Поурочные планы по алгебре 9 класс Макарычев 3часа в неделю

В соответствии с этими знаниями и умениями учащиеся выполняют пять групп заданий.

Упражнения:

1-я г р у п п а.

1. На рисунке изображен

график функции у = f (х).

Перечислите ее свойства.

2. Для каждого из графиков, изображенных на рисунке, найдите соответствующую функцию.

у = х³; у = х²;

у = ; у = | х |;

у = х + 1; у = -;

у = ; у = -3х - 1.

2-я г р у п п а.

1. Постройте график функции у = -х² + 2х + 4 и перечислите ее свойства.

2. Определите, график какой функции изображен на рисунке:у = -х² - 2х + 1

у = х² + х + 1

у = 2х² + 4х + 1

у = 3х² + 6х

3. Найдите область значений функции у = х² + 4х - 7.

3-я г р у п п а.

1. Сократите дробь:

а) ; б) .

4-я г р у п п а.

1. Сколько корней имеет уравнение:

а) х⁷ = 9; в) х⁵ = -; д) х¹⁵ = 0;

б) х⁶ = 5; г) х¹⁰ = -; е) х²⁰ = 0?

2. Сравните:

а) 5,2⁵ и 7,1⁵; г) и (-1,3)⁶;

б) и ; д) (-1,8)⁹ и 0,6;

в) 0 и (-6,2)⁸; е) (-6,1)¹² и .

5-я г р у п п а.

Вычислите:

а) ; г) ;

б) ; д) ;

в) ; е) .

IV. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

- Что такое область определения и область значений функции?

- Перечислите области определения и области значений всех элементарных функций.

- Как построить график квадратичной функции?

- Как влияют коэффициенты а, b и с на расположение графика квадратичной функции?

- Как разложить квадратный трехчлен на множители?

- Какие существуют способы разложения многочлена на множители?

- Перечислите свойства функции у = х⁴³.

- Имеет ли смысл выражение: ?

Домашнее задание: № 214 (а, в), № 222, № 227, № 243 (д, е), № 257.

У р о к 23. Дата:

Контрольная работа № 1

В а р и а н т 1

1. Разложите на множители квадратный трехчлен:

а) х² - 14х + 45; б) 3у² + 7у - 6.

2. Постройте график функции у = х² - 2х - 8. Найдите с помощью графика:

а) значение у при х = -1,5;

б) значения х, при которых у = 3;

в) нули функции;

г) промежутки, в которых у > 0 и в которых у < 0;

д) промежуток, в котором функция возрастает.

3. Сравните:

а) и ; в) (-4,1)¹¹ и (-3,9)¹¹;

б) (-1,3)⁶ и (-2,1)⁶; г) и 0,01¹⁴.

4. Вычислите:

а) ; б) ; в) .

5. Сократите дробь .

6. Найдите наименьшее значение квадратного трехчлена х² - 6х + 11.

В а р и а н т 2

1. Разложите на множители квадратный трехчлен:

а) х² - 10х + 21; б) 5у² + 9у - 2.

2. Постройте график функции у = х² - 4х - 5. Найдите с помощью графика:

а) значение у при х = 0,5;

б) значения х, при которых у = 3;

в) нули функции;

г) промежутки, в которых у > 0 и в которых у < 0;

д) промежуток, в котором функция убывает.

3. Сравните:

а) (-1,7)⁵ и (-2,1)⁵; в) 4,7⁹ и ;

б) и ; г) 5,7¹² и (-6,3)¹².

4. Вычислите:

а) ; б) ; в) .

5. Сократите дробь .

6. Найдите наибольшее значение квадратного трехчлена -х² + 4х + 3.

Домашнее задание: Решить другой вариант

В а р и а н т 3

1. Разложите на множители квадратный трехчлен:

а) х² - 12х + 35; б) 7у² + 19у - 6.

2. Постройте график функции у = х² - 6х + 5. Найдите с помощью графика:

а) значение у при х = 0,5;

б) значения х, при которых у = -1;

в) нули функции;

г) промежутки, в которых у > 0 и в которых у < 0;

д) промежуток, в котором функция возрастает.

3. Сравните:

а) и ; в) (-2,3)⁶ и (-4,1)⁶;

б) (-1,7)³ и (0,4)³; г) и (-1,4)¹⁰.

4. Вычислите:

а) ; б) ; в) .

5. Сократите дробь .

6. Найдите наименьшее значение квадратного трехчлена х² - 8х + 7.

В а р и а н т 4

1. Разложите на множители квадратный трехчлен:

а) х² - 18х + 45; б) 9х² + 25х - 6.

2. Постройте график функции у = х² - 8х + 13. Найдите с помощью графика:

а) значение у при х = 1,5;

б) значения х, при которых у = 2;

в) нули функции;

г) промежутки, в которых у > 0 и в которых у < 0;

д) промежуток, в котором функция возрастает.

3. Сравните:

а) 3,4¹¹ и 4,2¹¹; в) и (-0,7)⁹;

б) и (-1,2)⁸; г) (-2,4)⁴ и 1,2⁴.

4. Вычислите:

а) ; б) ; в) .

5. Сократите дробь .

6. Найдите наибольшее значение квадратного трехчлена -х² + 6х - 4.

Решение вариантов контрольной работы

В а р и а н т 1

1. а) х² - 14х + 45 = (х - 5) (х - 9);

х² - 14х + 45 = 0;

х₁ = 5, х₂ = 9.

б) 3у² + 7у - 6 = 3 (у - ) (у + 3) = (3у - 2) (у + 3);

3у² + 7у - 6 = 0;

D = 49 + 72 = 121;

у_{1, 2} = ;

у₁ = , у₂ = -3.

2. у = х² - 2х - 8 - квадратичная функция, графиком является парабола.

Так как а > 0, то ветви направлены вверх. Найдем координаты (т; п) вершины параболы:

m = = 1; п = 1 - 2 - 8 = -9;

А (1; -9) - вершина параболы.

3. а) > ; в) (-4,1)¹¹ < (-3,9)¹¹;

б) (-1,3)⁶ < (-2,1)⁶; г) > 0,01¹⁴.

4. а) ;

б) ;

в) .

5. ;

3р² + р - 2 = 0;

D = 1 + 24 = 25;

р_{1, 2} = ;

р₁ = , р₂ = -1.

6. х² - 6х + 11.

1-й с п о с о б.

Выделим квадрат двучлена из квадратного трехчлена:

х² - 6х + 11 = х² -2 · 3 · х + 9 - 9 + 11 = (х - 3)² + 2.

Это выражение принимает наименьшее значение при х = 3, и оно равно 2.

2-й с п о с о б.

у = х² - 6х + 11 - квадратичная функция, графиком является парабола, ветви которой направлены верх. Наименьшее значение квадратного трехчлена х² - 6х + 11 - это ордината вершины этой параболы:

т = = 3; п = 9 - 18 + 11 = 2;

2 - наименьшее значение квадратного трехчлена х² - 6х + 11.

В а р и а н т 2

1. а) х² - 10х + 21 = (х - 3) (х - 7);

х² - 10х + 21 = 0;

х₁ = 3, х₂ = 7.

б) 5у² + 9у - 2 = 5 (у - ) (у + 2) = (5у - 1) (у + 2);

5у² + 9у - 2 = 0;

D = 81 + 40 = 121;

у_{1, 2} = ;

у₁ = , у₂ = -2.

2. у = х² - 4х - 5 - квадратичная функция, графиком является парабола.

Так как а > 0, то ветви направлены вверх. Найдем координаты (т; п) вершины параболы:

m = = 2; п = 4 - 8 - 5 = -9;

А (2; -9) - вершина параболы.

3. а) (-1,7)⁵ > (-2,1)⁵; в) 4,7⁹ > ;

б) > ; г) 5,7¹² < (-6,3)¹².

4. а) ;

б) ;

в) .

5. ;

4с² + 7с - 2 = 0;

D = 49 + 32 = 81;

с_{1, 2} = ;

с₁ = , с₂ = -2.

6. -х² + 4х + 3.

1-й с п о с о б.

Выделим квадрат двучлена из квадратного трехчлена:

-х² + 4х + 3 = -(х² - 4х - 3) = -(х² -2 · 2 · х + 4 - 4 -3) = -((х - 2)² - 7) =

= -(х - 2)² + 7.

Это выражение принимает наибольшее значение при х = 2, и оно равно 7.

2-й с п о с о б.

у = -х² + 4х + 3 - квадратичная функция, графиком является парабола, ветви которой направлены вниз. Наибольшее значение квадратного трехчлена -х² + 4х + 3 - это ордината вершины этой параболы:

т = = 2; п = -4 + 8 + 3 = 7;

7 - наибольшее значение квадратного трехчлена -х² + 4х + 3.

В а р и а н т 3

1. а) х² - 12х + 35 = (х - 5) (х - 7);

х² - 12х + 35 = 0;

х₁ = 5, х₂ = 7.

б) 7у² + 19у - 6 = 7 (у - ) (у + 3) = (7у - 2) (у + 3);

7у² + 19у - 6 = 0;

D = 361 + 168 = 529;

у_{1, 2} = ;

у₁ = , у₂ = -3.

2. у = х² - 6х + 5 - квадратичная функция, графиком является парабола.

Так как а > 0, то ветви направлены вверх. Найдем координаты (т; п) вершины параболы:

т = = 3; п = 9 - 18 + 5 = -4;

А (3; -4) - вершины параболы.

3. а) < ; в) (-2,3)⁶ < (-4,1)⁶;

б) (-1,7)³ < (0,4)³; г) < (-1,4)¹⁰.

4. а) ;

б) ;

в) .

5. ;

5а² + 19а - 4 = 0;

D = 361 + 80 = 441;

а_{1, 2} = ;

а₁ = , а₂ = -4.

6. х² - 8х + 7.

1-й с п о с о б.

Выделим квадрат двучлена из квадратного трехчлена:

х² - 8х + 7 = х² -2 · 4 · х + 16 - 16 + 7 = (х - 4)² - 9.

Это выражение принимает наименьшее значение при х = 4, и оно равно -9.

2-й с п о с о б.

у = х² - 8х + 7 - квадратичная функция, графиком является парабола, ветви которой направлены вверх. Наименьшее значение квадратного трехчлена х² - 8х + 7 - это ордината вершины этой параболы:

т = = 4; п = 16 - 32 + 7 = -9;

-9 - наименьшее значение квадратного трехчлена х² - 8х + 7.

В а р и а н т 4

1. а) х² - 18х + 45 = (х - 3) (х - 15);

х² - 18х + 45 = 0;

х₁ = 3, х₂ = 15.

б) 9х² + 25х - 6 = 9 (х - ) (х + 3) = (9х - 2) (х + 3);

9х² + 25х - 6 = 0;

D = 625 + 216 = 841;

х_{1, 2} = ;

х₁ = , х₂ = -23.

2. у = х² - 8х + 13 - квадратичная функция, графиком является парабола.

Так как а > 0, то ветви направлены вверх. Найдем координаты (т; п) вершины параболы:

т = = 4; п = 16 - 32 + 13 = -3;

А (4; -3) - вершины параболы.

3. а) 3,4¹¹ < 4,2¹¹; в) < (-0,7)⁹;

б) < (-1,2)⁸; г) (-2,4)⁴ > 1,2⁴.

4. а) ;

б) ;

в) .

5. ;

7b² + 11b -6 = 0;

D = 121 + 168 = 289;

b_{1, 2} = ;

b₁ = , b₂ = -2.

6. -х² + 6х - 4.

1-й с п о с о б.

Выделим квадрат двучлена из квадратного трехчлена:

-х² + 6х - 4 = -(х² -2 · 3 · х + 9 - 9 + 4) = -((х - 3)² - 5) = -(х - 3)² + 5.

Это выражение принимает наибольшее значение при х = 3, и оно равно 5.

2-й с п о с о б.

у = -х² + 6х - 4 - квадратичная функция, графиком является парабола, ветви которой направлены вниз. Наибольшее значение квадратного трехчлена -х² + 6х - 4 - это ордината вершины этой параболы:

т = = 3; п = -9 + 18 - 4 = 5;

5 - наибольшее значение квадратного трехчлена -х² + 6х - 4.

ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

У р о к 24 Дата:

Понятие целого уравнения и его степени

Цели: ввести понятие целого уравнения и его степени; формировать умение определять степень целого уравнения и решать целые уравнения не выше второй степени.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Определите, сколько корней имеет уравнение:

а) 2х + 1 = 0; д) 3х + 1 = 5 + 3х;

б) х² - 5 = 0; е) х² + 2х + 1 = 0;

в) х⁵ + 1 = 0; ж) х² + х + 10 = 0;

г) х⁶ + 2 = 0; з) 1 - 4х = 1 - 4х.

III. Объяснение нового материала.

На этом уроке достаточно ввести понятие целого уравнения и его степени; рассмотреть примеры приведения целого уравнения к виду Р (х) = 0, где Р (х) - многочлен; обратиться к решению целых уравнений первой и второй степени. Вопрос о методах решения целых уравнений выше второй степени целесообразно изучить на следующем уроке.

Объяснение проводится по следующей с х е м е:

1. В в е д е н и е п о н я т и я целого уравнения.

После формирования определения данного понятия необходимо дать учащимся задание на распознавание целых уравнений.

З а д а н и е. Какие из следующих уравнений являются целыми? Ответ объясните.

а) х⁴ + 2х³ - 7 = 0; г) - 5х³ = 0;

б) 4х¹⁰ = 0,7х⁸; д) ;

в) (х - 1) (3х² + 5) = х⁴ + 2; е) = 0.

2. В в е д е н и е п о н я т и я степени целого уравнения.

После введения данного понятия дать учащимся задание на определение степени целого уравнения.

З а д а н и е. Какова степень уравнения:

а) 2х⁵ + 4х - 3 = 0; г) - 5х = 7;

б) х⁷ + 5х = 0; д) (2х + 1) (х - 7) - х = 0;

в) х¹¹ = х³; е) 5х² - 4х² (1 - х) = 0?

3. Р а с с м о т р е н и е р е ш е н и я линейных и квадратных уравнений как целых уравнений первой и второй степени соответственно.

Необходимо, чтобы учащиеся осознали следующее:

1) изученные ранее линейные и квадратные уравнения являются целыми уравнениями первой и второй степени соответственно;

2) уравнение первой степени может иметь не более одного корня;

3) уравнение второй степени может иметь не более двух корней.

IV. Формирование умений и навыков.

На этом уроке учащиеся выполняют задания на определение степени целого уравнения и приведение целых уравнений к виду Р (х) = 0. Для решения нужно предлагать им уравнения не выше второй степени.

Упражнения:

1. Приведите уравнение к виду Р (х) = 0 и определите его степень:

а) 2х (1 - 3х) + (х + 4) (х² - 1) = 0;

б) (х³ - 2) (1 + 3х²) - 3 (х⁴ - 1) = 5;

в) (х - 1) (х + 2) (х - 3) = х - 4х² (2 - х⁵).

2. Какие из следующих чисел -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3 являются корнями уравнения:

а) х³ - 4х = 0;

б) х² (х + 1) + (х + 4) = 4;

в) х⁴ - 5х² + 4 = 0?

3. № 266 (а, в), № 267 (б, г).

4. № 268.

Р е ш е н и е

5х⁶ + 6х⁴ + х² + 4 = 0.

Выражения 5х⁶, 6х⁴ и х² могут принимать только неотрицательные значения при любых значениях х. Поэтому выражение 5х⁶ + 6х⁴ + х² + 4 при любых значениях х принимает только положительные значения, а значит, не может быть равно нулю, то есть уравнение 5х⁶ + 6х⁴ + х² + 4 = 0 не имеет решений.

Д о п о л н и т е л ь н о: № 270.

Р е ш е н и е

Пусть ребро куба равно х см, тогда его объем равен х³ см³. Если увеличить ребро куба на 3 см, то оно станет равно (х + 3) см, а объем куба будет равен (х + 3)³ см³.

Составим и решим уравнение:

(х + 3)³ = х³ + 513;

х³ + 9х² + 27х + 27 = х³ + 513;

9х² + 27х - 486 = 0;

х² + 3х - 54 = 0;

х = 6;

х = - 9 - не удовлетворяет условию задачи.

О т в е т: 6 см.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

- Какое уравнение называется целым?

- Что такое степень целого уравнения?

- Какова степень уравнения 2х³ - 5 + х⁶ = 0?

- Сколько корней может иметь целое уравнение первой степени? второй степени?

Домашнее задание: № 266 (б, г), № 267 (а, в), № 269.

Д о п о л н и т е л ь н о: № 271.

У р о к 25 Дата:

Основные методы решения целых уравнений

Цели: изучить основные методы решения целых уравнений; формировать умение применять эти методы.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

№ 265.

III. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

1. Какие из чисел: -3; -1; 0; 2; 3 - являются корнями уравнения

2х³ + х² - 13х + 6 = 0?

2. Решите уравнение:

а) ; б) .

3*. Составьте какое-либо уравнение третьей степени, имеющее корни -2; 2 и 5.

В а р и а н т 2

1. Какие из чисел: -2; -1; 0; 2; 3 - являются корнями уравнения 3х³ -

- 5х² - 11х - 3 = 0?

2. Решите уравнение:

а) = 1; б) - 1 = 0.

3*. Составьте какое-либо уравнение третьей степени, имеющее корни 0; -3 и 5.

IV. Объяснение нового материала.

На этом уроке необходимо рассмотреть два основных метода решения целых уравнений и сделать ряд важных выводов.

1. А к т у а л и з а ц и я з н а н и й.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

- Какое уравнение называется целым?

- Что такое степень целого уравнения?

- Как решаются целые уравнения первой и второй степени?

2. В ы д е л е н и е м е т о д о в решения целых уравнений.

Необходимо, чтобы учащиеся осознали, что им уже известны приемы решения целых уравнений первой и второй степени. Сообщить учащимся, что существуют также формулы корней целых уравнений третьей и четвертой степени, но их использование на практике неудобно.

Существуют два основных метода решения целых уравнений выше второй степени:

Желательно, чтобы учащиеся занесли себе в тетради изображенную схему. Необходимо также обратить внимание учащихся, что уравнение п-й степени может иметь не более п корней.

V. Формирование умений и навыков.

На этом уроке учащиеся только начинают осваивать методы решения целых уравнений выше второй степени. Поэтому задания должны быть несложными и разбиты на две группы в соответствии с методами решения.

Упражнения:

1-я г р у п п а. Метод разложения на множители.

№ 272 (а, в, д, ж).

2-я г р у п п а. Метод введения новой переменной.

1. № 278 (а, в, д).

2. № 276 (а, в).

Р е ш е н и е

а) (2х² + 3)² - 12 (2х² + 3) + 11 = 0.

З а м е н а: 2х² + 3 = а;

а² - 12а + 11 = 0;

а₁ = 1 а₂ = 11.

В е р н е м с я к з а м е н е:х² + 3 = 1; или

2х² = -2.

Решений нет.

2х² + 3 = 11;

2х² = 8;

х² = 4;

х = ± 2.

О т в е т: ± 2.

в) (х² + х - 1) (х² + х + 2) = 40.

З а м е н а: х² + х - 1 = а;

а (а + 3) = 40;

а² + 3а - 40 = 0;

а₁ = -8, а₂ = 5.

В е р н е м с я к з а м е н е:х² + х - 1 = -8; или

х² + х + 7 = 0;

D = 1 - 28 = -27.

Решений нет.

х² + х - 1 = 5;

х² + х - 6 = 0;

х₁ = -3, х₂ = 2.

О т в е т: -3; 2.

VI. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

- Что называется степенью целого уравнения?

- Как решаются целые уравнения первой степени? второй степени?

- Существуют ли формулы для решения целых уравнений третьей и четвертой степени? Почему они редко применяются на практике?

- Какими методами могут быть решены целые уравнения выше второй степени?

- Опишите сущность каждого из методов решения целых уравнений.

Домашнее задание: № 272 (б, г, е, з), № 278 (б, г, е), № 276 (б, г).

У р о к 26 Дата:

Решение целых уравнений различными методами

Цель: продолжить формирование умения применять различные методы при решении целых уравнений выше второй степени.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Определите, каким методом может быть решено каждое из данных целых уравнений:

а) 7х⁵ + 3х⁴ = 0; г) ;

б) х⁴ + 3х² - 4 = 0; д) (х² - 5)² + 2(х² - 5)² + 1 = 0;

в) х³ + х² + х + 1 = 0; е) (х² - 2х) (х² + 4 - 2х) = 3.

III. Формирование умений и навыков.

На этом уроке учащиеся продолжают применять разные методы решения целых уравнений. При этом внимание уделяется не только грамотному их использованию, но и умению распознавать по внешнему виду уравнения тот метод, который целесообразно применить в данной ситуации.

Упражнения:

1. № 273 (в. д), № 279 (д), № 282 (а), № 277 (а, в), № 282 (а).

2. № 283 (а).

Р е ш е н и е

х⁵ + х⁴ - 6х³ - 6х² + 5х + 5 = 0.

Разложим выражение, стоящее слева, на множители методом группировки. Получим:

х⁴ (х + 1) - 6х² (х + 1) + 5 (х + 1) = 0;

(х + 1) (х⁴ - 6х² + 5) = 0;х + 1 = 0; или

х = -1.

х⁴ - 6х² + 5 = 0;

х² = t;

t² - 6t + 5 = 0;

t₁ = 1, t₂ = 5;

х² = 1, х² = 5;

х = ±1, х = ±.

О т в е т: ±1, ±.

Некоторым сильным в учебе учащимся можно дополнительно дать карточки-задания.

К а р т о ч к а № 1

1. Решите уравнение: (х + 1) (х + 2) (х + 3) (х + 4) = 360.

2. При каких значениях параметра а не имеет корней уравнение

х⁴ - 6х² + а = 0?

К а р т о ч к а № 2

1. Решите уравнение: (х - 1) (х - 3) (х - 5) (х - 7) = 105.

2. При каких значениях параметра а не имеет корней уравнение

х⁴ + ах² + 9 = 0?

Р е ш е н и е задач карточки № 1.

1. Найдем произведение крайних и средних множителей, заменив их трехчленами. Получим:

(х² + 5х + 4) (х² + 5х + 6) = 360.

С д е л а е м з а м е н у: х² + 5х + 4 = t. Получим:

t (t + 2) = 360;

t² + 2t - 360 = 0;

t₁ = -20, t₂ = 18.

В е р н е м с я к з а м е н е:х² + 5х + 4 = -20; или

х² + 5х +24 = 0;

D = 25 - 96 = -71.

Корней нет.

х² + 5х + 4 = 18;

х² + 5х - 14 = 0;

х₁ = -7, х₂ = 2.

О т в е т: -7; 2.

2. Биквадратное уравнение не имеет корней в двух случаях: если дискриминант полученного после замены квадратного уравнения отрицателен или если это квадратное уравнение имеет только отрицательные корни.

С д е л а е м з а м е н у: х² = t. Получим уравнение:

t² - 6t - а = 0;

D₁ = 9 - а;

D₁ < 0, если 9 - а < 0, то есть а > 9.

Значит, при а > 9 данное биквадратное уравнение корней не имеет. При а ≤ 9 уравнение имеет корни х₁ и х₂. Предположим, что они отрицательные. Однако, по теореме Виета, имеем: х₁ + х₂ = = 6. Таким образом, полученное квадратное уравнение не может иметь одновременно двух отрицательных корней. Значит, исходное биквадратное уравнение не имеет корней только при а > 9.

О т в е т: (9; +∞).

Р е ш е н и е задач карточки 2.

1. Так же, как и при решении уравнения из карточки 1, выполним преобразование и получим уравнение:

(х² - 8х + 7) (х² - 8х + 15) = 105.

С д е л а е м з а м е н у: х² - 8х + 7 = t. Получим:

t (t + 8) = 105;

t² + 8t - 105 = 0;

t₁ = -15, t₂ = 7.

В е р н е м с я к з а м е н е:х² - 8х + 7 = -15; или

х² - 8х +22 = 0;

D₁ = 16 - 22 = -6.

Корней нет.

х² - 8х + 7 = 7;

х² - 8х = 0;

х (х - 8) = 0;

х₁ = 0, х₂ = 8.

О т в е т: 0; 8.

2. С д е л а е м з а м е н у: х² = t. Получим уравнение:

t² + аt + 9 = 0;

D₁ = а² - 36;

D₁ < 0, если а² - 36 < 0, то есть а (-6; 6).

Значит, при таких значениях а данное биквадратное уравнение корней не имеет.

Если а (-∞; -6) (6; +∞), то квадратное уравнение t² + аt + 9 = 0 имеет два корня: х₁ и х₂. По теореме Виета, х₁ · х₂ = 9, значит, эти корни одинаковых знаков.

Чтобы данное биквадратное уравнение не имело корней, числа х₁ и х₂ должны быть отрицательными, то есть х₁ + х₂ < 0, а по теореме Виета х₁ + х₂ = -а. Имеем:

х₁ + х₂ < 0, если -а < 0, то есть а > 0.

О т в е т: (-6; 6) (6; +∞).

IV. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

- Какие существуют методы решения целых уравнений?

- В чем состоит суть метода введения новой переменной при решении целого уравнения?

- В чем состоит метод разложения на множители решения целого уравнения?

Домашнее задание: № 273, № 277 (б), № 279 (е), № 282 (б), № 283 (б).

У р о к 27 Дата:

Решение более сложных целых уравнений

Цели: продолжить формирование умения решать целые уравнения; обобщить и углубить знания учащихся по этому вопросу.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

Решите уравнение:

а) х³ - 4х² - 9х + 36 = 0;

б) х⁴ + 7х² - 44 = 0;

в) (х² - х + 1) (х² - х - 7) = 65.

В а р и а н т 2

Решите уравнение:

а) 16х³ - 32х² - х + 2 = 0;

б) х⁴ + 6х² - 27 = 0;

в) (х² + х + 6) (х² + х - 4) = 144.

III. Формирование умений и навыков.

Все задания можно разбить на две группы. В первую группу войдут задания на решение целых уравнений, при этом учащимся в полной мере потребуются полученные ранее знания, а также умения анализировать, рассуждать, делать выводы. Во вторую группу войдут задания на решение целых уравнений с параметром. В классе с невысоким уровнем подготовки вторую группу заданий можно не выполнять.

Упражнения:

1-я г р у п п а.

1. № 284 (а).

Р е ш е н и е

у⁷ - у⁶ + 8у = 8;

у⁷ - у⁶ + 8у - 8 = 0;

у⁶ (у - 1) + 8 (у - 1) = 0;(у - 1) = 0; или

у - 1 = 0;

у = 1.

у⁶ + 8 = 0;

у⁶ = -8.

Корней нет.

О т в е т: 1.

2. № 274 (а).

Р е ш е н и е

х³ + 7х² - 6 = 0;

х³ + х² + 6х² - 6 = 0;

х² (х + 1) + 6 (х² - 1) = 0;

х² (х + 1) + 6 (х + 1) (х - 1) = 0;

(х + 1) (х² + 6х - 6) = 0;х + 1 = 0; или

х = -1.

х² + 6х - 6 = 0;

D₁ = 9 + 6 = 15;

х_{1, 2} = -3 ±.

О т в е т: -1; -3 ±.

3. Решите уравнение: х⁴ - 25х² + 60х - 36 = 0.

Р е ш е н и е

х⁴ - (25х² - 60х + 36) = 0;

х⁴ - (5х - 6)² = 0;

(х² - 5х + 6) (х² + 5х - 6) = 0;х² - 5х + 6 = 0; или

х₁ = 2, х₂ = 3

х² + 5х - 6 = 0;

х₁ = 1, х₂ = -6

О т в е т: -6; 1; 2; 3.

4. № 275.

Р е ш е н и е

Чтобы найти точку пересечения графика функции у = х³ - 6х² + 11х - 6 с осью ОУ, нужно подставить х = 0:

у = 0 - 6 = -6, то есть с осью ОУ график пересекается в точке (0; -6).

Чтобы найти точки пересечения графика с осью ОХ нужно решить уравнение:

х³ - 6х² + 11х - 6 = 0;

х³ - 6х² + 12х - 6 - х = 0;

х³ - х - 6 (х² - 2х + 1) = 0;

х (х² - 1) - 6 (х - 1)² = 0;

х (х - 1) (х + 1) - 6 (х - 1)² = 0;

(х - 1) (х² + х - 6х + 6) = 0;

(х - 1) (х² - 5х + 6) = 0;х - 1 = 0; или

х = 1.

х² - 5х + 6 = 0;

х₁ = 2, х₂ = 3.

Значит, ось ОХ график данной функции пересекает в трех точках: (1; 0), (2; 0), (3; 0).

О т в е т: (0; -6), (1; 0), (2; 0), (3; 0).

5. Решите уравнение: (2х² - х + 1)² + 6х = 1 + 9х².

Р е ш е н и е

(2х² - х + 1)² - (9х² - 6х + 1) = 0;

(2х² - х + 1)² - (3х - 1)² = 0;

(2х² - х + 1 - 3х + 1) (2х² - х + 1 + 3х - 1) = 0;

(2х² - 4х + 2) (2х² + 2х) = 0;х² - 2х + 1 = 0; или

(х - 1)² = 0;

х = 1.

2х² + 2х = 0;

2х (х + 1) = 0;

х = 0 или х = -1.

О т в е т: -1; 0; 1.

6. Решите уравнение: (х² - 4) (х² + 2х - 3) = 60.

Р е ш е н и е

Разложим выражения, стоящие в скобках, на множители. Получим:

(х - 2) (х + 2) (х - 1) (х + 3) = 60.

Найдем произведение крайних и средних множителей:

(х² + х - 6) (х² + х - 2) = 60.

С д е л а е м з а м е н у: х² + х - 6 = а. Получим:

а (а + 4) = 60;

а² + 4а - 60 = 0;

а₁ = -10, а₂ = 6.

В е р н е м с я к з а м е н е:х² + х - 6 = -10; или

х² + х + 4 = 0;

D = 1 - 16 = -15.

Корней нет.

х² + х - 6 = 6;

х² + х - 12 = 0;

х₁ = -4, х₂ = 3.

О т в е т: -4; 3.

2-я г р у п п а.

1. Докажите, что уравнение (х² - 2х + 3) (х² - 6х + 10) = 2 не имеет корней.

Р е ш е н и е

Выделим из каждого трехчлена, стоящего в скобках, квадрат двучлена:

((х - 1)² + 2) ((х - 3)² + 1) = 2.

Получаем, что первый множитель принимает значения, не меньшие двух, а второй множитель - не меньшие единицы.

Тогда произведение может быть равно 2 только в том случае, если первый множитель равен 2, а второй при этом равен 1. Первый множитель равен 2 при х = 1. Второй множитель при х = 1 равен 5. Значит, исходное уравнение корней не имеет.

2. При каких значениях а уравнение х⁴ + ах² + 25 = 0 не имеет корней?

Р е ш е н и е

Биквадратное уравнение не имеет корней в двух случаях: если дискриминант полученного после замены квадратного уравнения отрицателен или если это квадратное уравнение имеет только отрицательные корни.

С д е л а е м з а м е н у: х² = t. Получим уравнение:

t² + аt + 25 = 0;

D = а² - 100;

D < 0, если а² - 100 < 0, то есть а (-10; 10).

Значит, при а (-10; 10) данное биквадратное уравнение корней не имеет.

Пусть а (-∞; 10) (10; +∞), х₁ и х₂ - корни квадратного уравнения t² + аt + 25 = 0. По теореме Виета, х₁ · х₂ = 25, то есть эти корни одинаковых знаков.

Если х₁ и х₂ - отрицательны, то х₁ + х₂ < 0, а по теореме Виета, х₁ + х₂ =

= -а. Имеем:

х₁ + х₂ < 0, если -а < 0, то есть а > 0.

О т в е т: (-10; 10) (10; +∞).

3. При каком значении т сумма квадратов корней уравнения х² +

+ (2 - т) х - т - 3 = 0 минимальна?

Р е ш е н и е

Данное уравнение должно иметь два корня, то есть дискриминант должен быть положительным:

D = (2 - т)² + 4 (т + 3) = 4 - 4т + т² + 4т + 12 = т² + 16.

Выражение т² + 16 положительно при любом значении т, то есть данное уравнение имеет два корня: х₁ и х₂. По условию сумма х₁ + х₂ должна быть минимальна.

Справедливо следующее равенство:

х₁²+ х₂² = (х₁ + х₂)² - 2х₁ · х₂.

По теореме Виета, х₁ + х₂ = т - 2, х₁ · х₂ = -т - 3.

Подставим полученные выражения в это равенство:

х₁²+ х₂² = (т - 2)² + 2(т + 3) = т² - 4т + 4 + 2т + 6 = т² - 2т + 10.

Выделим квадрат двучлена из квадратного трехчлена т² - 2т + 10:

т² - 2т + 10 = (т - 1)² + 9.

Таким образом, имеем:

х₁²+ х₂² = (т - 1)² + 9.

Выражение (т - 1)² + 9 принимает наименьшее значение при т = 1.

О т в е т: т = 1.

IV. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

- Какое наибольшее количество корней может иметь целое уравнение пятой степени?

- Какие существуют методы решения целых уравнений? Опишите каждый из них.

- Как решаются биквадратные уравнения? Сколько корней они могут иметь? Опишите все возможные случаи.

Домашнее задание:

1. № 358 (г, е), № 284 (б), № 274 (б).

2. Решите уравнение:

а) (х - 2)² (х² - 4х + 3) = 12;

б) х (х + 1) (х + 2) (х + 3) = 120.

Д о п о л н и те л ь н о: Докажите, что число 1 является корнем уравнения (2х² - 4х + 3) (х² - 2х + 2) = 1 и других корней у этого уравнения нет.

У р о к 28 Дата:

Решение дробно-рациональных уравнений

по алгоритму

Цели: продолжить формирование умения решать дробно-рациональные уравнения, используя алгоритм, известный учащимся из курса 8 класса.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Верно ли, что выражение обращается в нуль:

а) при х = 2;

б) при х = -5;

в) при х = 1.

III. Объяснение нового материала.

В 8 классе учащиеся уже изучали данную тему. Сейчас необходимо расширить их знания. Отличия дробно-рациональных уравнений, изучаемых в 9 классе, состоят в следующем:

1) получаемое в процессе решения целое уравнение имеет степень, большую двух;

2) некоторые дробно-рациональные уравнения возможно решить, только используя метод введения новой переменной.

На этом уроке целесообразно актуализировать знания учащихся о решении дробно-рациональных уравнений по алгоритму. Вопрос о других приемах и методах решения дробно-рациональных уравнений лучше рассмотреть на следующем уроке.

Объяснение материала проводится в несколько э т а п о в.

1. И з у ч е н и е п о н я т и я дробно-рационального уравнения. Усвоение данного понятия проверяется при решении упражнения на распознавание этого вида уравнений.

З а д а н и е. Какие из следующих уравнений являются дробно-рациональными? Ответ объясните.

а) ; г) ;

б) ; д) ;

в) ; е) .

2. В ы в о д а л г о р и т м а решения дробно-рациональных уравнений. Алгоритм приведен на с. 78 учебника. Желательно, чтобы учащиеся занесли его в тетрадь.

3. Р а с с м о т р е н и е п р и м е р о в решения дробно-рациональных уравнений по изученному алгоритму (пример 1 и пример 3 из учебника).

IV. Формирование умений и навыков.

Упражнения:

1. № 288 (а, в), № 289 (а).

2. № 290 (а), № 292 (б).

3. № 291 (в).

Р е ш е н и е

;

;

;

х (х - 2) = 4 (х + 2) - 16;

х² - 2х - 4х - 8 + 16 = 0;

х² - 6х + 8 = 0;

х₁ = 2, х₂ = 4;

х₁ = 2 - не является корнем уравнения.

О т в е т: 4.

4. № 296 (а).

Р е ш е н и е

;

5а + 7 - 28а² = 20а³;

5а + 7 - 4а² (7 + 5а) = 0;

(5а + 7) (1 - 4а²) = 0;5а + 7 = 0; или

5а = -7;

а = -1,4.

1 - 4а² = 0;

а² = ;

а = ±.

О т в е т: -1,4; ±0,5.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

- Какие уравнения называются дробно-рациональными?

- Являются ли следующие уравнения дробно-рациональными:

?

- Опишите алгоритм решения дробно-рациональных уравнений.

Домашнее задание: № 289 (б), № 290 (б), № 291 (б), № 295 (б).

У р о к 29 Дата:

Использование различных приемов и методов

при решении дробно-рациональных уравнений

Цели: продолжить формирование умения решать дробно-рациональные уравнения, используя при этом различные приемы и методы.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Какие из чисел -1; 0; 2; 3 являются корнями уравнения:

а) = 0; б) = 0.

III. Объяснение нового материала.

1. Сначала необходимо актуализировать знания учащихся, попросив их рассказать алгоритм решения дробно-рациональных уравнений. После этого предложить учащимся использовать этот алгоритм при решении уравнения.

(пример 2 из учебника).

Далее делается в ы в о д, что решение данного уравнения по алгоритму является громоздким, поэтому целесообразно применить ряд преобразований.

2. Рассмотреть пример 4 из учебника. Здесь возникает такая же ситуация: решение данного дробно-рационального уравнения приводит к целому уравнению четвертой степени, корни которого известными методами найти очень сложно. Зато после введения новой переменной полученное уравнение решается довольно просто.

3. На основании рассмотренных примеров делаются следующие

в ы в о д ы:

1) Не всякое дробно-рациональное уравнение целесообразно решать по алгоритму.

2) Довольно эффективным методом решения дробно-рациональных уравнений является метод введения новой переменной.

IV. Формирование умений и навыков.

Упражнения:

1. № 293 (а), № 294 (а).

2. № 297 (а, б), № 298 (б).

В классе с высоким уровнем подготовки можно решить еще несколько дробно-рациональных уравнений.

3. № 299 (а).

Р е ш е н и е

.

С д е л а е м з а м е н у: , тогда

Получим уравнение:

;

;

2а² - а - 3 = 0;

а₁ = -1, а₂ = .

В е р н е м с я к з а м е н е:; или

х² + х - 1 = 0;

D = 1 + 4 = 5;

х_{1, 2} = .

;

2х² - 3х - 2 = 0;

D = 9 + 16 = 25;

х₁ = = 2;

х₂ = .

О т в е т: .

4. = -1,5.

Р е ш е н и е

Проверим, что х ≠ 0, и разделим числитель и знаменатель каждой дроби на х:

= -1,5.

С д е л а е м з а м е н у: . Получим:

;

8 (а - 5) + 10 (а + 1) + 3 (а + 1) (а - 5) = 0;

8а - 40 + 10а + 10 + 3а² - 15а + 3а - 15 = 0;

3а² + 6а - 45 = 0;

а² + 2а - 15 = 0;

а₁ = -5, а₂ = 3.

В е р н е м с я к з а м е н е:; или

х² + 5х + 3 = 0;

D = 25 - 12 = 13;

х_{1, 2} = .

;

х² - 3х + 3 = 0;

D = 9 - 12 = -3.

Решений нет.

О т в е т: .

5. = 3.

Р е ш е н и е

Вычтем и прибавим к выражению, стоящему в левой части уравнения, выражение , чтобы получить полный квадрат:

;

;

;

.

С д е л а е м з а м е н у: = t. Получим:

t² + 2t - 3 = 0;

t₁ = 1, t₂ = -3.

В е р н е м с я к з а м е н е:= 1; или

х² - х - 1 = 0;

D = 1 + 4 = 5;

х_{1, 2} = .

= -3;

х² + 3х + 3 = 0;

D = 9 - 12 = -3.

Решений нет.

О т в е т: .

V. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

Решите уравнение:

а) ;

б) .

В а р и а н т 2

Решите уравнение:

а) ;

б) .

VI. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

- Какими приемами и методами можно решать дробно-рациональные уравнения?

- Опишите решение дробно-рационального уравнения по алгоритму.

- В каких случаях при решении дробно-рациональных уравнений целесообразно использовать метод введения новой переменной?

Домашнее задание: № 296 (б), № 294 (б), № 297 (в), № 298 (б).

Д о п о л н и т е л ь н о: № 299 (б).

У р о к 30 Дата:

Алгоритм решения неравенств

второй степени с одной переменной

Цели: ввести понятие неравенства второй степени с одной переменной и изучить алгоритм решения таких неравенств.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Определите количество корней уравнения ах² + bx + c = 0 и знак коэффициента а, если на рисунке изображен график функции у = ах² +

+ bx + c.

а) б)

в)

2. Назовите промежутки знакопостоянства функции у = ах² + bx + c, если ее график изображен на рисунке:

а) б)

в)

III. Объяснение нового материала.

1. В в е д е н и е п о н я т и я неравенства второй степени с одной переменной.

З а д а н и е. Какие из следующих неравенств являются неравенствами второй степени с одной переменной?

а) 2х² + 3х - 1 > 0; г) 2х² - х + 1 < х⁴;

б) 4х² - х ≤ 0; д) х² ≥ 1;

в) 5х - 1 > 3х²; е) х² - 4x < .

2. С о с т а в л е н и е а л г о р и т м а решения неравенств второй степени с одной переменной.

Поставить перед учащимися проблему: как может быть решено неравенство подобного вида? Если учащиеся не догадаются, то можно вернуться к заданиям устной работы и наводящими вопросами помочь им сделать в ы в о д: неравенства второй степени с одной переменной решаются графически.

Желательно, чтобы учащиеся самостоятельно вывели алгоритм решения этих неравенств.

3. Р а с с м о т р е н и е п р и м е р о в решения неравенств второй степени с одной переменной.

IV. Формирование умений и навыков.

На этом уроке необходимо рассмотреть разные ситуации, возникающие при решении неравенств второй степени с одной переменной. Нужно, чтобы учащиеся запомнили алгоритм и применяли его без помощи учителя.

В соответствии с количеством корней трехчлена, получаемых в процессе решения неравенств, все задания можно разбить на три группы. В первую группу войдут неравенства, у которых квадратный трехчлен имеет два корня, во вторую - один корень, и в третьей группе будут неравенства, квадратный трехчлен которых не имеет корней.

Упражнения:

1-я г р у п п а.

№ 304 (а, в, ж), № 308 (а, в, д).

2-я г р у п п а.

1. № 304 (д).

2. 9х² + 6х + 1 ≤ 0

3-я г р у п п а.

а) х² + 2х + 4 > 0;

б) 2х² - х + 3 ≤ 0;

в) -х² + 3х - 7 < 0.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

- Какие неравенства называются неравенствами второй степени с одной переменной?

- Опишите алгоритм решения неравенств второй степени с одной переменной.

- Какие решения может иметь неравенство второй степени с одной переменной, если соответствующий квадратный трехчлен не имеет корней?

Домашнее задание: № 304 (б, г, е, з), № 306 (б, в), № 308 (б, г).

У р о к 31 Дата:

Применение алгоритма решения неравенств

второй степени с одной переменной

Цели: продолжить формирование умения решать неравенства второй степени с одной переменной.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Решите неравенства ах² + bx + c > 0 и ах² + bx + c ≤ 0, если на рисунке изображен график соответствующей квадратичной функции:

а) б)

в)

III. Формирование умений и навыков.

Упражнения:

1. № 307, № 309 (а, в, д).

2. № 312 (а, в).

3. № 315 (а, в, е), № 316.

IV. Математический диктант.

«+» - согласен с утверждением; «-» - не согласен с утверждением.

1) Неравенства второй степени с одной переменной решаются с помощью графика квадратичной функции.

2) Для решения неравенств второй степени с одной переменной нужно знать координату вершины соответствующей параболы.

3) Для решения неравенств второй степени с одной переменной достаточно знать направление ветвей соответствующей параболы.

4) Если квадратный трехчлен имеет корни, то соответствующее неравенство обязательно имеет решения.

5) Если квадратный трехчлен не имеет корней, то соответствующее неравенство не имеет решений.

6) Если вершина параболы лежит на оси абсцисс, то соответствующее неравенство не имеет решений.

7) Неравенства второй степени с одной переменной может иметь решение, состоящее из единственного числа.

8) Решением неравенства второй степени с одной переменной может быть множество всех чисел.

9) Если а < 0, х₁ и х₂ - корни квадратного трехчлена ах² + bx + c, то решением неравенства ах² + bx + c > 0 будет промежуток (-∞; х₁) (х₂; +∞).

10) Если а > 0 и х₀ - единственный корень квадратного трехчлена ах² + bx + c, то решением неравенства ах² + bx + c > 0 будет промежуток (-∞; х₀)(х₀; +∞).

К л ю ч: + - - + - - + + - +.

V. Итоги урока.

Учащиеся обмениваются тетрадями, учитель вновь зачитывает вопросы математического диктанта. Происходит обсуждение ответов и учащиеся выставляют друг другу оценки по следующей шкале:

«5» - не менее 9 правильных ответов;

«4» - 7, 8 правильных ответов;

«3» - 5, 6 правильных ответов;

«2» - менее 5 правильных ответов.

Домашнее задание: № 309 (г, е), № 313, № 317.

У р о к 32 Дата:

Более сложные задачи, требующие применения

алгоритма решения неравенств второй степени

с одной переменной

Цели: продолжить формирование умения применять алгоритм решения неравенств второй степени с одной переменной.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Решите неравенство ах² + bx + c ≤ 0 и ах² + bx + c > 0, если на рисунке изображен график соответствующей квадратичной функции:

а) б)

в)

III. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

Решите неравенство:

а) х² - 8х + 15 > 0; в) 4х² + 4х + 1 ≤ 0;

б) 2х - х² ≥ 0; г) х² + 2х + 3 > 0.

В а р и а н т 2

Решите неравенство:

а) х² - 10х + 21 ≤ 0; в) х² - 10х + 25 > 0;

б) 9 - х² < 0; г) -х² + х - 4 ≤ 0.

IV. Формирование умений и навыков.

На этом уроке учащиеся должны решать более сложные задания, которые потребуют от них осознанного владения алгоритмом решения неравенств второй степени с одной переменной.

Все задания можно разбить на 2 группы. Если класс невысокого уровня подготовки, то вторую группу заданий решать не нужно. Кроме того, сильным в учебе учащимся можно дать дополнительные задания на решение уравнений и неравенств с параметрами.

Упражнения:

1-я г р у п п а.

1. № 310 (а), № 311 (а).

2. № 314 (а).

3. № 318.

Р е ш е н и е

Пусть одна сторона прямоугольника равна а см, тогда другая сторона равна (а + 7) см. Значит, площадь прямоугольника равна а (а + 7) см², а по условию она не превосходит 60 см². Получим неравенство:

а (а + 7) ≤ 60;

а (а + 7) - 60 ≤ 0.

Решая его, находим, что а [-12; 5], то есть меньшая сторона прямоугольника не должна превосходить 5 см.

О т в е т: не превосходит 5 см.

2-я г р у п п а.

1. № 320 (а, в, д).

Р е ш е н и е

а)

Найдем корни квадратных трехчленов и изобразим схематически параболы на одной числовой прямой:

По рисунку видим, что решением данной системы будет промежуток (-2; 3).

О т в е т: (-2; 3).

2. № 321 (а).

Р е ш е н и е

Для нахождения области определения данной функции достаточно решить систему неравенств:

Так же, как в предыдущем задании, наносим на числовую прямую параболы и заштриховываем искомые промежутки:

Получаем, что х [2; 5].

О т в е т: 2; 3; 4; 5.

Д о п о л н и т е л ь н ы е з а д а н и я.

1. № 379.

Р е ш е н и е

(а + 2) х² + 8х + а - 4 = 0.

Чтобы данное уравнение имело 2 решения, необходимо выполнение следующих условий:

- уравнение должно быть квадратным, то есть а + 2 ≠ 0;

- дискриминант этого квадратного уравнения должен быть положителен.

Согласно этим условиям получим систему:

Решением второго неравенства системы является промежуток (-6; 4). С учетом того, что а ≠ -2, получим: а (-6; -2) (-2; 4).

О т в е т: (-6; -2) (-2; 4).

2. При каких значениях параметра а неравенство ах² + 2ах + 4 > 0 выполняется на всей числовой оси?

Р е ш е н и е

Чтобы данное неравенство выполнялось на всей числовой оси, необходимо, чтобы ветви параболы были направлены вверх, и квадратный трехчлен не имел корней, то есть D₁ = а² - 4а < 0.

Решая это неравенство, получим, что а (0; 4). Этот промежуток удовлетворяет обоим условиям. Однако нужно рассмотреть еще случай, когда а = 0. Подставляя это значение в исходное неравенство, получим: 4 > 0.

Это неравенство верно, поэтому при а = 0 исходное неравенство будет выполняться на всей числовой оси.

О т в е т: [0; 4).

3. При каких значениях т область определения функции

f (х) = состоит из одной точки?

Р е ш е н и е

Чтобы найти область определения данной функции, нужно решить систему неравенств:

Эта система будет иметь единственное решение в двух случаях:

- если квадратный трехчлен х² -2тх + 5 будет иметь единственный корень, не превосходящий 1:

- если квадратный трехчлен х² -2тх + 5 будет иметь два корня, меньший из которых равен 1:

Первое условие будет выполнено, если дискриминант квадратного трехчлена х² - 2тх + 5 равен нулю, а корень

х₀ = ≤ 1. Имеем:

D₁ = т² - 5;

х₀ = = m.

Получим систему:

Ее решением является m = -.

Второе условие будет выполнено, если f (1) = 0, то есть 1 - 2т + 5 = 0, откуда т = 3. Подставляя это значение т, получим трехчлен х² - 6х + 5; вторым его корнем будет число 5. Значит, т = 3 удовлетворяет условию задачи.

О т в е т: -; 3.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

- Опишите алгоритм решения неравенств второй степени с одной переменной.

- Когда решение неравенства второй степени с одной переменной будет состоять из единственного числа? из бесконечного множества чисел?

- Какие решения может иметь неравенство ах² + bx + c > 0, если

а) а > 0 и х₁, х₂ - корни квадратного трехчлена ах² + bx + c;

б) а < 0 и квадратный трехчлен имеет единственный корень х₀;

в) а > 0 и квадратный трехчлен ах² + bx + c не имеет корней?

Домашнее задание: № 311 (б), № 314 (б), № 319, № 320 (б, г, е).

Д о п о л н и т е л ь н о: № 321 (б), № 380.

У р о к 33 Дата:

Решение целых рациональных неравенств

методом интервалов

Цели: изучить метод интервалов; формировать умение его применять при решении целых рациональных неравенств.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Назовите промежутки знакопостоянства функции у = f (х), если ее график изображен на рисунке.

III. Объяснение нового материала.

На этом уроке целесообразно изучить суть метода интервалов и рассмотреть его применение при решении целых рациональных неравенств. Как метод интервалов используются при решении дробно-рациональных неравенств лучше разобрать на следующем уроке.

Начать изучение новой темы лучше с постановки перед учащимися конкретной задачи: решить неравенство (х² - 4) (х + 1) > 0. Это неравенство они должны решить, исходя из логических рассуждений, то есть отвечая на вопрос: когда произведение двух выражений положительно?

При ответе на этот вопрос возникают два случая: оба сомножителя одновременно положительны или одновременно отрицательны. Значит, нужно решить две системы неравенств:

1. 2.

Решением первой системы будет промежуток (2; +∞), а решением второй - промежуток (-2; -1). Таким образом, получаем, что решением исходного неравенства будет объединение этих промежутков, то есть х (-2; -1) (2; +∞).

Исходя из результата, делается вывод, что такой способ решения неравенств подобного вида приемлем. Тогда учитель предлагает учащимся решить другое неравенство: (х² - 4) (х + 1) (х - 7) > 0. Учащиеся осознают, что рассуждения о возможных знаках каждого из трех множителей будут громоздкими, поэтому лучше искать другой способ решения данного неравенства.

После этого следует разобрать суть метода интервалов и сделать вывод о том, что этот метод приемлем к целым неравенствам с любым количеством множителей, то есть он более универсален.

Затем можно вернуться к первому неравенству и решить его методом интервалов, разложив предварительно на множители выражение х² - 4.

(х + 2) (х - 2) (х + 1) > 0;

х₁ = -2, х₂ = 2, х₃ = -1.

х (-2; -1) (2; +∞).

Необходимо обязательно добиться того, чтобы учащиеся осознали, что решение этого неравенства методом интервалов гораздо рациональнее.

Далее нужно рассмотреть случаи, когда до применения метода интервалов необходимо привести неравенство к стандартному виду:

(х - х₁) (х - х₂) … (х - х_п) > < 0 (пример 2 и пример 3 из учебника).

IV. Формирование умений и навыков.

Упражнения:

1. № 325, № 327, № 328 (а).

2. Решите неравенство:

а) -(х - 3) (х + 5) > 0;

б) (4 - х) (х - 2) ≤ 0;

в) (2 + х) > 0.

В этой группе собраны неравенства, записанные не в том виде, к которому непосредственно применяется метод интервалов. Важно, чтобы у учащихся вырабатывался навык приведения неравенств к стандартному виду, иначе в дальнейшем могут возникать ошибки при расстановке знаков на интервалах.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

- На каком свойстве функции основан метод интервалов?

- Неравенства какого вида могут быть решены методом интервалов?

- В чем состоит метод интервалов решения неравенств?

Домашнее задание: № 326, № 328 (б), № 329.

У р о к 34 Дата:

Решение целых и дробных неравенств

методом интервалов

Цели: продолжить формирование умения решать целые неравенства методом интервалов; разобрать, как этим методом могут решаться дробные неравенства.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

На рисунке изображен график функции у = f (х), определенной на отрезке [-5; 4]. Решите неравенство f (х) ≥ 0.

III. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

Решите неравенство:

а) (х - 3) (х + 5) > 0; в) х(х + 2) > 0;

б) (х - 1,7) ≤ 0; г) (х + 3) (х - 5) (1 - х) ≥ 0.

В а р и а н т 2

Решите неравенство:

а) (х + 2) (х - 6) < 0; в) (х + 1) (х - 5) < 0;

б) (х + 0,3) ≥ 0; г) х (4 - х) (1 + х) ≤ 0.

IV. Формирование умений и навыков.

Все упражнения можно разбить на 2 группы. В первую группу войдут целые неравенства, которые учащиеся уже умеют решать. Во второй группе будут дробно-рациональные неравенства. Перед тем как приступать к их решению, необходимо объяснить учащимся особенности применения метода интервалов к неравенствам такого вида.

Упражнения:

1-я г р у п п а.

1. № 330, № 332.

2. Решите неравенство:

а) (2 - х) (6 - х) < 0;

б) -х(5 - х) ≥ 0;

в) -(х - 4) (1 + х) < 0.

2-я г р у п п а.

1. № 334.

2. № 336 (а, б).

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

- Опишите суть метода интервалов решения неравенств.

- Как метод интервалов может быть использован при решении дробно-рациональных неравенств?

- В чем состоят особенности решения методом интервалов строгих и нестрогих дробно-рациональных неравенств?

Домашнее задание: № 331, № 333, № 335, № 336 (в, г).

У р о к 35 Дата:

Применение метода интервалов

при решении более сложных неравенств

Цели: продолжить формирование умения решать неравенства методом интервалов; рассмотреть, как может быть применен метод при решении более сложных неравенств.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Решите неравенство:

а) (х + 1) (х - 3) > 0; в) (х - 10) < 0;

б) (х - 5) (х - 2) ≤ 0; г) (х - 4) ≥ 0.

III. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

1. Решите неравенство:

а) < 0; б) ≥ 0.

2. Найдите область определения функции:

а) y = ; б) y = .

В а р и а н т 2

1. Решите неравенство:

а) > 0; б) ≤ 0.

2. Найдите область определения функции:

а) y = ; б) y = .

IV. Формирование умений и навыков.

Все задания, выполняемые на уроке, можно разбить на две группы. В первую группу войдут дробные неравенства и неравенства, которые до применения метода интервалов предварительно нужно преобразовать, разложив на множители их левую часть. Во вторую группу войдут более сложные неравенства. Чтобы применить к ним метод интервалов, необходимо сначала перейти к равносильной системе.

Вторую группу заданий следует решать в классе с высоким уровнем подготовки.

Упражнения:

1-я г р у п п а.

1. № 338.

Р е ш е н и е

в) ≥ 2.

Перенесем число 2 в левую часть неравенства и приведем его к виду ≥ 0:

- 2 ≥ 0;

≥ 0;

≥ 0;

≤ 0;

Решая эту систему, получим, что х (1; 2].

О т в е т: (1; 2].

2. Решите неравенство, разложив его левую часть на множители:

а) (4 - х²) < 0; г) х³ - 5х + 6х  0;

б) х³ - 16х  0; д) (х² + 3х) < 0;

в) (х² - 25) > 0; е) 8х³ + 12х² - 2х - 3 > 0.

2-я г р у п п а.

Решите неравенство:

а) (3х² + 5) (х + 7) > 0.

Р е ш е н и е

Поскольку выражение 3х² + 5 положительно при всех значениях х, то обе части неравенства можно разделить на него. Получим неравенство:

(х + 7) > 0 или (х + 7) < 0.

Решая его, находим, что х .

О т в е т: .

б) (х + 2)² (х - 6) < 0.

Р е ш е н и е

Выражение (х + 2)² неотрицательно при всех значениях х, поэтому данное неравенство равносильно системе:

Решая систему, находим, что х (-∞; -2) (-2; 6).

О т в е т: (-∞; -2) (-2; 6).

в) (х -3)² (х - 10) ≥ 0

Р е ш е н и е

Выражение (х -3)² неотрицательно при всех значениях х, и если оно равно нулю, то и произведение (х -3)² (х - 10) равно нулю. Поэтому данное равносильно системе:

Получаем, что х {3} [10; +∞).

О т в е т: {3} [10; +∞).

г) < 0.

Р е ш е н и е

Разложим на множители числитель и знаменатель дроби:

< 0.

Данное неравенство равносильно системе:

Решая систему, находим, что х (-4; 3) (3; 10).

О т в е т: (-4; 3) (3; 10).

д) ≤ 0.

Р е ш е н и е

Разложим на множители числитель и знаменатель дроби:

≤ 0.

Это неравенство равносильно системе:

Решая его находим, что х (-∞; -3) (-3; -1] [1; 3].

О т в е т: (-∞; -3) (-3; -1] [1; 3].

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

- В чем состоит метод интервалов решения неравенств?

- Любое ли неравенство можно решить методом интервалов?

- Как применяется метод интервалов к решению дробных неравенств?

- Как решается неравенство, содержащее целое выражение выше второй степени?

Домашнее задание: № 389, № 394.

Д о п о л н и т е л ь н о: № 390.

В а р и а н т 1

1. Решите неравенство:

а) < 0; б) ≥ 0.

2. Найдите область определения функции:

а) y = ; б) y = .

В а р и а н т 2

1. Решите неравенство:

а) > 0; б) ≤ 0.

2. Найдите область определения функции:

а) y = ; б) y = .

В а р и а н т 1

1. Решите неравенство:

а) < 0; б) ≥ 0.

2. Найдите область определения функции:

а) y = ; б) y = .

В а р и а н т 2

1. Решите неравенство:

а) > 0; б) ≤ 0.

2. Найдите область определения функции:

а) y = ; б) y = .

У р о к 36 Дата:

Итоговый урок по теме

«Уравнения и неравенства с одной переменной»

Цели: обобщить и систематизировать знания учащихся по теме; подготовить учащихся к написанию контрольной работы.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Актуализация знаний.

Необходимо обобщить и систематизировать знания учащихся о видах уравнений и неравенств и методах их решения. Для этого нужно со-ставить классификацию уравнений и неравенств, изобразив ее на плакате или на доске. Учащиеся должны занести в тетрадь соответствующие схемы.

III. Формирование умений и навыков.

Все задания можно разбить на три группы. Каждая группа будет содержать упражнения на решение всех изученных видов уравнений и неравенств. Отличие групп друг от друга состоит в уровне сложности, входящих в них уравнений и неравенств. В классе с невысоким уровнем подготовки третью группу заданий можно не выполнять.

Упражнения:

1-я г р у п п а.

1. Решите уравнение:

а) ; в) х⁴ + 3х² - 4 = 0;

б) х³ - 25х = 0; г) = 1.

2. Решите неравенство:

а) 2х - ≤ ; в) 1 - х²  0;

б) х² + 2х > 0; г) (х - 3) (х + 5) < 0.

2-я г р у п п а.

1. Решите уравнение:

а) х = ;

б) х⁶ - х⁴ + 5х² - 5 = 0;

в) (х² + х)² - 5х² - 5х + 6 = 0;

г) .

2. Найдите область определения функции:

а) y = ; б) y = .

3. Решите неравенство:

а) х (7 - х) (1 + х) ≥ 0; б) ≤ 0.

3-я г р у п п а.

1. Решите уравнение:

а) (х² - 7х + 13)² - (х - 3) (х - 4) = 1;

б) х² + 1 = (3х² - х - 2)² - 2х;

в) = 0.

2. Решите неравенство:

а) < 0; б) ≤ 0.

3. При каких значениях параметра а корни уравнения х² - 2ах +

+ (а + 1) (а - 1) = 0 принадлежат промежутку [-5; 5]?

Р е ш е н и е

Данное квадратное уравнение согласно условию должно иметь корни, значит, его дискриминант не может быть отрицательным. Найдем его:

D₁ = а² - (а + 1) (а - 1) = 1.

Получаем, что уравнение при любом а имеет два корня: х₁ = а + 1 и х₂ = а - 1.

Чтобы эти корни принадлежали указанному промежутку, меньший из них должен быть не меньше -5, а больший - не больше 5. Получим систему:

О т в е т: [-4; 4].

4. При каких значениях параметра а уравнение х² + 2(а + 1) х + 9 = 0 имеет два различных положительных корня?

Р е ш е н и е

Чтобы данное квадратное уравнение имело два различных корня, его дискриминант должен быть положительным:

D₁ = (а + 1)² - 9 = а² + 2а - 8;

а² + 2а - 8 > 0.

Решая это неравенство, получим, что а (-∞; -4) (2; +∞).

По теореме Виета, произведение корней данного уравнения равно 9. Это означает, что корни имеют одинаковые знаки.

Пусть х₁ и х₂ - корни уравнения, тогда, по теореме Виета, х₁ + х₂ =

= -2 (а + 1). Чтобы эти корни были положительны, должно выполняться следующее условие:

-2 (а + 1) > 0;

а + 1 < 0;

а < -1.

С учетом выявленного выше условия получим, что а (-∞; -4).

О т в е т: (-∞; -4).

IV. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

- На какие два вида делятся рациональные уравнения?

- Какими методами решаются целые уравнения выше второй степени?

- Как решаются дробно-рациональные уравнения?

- На какие два вида делятся неравенства?

- Как решаются целые неравенства с одной переменной?

- Как решаются дробно-рациональные неравенства?

Домашнее задание: № 353 (а), № 354 (в), № 364 (б), № 377 (а), № 393 (в, д).

У р о к 37 Дата:

Контрольная работа № 2

В а р и а н т 1

1. Решите уравнение:

а) х³ - 81х = 0; б) = 2.

2. Решите биквадратное уравнение: х⁴ - 19х² + 48 = 0.

3. Решите неравенство:

а) 2х² - 13х + 6 < 0; б) х² - 9 > 0; в) 3х² - 6х + 32 > 0.

4. Решите неравенство, используя метод интервалов:

а) (х + 8) (х - 4) > 0; б) < 0.

5. При каких значениях t уравнение 3х² + tх + 3 = 0 имеет два корня?

6.* Решите уравнение:

+ 4 = 0.

В а р и а н т 2

1. Решите уравнение:

а) х³ - 25х = 0; б) = 1.

2. Решите биквадратное уравнение: х⁴ - 4х² - 45 = 0.

3. Решите неравенство:

а) 2х² - х - 15 > 0; б) х² - 16 < 0; в) х² + 12х + 80 < 0.

4. Решите неравенство, используя метод интервалов:

а) (х + 11) (х -9) < 0; б) > 0.

5. При каких значениях t уравнение 2х² + tх + 8 = 0 не имеет корней?

6.* Решите уравнение:

= 3.

В а р и а н т 3

1. Решите уравнение:

а) х³ - 36х = 0; б) = 1.

2. Решите биквадратное уравнение: х⁴ - 13х² + 36 = 0.

3. Решите неравенство:

а) 2х² + 5х - 7 < 0; б) х² - 25 > 0; в) 5х² - 4х + 21 > 0.

4. Решите неравенство, используя метод интервалов:

а) (х + 9) (х - 5) > 0; б) < 0.

5. При каких значениях t уравнение 2х² + tх + 2 = 0 имеет два корня?

6.* Решите уравнение:

= 2.

В а р и а н т 4

1. Решите уравнение:

а) х³ - 49х = 0; б) = 2.

2. Решите биквадратное уравнение: х⁴ - 17х² + 16 = 0.

3. Решите неравенство:

а) 5х² + 3х - 8 > 0; б) х² - 49 < 0; в) 4х² - 2х + 13 < 0.

4. Решите неравенство, используя метод интервалов:

а) (х + 12) (х -7) < 0; б) > 0.

5. При каких значениях t уравнение 25х² + tх + 1 = 0 не имеет корней?

6.* Решите уравнение:

= -1.

Домашнее задание : Решить другой вариант

Решение вариантов контрольной работы

В а р и а н т 11. а) х³ - 81х = 0;

б) = 2;

х (х² - 81) = 0;

2(х² - 1) - (3х - 1) = 2 · 4;

х = 0 или

О т в е т: -9; 0; 9.

х² - 81 = 0;

х² = 81;

х = ±9.

2х² - 2 - 3х + 1 - 8 = 0;

2х² - 3х - 9 = 0;

D = 9 + 72 = 81;

х₁ = = -1,5;

х₂ = = 3.

О т в е т: -1,5; 3.

2. х⁴ - 19х² + 48 = 0.

Пусть х² = t, тогда получим:

t² - 19t + 48 = 0;

D = 361 - 192 = 169;

t₁ = = 3, t₂ = = 16.

В е р н е м с я к з а м е н е:х² = 3; или

х = ±.

х² = 16;

х = ±4.

О т в е т: -4; -; ; 4.3. а) 2х² - 13х + 6 < 0;

у = 2х² - 13х + 6.

Ветви параболы направлены вверх.

2х² - 13х + 6 = 0;

D = 169 - 48 = 121;

х₁ = , х₂ = = 6.

О т в е т: .б) х² - 9 > 0;

у = х² - 9.

Ветви параболы направлены вверх.

х² - 9 = 0;

х² = 9;

х = ±3.

О т в е т: (-∞; -3) (3; +∞).в) 3х² - 6х + 32 > 0;

у =3х² - 6х + 32.

Ветви параболы направлены вверх.

3х² - 6х + 32 = 0;

D = 9 - 96 = -87 < 0.

Парабола не пересекает ось х.

О т в е т: (-∞; +∞).4. а) (х + 8) (х - 4) > 0;

б) < 0;

х = -8; 4 - нули функции

у = (х + 8) (х - 4).

(х - 5) (х + 7) < 0;

х = -7; 5 - нули функции

у = (х - 5) (х + 7).

О т в е т: (-∞;-8) (4; +∞).

О т в е т: (-7; 5).

5. 3х² + tх + 3 = 0;

D = t² - 36.

Уравнение имеет два корня, если D > 0,

t² - 36 > 0;

t² (-∞;-6) (6; +∞).

О т в е т: (-∞;-6) (6; +∞).

6.* + 4 = 0.

Пусть = t, тогда получим:

t + + 4 = 0;

t² + 4t + 3 = 0;

t₁ = -1, t₂ = -3.

В е р н е м с я к з а м е н е:= -1; или

х² + 2х - 5 = 0;

D₁ = 1 + 5 = 6;

х_{1, 2} = -1 ± .

= -3;

х² + 4х - 5 = 0;

х₁ = 1, х₂ = -5.

О т в е т: -5; 1; -1 ± .

В а р и а н т 21. а) х³ - 25х = 0;

б) = 1;

х (х² - 25) = 0;

2(х² + 6) - (8 - х) = 1 · 10;

х = 0 или

О т в е т: -5; 0; 5.

х² - 25 = 0;

х² = 25;

х = ±5.

2х² + 12 - 8 + х - 10 = 0;

2х² + х - 6 = 0;

D = 1 + 48 = 49;

х₁ = = -2;

х₂ = = 1,5.

О т в е т: -2; 1,5.

2. х⁴ - 4х² - 45 = 0.

Пусть х² = t, тогда получим:

t² - 4t - 45 = 0;

t₁ = -5, t₂ = 9.

В е р н е м с я к з а м е н е:х² = -5 . или

Нет решений.

х² = 9;

х = ±3.

О т в е т: ±3.3. а) 2х² - х - 15 > 0;

у = 2х² - х - 15 > 0.

Ветви параболы направлены вверх.

2х² - х - 15 = 0;

D = 1 + 120 = 121;

x₁ = -2,5, x₂ = = 3.

О т в е т: (-∞;-2,5) (3; +∞).б) х² - 16 < 0;

у = х² - 16.

Ветви параболы направлены вверх.

х² - 16 = 0;

х² = 16;

х = ±4.

О т в е т: (-4; 4).в) х² + 12х + 80 < 0;

у = х² + 12х + 80 < 0.

Ветви параболы направлены вверх.

х² + 12х + 80 = 0;

D = 36 - 80 = -44 < 0.

Парабола не пересекает ось х.

О т в е т: нет решений.

4. а) (х + 11) (х -9) < 0;

б) > 0;

х = -11; 9 - нули функции

у = (х + 11) (х - 9).

(х + 3) (х - 8) > 0;

х = -3; 8 - нули функции

у = (х + 3) (х - 8).

О т в е т: (-11; 9).

О т в е т: (-∞;-3) (8; +∞).

5. 2х² + tх + 8 = 0;

D = t² - 64.

Уравнение не имеет корней, если D < 0,

t² - 64 < 0;

t = ±8.

О т в е т: (-8; 8).

6.* = 3.

Пусть = t, тогда получим:

t - = 3;

t² - 3t - 10 = 0;

t₁ = -2, t₂ = 5.

В е р н е м с я к з а м е н е:= -2 ; или

х² + 2х - 14 = 0;

D₁ = 1 + 14 = 15;

х_{1, 2} = -1 ± .

= 5;

х² - 5х - 14 = 0;

х₁ = -2, х₂ = 7.

О т в е т: -2; 7; -1 ± .

В а р и а н т 31. а) х³ - 36х = 0;

б) = 1;

х (х² - 36) = 0;

2(х² - 4) - (5х - 2) = 1 · 6;

х = 0 или

О т в е т: -6; 0; 6.

х² - 36 = 0;

х² = 36;

х = ±6.

2х² - 8 - 5х + 2 - 6 = 0;

2х² - 5х - 12 = 0;

D = 25 + 96 = 121;

х₁ = = -1,5;

х₂ = = 4.

О т в е т: -1,5; 4.

2. х⁴ - 13х² + 36 = 0.

Пусть х² = t, тогда получим:

t² - 13t + 36 = 0;

t₁ = 4, t₂ = 9.

В е р н е м с я к з а м е н е:х² = 4; или

х = ±2.

х² = 9;

х = ±3.

О т в е т: -3; -2; 2; 3.3. а) 2х² + 5х - 7 < 0;

у = 2х² + 5х - 7.

Ветви параболы направлены вверх.

2х² + 5х - 7 = 0;

D = 25 + 56 = 81;

x₁ = = -3,5, x₂ = = 1.

О т в е т: (-3,5; 1).б) х² - 25 > 0;

у = х² - 25.

Ветви параболы направлены вверх.

х² - 25 = 0;

х² = 25;

х = ±5.

О т в е т: (-∞; -5) (5; +∞).в) 5х² - 4х + 21 > 0;

у = 5х² - 4х + 21.

Ветви параболы направлены вверх.

5х² - 4х + 21 = 0;

D = 4 - 105 = -101 < 0.

Парабола не пересекает ось х.

О т в е т: (-∞; +∞).

4. а) (х + 9) (х - 5) > 0;

б) < 0;

х = -9; 5 - нули функции

у = (х + 9) (х - 5).

(х - 3) (х + 6) < 0;

х = -6; 3 - нули функции

у = (х - 3) (х + 6).

О т в е т: (-∞;-9) (5; +∞).

О т в е т: (-6; 3).

5. 2х² + tх + 2 = 0;

D = t² - 16.

Уравнение имеет два корня, если D > 0,

t² - 16 > 0;

t = ±4.

О т в е т: (-∞;-4) (4; +∞).

6.* = 2;

= 2.

Пусть х² + 6х + 5 = t, тогда получим:

= 2;

12 (t + 3) + 15t = 2t (t + 3);

12t + 36 + 15t = 2t² + 6t;

2t² - 21t - 36 = 0;

D = 441 + 288 = 729;

t₁ = = 12, t₂ = = .

В е р н е м с я к з а м е н е:х² + 6х + 5 = 12; или

х² + 6х + 5 = ;

х² + 6х - 7 = 0;

х₁ = 1, х₂ = -7.

2х² + 12х + 13 = 0;

D₁ = 36 - 26 = 10;

х_{1, 2} = .

О т в е т: -7; 1; .

В а р и а н т 41. а) х³ - 49х = 0;

б) = 2;

х (х² - 49) = 0;

2(х² + 3) - (17 - 3х) = 2 · 8;

х = 0 или

О т в е т: -7; 0; 7.

х² - 49 = 0;

х² = 49;

х = ±7.

2х² + 6 - 17 + 3х = 16;

2х² + 3х - 27 = 0;

D = 9 + 216 = 225;

х₁ = = 3;

х₂ = = -4,5.

О т в е т: -4,5; 3.

2. х⁴ - 17х² + 16 = 0.

Пусть х² = t, тогда получим:

t² - 17t + 16 = 0;

t₁ = 1, t₂ = 16.

В е р н е м с я к з а м е н е:х² = 1; или

х = ±1.

х² = 16;

х = ±4.

О т в е т: -4; -1; 1; 4.3. а) 5х² + 3х - 8 > 0;

у = 5х² + 3х - 8.

Ветви параболы направлены вверх.

5х² + 3х - 8 = 0;

D = 9 + 160 = 169;

x₁ = = 1, x₂ = = -1,6.

О т в е т: (-∞;-1,6) (1; +∞).б) х² - 49 < 0;

у = х² - 49.

Ветви параболы направлены вверх.

х² - 49 = 0;

х² = 49;

х = ±7.

О т в е т: (-7; 7).в) 4х² - 2х + 13 < 0;

у = 4х² - 2х + 13.

Ветви параболы направлены вверх.

4х² - 2х + 13 = 0;

D = 1 - 52 = -51 < 0.

Парабола не пересекает ось х.

О т в е т: нет решений.4. а) (х + 12) (х -7) < 0;

б) > 0;

х = -12; 7 - нули функции

у = (х + 12) (х - 7).

(х + 5) (х - 10) > 0;

х = -5; 10 - нули функции

у = (х + 5) (х - 10).

О т в е т: (-12; 7).

О т в е т: (-∞;-5) (10; +∞).

5. 25х² + tх + 1 = 0;

D = t² - 100.

Уравнение не имеет корней, если D < 0,

t² - 100 < 0,

t = ±10.

О т в е т: (-10; 10).

6.* = -1;

= -1.

Пусть х² + 4х = а, тогда получим:

= -1;

а - 5 + 9 (а + 3) + (а + 3) (а - 5) = 0;

а - 5 + 9а + 27 + а² - 2а - 15 = 0;

а² + 8а + 7 = 0;

а₁ = -1, а₂ = -7.

В е р н е м с я к з а м е н е:х² + 4х = -1; или

х² + 4х = -7;

х² + 4х + 1 = 0;

D = 4 - 1 = 3;

х_{1, 2} = -2 ± .

х² + 4х + 7 = 0;

D = 4 - 7 = -3 < 0.

Решений нет.

О т в е т: -2 ± .

ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ

У р о к 38 Дата:

Понятие уравнения с двумя переменными

Цели: ввести понятие уравнения с двумя переменными, его степени, корней и графика; формировать умение использовать данные понятия

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Назовите степень многочлена:

а) 3х⁷ + 2х³ - х + 1; в) ab³ - a²b + a³b⁴;

б) 3х⁵ + 2х³у³ - у²; г) 2m⁴n² + 3m³n⁴ - 6n⁵.

2. Подберите три пары чисел a и b таких, чтобы выполнялось равенство 2a - b = 5.

III. Объяснение нового материала.

Объяснение проводить согласно пункту учебника, включая устные задания, проверяющие степень усвоения материала.

1. В в е д е н и е п о н я т и я уравнения с двумя переменными.

З а д а н и е. Какие из следующих уравнений являются уравнениями с двумя переменными:

а) 2х³ + = 5х²; г) х² + 2у + 7 = z;

б) 2х + 3у³ = 7; д) + 5 = х - у;в) ab + 3а = b⁴;

е) 2n + 4m² = ?

2. Р е ш е н и е у р а в н е н и я с двумя переменными.

З а д а н и е. Проверить, какие из следующих пар являются решениями уравнения х + 2у = 1.

а) ; б) (2; -1); в) (3; -1); г) .

3. С т е п е н ь у р а в н е н и я с двумя переменными.

З а д а н и е № 397.

4. Г р а ф и к у р а в н е н и я с двумя переменными.

Необходимо актуализировать знания учащихся о графиках известных им элементарных функций. Рассмотреть вопрос о том, как может быть построен график уравнения с двумя переменными.

Вопрос о графике уравнения х² + у² = r² целесообразно рассмотреть на следующем уроке.

IV. Формирование умений и навыков.

Основное внимание на этом уроке следует уделить понятию уравнения с двумя переменными и нахождению его корней подбором. На формирование этого умения направлена первая группа заданий. Во вторую группу войдут задания, связанные с графиком уравнений с двумя переменными. Более сложные задания на построение графиков лучше рассмотреть на следующем уроке.

Упражнения:

1-я г р у п п а.

1. № 395.

2. Найдите несколько решений уравнения:

а) 2х + у = 5; в) х² - ху = 1;

б) х - у = ; г) (х + 1) (у - 3) = 12.

2-я г р у п п а.

1. № 399 (а, в, д, ж), № 402 (а, б).

2. № 400.

В классе с высоким уровнем подготовки можно дополнительно выполнить № 411.

Р е ш е н и е

а) ху = 2.

Выразим переменную х через у: х = .

Чтобы х было целым числом, выражение должно принимать целые значения, то есть число 2 должно нацело делиться на у. Это условие будет выполнено, если у = ±1 и у = ±2. В этом случае х = ±2 и х = ±1 соответственно.

О т в е т: (2; 1), (-2; -1), (1; 2), (-1; -2).

б) х² - у² = 3.

Преобразуем выражение х² - у² по формуле разности квадратов:

(х - у) (х + у) = 3.

Если х и у - целые числа, то х - у и х + у - целые числа. Целые числа дают в произведении 3 в четырех случаях: 1 · 3; 3 · 1; -1 · (-3); -3 · (-1). Получим четыре системы уравнений:

Решая эти системы, находим нужные пары чисел.

О т в е т: (2; 1), (2; -1), (-2; -1), (-2; 1).

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

- Какое уравнение называется уравнением с двумя переменными?

- Что называется степенью уравнения с двумя переменными?

- Что называется решением уравнения с двумя переменными?

- Сколько может иметь решений уравнение с двумя переменными?

- Графики каких уравнений с двумя переменными вы умеете строить?

Домашнее задание: № 396, № 399 (б, г, е, з), № 401.

У р о к 39 Дата:

Уравнение окружности

Цели: изучить уравнение окружности; формировать умение составлять это уравнение.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Является ли пара чисел (2; -1) решением уравнения:

а) х + 3у = 1; в) х² - у² = ;

б) - 2у = 3; г) 2ху + у = -3.

III. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

1. Найдите два каких-нибудь решения уравнения:

а) 2х - у = 3; б) (у + 2) = 0.

2. Постройте график уравнения:

а) - у = 1; б) (х + 1) (у - 3) = 0.

В а р и а н т 2

1. Найдите два каких-нибудь решения уравнения:

а) х² + у = 7; б) (х - 1) = 0.

2. Постройте график уравнения:

а) 2х + у = ; б) (х - 2) (у + 1) = 0.

IV. Объяснение нового материала.

Сначала следует актуализировать знания учащихся об известных им графиках уравнений с двумя переменными. Затем разобрать, что является графиком уравнения х² + у² = r², и вывести общее уравнение окружности с центром в точке (a; b) и радиусом r:

(х - а)² + (у - b)² = r².

V. Формирование умений и навыков.

Задания можно разбить на две группы. Сначала учащиеся по данному уравнению окружности строят ее, а затем выполняют задания на составление уравнения окружности.

Упражнения:

1-я г р у п п а.

1. № 403 (устно).

2. Постройте график уравнения:

а) х² + у² = 4;

б) (х - 1)² + у² = 9;

в) (х + 2)² + (у - 3)² = 1.

2-я г р у п п а.

1. № 404 (а, б), № 405 (а, б).

2. № 407.

3. № 410.

В классе с высоким уровнем подготовки можно выполнить несколько дополнительных заданий.

1. № 406.

Р е ш е н и е

х² + у² - 6 (х - у) = 7.

Для того чтобы доказать, что графиком этого уравнения является окружность, его нужно привести к виду

(х - а)² + (у - b)² = r².

Выполним ряд преобразований:

х² + у² - 6х + 6у = 7;

х² - 6х + 9 - 9 + у² + 6у + 9 - 9 = 7;

(х - 3)² - 9 + (у + 3)² - 9 = 7;

(х - 3)² + (у + 3)² = 25.

Таким образом, графиком данного уравнения является окружность с центром в точке (3; -3) и радиусом 5.

2. № 409.

Р е ш е н и е

Центром окружности (х - 5)² + (у - 7)² = r² является точка с координатами (5; 7), то есть центр этой окружности находится в первой координатной четверти на расстоянии 5 от оси у и 7 - от оси х.

Чтобы данная окружность касалась оси х, ее радиус должен совпадать с расстоянием между центром и осью х, то есть r = 7. А чтобы окружность касалась оси у, ее радиус должен совпадать с расстоянием между центром и осью у, то есть r = 5.

VI. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

- Что называется решением уравнения с двумя переменными?

- Сколько решений имеет уравнение с двумя переменными?

- Что является графиком уравнения х² + у² = r²?

- Назовите координаты центра окружности и ее радиус, если она задана уравнением (х + 1)² + (у - 5)² = 49.

Домашнее задание: № 402 (в, г), № 404 (в), № 405 (в).

Д о п о л н и т е л ь н о: № 408.

У р о к 40 Дата:

Суть графического способа решения

систем уравнений

Цели: познакомить учащихся с системами уравнений, в которых хотя бы одно из них является уравнением второй степени; формировать умение решать такие системы графически.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Является ли пара чисел (-1; 3) решением системы уравнений:

2. На рисунке изображены графики функций у = 2х + 4 и у = -х + 1. Решите систему уравнений:

III. Объяснение нового материала.

1. Сначала необходимо актуализировать знания учащихся по следующим вопросам:

- понятие системы уравнений;

- решение системы уравнений;

- способы решения систем линейных уравнений.

2. Показать учащимся, что в некоторых ситуациях необходимо уметь решать не только системы линейных уравнений, но и системы, в которых хотя бы одно из уравнений имеет вторую степень.

3. Продемонстрировать графический способ решения систем уравнений (пример из учебника).

IV. Формирование умений и навыков.

Задания лучше разбить на две группы. Первая группа подготавливает учащихся к применению графического способа решения систем уравнений. А во вторую группу будут входить задания на непосредственное решение систем уравнений графически.

Упражнения:

1-я г р у п п а.

1. № 415.2. На рисунке изображены графики функций у = -х² + 2 и у = . Решите систему уравнений:

3. Постройте график функции у = х² - 4. С помощью этого графика решите систему уравнений:

а) б)

2-я г р у п п а.

№ 416, № 417.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

- Что называется решением системы уравнений?

- В чем состоит суть графического способа решения системы уравнений?

- Сколько решений имели системы уравнений, которые были рассмотрены на этом уроке?

- Может ли система уравнений не иметь решений?

Домашнее задание: № 417, № 523 (а, г, е).

У р о к 41 Дата:

Решение систем уравнений графически

Цели: продолжить формирование умения решать графически системы уравнений; дать наглядные представления о возможном количестве решений систем уравнений.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Сколько решений имеет система уравнений, если графики уравнений, входящих в нее, изображены ниже на рисунке?

а) б)

в)

III. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

Решите графически систему уравнений:

а) б)

В а р и а н т 2

Решите графически систему уравнений:

а) б)

IV. Формирование умений и навыков.

Упражнения:

1. № 420, № 422.

2. № 421.

После выполнения № 421 можно поставить перед учащимися вопрос: сколько решений может иметь система уравнений? При поиске ответа на этот вопрос предложить им использовать графические представления.

В итоге, учащиеся должны прийти к выводу, что система уравнений может иметь одно, два, три, четыре решения, а может не иметь решений. К каждой из этих ситуаций учащиеся в тетрадях должны изобразить по несколько примеров.

О д н о р е ш е н и е:

Д в а р е ш е н и я:

Т р и р е ш е н и я:

Ч е т ы р е р е ш е н и я:

Н е т р е ш е н и й:

В классе с высоким уровнем подготовки можно дополнительно выполнить еще несколько номеров.

1. № 423.

Р е ш е н и е

Графиком уравнения х² - 4 = 0 будут две прямые: х = 2 и х = -2, а графиком уравнения у² - 9 = 0 - прямые у = 3 и у = -3.

Таким образом, данная система имеет 4 решения.

О т в е т: (-2; 3), (-2; -3), (2; 3), (2; -3).

2. № 525.

Р е ш е н и е

Графиком уравнения х² + у² = r² является окружность с центром в начале координат и радиусом r. Графиком уравнения у = - х² + 4 является парабола.

Для нахождения возможного количества решений этой системы нужно построить параболу и рассмотреть варианты расположения окружности х² + у² = r² относительно этой параболы.

В результате получаем следующие графические иллюстрации:

Таким образом, данная система уравнений может иметь два, три, четыре решения, а может не иметь решений.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

- В чем состоит суть графического способа решения систем уравнений?

- Что такое решение системы уравнений?

- Сколько может иметь решений система уравнений?

Домашнее задание: № 419, № 524.

Д о п о л н и т е л ь н о: № 526.

У р о к 42 Дата:

Суть способа подстановки решения

систем уравнений второй степени

Цели: изучить способ подстановки решения систем уравнений второй степени; формировать умение применять этот способ.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Является ли пара чисел (-2; 3) решением системы уравнений?

а) б)

III. Объяснение нового материала.

Сначала необходимо актуализировать знания учащихся, предложив им решить способом подстановки систему линейных уравнений:

Можно разбить учащихся на два варианта и к доске вызвать двоих учеников. Один вариант решает эту систему, выражая переменную х через у, а другой - переменную у через х.

После того как учащиеся вспомнили, в чем состоит способ подстановки решения систем линейных уравнений, сообщить им, что этот способ может применяться и для решения систем уравнений второй степени.

Разобрав примеры из учебника, учащиеся должны заметить, что в системе линейных уравнений можно выражать переменную из любого уравнения, а в системе уравнений второй степени это не всегда удается.

IV. Формирование умений и навыков.

Упражнения:

1. № 429 (а, в), № 431 (а, в).

2. № 433 (а, в, д).

Перед решением каждой из систем можно спрашивать учащихся о возможном количестве ее корней. Ответ на этот вопрос учащиеся могут получить, исходя из графических представлений. Затем свои предположения они проверяют аналитически.

Н а п р и м е р, система (№ 433 (а)) состоит из уравнений, задающих прямую и параболу. Графики этих уравнений могут пересекаться в одной и двух точках, а могут и не пересекаться. Значит, данная система может иметь либо один, либо два корня, а может не иметь корней.

После таких рассуждений решаем эту систему уравнений:

у = 2х + 2;

5х² - (2х + 2) = 1;

5х² - 2х - 3 = 0;

D₁ = 1 + 15 = 16;

x₁ = = 1 y₁ = 2 ∙ 1 + 2 = 4;

x₂ = = -y₂ = 2 ∙ + 2 = .

Получаем, что данная система имеет два решения.

О т в е т: (1; 4), .

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

- Сколько решений может иметь система линейных уравнений?

- Сколько решений может иметь система уравнений второй степени?

- Опишите, какие действия нужно совершить, чтобы решить систему уравнений второй степени способом подстановки.

Домашнее задание: № 430, № 431 (б, г), № 433 (б, г, е).

У р о к 43 Дата:

Решение систем уравнений второй степени

способом подстановки

Цели: продолжить формирование умения решать системы уравнений второй степени способом подстановки.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Какие из пар чисел (-2; 1), (3; 6), (1; -2) являются решением системы уравнений

III. Формирование умений и навыков.

Упражнения:

1. № 434 (а, д), № 435 (а), № 436 (а), № 437 (а).

2. № 440.

3. № 441.

Р е ш е н и е

б)

Выразим из второго уравнения переменную у и подставим в первое уравнение:

2у = -3х - 1;

у = ;

х² + х ∙ + 3 ∙ = 9;

2х² - 3х² - х + 9х + 3 = 18;

-х² + 8х - 15 = 0;

х² - 8х + 15 = 0;

x₁ = 3 y₁ = = 5;

x₂ = 5 y₂ = = -8.

О т в е т: (3; -5), (5; -8).

Сильным в учебе учащимся можно дополнительно дать карточки.

К а р т о ч к а № 1

1. Решите систему уравнений:

2. При каких значениях а система уравнений имеет единственное решение?

К а р т о ч к а № 2

1. Решите систему уравнений:

2. При каких значениях р система уравнений не имеет решений?

Р е ш е н и е заданий карточки № 1

1. При решении этой системы можно воспользоваться методом замены.

Пусть = n и = m. Получим систему:

п = 5 - т;

(5 - т)² + т² = 13;

25 - 10т + т² + т² = 13;

2т² - 10т + 12 = 0;

т² - 5т + 6 = 0;

т₁ = 2 п₁ = 3;

т₂ = 3 п₂ = 2.

В е р н е м с я к з а м е н е:

= 3, то есть х = ; = 2, то есть у = ;

= 2, то есть х = ; = 3, то есть у = .

О т в е т: .

2. Выразим из второго уравнения системы переменную х и подставим в первое уравнение:

х = а - у;

(а - у)² + у² = 9;

а² - 2ау + у² + у² = 9;

2у² - 2ау + а² - 9 = 0.

Чтобы система имела единственное решение, это уравнение должно иметь единственный корень, то есть дискриминант должен быть равен нулю.

D₁ = а² - 2 (а² - 9) = 18 - а²;

18 - а² = 0;

а² = 18;

а = ±.

О т в е т: ±.

Р е ш е н и е заданий карточки № 2

1. Из первого уравнения выразим переменную х и подставим во второе уравнение системы:

x = ;

= 2.

Пусть = t, тогда получим уравнение:

t + = 2;

t² - 2t + 1 = 0;

t = 1.

В е р н е м с я к з а м е н е:

= 1;

10 - 3у = 2у;

5у = 10;

у = 2 х = = 2.

О т в е т: (2; 2).

2. Выразим из первого уравнения переменную у и подставим во второе уравнение системы:

у = р - х;

4 (р - х) = х²;

х² + 4х - 4р = 0.

Чтобы система не имела решений, это уравнение не должно иметь корней, то есть дискриминант должен быть меньше нуля:

D₁ = 4 + 4р;

4 + 4р < 0;

4р < -4;

р < -1.

О т в е т: (-∞; -1).

IV. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

- Что называется решением системы уравнений?

- Сколько решений может иметь система уравнений второй степени?

- В чем состоит способ подстановки решения систем уравнений второй степени?

Домашнее задание: № 434 (б, г), № 435 (б), № 437 (б), № 439,

№ 442 (а).

У р о к 44 Дата:

Использование способа сложения

при решении систем уравнений второй степени

Цели: изучить способ сложения решения систем уравнений второй степени; формировать умение применять этот способ.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

1. Является ли пара чисел х = 6, у = -8 решением системы уравнений

2. Решите систему уравнений:

а) б)

В а р и а н т 2

1. Является ли пара чисел х = 7, у = -6 решением системы уравнений:

2. Решите систему уравнений:

а) б)

III. Объяснение нового материала.

Сначала необходимо актуализировать знания учащихся о способе сложения при решении систем линейных уравнений. Предложить им решить данным способом систему, проговаривая все действия, которые они при этом совершают.

Умножим правую и левую части первого уравнения на -3. Получим систему:

Сложим почленно левые и правые части уравнений полученной системы:

-14у = -14;

у = 1.

Подставим найденное значение переменной у в одно из уравнений исходной системы, например, в первое:

2х + 3 · 1 = 1;

2х = -2;

х = -1.

О т в е т: (-1; -1).

Затем сообщить учащимся, что способ сложения иногда можно применять и при решении систем уравнений второй степени. Показать это на конкретном примере:

Умножим правую и левую части первого уравнения на -2. Получим систему:

Сложим почленно левые и правые части уравнений полученной системы:

-8х² + 3х = -5;

8х² - 3х - 5 = 0;

х₁ = 1, х₂ = .

Подставим найденные значения переменной х во второе уравнение исходной системы:3 · 1 - 2у = -1;

2у = 4;

у = 2.

О т в е т: (1; 2), .

IV. Формирование умений и навыков.

1. Решите систему уравнений сначала способом подстановки, а затем способом сложения, сравните результаты.

Какой способ в данном случае рациональнее?

2. Решите систему уравнений, используя способ сложения:

а) б)

Можно ли решить эти системы способом подстановки?

3. № 449 (а).

4. Решите систему уравнений:

Р е ш е н и е

Сложим почленно левые и правые части уравнений данной системы. Получим уравнение:

2х + 2у = -12;

х + у = -6.

Данная система уравнений будет равносильна системе, составленной из полученного уравнения и любого уравнения исходной системы:

Эту систему уравнений можно решить способом подстановки:

- 6 - у² - 6у = 2;

у² + 6у +8 = 0;

у₁ = -2 х₁ = 2 - 6 = -4;

у₂ = -4 х₂ = 4 - 6 = -2.

О т в е т: (-4; -2), (-2; -4).

Сильным в учебе учащимся можно предложить дополнительно решить № 534.

Р е ш е н и е

Чтобы данная система уравнений имела решение, нужно, чтобы решения системы, составленной из первых двух уравнений, являлись решениями третьего уравнения.

Сложим почленно левые и правые части уравнений данной системы. Получим уравнение:

у² + 4у - 12 = 0;

у₁ = 2, у₂ = -6.

Подставим найденные значения переменной у в первое уравнение системы. Получим:3х - 4 · 2 = -2;

3х = 6;

х = 2.

3х + 24 = -2;

3х = -26;

х = .

Подставляя полученное решение (2; 2) в третье уравнение исходной системы, убеждаемся, что она не имеет решений.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

- Опишите алгоритм решения систем уравнений второй степени способом сложения.

- Любую ли систему уравнений второй степени можно решить способом сложения?

Домашнее задание: № 445, № 448, № 449 (б).

У р ок 45 Дата:

Решение систем уравнений второй степени

различными способами

Цели: обобщить и систематизировать знания учащихся о способах решения систем уравнений второй степени.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Решите систему уравнений способом сложения:

а) б)

III. Формирование умений и навыков.

Все задания можно разбить на две группы. В классе с невысоким уровнем подготовки задания второй группы решать не обязательно.

Упражнения:

1-я г р у п п а.

1. № 443 (а, в).

2. № 444.

3. № 447 (а).

Р е ш е н и е

Из второго уравнения выразим переменную х и подставим в первое уравнение системы:

Пусть у² = а, тогда получим уравнение:

+ а - 12 = 0;

а² - 12а + 36 = 0;

(а - 6)² = 0;

а = 6, то есть у² = 6;

у = ±.

Тогда соответствующие значения х будут равны .

О т в е т: (; -), (-; ).

После решения этой системы предложить учащимся найти другой способ. Если они не догадаются, то помочь им.

Умножим обе части второго уравнения на 2 и сложим почленно левые и правые части уравнений полученной системы:

х² + 2ху + у² = 0;

(х + у)² = 0;

х + у = 0;

х = -у.

Подставим найденное значение х во второе уравнение:

-у² = -6;

у² = 6;

у₁ = х₁ = -;

у₂ = -х₂ = .

Заметим, что этот способ является более рациональным и интересным.

2-я г р у п п а.

1. № 451.

Р е ш е н и е

Известно, что прямая у = kx проходит через точку М (1; 2). Найдем значение k:

2 = k · 1 k = 2.

Таким образом, нужно найти точки пересечения графиков уравнений (х - 4)² + (у - 6)² = 25 и у = 2х. Для этого нужно решить систему:

(х - 4)² + (2х - 6)² = 25;

х² - 8х + 16 + 4х² - 24х + 36 - 25 = 0;

5х² - 32х + 27 = 0;

х₁ = 1 у₁ = 2 · 1 = 2;

х₂ = 5,4 у₂ = 2 · 5,4 = 10,8.

Ответ: (1; 2), (5,4; 10,8).

2. № 450.

Р е ш е н и е

Парабола у = х² + 1 и прямая у = kx имеют только одну общую точку, если система имеет единственное решение.

Подставим значение у = kx в первое уравнение:

kx = х² + 1;

х² - kx + 1 = 0.

Составленная система будет иметь единственное решение, если это квадратное уравнение имеет один корень, то есть его дискриминант равен нулю.

D = k² - 4;

k² - 4 = 0;

k² = 4;

k = ±2.

О т в е т: k = 2 и k = -2.

3. Решите систему уравнений:

Р е ш е н и е

Сложим почленно правые и левые части уравнений системы. Получим:

х² + у² + 2ху + х + у = 12;

(х + у)² + х + у = 12.

С д е л а е м з а м е н у: х + у = а - и решим полученное уравнение:

а² + а - 12 = 0;

а₁ = -4, а₂ = 3.

В е р н е м с я к з а м е н е:

х + у = -4 х = -у - 4;

х + у = 3 х = 3 - у.

Подставляя поочередно данные выражения во второе уравнение исходной системы, получим:у - 4 + у - у (у + 4) = 5;

- 4 - у² - 4у = 5;

у² + 4у + 9 = 0;

D₁ = 4 - 9 = -5.

Нет решений.

3 - у + у + у (3 - у) = 5;

3 + 3у - у² = 5;

у² - 3у + 2 = 0;

у₁ = 1, у₂ = 2.

Тогда х₁ = 3 - 1 = 2,

х₂ = 3 - 2 = 1.

О т в е т: (2; 1), (1; 2).

IV. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

- Что называется решением системы уравнений?

- Опишите способ подстановки решения систем уравнений второй степени.

- Опишите алгоритм решения систем уравнений второй степени способом сложения.

- Любое ли уравнение второй степени можно решить способом подстановки? способом сложения?

Домашнее задание: № 443 (б, г), № 446, № 447 (б).

Д о п о л н и т е л ь н о: № 438.

У р о к 46 Дата:

Суть способа решения задач

с помощью систем уравнений

Цели: рассмотреть, как могут решаться текстовые задачи с помощью систем уравнений второй степени; формировать умение решать такие задачи.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Решите систему уравнений:

а) б)

III. Объяснение нового материала.

Учащиеся уже умеют применять системы линейных уравнений для решения текстовых задач. Поэтому главным при изучении данного материала будет обобщение и систематизация их знаний о решении таких задач, а также закрепление методов решения систем уравнений второй степени.

Для демонстрации принципа решения задач с помощью систем уравнений второй степени достаточно привести пример из учебника.

IV. Формирование умений и навыков.

На этом уроке главное, чтобы учащиеся усвоили схему решения задач с помощью систем уравнений второй степени. Необходимо дать им под запись примерный план, согласно которому можно осуществлять решение таких задач.

1. Прочитать условие задачи и понять его.

2. Указать объекты, о которых идет речь в задаче.

3. Одну из величин обозначить за х, а другую - за у.

4. Составить систему уравнений по условию задачи.

5. Решить эту систему уравнений.

6. Интерпретировать полученные результаты.

На первых порах необходимо, чтобы учащиеся вслух комментировали решение задач согласно записанному плану.

Упражнения:

1. № 455, № 457.

2. № 460.

Покажем, как может быть решена эта задача по плану, приведенному выше.

Р е ш е н и е

1) В условии речь идет о прямоугольном треугольнике. Требуется найти его площадь.

2) Известна гипотенуза треугольника и его периметр. Для нахождения площади нужно знать его катеты.

3) Обозначим один катет треугольника через х см, а другой - через у см.

4) Зная периметр треугольника, составим уравнение:

х + у +37 = 84.

По теореме Пифагора составим второе уравнение:

х² + у² = 37².

Получим систему уравнений:

5) Решим эту систему уравнений способом подстановки:

47² - 94у + у² + у² - 37² = 0;

2у² - 94у + (47 - 37) (47 + 37) = 0;

2у² - 94у + 10 · 84 = 0;

у² - 47у + 420 = 0;

у₁ = 35 х₁ = 12;

у₂ = 12 х₂ = 35.

6) Получаем, что катеты треугольника равны 12 см и 35 см. Найдем его площадь:

S = · 12 · 35 = 210 (см²).

О т в е т: 210 см².

3. № 463.

При решении этой задачи учащимся поможет рисунок, сделанный согласно ее условию.

Пусть стороны прямоугольника равны х см и у см. Учитывая, что его площадь равна 30 см², получим уравнение: ху = 30.

S₁ = х² см², S₂ = у² см².

Получим уравнение 2х² + 2у² = 122 или х² + у² = 61.

Составим систему уравнений:

Находим ее решения: (-6; -5), (6; 5), (-5; -6), (5; 6).

Первое и третье решения не подходят по условию задачи. Значит, стороны прямоугольника равны 5 см и 6 см.

О т в е т: 5 и 6 см.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

- Какие существуют способы решения систем уравнений второй степени?

- В чем заключается каждый из этих способов?

- Опишите план решения текстовой задачи с помощью системы уравнений.

Домашнее задание: № 456, № 458, № 459.

У р о к 47 Дата:

Решение задач на движение с помощью

систем уравнений второй степени

Цели: формировать умение решать задачи на движение с помощью систем уравнений второй степени.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Периметр прямоугольника равен 20 см, а его площадь равна 21 см². Пусть х и у - стороны этого прямоугольника. Какая из систем соответствует условию задачи?

а) б) в)

III. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

1. Разность двух чисел равна 5, а их произведение равно 84. Найдите эти числа.

2. Прямоугольный участок земли площадью 2080 м² обнесен изгородью, длина которой равна 184 м. Найдите длину и ширину участка.

В а р и а н т 2

1. Сумма двух чисел равна 25, а их произведение равно 144. Найдите эти числа.

2. Прямоугольный участок земли площадью 3250 м² обнесен изгородью, длина которой равна 230 м. Найдите длину и ширину участка.

IV. Формирование умений и навыков.

Сначала необходимо актуализировать знания учащихся о решении задач на движение, выделив р я д э т а п о в.

1) Анализ условия:

- Какие объекты рассматриваются в задаче?

- Какое движение описано в задаче (однонаправленное, движение навстречу, по кругу и т. д.)?

- Значения каких величин известны?

2) Выделение процессов, которые описаны в задаче.

3) Выбор неизвестных величин и заполнение таблицы.

4) Составление системы уравнений.

5) Решение системы уравнений.

6) Интерпретация и проверка полученного решения.

Как реализуются описанные этапы, можно разобрать на примере задачи № 472.

Р е ш е н и е

1) В задаче описано движение двух пешеходов навстречу друг другу. Известно расстояние между пунктами и расстояние, которое прошли пешеходы за 4 часа.

2) Выделим два процесса:

- реальное движение пешеходов;

- движение при условии выхода одного из пешеходов на 1 ч раньше.

3) Пусть х км/ч - скорость первого пешехода и у км/ч - скорость второго пешехода.

Заполним две таблицы: