Задачи по геометрии для подготовки к экзамену (9 класс)

Задачи по геометрии для подготовки к экзамену

9 класс

Задачи по геометрии. 9 класс

1. Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника делит гипотенузу на отрезки, равные 7 и 24. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Решение. Теорема о биссектрисе угла треугольника.

Ответ. r = 93/25.

2. Один правильный шестиугольник вписан в окружность, а другой описан около нее. Найдите радиус окружности, если разность периметров этих шестиугольников равна a.

Решение. Учебник геометрии, в нем - формулы, их надо учить и запомнить.

Ответ. .

3. Равнобочная трапеция с острым углом описана около окружности радиуса r. Найдите площадь трапеции.

Решение. Найдем сразу боковую сторону, следовательно - среднюю линию.

Ответ. .

4. В окружность радиуса R вписан правильный шестиугольник ABCDEF. Найдите радиус круга, вписанного в треугольник ACD.

Решение. Сторона шестиугольника равна R. Треугольник ACD - прямоугольный.

Ответ. .

5. Диагонали AC и BE правильного пятиугольника ABCDE пересекаются в точке K. Докажите, что описанная окружность треугольника CKE касается прямой BC.

Решение. Пусть O - центр описанной окружности треугольника CKE. , .

6. Пусть a - длина стороны правильного пятиугольника, d - длина его диагонали.

Докажите, что d² = a² + ad.

Решение. Т.к. BC - касательная к описанной окружности треугольника CKE (см. задачу 5), то .

7. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна c, а один из острых углов равен 30°. Найдите радиус окружности с центром в вершине угла в 30°, делящей данный треугольник на две равновеликие части.

Решение. Формула площади сектора.

Ответ. .

8. В прямоугольном треугольнике ABC даны длины катетов CB=a, CA=b. Найдите расстояние от вершины C до ближайшей к C точки вписанной окружности.

Решение. CO = , 2pr = ab, d = CO - r.

Ответ. .

9. В прямоугольном треугольнике медиана длиной m делит прямой угол в отношении 1:2. Найдите площадь треугольника.

Решение. AM=MB=CM=c/2=m, треугольник CAM - равнобедренный с углом при основании AB в 30°.

Ответ. .

10. В равнобочной трапеции, описанной около окружности, отношение параллельных сторон равно k. Найдите угол при основании.

Решение. .

Ответ. .

11. Площадь равнобочной трапеции, описанной около круга, равна S, а высота в 2 раза меньше ее боковой стороны. Найдите радиус вписанного в трапецию круга.

Решение. Если c - боковая сторона, то S = 2cr = 2c(h/2) = 2c(c/4) = c²/2.

Ответ. .

12. Дан полукруг с диаметром AB. Через середину дуги полуокружности проведены две прямые, делящие полукруг на три равновеликие части. В каком отношении эти прямые делят диаметр AB?

Решение. Площади частей полукруга вычисляются, одна из них - равнобедренный треугольник.

Ответ.

13. Дан квадрат ABCD со стороной a. На стороне BC взята точка M так, что BM=3MC, а на стороне CD - точка N так, что 2CN=ND. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник AMN.

Решение. Найдите стороны треугольника AMN и примените метод площадей.

Ответ. .

14. Во вписанном четырехугольнике ABCD, диагонали которого пересекаются в точке K, известно, что AB=a, BK=b, AK=c, CD=d. Найдите длину диагонали AC.

Решение. , значит треугольники AKB и CKD подобны.

Ответ. (ac + bd) / a.

15. Вокруг трапеции описана окружность. Основание трапеции составляет с боковой стороной угол , а с диагональю - угол . Найдите отношение площади круга к площади трапеции.

Решение. Теорема синусов: .

Ответ .

16. Отношение радиуса окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, к радиусу окружности, описанной около этого треугольника, равно k. Найдите угол при основании треугольника.

Решение. В качестве параметров удобно взять угол при основании и боковую сторону треугольника.

Ответ. .

17. Через вершины A и B треугольника ABC проходит окружность радиуса r, пересекающая сторону BC в точке D. Найдите площадь круга, проходящего через точки A, D и C, если AB=c, AC=b.

Решение. Теорема синусов: c/sin(ADB)=2r; в ACD AC/sin(ADC) = AC/sin(ADB)=2R.

Ответ. .

18. На стороне BC треугольника ABC как на диаметре построена окружность, пересекающая стороны AB и AC в точках M и N. Найдите площадь треугольника AMN, если площадь треугольника ABC равна S, а угол BAC равен .

Решение. AM/AC = AN/AB = k - коэффициент подобия, S₁/S = k². k = AM/AC =, т.к. треугольник AMC - прямоугольный (BC - диаметр окружности).

Ответ. .

19. В равнобедренном треугольнике ABC (AB=BC) медиана AD перпендикулярна биссектрисе CE. Определите величину угла ACB.

Решение. Пусть O - точка пересечения медианы AD и биссектрисы CE. В треугольнике ACD биссектриса CO является высотой, поэтому AC = CD, значит BC = 2CD = 2AC, cosC = (1/2) AC : BC = 1/4.

Ответ. arccos(1/4).

20. В треугольнике ABC BC² + AC² = 5AB². Докажите, что медианы AM и BN перпендикулярны.

Решение. . Тогда , . ; по условию,a²+b²=5c², и .

21. Шестиугольник ABCDEF впмсан в окружность. Диагонали AD, BE и CF являются диаметрами этой окружности. Докажите, что площадь шестиугольника ABCDEF равна удвоенной площади треугольника ACE.

Решение. Пусть O - центр описанной окружности. Т.к. AD, BE, CF - диаметры, то пл.ABO = пл.DEO = пл.AEO, пл.BCO = пл.EFO = пл.CEO, пл.CDO = пл.AFO = пл.ACO. Пл.ABCDEF = 2(пл.ABO + пл.BCO + пл.CDO), пл.ACE = пл.AEO + пл.CEO + пл.ACO, значит пл.ABCDEF = 2•пл.ACE.

22. Высота трапеции, диагонали которой взаимно перпендикулярны, равна 4. Найдите площадь трапеции, если известно, что длина одной из ее диагоналей равна 5.

Решение. Пусть диагональ AC трапеции ABCD с основанием AD равна 5. Достроим треугольник ACB до параллелограмма ACBE. Площадь трапеции ABCD равна площади прямоугольного треугольника DBE. BH - высота трапеции, EH² = BE² - BH² = 5² - 4² = 9, ED = BE²/EH = 25/3, поэтому пл.DBE = ED·BH/2 = 50/3.

Ответ. 50/3.

23. Длины сторон треугольника образуют арифметическую прогрессию. Докажите, что радиус вписанной окружности равен трети одной из высот треугольника.

Решение. a, b, c - длины сторон, a < b < c. Тогда 2b = a + c, 2пл.ABC = r(a + b + c)=3rb и 2пл.ABC = b·h₂, значит r = h₂/3.

24. Отрезок постоянной длины движется по плоскости так, что его концы скользят по сторонам прямого угла ABC. По какой траектории движется середина этого отрезка?

Решение. Если M и N - концы отрезка, O - его середина, то точка B (вершина прямого угла) лежит на окружности с диаметром MN, поэтому OB=MN/2. Траекторией точки O является часть окружности радиуса MN/2 с центром B, заключенная внутри угла ABC.

25. Найдите площадь ромба ABCD, если радиусы окружностей, описанных около треугольников ABC и ABD равны R и r.

Решение. Если x - острый угол, то диагонали d₁=2R•sinx и d₂=2r•sinx (теорема синусов); tg(x/2)=r/R и т.д.

Ответ. .

26. В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла C проведены биссектриса CL=a и медиана CM=b. Найдите площадь треугольника ABC.

Решение. .

Ответ. .

27. В равностороннем треугольнике ABC сторона равна a. На стороне BC лежит точка D, а на AB - точка E так, что BD=a/3, AE=DE. Найдите длину CE.

Решение. AE = x и дважды - теорема косинусов для треугольников EBD и AEC.

Ответ. .

28. В равнобедренный треугольник вписан квадрат единичной площади, сторона которого лежит на основании треугольника. Найдите площадь треугольника, если известно, что центры тяжести треугольника и квадрата совпадают.

Решение. Пусть E - вершина квадрата, лежащая на боковой стороне AB треугольника ABC. Сторона квадрата равна 1. Если BD - высота треугольника, AE = x, то, по теореме синусов, . Общий центр тяжести - точка пересечения медиан треугольника ABC. BD = 3/2. Треугольник ABC - прямоугольный.

Ответ. 9/4.

29. Три окружности радиусов 1, 2 и 3 касаются друг друга внешним образом. Найдите радиус окружности, проходящей через точки касания этих окружностей.

Решение. Треугольник O₁O₂O₃, где O_i - центры соответствующих окружностей (i = 1, 2, 3), - прямоугольный с катетами 3 и 4. Искомая окружность вписана в треугольник O₁O₂O₃.

Ответ. 1.

30. Окружность радиуса R проходит через вершины A и B треугольника ABC и касается прямой AC в точке A. Найдите площадь треугольника ABC, если .

Решение. O - центр окружности, . По теореме синусов для треугольника ABC находим BC, затем площадь.

Ответ. .

31. Дан треугольник ABC. Известно, что AB=4, AC=2, BC=3. Биссектриса угла BAC пересекает сторону BC в точке K. Прямая, проходящая через точку B параллельно AC, пересекает продолжение биссектрисы AK в точке M. Найдите длину отрезка KM.

Решение. Треугольники AKC и BKM подобны. BK, KC и AK отыскиваются по теоремам о биссектрисе и косинусов.

Ответ. .

32. В выпуклом четырехугольнике отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны a и b и пересекаются под углом 60°. Найдите диагонали четырехугольника.

Решение. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, - диагонали параллелограмма, поэтому делятся пополам точкой пересечения; стороны параллелограмма, равные половинам диагоналей четырехугольника, находятся по теореме косинусов.

Ответ. .

33. В треугольнике ABC известны BC=a, углы A и B. Найдите радиус окружности, пересекающей все его стороны и высекающей на каждой из них хорды длины d.

Решение. Центры данной окружности и вписанной в треугольник ABC совпадают (равные хорды равноудалены от центра окружности). Отыскав радиус вписанной окружности, ответим на поставленный вопрос.

Ответ. .

34. В равнобедренном треугольнике с боковой стороной, равной 4 см, проведена медиана к боковой стороне. Найдите основание треугольника, если медиана равна 3 см.

Указание. Теорема о сумме квадратов диагоналей параллелограмма.

Ответ. см.

35. В равнобедренном треугольнике основание равно 16 см, а боковая сторона равна 10 см. Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей и расстояние между их центрами.

Решение. S = abc/4R = pr.

Ответ. 8/3, 25/3, 5 см.

36. Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, если радиус окружности, вписанной в этот треугольник, равен 3 см, а катет равен 10 см.

Решение. Катет = 10 = 3 + 7, tg(A/2)=3/7, где A - острый угол, прилежащий к данному катету.

Ответ. 29/4 см.

37. Радиус окружности, вписанной в треугольник, равен 2 см. Точка касания этой окружности делит одну из сторон на отрезки длиной 4 и 6 см. Определите вид треугольника и вычислите его площадь.

Решение. tg(A/2)=2/4=1/2, tg(B/2)=2/6=1/3, значит cosA=3/5, cosB=4/5=sinA.

Ответ. Прямоугольный; 24 см².

38. В ромб, который делится своей диагональю на два равносторонних треугольника, вписана окружность с радиусом 2. Найдите сторону ромба.

Решение. Острый угол ромба - .

Ответ. .

39. Радиусы вписанной и описанной окружностей прямоугольного треугольника соответственно равны 2 и 5 см. Найдите катеты треугольника.

Решение. Катеты - параметры задачи.

Ответ. 6 и 8 см.

40. Расстояние центра круга до хорды длиной в 16 см равно 15 см. Найдите площадь треугольника, описанного около круга, если периметр треугольника равен 200 см.

Решение. r² = 15² + 8² = 289, r=17, S=200*17/2 = 1700.

Ответ. 1700 см².

41. Периметр ромба равен 2p; длины диагоналей относятся, как m:n. Вычислите площадь ромба.

Решение. Площадь равна половине произведения диагоналей, которые находятся по теореме Пифагора.

Ответ. mnp² / 2(m² + n²).

42. В треугольник вписан ромб со стороной m, так что один угол у них общий, а противоположная вершина ромба лежит на стороне треугольника и делит эту сторону на отрезки длиной p и q. Найдите стороны треугольника.

Решение. m/a = p/(p+q) - из подобия треугольников.

Ответ. m(p+q)/p, m(p+q)/q, p+q.

43. Прямые, содержащие боковые стороны равнобочной трапеции, пересекаются под прямым углом. Найдите длины сторон трапеции, если ее площадь равна 12 см², а высота равна 2 см.

Решение. Если x - меньшее основание трапеции, то S = h(2+2+x+x)/2.

Ответ. 4; 8; ; .

44. Из одной точки к окружности проведены две касательные. Длина каждой касательной 12 см, а расстояние между точками касания 14,4 см. Определите радиус окружности.

Решение. Подобие треугольников (l - длина касательной, R - радиус окружности, 2h - расстояние между точками касания): .

Ответ. 9 см.

45. Из точки A проведены две прямые, касающиеся окружности радиуса R в точках B и C так, что треугольник ABC - равносторонний. Найдите его площадь.

Решение. AB² + R² = AO² (O - центр окружности), AO=R/sin30°.

Ответ. .

46. Периметр параллелограмма равен 90 см и острый угол 60°. Диагональ параллелограмма делит его тупой угол в отношении 1:3. Найдите стороны параллелограмма.

Решение. Диагональ делит параллелограмм на прямоугольные треугольники с острыми углами 60° и 30°.

Ответ. 15 и 30 см.

47. Один из углов трапеции равен 30°, а прямые, содержащие боковые стороны трапеции, пересекаются под прямым углом. Найдите длину меньшей боковой стороны трапеции, если ее средняя линия равна 10 см, а одно из оснований 8 см.

Решение. Большее основание равно 12 см. Далее - подобие.

Ответ. 2 см.

48. Общая хорда двух пересекающихся окружностей видна из их центров под углами 90° и 60°. Найдите радиусы окружностей, если расстояние между их центрами равно .

Решение. 2 случая, в зависимости от того, лежат центры окружностей по одну или по разные стороны от общей хорды. Вычисляются все углы, далее - теорема синусов.

Ответ. или .

49. Найдите площадь круга, вписанного в прямоугольный треугольник, если проекции катетов на гипотенузу равны 9 и 16 см.

Решение. Высота на гипотенузу равна 12 см. Метод площадей + теорема Пифагора позволяют найти катеты. Опять метод площадей: S = pr.

Ответ. 5 см.

50. Центр окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, удален от концов ее боковой стороны на расстояния 3 и 9 см. Найдите стороны трапеции.

Решение. 3 и 9 см - катеты прямоугольного треугольника. Радиус вписанной окружности - высота этого треугольника, проведенная из вершины прямого угла. Не забудьте условие вписания окружности в четырехугольник.

Ответ. см.

51. Основания трапеции равны 4 и 16 см. Найдите радиусы окружностей, вписанной в трапецию и описанной около нее, если известно, что эти окружности существуют.

Решение. Трапеция равнобочная, боковая сторона равна 10 см, высота - 8 см. Теорема синусов.

Ответ. 4 см, см.

52. Точка на гипотенузе, равноудаленная от обоих катетов, делит гипотенузу на отрезки длиной 30 и 40 см. Найдите катеты треугольников.

Решение. , где x - расстояние от заданной точки гипотенузы до катетов.

Ответ. 42, 56 см.

53. Площадь прямоугольного треугольника равна 24 см², а гипотенуза равна 10 см. Найдите радиус вписанной окружности.

Решение. , S = 24, катеты равны 6 и 8 см (они вычисляются из теоремы Пифагора и формулы для площади).

Ответ. 2 см.

54. Площадь треугольника равна S. Каждая сторона треугольника разделена на три части в отношении m : n : m. Определите площадь шестиугольника, вершинами которого являются точки деления.

Решение. Если C₁, C₂, A₁, A₂, B₁, B₂ - точки деления на сторонах AB, BC, CA соответственно, то площадь маленького треугольника, прилегающего к вершине, равна .

Ответ. .

55. Прямая, параллельная основаниям трапеции, проходит через точку пересечения ее диагоналей. Найдите длину отрезка этой прямой, заключенного между боковыми сторонами трапеции, если основания трапеции равны 4 и 12 см.

Решение. Подобие треугольников. Заметим попутно, что отрезки MO и ON равны (O - точка пересечения диагоналей, M и N - лежащие на боковых сторонах трапеции концы отрезка).

Ответ. 6 см.

56. Периметр кругового сектора равен 28 см, а его площадь равна 49 см². Определите длину дуги сектора.

Решение. Для определения радиуса окружности и центрального угла имеем два уравнения: .

Ответ. 14 см.

57. На каждой медиане треугольника взята точка, делящая медиану в отношении 1:3, считая от вершины. Во сколько раз площадь треугольника с вершинами в этих точках меньше площади исходного треугольника?

Решение. Пусть AA₁ и CC₁ - две медианы треугольника ABC, O - точка пересечения медиан, M и P - отмеченные точки на медианах AA₁ и CC₁ соответственно, тогда , MP и AC параллельны (теорема Фалеса); аналогично, все стороны треугольника с вершинами в отмеченных точках параллельны соответствующим сторонам треугольника ABC, значит треугольники подобны с коэффициентом подобия 5/8.

Ответ. В 64/25.

58. Медианы треугольника равны 5, 6 и 5 м. Найдите площадь треугольника.

Решение. Треугольник равнобедренный. Площадь в 3 раза больше площади равнобедренного треугольника с боковой стороной 10/3 и высотой 2.

Ответ. 16 м².

59. Найдите координаты середин сторон квадрата, приняв за оси координат его диагонали.

Решение. (1;0), (0;1), (-1;0), (0;-1) - координаты вершин квадрата.

Ответ. (1/2;1/2), (-1/2;1/2), (-1/2;-1/2), (1/2;-1/2).

60. Большее основание трапеции в два раза больше ее меньшего основания. Через точку пересечения диагоналей проведена прямая, параллельная основаниям. Найдите отношение высоты каждой из двух полученных трапеций к высоте данной трапеции.

Решение. Половина отрезка, параллельного основаниям и проходящего через точку пересечения диагоналей, заключенного между боковыми сторонами, равна , где a - меньшее основание трапеции (задача 55). Теперь - подобие треугольников.

Ответ. 1 : 3, 2 : 3.

61. Площадь прямоугольника равна 9 см², а величина одного из углов, образованного диагоналями, равна 120°. Найдите стороны прямоугольника.

Решение. a и b - стороны прямоугольника. .

Ответ. см.

62. Площадь равнобедренного треугольника равна 1/3 площади квадрата, построенного на основании данного треугольника. Длина боковой стороны треугольника короче длины его основания на 1 см. Найдите длины сторон и высоту треугольника, проведенной к основанию.

Решение. Пусть a и b - основание и боковая сторона треугольника. .

Ответ. 6 см, 5 см, 5 см, 4 см.

63. Диагональ равнобедренной трапеции делит ее тупой угол пополам. Меньшее основание трапеции равно 3 см, периметр равен 42 см. Найдите площадь трапеции.

Решение. Все остальные стороны одинаковы и равны 13 см. Проведем через вершину прямую, параллельную боковой стороне и найдем высоту трапеции, используя формулу Герона для вычисления площади получившегося равнобедренного треугольника..

Ответ. 96 см².

64. Высота равнобочной трапеции равна 14 см, а основания равны 16 и 12 см. Найдите площадь описанного круга.

Решение. Найдем боковую сторону, диагональ трапеции, синус острого угла и по теореме синусов - радиус описанного около трапеции круга (10 см).

Ответ. см².

65. Вычислите площадь прямоугольной трапеции, если ее острый угол равен 60°, меньшее основание равно a и большая боковая сторона равна b.

Решение. Все вычисляется напрямую.

Ответ. .

66. Сторона правильного треугольника, вписанного в окружность, равна a. Вычислите площадь квадрата, вписанного в ту же окружность.

Решение. .

Ответ. .

67. Определите площадь кругового сегмента, если его периметр равен p, а дуга содержит 120°.

Решение. .

Ответ..

68. Найдите координаты точки на оси x, равноудаленной от двух данных точек A(x₁;y₁), B(x₂;y₂).

Решение. Найдем точку пересечения серединного перпендикуляра к AB с осью Ox. - уравнение перпендикуляра.

Ответ. .

69. В прямоугольном треугольнике медианы катетов равны и . Найдите гипотенузу треугольника.

Решение. Достроим (дважды) треугольник до прямоугольника. В прямоугольнике сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон.

Ответ. 5.

70. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если даны радиусы R и r описанного и вписанного в него кругов.

Решение. Центр вписанной окружности, вершина C прямого угла и точки касания вписанной окружности с катетами a и b - вершины квадрата. Теорема о равенстве отрезков касательных, проведенных из точки C к вписанной окружности, и расположение центра описанной около прямоугольного треугольника окружности дают два уравнения: p - c = r, c = 2R (p - полупериметр треугольника). p = r + 2R, S = pr.

Ответ. r (r + 2R).

71. Ромб, у которого сторона равна меньшей диагонали, равновелик кругу радиуса R. Определите сторону ромба.

Решение. , a - сторона ромба.

Ответ. .

72. Дан равнобедренный треугольник с основанием, равным a, и боковой стороной, равной b. Докажите, что центр вписанной окружности делит биссектрису угла при основании в отношении (a+b) : b, считая от вершины угла.

Указание. Попробуйте поместить в вершины треугольника такие массы, чтобы центр вписанной окружности стал центром масс полученной системы материальных точек. Впрочем, возможно прямое геометрическое вычисление.

73. Даны координаты двух вершин A и B равностороннего треугольника ABC. Найдите координаты третьей вершины.

Указание. A(x₁;y₁), B(x₂;y₂). Теорема косинусов (или - скалярное произведение).

Ответ. C.

74. Две стороны треугольника равны соответственно 5 и 8 см, площадь равна 12 см². Найдите третью сторону.

Решение. Выражаем площадь через синус угла между известными сторонами и - теорема косинусов.

Ответ. 5 см.

75. Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 7 и 8 см, а основания 3 и 6 см.

Решение. В трапеции ABCD перенесем параллельно диагональ BD в положение CM. В треугольнике ACM известны все три стороны (9, 8, 7 см), а его площадь равна площади трапеции.

Ответ. см².

76. Длины диагоналей ромба относятся, как 3:4. Во сколько раз площадь ромба больше площади вписанного в него круга?

Решение. x - сторона ромба, y и 3/4y - половины диагоналей. Площадь ромба выражается через произведение диагоналей, ( - угол между диагональю и стороной ромба, - r - радиус вписанного круга).

Ответ. .

77. Найдите площадь треугольника ABC, если b=11, c=13, m=10 (m - медиана к стороне BC).

Решение. Достроим треугольник ABC до параллелограмма CABD, продолжив медиану AM за точку M на расстояние m. Площадь ABC равна площади ABD, которую найдем по формуле Герона (стороны треугольника ABD равны 13, 11, 20).

Ответ. .

78. Через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно основаниям проведена прямая, пересекающая боковые стороны в точках M и N. Докажите, что MN=2ab/(a+b), где a и b - длины оснований.

Решение. Рассмотрим пары подобных треугольников AOM и ACB, DON и DBC, AOD и BOC в трапеции ABCD (O - точка пересечения диагоналей).

79. Даны координаты двух смежных вершин A и B квадрата ABCD. Найдите координаты остальных вершин.

Решение. Если A(x₁;y₁), B(x₂;y₂), то D(y₁-y₂; x₂-x₁), C(x₂-x₁+y₁-y₂; y₂-y₁+x₂-x₁) (поворот на прямой угол относительно A).

80. Дан квадрат ABCD. На прямых BD и BC взяты соответственно точки M и N так, что и . Докажите, что угол AMN является прямым тогда и только тогда, когда n = 2m - 1.

Указание. Векторный метод.

81. Площадь равнобочной трапеции, описанной около круга, равна S. Определите боковую сторону трапеции, если известно, что острый угол при основании равен 30°.

Решение. Если a и b - основания, то боковые стороны равны (a+b)/2, площадь трапеции равна r(a+b), 2r = (a+b)/2. Отсюда (a+b)² = 4S.

Ответ. .

82. Из точки O выходят два вектора и . Найдите какой-нибудь вектор, идущий по биссектрисе угла AOB.

Решение. Диагональ ромба - биссектриса его угла, а сумма векторов ориентирует диагональ параллелограмма. Параллелограмм, построенный на двух векторах, является ромбом, если модули векторов равны.

Ответ. .

83. Круг разделен на два сегмента хордой, равной стороне правильного вписанного треугольника. Определите отношение площадей этих сегментов.

Решение. Длина хорды равна (теорема синусов), здесь R - радиус круга. Теперь находим площадь сегмента, вмещающего центральный угол .

Ответ. .

84. Площадь равнобочной трапеции, описанной около круга, равна 32 см²; острый угол трапеции равен 30°. Определите площадь описанного круга.

Решение. (a, b - основания трапеции. r - радиус вписанного круга). r = 2. Около равнобочной трапеции можно описать круг. a + b =16. Квадрат диагонали трапеции равен (теорема косинусов) . Радиус описанного круга находим по теореме синусов и пишем

Ответ. см².

85. В треугольнике ABC даны длины его сторон BC=5, CA=6, AB=7. Найдите скалярное произведение векторов и .

Решение. По теореме косинусов находим косинус угла B, далее - по определению скалярного произведения: ,

Ответ. -19.

86. Высота ромба равна 12 см, а одна из его диагоналей равна 15 см. Найдите площадь ромба.

Решение. S = pr, причем r = 6 см. Пусть x - сторона ромба. Теорема Пифагора дает результат.

Ответ. 150 см².

87. В треугольнике ABC проведены медианы AD, BE, CF. Вычислите .

Решение. . Все векторы линейно выражаются через и .

Ответ. .

88. В треугольнике ABC проведены медианы AD, BE и CF. Найдите .

Решение. и т.д.

Ответ. .

89. Медианы треугольника равны 3, 4 и 5 см. Найдите площадь треугольника.

Решение. Достроим конфигурацию до параллелограмма. Как?

Ответ. 8 см².

90. Дан прямоугольник ABCD и точка M. Докажите, что: 1) ;

2) MA² + MC² = MB² + MD².

Указание. Введите координаты.

91. На стороне BC треугольника ABC взята точка M так, что BM=2CM. Точки K и L выбраны на сторонах AC и AB соответственно так, что AK=2CK, BL=3AL. В каком отношении прямая KL делит отрезок AM?

Указание. Примените векторный метод, взяв в качестве базисных векторы и .

Ответ. 3 : 4.

92. В круге с центром O проведены два взаимно перпендикулярных диаметра AB и CD. На радиусе OB взята точка K так, что OK=OB/3, а на радиусе OD - точка M так, что OM=OD/2. Докажите, что точка пересечения прямых CK и AM лежит на данной окружности.

Указание. AB и CD - оси координатной системы.

93. В параллелограмме со сторонами a и b и углом проведены биссектрисы четырех углов. Найдите площадь четырехугольника, ограниченного биссектрисами.

Решение. Полученный четырехугольник - прямоугольник (биссектрисы противоположных углов параллельны, сумма прилежащих к одной стороне параллелограмма углов равна ); стороны находятся из прямоугольных треугольников.

Ответ. .

94. Стороны a, b, c (a < b < c) треугольника образуют арифметическую прогрессию. R и r - радиусы описанной и вписанной окружностей. Докажите, что ac = 6Rr.

Решение. Решаем задачу "с конца". Пусть ac = 6Rr. Уменьшаем число параметров (p - полупериметр, S - площадь треугольника): - верно (арифметическая прогрессия!). Преобразования обратимы - все доказано.

95. В окружность радиуса R вписан треугольник. Вторая окружность, концентрическая с первой, касается одной стороны треугольника и делит каждую из двух других сторон на три равные части. Радиус второй окружности равен r. Найдите отношение r / R.

Решение. Пусть D - точка касания второй окружности со стороной AC треугольника ABC. Центр этой окружности (концентрической с описанной около треугольника ABC) лежит на серединном перпендикуляре к AC, поэтому AD = DC и, следовательно, AB = BC. По теореме о степени точки (здесь нужна точка A) относительно окружности имеем: .

Ответ. 5/9.

96. В треугольнике ABC . Центр окружности, проходящей через середины сторон треугольника, лежит на биссектрисе угла C. Найдите AC.

Решение. Пусть O - центр окружности, проходящей через точки A₁, B₁, C₁ - середины сторон треугольника. или . В первом случае получим AC = BC - но это невозможно (нарушается неравенство треугольника!). Во втором случае четырехугольник CA₁OB₁ - вписанный и . Теперь - теорема косинусов.

Ответ. AC = 10.

97. Около прямоугольника описана окружность. Сумма квадратов расстояний от точки M окружности до всех вершин прямоугольника равна a. Найдите площадь круга.

Решение. Треугольник AMC - прямоугольный, MA² + MC² = 4R², a = 8R².

Ответ. .

98. Окружности радиусов R и r касаются внешним образом. Найдите радиус окружности, касающейся двух данных и их общей внешней касательной.

Решение. A, B - общие точки внешней касательной окружностей радиусов R и r, O₁ и O₂ - их центры, O₃ и x - центр и радиус третьей окружности. Проведем через O₂ и O₃ прямые, параллельные AB. Из получившихся прямоугольных треугольников имеем: .

Ответ. .

99. В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса прямого угла. Катеты равны a и b. Найдите расстояние между точками пересечения высот двух получившихся треугольников.

Решение. Самый естественный и надежный метод - координаты.

Ответ. .

100. ABCD - описанный четырехугольник. Окружности, вписанные в треугольники ABC и ACD, касаются друг друга.

Доказательство. Пусть K и M - точки касания вписанных в ABC и ACD окружностей с диагональю AC четырехугольника. По теореме об отрезках касательной: .

101. В параллелограмме со сторонами 2 и 4 проведена диагональ длиной 3. В каждый из получившихся треугольников вписано по окружности. Найдите расстояние между их центрами.

Решение. ABCD - параллелограмм. Вписанные в треугольники ABD и BCD окружности равны, r - их радиусы, O₁ и O₂ - центры, K и E - точки касания с BD. . .

Ответ. .

102. В треугольнике ABC на стороне AC взята точка D так, что окружности, вписанные в треугольники ABD и BCD, касаются. Известно, что AD = 2, CD = 4, BD = 5. Найдите радиусы окружностей.

Решение. Пусть O₁ и O₂ - центры, r₁ и r₂ - радиусы, N и M - точки касания окружностей, вписанных в ABD и DBC, с AC, ND = x. Применим теорему косинусов к треугольникам ABC и BCD и исключим косинус C:

Ответ. .

103. В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) биссектрисы BD и AF пересекаются в точке O. Отношение площадей треугольников DOA и BOF равно 3 : 8. Найдите отношение AC : AB.

Решение. AC=y, BC=x. , и - теорема о биссектрисе: y : x = 1 : 2.

Ответ. 1 : 2.

104. В равнобедренной трапеции меньшее основание равно боковой стороне, ф большее основание равно a. Большее основание видно из центра окружности, описанной около трапеции, под углом . Найдите длину боковой стороны трапеции.

Решение. Нужно рассмотреть случаи расположения центра окружности внутри, вне и на большем основании трапеции и опустить перпендикуляры из центра на большее основание и боковую сторону трапеции. и - теорема синусов.

Ответ. .

105. Около трапеции ABCD описана окружность. Хорда CE пересекает диагональ BD в точке M и основание AD в точке N. Найдите BD, если CM = a, MN = b, NE = c.

Решение. Проведем DE. Треугольники MDE и MND подобны, также - треугольники MND и BMC (по двум углам) .

Ответ. .

106. Основание AB трапеции ABCD вдвое длиннее основания CD и вдвое длиннее боковой стороны AD. Длина диагонали AC равна a, а длина боковой стороны BC равна b. Найдите площадь трапеции.

Решение. - равнобедренный. Из треугольников ABC (теорема косинусов) и ADC получаем: , .

Ответ. .

107. Окружность, вписанная в трапецию ABCD, касается боковой стороны AB в точке F. Найдите площадь трапеции, если AF = m, FB = n, а меньшее основание трапеции равно b.

Решение. Пусть E и K - точки касания вписанной окружности с меньшим основанием BC и боковой стороной CD, CK = x, KD = y. По теореме о равенстве отрезков касательной имеем BE = n, EC = b - n = CK. Треугольники AOB и COD (O - центр вписанной окружности) - прямоугольные (ABCD - трапеция, AO, BO, CO и DO - биссектрисы углов A, B, C и D); по теореме о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике (r - радиус вписанной окружности). Находим y и пишем

Ответ. .

108. Около окружности радиуса r = описана равнобедренная трапеция. Угол между диагоналями трапеции, опирающийся на основание, равен . Найдите длину отрезка, соединяющего точки касания окружности с большим основанием трапеции и одной из ее боковых сторон.

Решение. O - центр вписанной в трапецию ABCD окружности, E и F - точки касания с основанием AD и боковой стороной AB. Треугольник AOB - прямоугольный (ABCD -трапеция!). . ; AFE - равносторонний треугольник и FE = AF.

Ответ. 2 см.

109. В окружности радиуса R взята дуга в . В сегмент, соответствующий этой дуге, вписан прямоугольник ABCD такой, что AB : BC = 1 : 4; сторона BC лежит на хорде, ограничивающей сегмент. Найдите площадь прямоугольника.

Решение. Пусть BC = 4x. Введем систему координат с началом в центре окружности. Имеем:

Ответ. .

110. Окружность радиуса r касается прямой в точке M. На этой прямой по разные стороны от M взяты точки A и B так, что MA = MB = a. Чему равен радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся данной окружности?

Решение. Искомая окружность касается данной в точке P, диаметрально противоположной в данной окружности точке M, и проходит через A и B. По теореме синусов для треугольника ABC:

Ответ. .

111. В прямоугольнике ABCD AB = a, BC = b. На стороне AB как на диаметре построена окружность, и к ней из вершины C проведена касательная, пересекающая сторону AD в точке K. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник CDK.

Решение. Пусть P - точка касания, CP = CB = b, KP = AK = x. Тогда (x + b)² = a² + (b - x)², x = a² / 4b. S_CDK = pr = a (b - a² / 4b) / 2.

Ответ. .

112. В окружности проведены три попарно пересекающиеся хорды. Каждая хорда разделена точками пересечения на три равные части. Найдите радиус окружности, если одна из хорд равна a.

Решение. Все хорды равны a (по теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд). Отрезки, являющиеся средними третями данных хорд, образуют равносторонний треугольник со стороной a/3. Окружность, описанная около этого треугольника, - концентрическая с данной. Расстояние от центра до хорды равно . .

Ответ. .

113. Вписанная в треугольник ABC окружность касается его сторон AC и BC соответственно в точках M и N и пересекает биссектрису BD в точках P и Q. Найдите отношение площадей треугольников PQM и PQN, если .

Решение. Наши треугольники - прямоугольные (PQ - диаметр вписанной в ABC окружности!).

(O - центр окружности). (по дугам PN, MP, MN). . Можно считать дальше: .

Ответ. .

114. Биссектриса угла C треугольника ABC делит сторону AB на отрезки a и b (a > b). Касательная к окружности, описанной около треугольника ABC, проходящая через C, пересекает прямую AB в точке D. Найдите CD.

Решение. треугольники ACD и CBD подобны, AC = ka, BC = kb .

Ответ. .

115. Найдите сумму квадратов расстояний от точки M, взятой на диаметре окружности, до концов некоторой хорды, параллельной этому диаметру, если радиус окружности равен R, а расстояние от точки M до центра окружности равно a.

Решение. O - центр окружности, OM - отрезок радиуса, AB - хорда, параллельная OM. В системе координат с центром O и осью абсцисс OM:

M(a;0), A(-x;y), B(x;y), MA² + MB² = (x + a)² + y² + (x - a)² + y² = 2(x² + y²) + 2a² = 2(R² + a²).

Ответ. 2(R² + a²).

116. Окружность, проходящая через вершины A, B и C параллелограмма ABCD, пересекает прямые AD и CD в точках M и N. Точка M удалена от вершин B, C и D соответственно на расстояния 4, 3 и 2. Найдите MN.

Решение. Треугольники MDN и ABC подобны ; треугольники ABC и MBC также подобны (вписанные углы!) .

Ответ. .

117. В треугольнике ABC сторона BC равна a, радиус вписанной окружности равен r. Найдите радиусы двух равных окружностей, касающихся друг друга, если одна из них касается сторон BC и BA, а другая - сторон BC и CA.

Решение. Пусть x - радиусы искомых окружностей. Сразу получаем систему уравнений и решаем ее относительно x.

Получим .

Ответ. .

118. Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке E, AB=AD, CA - биссектриса угла C, . Найдите угол CDB.

Решение. ABD - равнобедренный треугольник, и . Далее, . Теперь, если F - точка пересечения продолжения DA за точку A и CB, в треугольнике CDF отрезок CA является высотой (по доказанному) и биссектрисой (по условию), поэтому CDF - равнобедренный треугольник и AF = AD = AB, то есть треугольник ABF - равнобедренный, причем . Получаем и .

Ответ. .

119. Перпендикуляры, опущенные из двух вершин прямоугольника на его диагональ, разделили ее на три равные части. Одна сторона прямоугольника равна . Найдите другую сторону.

Решение. Координаты напрашиваются: . Пусть . Напишем уравнения прямых (AC), (BP), (DQ) и вычислим координаты точек P и Q. , тогда (условие перпендикулярности прямых!); d1 = -2 (условие принадлежности точки B этой прямой). Теперь, решая систему (например, по формулам Крамера) , найдем координаты точки P: . Аналогично, , и для точки Q получим: . Остается вычислить квадраты расстояний между A и P, P и Q, Q и C. Это, конечно, просто, и приведет к a = 2. Не забудем еще, что возможен случай, когда ; точно те же рассуждения, что и в первом варианте, дают a = 1.

Ответ. 2 или 1.

120. На стороне AB треугольника ABC взята такая точка M, что AM = 2MB, а на стороне AC - точка K. Известно, что площадь треугольника AMK в 2 раза меньше площади треугольника ABC. В каком отношении точка K делит сторону AC?

Решение. Вспоминаем теорию: .

Ответ. 3 : 1.