Конспект урока по теме Уравнение прямой

13

ГЕОМЕТРИЯ.

УРОК: «УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ»

Учащиеся должны:

Знать вывод уравнения прямой;

Уметь строить прямую, заданную уравнением, применять полученные знания к решению задач.

Ход урока.

1. Организационный момент: объяснение целей урока.

2. Повторение пройденного материала:

Тестирование:

1. Установите истинность или ложность данного высказывания:

№959 (г). Начертите окружность, заданную уравнением:

(х-1)² + у² = 4

(да)

2. №969 (а). Напишите уравнение окружности с диаметром МN, если М (-3;5), N (7; -3)

А) (х+2)²+ (у+1)² = 41

Б) (х+2)²+ (у-1)² = 41

В) (х-2)²+ (у-1)² = 41

3. №961. Окружность задана уравнением (х+5)² + (у -1)² =16.

Укажите, какие из точек: А(-2;4), В(-5;-3), С(-7;-2) и D(1;5) лежат:

А) внутри круга, ограниченного данной окружностью;

Б) на окружности;

В) вне круга, ограниченного данной окружностью.

1) а) В; б) С; в) А и D

2) а) С; б) В; в) А и D

3) а) В; б) А; в) С и D

3. Объяснение нового материала.

План объяснения:

1. Вводное вступление.

На этом уроке вы познакомитесь с уравнением прямой в прямоугольной системе координат. Рассмотрите случаи расположения прямой относительно системы координат, определите координаты точки пересечения прямых. Познакомитесь с понятием углового коэффициента в уравнении прямой.

2. Уравнение прямой в прямоугольной системе.

Пусть дана произвольная точка d. Выведем ее уравнение в прямоугольной системе координат Оху. Для этого проведем через произвольную точку прямой d прямую, перпендикулярную прямой d и от точки пересечения отложим в разные стороны отрезки произвольной длины с концами в точках А и В. Пусть эти точки имеют следующие координаты: А(х₁;у₁) и В(х₂;у₂).

Согласно нашему построению, прямая d является серединным перпендикуляром к отрезку АВ. По свойству серединного перпендикуляра к отрезку для каждой точки N (х;у) прямой d AN=BN, или AN²=BN². Из этого равенства и формулы расстояния между двумя точками, заданными своими координатами, следует, что

(х-х₁)² + (у-у₁)² =(х-х₂)² +(у-у₂)².

3. Отработка навыков на тренажере.

Введите с клавиатуры недостающие числа в уравнении прямой.

4. Координаты точек пересечения прямых.

Пусть заданы уравнения двух прямых: ах +by +c=0 и a₁x +b₁y +c₁ =0. Найдем координаты их точек пересечения.

Так как точка пересечения (х; у) принадлежит каждой из прямых, то ее координаты удовлетворяют как первому, так и второму уравнению. Т.е. координаты точки пересечения являются решением системы уравнений, задающих прямые.

Пусть уравнениями данных прямых будут:

3х-у+2=0

5х-2у+1=0.

Решая систему уравнений, находим х=-3, у=-7. Точка пересечения прямых имеет следующие координаты: (-3;-7).

5. Отработка навыков на тренажере:

Найдите координаты точки пересечения двух прямых.

6. Расположение прямой относительно системы .

Выведем уравнение прямой d, проходящей через точку N₀(x₀;y₀) и параллельной оси Ох. Ордината любой точки N(x;y) прямой d равна у₀, т.е. координаты любой точки N(x;y) прямой d удовлетворяют уравнению у=у₀ . Координаты любой точки, не лежащей на прямой d, не удовлетворяют этому уравнению.

Следовательно, уравнение у=у₀ является уравнением прямой d.

Аналогично выводится уравнение прямой, проходящей через точку N₀ (x₀;y₀) параллельно оси Оу: х=х₀.

Очевидно, что ось Ох имеет уравнение у=0, а ось Оу имеет уравнение х=0

7. Отработка навыков на тренажере:

Укажите, какой из коэффициентов в уравнении прямо является нулевым.

8. Угловой коэффициент в уравнении прямой.

Если в общем уравнении прямой ах +bу +с=0 коэффициент при у не равен нулю, то это уравнение можно разрешить относительно у. Для этого выразим у из уравнения прямой.

Получим:

Или, обозначая -, получим, у=kx+d.

Выясним геометрический смысл коэффициента k в этом уравнении. Возьмем две точки на прямой А(х₁;у₁) и В(х₂;у₂), где х₁< х₂. Координаты точек удовлетворяют уравнению прямой:

У₁ =kx₁+d, y₂=kx₂+d.

Отсюда, вычитая из второго равенства первое и выражая k, получим:

k=

На рисунке 1 у₁< у₂ , т.е.

На рисунке 2 у₂< у₁, т.е.

Следовательно, коэффициент k в уравнении прямой с точностью до знака равен тангенсу острого угла, который образует прямая с осью х. Коэффициент k в уравнении прямой называется угловым коэффициентом прямой.

9. Отработка навыков на тренажере.

Найдите угловой коэффициент прямой АВ

Выводы по теме:

1. Уравнение прямой в прямоугольной системе координат является уравнением первой степени.

2. Уравнение ах+by+c=0 является уравнением прямой d в заданной прямоугольной системе координат.

3. Уравнение прямой параллельной одной из координатных осей имеет вид у=у₀ или х=х₀. при этом, ось Ох имеет уравнение у=0, а ось Оу имеет уравнение х=0.

3. Координатами точки пересечения прямых является решение системы

уравнений, задающих эти прямые.

IV. Закрепление изученного материала:

Даны координаты вершин треугольника АВС: А(4;6), В(-4;0), С(-1;-4). Какое уравнение является уравнением прямой, содержащей медиану СМ?

а) 7х - у +3 =0

б) 7х - 2у -3 =0

в) 4х - у +3=0

Определите координаты точки пересечения прямых, заданных уравнениями: 4х+3у-6=0 и 2х+у-4=0

а) (3;-2);

б) (-2;3);

в) (-3;2).

V. Подведение итогов.

VI. Задание на дом: п.92, повторить п. 90-91, №№972(а,в,д); 974

Урок 18. Контрольная работа по теме: «Уравнение окружности и прямой»

Цель урока: контроль знаний учащихся.

Ход урока.

1. Организационный момент: объяснение целей урока.

2. Контрольная работа.

Вариант -1.

1. Установите истинность или ложность данного высказывания.

Окружность задана уравнением (х+1)² +(у-2)² = 16.

Укажите координаты центра и радиус окружности.

Ответ:

Центром данной окружности является точка с координатами

(-1;2);

радиус данной окружности равен 4

(да)

2. Закончите предложение:

Окружность задана уравнением (х+1)² +(у-2)² = 16.

Какие из перечисленных точек принадлежат данной окружности:

А(-1;6), В(3;2), С(4;0)

Ответ: А,В

3. Дано:

А(-1;6); В(3;2)

Найти: уравнение прямой АВ

А) х+у-5=0

Б) х-у-5=0

В) х-у-5=0

4. Дано: А(-6;1), В(0;5) - концы диаметра окружности.

Найти: Уравнение окружности и прямой, проходящей через ее центр и параллельной оси абсцисс.

а) (х+3)² + (у-3)² =13;

у=3

б) (х-3)² + (у-3)² =13;

у=3

в) (х-3)² + (у+3)² =13;

у=3

Вариант -2

1. Установите истинность или ложность данного высказывания.

Окружность задана уравнением х² +(у-1)² = 4.

Укажите координаты центра и радиус окружности.

Ответ:

Центром данной окружности является точка с координатами

(0;1), радиус данной окружности равен 4

( нет)

2. Закончите предложение.

Окружность задана уравнением х² +(у-1)² = 4.

Какие из перечисленных точек принадлежат данной окружности:

А(2;1), В(0;3), С(5;0)

Ответ: А,В

3. Дано: А(2;1), В(0;3)

Найти: Уравнение прямой АВ

А) х+у-3=0

Б) х-у-3=0

В) х+у+3=0

4. Дано: А(-1;6), В(-1;-2) - концы диаметра окружности.

Найти: Уравнение окружности и прямой, проходящей через ее центр и параллельной оси ординат.

а) (х+1)² + (у+2)² =16; х=1

б) (х+1)² + (у-2)² =4; х=-1

в) (х+1)² + (у-2)² =16; х=-1