Разработка внеклассного мероприятия Математика и музыка (7 класс)

ОТДЕЛ ОБРАЗОВАНИЯ

АДМИНИСТРАЦИИ ПЕТРОВСКОГО РАЙОНА

ГОРОДА ДОНЕЦКА

ДОШ І-ІІІ СТУПЕНЕЙ №111

Математика и музыка

ПОДГОТОВИЛА

учитель математики

Кулиш Л.Н.

г.Донецк,2016 год

Введение

Звуки умертвив,

Музыку я разъял как труп,

Поверил я алгеброй гармонию…

А.С. Пушкин

Математика и музыка - два полюса человеческой культуры. Слушая музыку, мы попадаем в волшебный мир звуков. Решая задачи, погружаемся в строгое пространство чисел. И не задумываемся о том, что мир звуков и пространство чисел издавна соседствуют друг с другом.

Некоторые считают, что дети, играющие на музыкальных инструментах грамотнее других. К сожалению, об этом факте сейчас забыли. И родители, и учителя. Нотные тетради сегодня явно проигрывают компьютерам, иностранным языкам и точным наукам. Уроки музыки в наше время непопулярны. Ни в форме целенаправленного специального музыкального образования, ни в виде частных занятий для общего развития. В то время как еще до нашей эры Пифагор создал свою «школу мудрости» положив в ее основу два «искусства» - музыку и математику. Он считал, что гармония чисел сродни гармонии звуков и что оба этих занятия упорядочивают хаотичность мышления и дополняют друг друга. В развитии пространственного мышления - верный помощник - музыка, т.к. из-за плохого пространственного мышления учащиеся часто не могут подписать в столбик цифры при арифметических действиях, правильно понять условия задач (особенно на тему времени, скорости и расстояния), ошибаются в устном арифметическом счете. Музыка учит не только видеть, но и воспроизводить увиденное; не только слышать, но и предоставлять то, что слышишь.

Давно уже ученые занимались вопросом: почему в музыкальной октаве семь основных звуков - столько же, сколько цветов в спектре солнечного света. Еще, ничего не зная о природе звуков, человек интуитивно подстраивал струны так, чтобы они создавали благозвучие.

Пифагору принадлежит математическое объяснение основ гармонии; по его определению, наиболее естественно воспринимаются человеком частоты, которые находятся между собой в простых числовых отношениях. Вот откуда в отношении частот в октаве 1:2, и благозвучное трезвучие с отношением частот 4:5:6. Уменьшая последовательно длины струн, мы получим природный звукоряд из 16 звуков, но почему же древние музыканты приняли звукоряд, состоящий из семи основных звуков, и лишь позже добавили еще пять дополнительных (так появились черные клавиши в пианино).

Взаимосвязь математики и музыки является одной из самых актуальных тем. Она до сих пор полностью не раскрыта и не изучена, чем и привлекает к себе внимание многих ученых и математиков. Поверхностно рассмотрев значение этих двух наук, нам кажется, что они совершенно несопоставимы, ведь разве может быть сходство между математикой- царицей всех наук, символом мудрости и музыки - наиболее отвлеченным видом искусства. Но если всмотреться вглубь, то нетрудно заметить, что мир звуков и пространство чисел издавна соседствуют друг с другом.

В своей работе я попытаюсь установить связь между математикой и музыкой и найти их общие элементы.

Глава 1. Общие элементы в математике и музыке

1.1. Ритм

Во всем царит гармонии закон

И в мире все суть ритм, аккорд и тон.

Джон Драйден

Ритм в музыке

Ритм - один из важнейших элементов музыки. Ритм - чередование длительностей. Рассмотрим ритм 3/4 . В такте могут встречаться такие чередования длительностей:

От правильно подобранного ритма зависит звучание мелодии.

Ритм в математике.

Ритмы можно обнаружить и среди чисел. Взять хотя бы дробь 2/82. Ее можно записать в виде 2/82=0,0243902439…или кратно 2/82= 0, (02439)

Здесь мы обнаруживаем ритм. Дробь 2/82 записывается в виде бесконечной периодической дроби, да и период ее также отличается необыкновенной правильностью:02439.

Итак, мы проследили, что ритм встречается как в музыке, так и в математике.

1.2. Отражение

В повседневной жизни слово «Отражение» мы воспринимаем, как отражение в зеркале каких-либо предметов. Но мало кто задумывается, что отражаться также могут ноты и цифры.

Отражение в математике

Числа, состоящие из цифр 8 и 0, не изменяются при отражении в зеркале. Если зеркало ставить не сбоку от числа, а сверху или снизу, то при отражении в таком зеркале остается неизменной только цифра 3.

Умножение чисел на -1 очень похоже на отражение в зеркале.

Рассмотрим числовую прямую

_______________________________________________________________

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

0 - делит прямую на две части.

Правая и левая части очень похожи, и каждая полупрямая почти совпадает с зеркальным отражением другой. Почти, но не совсем. Найдем различие между полупрямыми.

____________________________________

0 1 2 3 4 5

Если поставить зеркало в нуле так, чтобы оно было перпендикулярно прямой, полупрямая вместе со своим отражением образует прямую, которая выглядит так:

________________________________________________________________

0 1 2 3 4 5

Назовем ее зеркальной числовой прямой. Сравним зеркальную числовую прямую с настоящей. Зеркало заменяет -1 числом 1, -2 -числом 2, -3 - числом 3 и т.д., т.е. превращает отрицательные числа в положительные.

Этого же результата можно достичь и не прибегая к помощи зеркала, если отрицательные числа умножить на (-1).

Например: (-1)*(-1)=+1,

(-2)*(-1)=+2.

Отражение в музыке

Также как и цифры 8 и 0 длительности / и П при отражении совпадают с оригиналом.

Симметричные ритмы не содержат половинных нот.

- половинная нота.

Начертим ее отражение.

Получили - полностью противоречит симметрии.

Совершенно симметричный ритм может состоять из нот следующих трех длительностей: четвертных /, пар восьмых П и целых .

/ П П /, П // П - ритмы не «переворачивающиеся» при отражении в зеркале.

1.3. Противоположности.

Очень часто встречаются противоположности в характерах людей: злой - добрый, агрессивный - спокойный и т. д.

Но мы рассмотрим противоположности в музыке и математике.

Противоположности в музыке

Медленно - быстро.

Характер музыки во многом определяется ее темпом. Музыкальные произведения, будь то народная песня или полифония, нельзя исполнять в произвольном темпе. Неправильно выбранный темп до неузнаваемости исказит характер музыки.

Короткое - длинное (произведение).

Высокое - низкое.

Высота звука зависит от частоты колебаний: при большой частоте колебаний звук выше, при меньшей - ниже.

Противоположности в математике

Отрицательное число - положительное.

Сложение - вычитание.

Четное - нечетное.

Делитель - кратное.

Простое число - составное число.

Плюс - минус.

Умножение - деление.

Прямая - кривая.

1.4. Упорядочение

Упорядочение в математике

Рассмотрим набор вещественных чисел:

12 48 9 1

3 6 10 125 300

Входящие в него числа не упорядочены. Их можно упорядочить, например, по возрастанию: 1 3 6 9 10 12 48 125 300;

или по убыванию: 300 125 48 12 10 9 6 1.

Упорядочение в музыке

Упорядочить означает расположить в ряд. Иногда под упорядочением

понимают классификацию, или разбиение на группы, по определенным признакам. Например, классификация народных песен по месту, где они были записаны собирателями, по времени проведения этнографической экспедиции, тональности, ладу, содержанию.

1.5. Пропорции

Шестнадцатая, восьмая, четвертная, половинная, целая нота … Названия длительностей служат одновременно и названиями чисел. В самом деле, длительность соответствует и дробь 1/16, называются одинаково. Перечень совпадений можно продолжить.

соответствует 1/8

соответствует 1/1

соответствует 1/4

Нетрудно понять, почему длительности музыкальных нот заимствовали свои названия у дробей. Половинная нота потому и называется половинной или ½, что звучит вдвое короче целой ноты. Ее длительность составляет ½ длительности целой ноты и т.д.

Мы видим, что длительности получаются так же, как дроби: они возникают при делении целой на равные доли. Поэтому длительность можно подсчитывать так же как дробные числа, например

Это равенство следует понимать в том смысле, что длительность слева равна суммарно длительности справа. С помощью чисел то же равенство можно записать в виде 1=1/4+1/4+1/2.

1.6. Интервалы и математика

Интервал (от греческого - расстояние) - это сочетание двух звуков.

Названия интервалов в переводе на русский язык означают число.

Прима - один

Секунда - два

Терция - три

Кварта - четыре

Квинта - пять

Секста - шесть

Септима - семь

Октава - восемь

Нона - девять

Децима - десять

Ундецима - одиннадцать

Терцдецима - двенадцать

Квартдецима - четырнадцать

Квинтдецима - пятнадцать

Глава 2. Алгебра - сестра гармонии, а композиторы - первые программисты

«Он алгеброй гармонию разъял», - обвиняли знаменитого Сальери поклонники Моцарта. Придворный сочинитель честно пытался просчитать, какие аккорды более других могут усладить слух Его Величества. Композиторские упражнения Сальери ушли в небытие, а музыка Моцарта пережила века. В самом деле: можно ли в такую тонкую эмоциональную структуру, как музыка, вмешиваться сухим и точным математическим скальпелем? И вообще - что

может быть общего у гармонии и алгебры?

На самом деле, математики в музыке гораздо больше, чем можно было бы предположить. И те, кто просто знаком с нотной грамотой, и профессиональные музыканты не всегда знают о строгой математической основе музыкального произведения. Оказывается, что частотный звукоряд гаммы представляет собой ни что иное, как последовательность нот, каждый тон которой увеличивается на одно и тоже число, а именно в 1,059463. И вообще, любую пьесу или сонату можно рассматривать как программу: строгое чередование музыкальных мотивов, фраз, предложений и периодов, определенная протяженность во времени - все это очень похоже на компьютерной задачи.

Алексей Устинов утверждает: «Можно рискнуть назвать композиторов самыми первыми программистами. Как в партитурах, так и в текстах компьютерных программ есть блоки, условия, циклы, переходы, метки и прочие «программистские» атрибуты. Фактически, инженеры, разрабатывающие первые программы для компьютеров, пришли к тем же или очень схожим с ними приемам в организации текста, которые уже давно применялись в записях музыки нотами».

Первые опыты по активному применению математики в сфере искусства начались в семидесятые годы двадцатого века, на заре развития компьютерных технологий и на фоне успехов математики. Поясняет доктор искусствоведения Николай Бажанов: «Тогда казалось, что компьютер может практически все, стоит лишь приложить небольшие усилия к написанию соответствующей программы. Возникли опыты с компьютерным моделированием - музыки, прозаического и поэтического текста, других образно - художественных сфер культуры. Важно, что именно работы в области математического моделирования парадоксальным, но естественным образом показали, насколько сложно на самом деле устроена образная часть человеческой культуры, насколько сложны законы, по которым она существует»

Глава 3. Роль простых дробей в музыке

Особое место в математике древних занимали дроби 1/2, 1/4, 1/6, 1/8, 1/16 и так далее. Дело в том, что в древности отдельной арифметической операцией полагали удвоение и деление пополам. Числа перемножали при помощи последовательных удвоений (например, 9х5=2х2х2х5+5); деление пополам не менее важно, как обратно к удвоению действие. Операция удвоения продержалась довольно долго; ещё в 15 веке её считали особым арифметическим действием, и рассматривали отдельно, наряду с умножением, делением, умножением и вычитанием.

Эти дроби сыграли определяющую роль в музыке. И сейчас в общепринятой нотной записи длинная нота - целая - делится на половинки (вдвое короче), четверти, восьмые, шестнадцатые и тридцать вторые. Любой ученик музыкальной школы знает с шести - семилетнего возраста, что 6/8 - это три четверти, и что в одной половинке восемь шестнадцатых. Таким образом, ритмический рисунок любого музыкального произведения, созданного европейской культурой, каким бы сложным он ни был, определяется двоичными дробями. Пифагорейцы, много занимавшиеся музыкой и обожествлявшие число, исследовали, на сколько повышается тон струны, если её прижать посередине, или на четверть расстояния одного из концов, или на треть. Обнаружилось, что одновременное звучание двух струн приятно для слуха, если длины их относятся как 1:2, или 2:3, или 3:4, что соответствует музыкальным интервалам в октаву, квинту и кварту. Гармония оказалась тесно связанной с дробями, что подтверждало основную мысль пифагорейцев: «Число правит миром».

Глава 4. История построения музыкальной гаммы

Почтенный Пифагор отвергал оценку музыки, основанную на свидетельстве чувств. Он утверждал, что достоинства ее должны восприниматься умом, и потому судил о музыке не по слуху, а на основании математической гармонии и находил достаточным ограничить изучение музыки пределами одной октавы.

Плутарх.

4.1.Историческая справка

Решающий, гигантский по своим масштабам и значительный шаг к расширению и приумножению нашего знания внешнего мира был сделан, когда для изучения его стали применять математику. Математика не только уточнила и расширила наше знание явлений, доступных органам чувств человека, но и позволила открыть весьма важные явления, не воспринимаемые нами, но оттого не менее реальные по их воздействию, чем прикосновение к раскаленной плите.

Математика как логический вывод и средство познания природы творение древних греков, которым они начали всерьёз заниматься примерно за шесть веков до нашей эры. У греков сложилось определенное миропонимание, сущность которого сводилась к следующему. Природа устроена рационально, а все явления протекают по точному и неизменному плану, который, в конечном счете, является математическим. Человеческий разум всесилен, и если эту могучую силу приложить к изучению природы, то лежащий в основе мироздания математический план удастся раскрыть и познать.

В школе Пифагора получила своё первоначальное оформление математическая теория музыки. Именно в музыке впервые была обнаружена таинственная направляющая роль чисел в природе, а родство музыки с арифметикой обогатило музыку методами построения музыкальной гаммы.

4.2. Звукоряд, монохорд

Гаммой или звукорядом, называется последовательность звуков (ступеней) некоторой музыкальной системы (лада), расположенных, начиная от основного звука (основного тона), в восходящем порядке.

Название «гамма» происходит от греческой буквы Г γ (гамма), которой в средние века обозначали крайний тон звукоряда, а затем и весь звукоряд. Важнейшей характеристикой музыкального строя является его высота, представляющая отражение в сознании частоты колебания звучащего тела, например, струны. Чем больше частота колебаний струны, тем «выше» представляется нам звук. Каждый отдельно взятый звук не образует музыкальной системы и, если он не слишком громкий, не вызывает у нас особой реакции. Однако уже сочетание двух звуков в иных случаях получается приятным и благозвучным, а в других, наоборот, «режет» ухо. Согласованное сочетание двух звуков называется консонансом, а несогласованное - диссонансом. Ясно, что консонанс или диссонанс двух тонов определяется высотным расстоянием между этими тонами или интервалом.

Древнегреческим ученым было известно, что на монохорде (музыкальный инструмент, состоящий из струны, натянутой на резонансный ящик) можно получить звуки не только путем возбуждения целой струны, но и ее частей: 1/2, 2/3 и 3/4, и что звуки, полученные путем возбуждения указанных частей струны, образуют с ее основным тоном интервалы октавы - 1/2 струны, квинты - 2/3 струны и кварты - 3/4 струны (по современной терминологии).

Эти интервалы, найденные опытным путем и получившие, по преданию, применение при настройке лиры Орфея, стали основными интервалами пифагорова строя.

4.3 Законы пифагорейской музыки.

В основе этой музыкальной системы были два закона, которые носят имена двух великих ученых - Пифагора и Архита. Вот эти законы:

1. Две звучащие струны определяют консонанс, если их длины относятся как целые числа, образующие треугольное число 10=1+2+3+4, т.е. как 1:2, 2:3, 3:4. Причем, чем меньше число n в отношении n:(n+1) (n=1,2,3), тем созвучнее получающийся интервал.

2. Частота колебания w звучащей струны обратно пропорциональна ее длине l .w = a : l , где а - коэффициент, характеризующий физические свойства струны.

4.4. Математическое описание построения музыкальной гаммы

Остальные интервалы этого строя были найдены последователями Пифагора посредством вычислений.

Трудно сказать, какие причины заставили указанных ученых отказаться от дальнейших делений струны на части в целях получения новых интервалов, известно лишь, что формирование пифагорова строя осуществлялось не опытным, а математическим путем.

Этот путь был основан на следующих соображениях: так как 2/3 целой струны дают звук квинтой выше ее основного тона, а 3/4 целой струны - звук квартой выше того же тона, то 2/3 любой части струны должны дать звук квинтой выше этой же части, а 3/4 любой части струны - звук квартой выше этой части.

Таким образом, если основной тон струны есть с и если взять 2/3 от 2/3 струны, т. е. 4/9 струны, то звук, соответствующий этой части струны, будет d¹.

Этот звук находится за пределами октавы c - c¹. Взявши вместо него d, мы найдем, что последнему звуку соответствует 8/9 струны (перенесение звука на октаву вниз соответствует увеличению длины струны вдвое)

Если взять 2/3 от 8/9 струны, т. е. 16/27 струны, то звук, соответствующий этой части струны, будет а.

Если взять 2/3 от 16/27 струны, т. е. 32/81 струны, то звук, соответствующий этой части струны, будет e¹. Этот звук находится за пределами октавы c - c¹. Взявши вместо него e, мы найдем, что последнему звуку соответствует 64/81 струны.

Если взять 2/3 от 64/81 струны, т. е. 128/243 струны, то звук, соответствующий этой части струны, будет h.

</ Если расположить все найденные нами звуки в порядке их высоты и подписать под ними соответствующие части струны, то мы получим диатоническую мажорную гамму пифагоровой настройки, в которой частотные отношения между звуками выражены в долях струны:до

ре

ми

фа

соль

ля

си

до1

c

d

e

f

g

a

h

c1

1

9/8

81/64

4/3

3/2

27/16

243/128

2