Разработка урока 'Применение геометрической прогрессии в работе банковской системы. '

Тема: Применение геометрической прогрессии в работе банковской системы.

Цели урока:

Образовательные: обобщить знания и умения о геометрической прогрессии, научить применять их в задачах с экономическим содержанием.

Развивающие: учить применять математические умения в жизненных ситуациях, учить самостоятельности.

Воспитательные: способствовать экономическому воспитанию учащихся с использованием математических знаний, воспитывать дух сотрудничества.

Тип урока: урок применения знаний и умений.

Форма урока: урок - деловая игра.

Цель нашего урока - обобщить знания о геометрической прогрессии и научиться применять знания о прогрессии в задачах с экономическим содержанием. Для этого повторим: определение и основные формулы геометрической прогрессии, нахождение % от числа.

• Из списка последовательностей выберите те, которые являются геометрической прогрессией: 1,2,3,…

1,1,1…

10, 30, 90, …

• Какая числовая последовательность называется геометрической прогрессией?

• Назовите формулу n-го члена для последней геометрической прогрессии (с_n = 103^n-1).

• Найдите 5-й член этой прогрессии. (810)

• Как найти сумму пяти членов этой геометрической прогрессии?

• Для положительных членов геометрической прогрессии с₁, 9, с₃, 1, … найдите первый и третий члены.

• Какое применили свойство?

• Найти % от числа: 20% от 100, 10% от 100, 40% от 200.

Решаем задачи на применение определения и формул геометрической прогрессии, которые мы повторили во время устной работы.

Рассмотрим, как применяется геометрическая прогрессия в работе банковской системы.

В Центральный банк пришли акционеры 4-х банковских систем:

1. 21 век 2. Диагональ 3. Вера 4. Глекс

Консультацию по работе банковских систем дает банковский служащий.

Ученик: В России 1700 коммерческих банков, их работу контролирует ЦБ России. Им устанавливается, что определенная доля вкладов в банк должна быть обязательно в резерве банка в виде наличных денег. Их называют обязательными резервами банка. Остальные деньги можно давать под определенные %. Из этих доходов вкладчикам выплачиваются % за пользование их деньгами.

Учитель: Рассмотрим, что происходит с деньгами внутри самой системы банков и попробуем связать наши знания о прогрессиях с работой банковской системы. Возьмем систему из 6 банков, пусть доля обязательных резервов составляет 20%, т.е. эти деньги хранятся в ЦБ. Вкладчик внес 100 000 р., 20% пошли в ЦБ, 80% идут в свободный резерв. Банк «Альфа» свободные резервы отдает в кредит одному человеку. Эти деньги попадают в другой банк, и с ними происходит то же самое и т.д.

• Получается числовая последовательность, составленная из кредитов (см. Таблицу).

• Как определить, будет ли данная последовательность прогрессией и какой?

• 1. В₂ : В₁; 2. В₃ : В₂ ; 3. В₄ : В₃; 4. В₅ : В₄

• Как называется найденное вами число? (знаменатель). q = 0,8

• В работе банков для нахождения знаменателя используется следующая формула q=1-p_o/100. (в₂= в₁-в₁р_о/100=в₁(1-р_о/100))

• Для упрощения вычислений в дальнейшем можете эту формулу использовать.

• Найдите сумму кредитов, выданных этими шестью банками. Какую можно использовать формулу?

S₆=80 000  (1-0,8ⁿ)/(1-0,8)=295 142,4 р.

Вывод: Система из 6 банков сумела выдать кредитов на сумму 295 142,4 р. - это есть суммарный объем кредитования. Какую формулу применили?

• Один банк может выдать в кредит 80 000 р., а шесть 295 142,4 р., что в 3,7 раза больше.

• ЦБ может влиять на суммарный объем кредитования путем изменения величины обязательных резервов (р%). Пусть ЦБ в банковской системе:

1. -понизил % отчислений до 10%;

2. -повысил % до 30%;

3. -назначает 20%;

4. -повышает до 40%.

S_o

p_o

n

S₄

100 000

10

4

309 510

100 000

30

4

177 310

200 000

20

4

472 320

200 000

40

4

261 120

• Вычислите суммарную величину кредита, если норма обязательных кредитов р_о, величина вклада в 1-й банк S_о, в каждой системе по 4 банка.

• Какую будите использовать формулу? Первый член числовой последовательности вам надо найти. Как найти? (% от числа).

• Генеральный директор каждой банковской системы запишет в таблице какой кредит ваша система может дать.

• Сравните суммы 1 и 2 систем (3 и 4); сделайте вывод. (Чем меньше % отчислений в ЦБ, тем больше суммарная величина кредита).

• Как вы думаете, в какую систему банков лучше обратиться?

• В связи с кризисом в стране некоторые банки не могут быть кредитоспособными, становятся банкротами, закрываются. Акционеры задаются вопросом, нужно ли держать столько банков. Проводится опрос основных держателей акций для выяснения необходимого числа банков в системе, чтобы эта система могла выдать кредит на определенную сумму.

Наименование банка

Величина нового вклада (в р.)

Обязательные резервы (в р.)

Свободные средства (в р.)

Альфа

100 000

20 000

80 000

Бета

80 000

16 000

64 000

Гамма

64 000

12 800

51 200

Омега

51 200

10 240

40 960

Орион

40 960

8 192

32 768

Персей

32 768

6 553,6

26 214,4

ЗАДАЧИ

1. Для геометрической прогрессии вычислить:

1) в₄, S₇, если в₁ = 4, q = 0,5; 2) в₅, S₇, если в₁ = 1, q = -2.

2. В геометрической прогрессии найти число n членов, если:

1) S_n = 189, в₁ = 3, q = 2; 2) S_n = 635, в₁ = 5, q = 2.

3. В первый банк системы, состоящей из пяти банков В₁, В₂, В₃, В₄, В₅ внесен вклад 50 000 р. при норме обязательных резервов равной 10%. Найдите:

1) а) величину свободных резервов банка В₄;

б) величину суммарных кредитов, которые могут предоставить три банка этой системы (S₃).

2) а) величину свободных резервов банка В₃;

б) величину суммарных кредитов, которые могут предоставить все банки этой системы (S₃).

4. В банк В₁ системы банков В1,В2,…В_n внесен вклад в размере 10 000 р. Обязательные резервы составляют 10%. Сколько банков в этой системе, если они совместно выдали кредитов на сумму 34 390 р.?

р_о(%)

S_n($)

S_o($)

n

20

236 160

100 000

(4)

20

47 232

20 000

(4)

10

30 951

10 000

(4)

40

65 280

50 000

(4)

• Сколько банков нужно оставить в системе, чтобы система коммерческих банков могла выдать кредит:

1) 236 160$ ; 2) 47 232$ ; 3) 30 951$ ; 4) 65 280$ .

• Какую формулу надо применить? (Формулу суммы n-первых членов геометрич. прогрессии)

Решение: в₁=80 000, q=0,8 , S_n=236 160? n-?

236 160 = 80 000(1-0,8ⁿ)(1-0,8),

0,4096 = 0,8ⁿ ; 0,8⁴ = 0,8ⁿ ; n = 4.

Ответ: 4 банка.

Решение выполняется по группам, ответы заносятся в таблицу на доске.

Представитель каждой банковской системы запишет в таблицу, сколько надо оставить коммерческих банков в вашей системе. (n=4)

Можно изменить ставку обязательных резервов так, чтобы резервы данного банка удвоились. Как удвоить свободные резервы банка даст вам справку коммерческий директор (Ф.И. ученика).

Задача

Рассмотрим систему, состоящую из пяти банков В₁, В₂, В₃, В₄, В₅. Пусть ставка обязательных резервов равна р_о%. Как следует изменить ставку обязательных резервов с тем, чтобы после этого свободные резервы банка В₃ удвоились? (р_о=30%).

Решение:

Пусть S_о - величина свободных резервов банка В₁ и р = р_о/100. Величина S₃ свободных резервов банка В₃: S₃=S_o(1-p)³.

Пусть норма обязательных резервов составляет р₁% и х=р₁/100.

Величина свободных резервов банка В₃ станет равной: S₃=S_o(1-x)³.

По условию S₃=2S₃. Поэтому величина х удовлетворяет уравнению:

S_o(1-x)³=2S_o(1-p)³; 1-x = (1-p); x = 1-(1-p); 0p1; 1-(1-p)˃0 или р˃1-1/.

Искомый % обязательных резервов: р₁=100х%.

Если р_о=30%, то р=0,3; 1-1/=0,206; х=1-(1-0,3)=0,118; р₁=11,8%.

Снижение нормы обязательных резервов с 30% до 11,8% приведет к удвоению свободных резервов банка В₃.

• Какая формула геометрической прогрессии применялись в этой задаче? (формула n-го члена)

Итог:

• Где можно применять знания о геометрической прогрессии? (в работе банковской системы)

• Что можно найти с помощью геометрической прогрессии в работе банковской системы?

1) Можно найти суммарную величину кредитов;

2) Как изменить величину кредитов?

3) Как влияет % на объем кредитования?

4) Как удвоить суммарный объем кредитования?

Каждый генеральный директор своей банковской системы оценит работу своих акционеров.