. Найдите значение производной функции при заданном значении аргумента, если f(x)=2 tg x; x₀=0.

6. Решите уравнение: f'(x)=0, если f(x)=-x³+4х²-9x.

7. Вычислите в точке х₀, если f(x)=15x²-7, х₀=2, Δх =0,5.

8. Вычислите значение производной функции f в данной точке, если

f(x)=2х ∙ cosx; x₀=0.

9. Найдите значения х, при которых производная функции f равна нулю, если f(x)=2 x⁴-16х³.

10. Решите неравенство (3х-6)(2х+4) ≥ 0.

11. Найдите область определения функции f(х) = .

12. Точка движется прямолинейно по закону х (t) = 6t³+2t-3. Найдите скорость в момент времени t= 2 с.

13. Найдите промежутки возрастания функции f(х) = 7х²-8х+3

14. Найдите критические точки функции f(х) = 8х³-5х²-4.

15. Определите, какие из них являются точками максимума, а какие - точками минимума.

16. Докажите, что функция f(х) = 6х⁵+4х не имеет критических точек.

17. Найдите промежутки убывания функции f(х) = 4+16х-х

18. Напишите уравнение касательной к графику функции f(х) = х³-6 в точке с абсциссой х₀ = -1 Найдите тангенс угла наклона к оси абсцисс касательной, проходящей через данную точку А (1;2) графика функции f(х) = х²+4х

Уровень В

-каждое задание оценивается в 4 балла

1. Найдите мгновенную скорость точки, движущейся по закону х (t)=t²-4, в момент времени t₀=4.

2. Найдите f'(x), f'(-2), если f(x) = (2+)(x-2).

3. Решите неравенство f'(x)>0, если f(x)=sin²x.

4. Найдите производную данной функции f(x)=. Вычислите

5. 2f'(-2)+3f (1).

6. Вычислите значение производной функции при заданном значении аргумента, если f(x)= ()∙ ctgx; x₀=.

7. Составьте и решите уравнение: f'(x)= f(x) - 3х, если f(x)=3х+.

8. Найдите производную функции f(x)=(2-)∙tg2x.

9. Решите уравнение f'(x)=0, если f(x)=1,5sin2x-5sinx-x.

10. Докажите, что при всех допустимых значениях х производная функции g(x) не может принимать отрицательных значений, если: g(x)=tg.

11. Вычислите приближенное значение 1,005¹⁰⁰.

12. На графике функции g(х) = найдите точку, в которой касательная к графику параллельна оси абсцисс.

13. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции

14. f(х) = (х²+2)(х³-3), в точке х₀ = 2.

15. Найдите точки экстремума функции f(х) = (х+1)²(х+5)².

16. Найдите критические точки функции f(х) = sin.

17. Колесо вращается так, что угол поворота пропорционален квадрату времени. Первый оборот был сделан колесом за 6 с. Найдите угловую скорость через 40с после начала вращения.

18. Найдите наибольшее значение функции f(х) = (х+1)²(х+4) на данном промежутке [-5;0]

19. Исследуйте функцию у= 2х²+3х-5 и постройте её график.

20. При каких значениях n функция f(х) = непрерывна на всей числовой прямой.

Уровень C

- каждое задание оценивается в 5 баллов

1. Найдите корни уравнения f '(x)=0, принадлежащие отрезку [], если f(х) = cos (.

2. Найдите производную функции f(x) =, в точке х₀=.

3. Укажите, какой формулой можно задать функцию у= f(x), если

4. f '(x)=-20 (4-5х)³.

5. Найдите точки, в которых f '(х)=0, f '(x)>0, если f (x)=4x+cos (4x-).

6. Найдите значения аргумента, удовлетворяющие условию f '(х)=g' (x), если f(x)= , g (x) =.

7. Найдите производную функции у=tg(3x-), в точке х₀=.

8. Дано: f(x) = csin2x+ d cosx, f '()= 4; f '()=-8. Чему равны c и d?

9. Вычислите скорость изменения функции у= cos () в точке х₀=.

10. При каких значениях х выполняется равенство f '(х)=2, если известно, что

f (х)=2-5?

11. Исследуйте функцию и постройте её график: у = .

12. Среди всех равнобедренных треугольников с боковой стороной 5 см найдите треугольник наибольшей площади.

13. Исследуйте функцию у=х² и постройте её график.

14. Найдите точки экстремума функции f(х) = cos 2х+2sin х .

15. Известно, что наименьшее значение функции f(х) = 3х²-х³ на промежутке

[-2; в] равно нулю. При каком максимальном значении выполняется это

условие?

16. Составьте уравнение касательной к графику функции f(х) =, если её угловой коэффициент равен к=.

Примеры решения задач по теме: «Производная»

1). Найдите приращение функции в точке х₀, если f(x)=; х₀=1; Δх =0,1.

Решение:

1. Находим значение х₀+Δх: х₀+Δх=1+0,1=1,1

2. Вычисляем значение f(x₀): f(1)=

3.Вычисляем значение f(x₀+Δх): f(1,1)=

4. Находим приращение функции Δf(x): Δf(x)= f(1,1)- f(1)=0,605- 0,5=0,105

Ответ: Δf(x)=0,105

2). Вычислите значение производной функции f(x) = 8x⁶+5x³+12x при х=1.

Решение:

1. f '(x) = (8x⁶)' +(5x³)' +(12x)'=8∙6х⁵+5∙3х²+12∙1=48х⁵+15х²+12

2. f '(1)= 48∙1⁵+15∙1²+12=75

Ответ: 75

3). Решите неравенство f '(x)>0, если f(x)= -10x²-17x.

Решение:

1. f '(x)=(-10x²)'- (17x)'= -10∙2х-17∙1= -20х-17

2. f '(x)>0, -20х-17>0, -20х >17, х< -

Ответ: f '(x)>0, при х<-.

4). Вычислите производную функции f(x)=

Решение:

f '(x)==

</

5). Найдите значение производной функции при заданном значении аргумента, если f(x)=5 tgx, x₀=.

Решение:

1. f '(x)=( 5 tgx)'=5∙

2. f '()=5∙

Ответ: f '()=20

6). Решите уравнение: f '(x)=0, если f(x)=x³+х²-3x.

Решение:

1. f '(x)=(x³)'+(х²)'-(3x)'=∙3x²+∙2х-3∙1=2х²+х-3

2. f '(x)=0, 2х²+х-3=0, D= в²-4ас=1²-4∙2∙ (-3)=25,

х₁=

х₂=

Ответ: f '(x)=0, при х = -1,5; 1

7). Вычислите значение производной функции в данной точке, если

f (x)=3х∙sin x, x₀=0

Решение:

1. (u∙v)'=u'∙v + u∙v'

f '(x)=(3x)' sin x + 3x ∙(sin x)' = 3 ∙sin x + 3x ∙ cos x

2. f '(0)= 3∙ sin 0 + 3∙ 0 ∙cos 0 = 3 ∙0 + 0 ∙1 = 0

Ответ: f '(0)= 0

Примеры решения задач по теме «Применение производной»

1). Решите неравенство (4х-6)(5х+10) ≥ 0.

Решение:

1. Рассмотрим функцию у= (4х-8)(5х+10)

2. Найдем нули функции: у=0, (4х-8)(5х+10) = 0, 4х-8=0 или 5х+10=0

4х=8 5х=-10

+ _ +

3. """"∙ ∙""""" х

-2 2

Ответ: (],

2). Найдите область определения функции f(х) = .

Решение:

1. Решим неравенство: 2х²+х-3≥ 0

2. Рассмотрим функцию у=2х²+х-3 и найдем ее нули:

2х²+х-3=0, D= в²-4ас=1²-4∙2∙ (-3)=25,

х₁=

х₂=

+ - +

3. """"∙ ∙""""" х

-1,5 1

Ответ: (],

3). Точка движется прямолинейно по закону х (t) = 5t³+30t-7 (м). Найдите скорость в момент времени t= 1 с.

Решение:

1. v(t)= х '(t) =(5t³+30t-7)'=5∙3t²+30∙1-0=15 t²+30

2. v(1)= 15 ∙1²+30= 45 (м/с)

Ответ: v(1)= 45 м/с.

4). Найдите промежутки возрастания и убывания функции f(х) = 10х²-2х+1

Решение:

1. Область определения функции: D(f)=R

2. Найдем производную функции: f '(х) = (10х²-2х+1)'=10∙2х-2∙1+0=20х-2

3. Решим неравенства: а) f '(х)>0, б) f '(х)<0.

20х-2>0 20х-2<0

20х>2 20х<2

х > х <

Ответ: функция f(х) = 10х²-2х+1 возрастает при х >, убывает при х < .

5). Найдите критические точки функции f(х) = 5х³+3х²-1

Определите, какие из них являются точками максимума, а какие - точками минимума.

Решение:

1. Найдем производную данной функции: f (х) = (5х³+3х²-1)'=

=5∙3х²+3∙2х-0=15х²+6х

2. Найдем критические точки: f '(х)=0, 15х²+6х=0, 3х (5х+2)=0, х=0 или 5х+2=0, 5х = -2, х = -0,4

+ - +

3. """"∙ ∙""""" х

-0,4 0

max min

Ответ: х_max= -0,4, x_min=0.

6). Напишите уравнение касательной к графику функции f(х) = 3х³+4 в точке с абсциссой х₀ = 2.

Решение:

1. Найдем у₀= f (х₀): f(2)= 3∙2³+4=28

2. Найдем f '(х): f '(х)= (3х³+4)'=3∙3х²+0=9х²

3.Найдем f '(х₀): f '(2)=9∙2²=36

4. Подставим полученные результаты в уравнение касательной:

у= у₀ + f '(х₀)∙ (х-х₀):

у=28+36(х-2), у=28+36х-72, у=36х-44- искомое уравнение касательной.

7). Найдите тангенс угла наклона к оси абсцисс касательной, проходящей через данную точку А (2;-3) графика функции f(х) =х³+2х.

Решение:

1. Найдем производную: f '(х) =(х³+2х)'=3х²+2

2. Найдем f '(х): f '(2)= 3∙2²+2=14

3. tg= f '(2)=14

Ответ: 14

Литература.

1. Алгебра и начала математического анализа 10 класс. Учебник. Базовый и профильный уровни Никольский С.М. и др. 8-е изд. - М.: Просвещение, 2009.

2. А.П. Ершова, В.В. Голобородько. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и началам анализа для 10-11 классов.

3.Ю.А. Глазков, И.К. Варшавский, М.Я. Галашвили. Тесты по алгебре и началам анализа. 10 класс. Издательство «Экзамен». Москва,2010.