Урок по математике 11 класс «Показательная функция, её свойства и график2

Тема урока: Показательная функция, ее свойства и график.

Цели урока: Образовательная: - ввести определение показательной функции; рассмотреть ее свойства.

Развивающая: Развитие грамотной математической речи, логического мышления, умения сравнивать и обобщать

Воспитательная: Воспитание познавательной активности, культуры общения, культуры диалога.

В результате чего ученик:

- умеет определять показательную функцию;

- знает определение показательной функции;

- знает свойства показательной функции;

-умеет сравнивать и обобщать;

- умеет точно и грамотно выражать свои мысли в устной и письменной речи.

Тип урока: урок формирования новых знаний (урок-лекция).

План урока:

1. Организационный момент (1 мин).

2. Подготовительный этап (мотивация) (5 мин).

3. Изучение нового материала (30 мин).

4. Подведение итогов урока (2 мин).

5. Задание на дом (2 мин).

Ход урока:

2 этап урока: Название: Подготовительный этап (мотивация).

Деятельность

учителя

ученика

Цель: познакомиться с понятием «показательная функция», с ее свойствами и графиком.

Сравните: 2^1\9 и 3^1\9; 0,7^1\2 и 0,5^1\2; 3^1\3 и 3^3\9.

Вычислите: 24^1\2; 64^1\3; 9^2,5.

Упростите: b^-2\3*b^4\9; m^1\4:m³; (p^-2\3)³.

2^1\9< 3^1\9; 0,7^1\2 > 0,5^1\2; 3^1\3= 3^3\9.

24^1\2=; 64^1\3=4; 9^2,5=243.

b^-2\3*b^4\9=b^-2\9; m^1\4:m³=m^-11\12; (p^-2\3)³=p^-2.

3 этап урока: Название: Изучение нового материала.

Деятельность

учителя

ученика

Запишите определение в тетради: Функция, заданная формулой у=а^x (где а>0, a¹1), называется показательной функцией с основанием а. D(y)=R. E(y)=(0;).

Обычно не рассматривают показательную функцию с основанием а = 1. Дело в том, что если а = 1, то для любого значения х выполняется равенство 1^x = 1. Таким

образом, показательная функция у = а^x при а = 1 «вырождается» в постоянную функцию у = 1.

Рассмотрим примеры показательной функции и построим их графики: y=2^x, y=3^x, y=5^x, y=(1\2)^x, y=(1\3)^x, y=(1\5)^x.

Как будем строить графики этих функций?

Составим таблицу значений для функции y=2^x.

Строим график этой функции:

Графики для функций y=3^x, y=5^xбудут аналогичны.

Составим таблицу значений для функции y=(1\2)^x.

Строим график этой функции:

Графики для функций y=(1\3)^x, y=(1\5)^x будут аналогичны.

Что общего у этих графиков?

Теперь запишем свойства показательной функции y=a^x в виде следующей таблицы:

№

a>1

0<a<1

1

2

3

4

5

6

7

8

Какова область определения?

Какова область значений?

Четные или нечетные это функции?

Возрастают или убывают функции?

Ограничены ли эти функции?

Есть ли наибольшее или наименьшее значения?

Непрерывны ли функции?

Что еще можно сказать об этих функциях?

Прежде чем переходить к решению задач, заметим, что показательная функция существенно отличается от всех функций,

которые вы изучали до сих пор. Чтобы основательно изучить новый объект, надо рассмотреть его с разных сторон, в разных ситуациях, поэтому рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Решить уравнения и неравенства:

a) 2^х=1; б) 2^x=1\16; в) 2^x<4

Решение, а) Построив в одной системе координат графики функций у = 2^х и у = 1, замечаем, что они имеют одну общую точку (0; 1).

Значит, уравнение 2^х = 1 имеет единственный корень х =0.

Итак, из уравнения 2^х = 2° мы получили х=0.

Пункт б) попробуйте решить самостоятельно.

в) График функции у = 2^x расположен ниже графика функции у = 4 при х<2 - это хорошо читается по рисунку. (рисунок на доске). Значит, решением неравенства

2^х <4 служит промежуток (, 2).

Вы заметили, наверное, что в основе всех выводов, сделанных при решении примера 1, лежало свойство монотонности (возраста-

ния) функции у=2^х. Аналогичные рассуждения позволяют убедиться в справедливости следующих двух теорем.

Пример 2. Решить уравнения и неравенства: a) (1\3)^x=3; б) (1\3)^x=1\9; в) (1\3)^x>1; г) (1\3)^x<3.

Пример 3. Построить график функции

у = 3*3^x+2 и найти наибольшее и наименьшее значения этой функции на отрезке [-2, 2].

Решение. Можно действовать так: построить график функции у=3^x, затем осуществить его растяжение от оси х с коэффициентом 3, а затем полученный график поднять вверх на 2 единицы масштаба. Но удобнее воспользоваться

тем, что 3*З^x=З^x+1, и, следовательно, строить график функции у =3^x+1 + 2.

Перейдем, как неоднократно уже делали в таких случаях, к вспомогательной системе координат с началом в точке (-1; 2) - пунктирные прямые х =- 1 и y= 2 на рисунке. «Привяжем» функцию у=3^х к новой системе координат. Для этого выберем контрольные точки для функции

у=3^х: (0;1), (1;3), (-1;1\3), но строить их будем не в старой, а в новой системе координат. Затем по точкам построим

экспоненту - это и будет требуемый график.

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения заданной функции на отрезке [-2, 2], воспользуемся тем, что заданная функция возрастает, а потому свои наименьшее и наибольшее значения она принимает соответственно в левом и правом концах отрезка.

Итак:

y_наим=f(-2)=3^-2+1+2=;

y_наиб=f(2)=3²⁺¹+2=29.

Пример4. Решить уравнение и неравенства:

a)5^x=6-x; 6) 5^x>6-x; в) 5^x<6-x.

Пример 5.Дана функция у = f(x), где f(x)=l0^x. Доказать, что f(sin²x) f(cos²x)=10.

Решение. По условию f(x)=l0^x. Значит, f(sin²x) = , а

f(cos²x)= . Имеем:

f(sin²x) f(cos²x)= *=

Ho sin²x+cos²x = l. Значит, =10¹ =10.

Итак, f(sin²x) f(cos²x)=10, что и требовалось доказать.

Пример 6. Решить уравнение: (2\7)^x+12\7=2^x.

Решение. Положим

f(x) = (2\7)^x+12, g(x)= 2^x. Заметим, что функция у = f(x) убывает, а функция y=g(x) возрастает. Воспользуемся известным фактом: если функция у = f(x) убывает, а функция у = g(x) возрастает, и если уравнение f(x)=g(x) имеет корень, то только один.

Нетрудно догадаться, что заданное уравнение имеет корень х = 1: подставив значение х = 1 в заданное уравнение, получим (2\7)¹+12\7=2¹ - верное числовое равенство.

Так как функция у = (2\7)^x+12\7 убывает, а функция у = 2^х возрастает, то

корень у заданного уравнения только один, и этим корнем является найденное выше значение х = 1.

Ответ: х = 1.

Записывают в тетради число, тему урока и определение показательной функции.

Опр: Функция, заданная формулой у=а^x (где а>0, a¹1), называется показательной функцией с основанием а.

По точкам.

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

1\8

1\4

1\2

1

2

4

8

Строят график в тетрадях.

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

8

4

2

1

1\2

1\4

1\8

Лежат выше оси ОХ, проходят через точку (0;1)

Свойства показательной функции y=a^x:

№

a>1

0<a<1

1

D(y)=R.

D(y)=R.

2

E(y)=(0;)

E(y)=(0;)

3

ни четная, ни нечетная

ни четная, ни нечетная

4

возрастает

убывает

5

Не ограничена сверху, ограничена снизу

Не ограничена сверху, ограничена снизу

6

Нет ни наибольшего, ни наименьшего значений.

Нет ни наибольшего, ни наименьшего значений.

7

непрерывна

непрерывна

8

Выпукла вниз

Выпукла вниз

x=-4

Решение, а) Построив в одной системе координат графики функций у =(1\3)^x и

y=3, замечаем, что они имеют одну общую точку (-1; 3). Значит, уравнение (1\3)^x=3 имеет единственный корень х = -1.

Итак, из уравнения (1\3)^x=(1\3)^-1 мы получили х=-1.

Аналогично находим единственный корень уравнения (1\3)^x=1\9, здесь х = 2, поскольку (1\3)²=1\9.

в) График функции у =(1\3)^x расположен выше графика функции у =1 при х<0 - это хорошо читается по рисунку (на доске). Значит, решением неравенства (1\3)^x>1 служит промежуток (, 0).

г) График функции у =(1\3)^x расположен ниже графика функции у = 3 при х > -1 - это хорошо читается по рисунку. Значит, решением неравенства (1\3)^x<3 служит промежуток (-1,).

Решение а) Построим в одной системе координат графики функций

у=5^x и у=6-x. Они пересекаются в одной точке; судя по чертежу, это - точка (1;5). Проверка показывает, что на самом деле точка (1;5). удовлетворяет и уравнению у = 5^x, и уравнению у=6 - х. Абсцисса этой

точки служит единственным корнем заданного уравнения.

Итак, уравнение 5^x =6- х имеет единствен-

ный корень х = 1.

б) и в) Экспонента у=5х лежит выше прямой у=6-х, если х>1, - это хорошо видно на чертеже. Значит, решение неравенства 5^x>6- х можно записать так: х>1. А решение неравенства 5^x<6-x можно записать так: х<1.

Ответ: а) х = 1; б) х>1; в) х<1.

Подведение итогов.

Деятельность

учителя

ученика

Мы познакомились с определением показательной функции и ее свойствами.

Повторим еще раз, какая функция называется показательной?

Итог урока. Рефлексия деятельности.

-Чему вы научились на уроке?

Расскажите по схеме:

Функция, заданная формулой у=а^x (где а>0, a¹1), называется показательной функцией с основанием а

Итог урока. Рефлексия деятельности.

Я запомнил

Смог

Знаю

Домашнее задание.§45, № 1310(в, г), 1313.