Методжическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение

Средняя общеобразовательная школа №531 Красногвардейского района

Санкт-Петербурга

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

Подготовила

учитель математики

Смирнова Галина Васильевна

г. Санкт-Петербург
2015

Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

Тригонометрические функции острого угла в прямоугольном треугольнике

и их значения от некоторых углов

В прямоугольном треугольнике отношение катета, противолежащего углу, к гипотенузе равно синусу этого угла;

В прямоугольном треугольнике отношение катета, прилежащего к углу, к гипотенузе равно косинусу этого угла;

В прямоугольном треугольнике отношение катета, противолежащего углу, к прилежащему к нему катету, равно тангенсу этого угла

В прямоугольном треугольнике отношение катета, прилежащего углу, к противолежащему к нему катету, равно котангенсу этого угла

Значения тригонометрических функций некоторых углов

30⁰

45⁰

60⁰

1

Задания с решением

1.В треугольнике ABC . Найдите AC.

Решение

Построим . По свойству равнобедренного треугольника СН будет медианой, а значит АН=4,8. В прямоугольном треугольнике АСН . Значит

Найдем . Рассмотрим основное тригонометрическое тождество для угла А

sin ²+ cos ² = 1 и подставим в него вместо его значение .

Получим соs ²A+ = 1

Тогда соs ²A = 1-; соs ²A =1 ; соs ²A =

Будем извлекать квадратный корень с учетом того, что A - острый угол и его косинус положителен Получаем

Тогда

Ответ 5

2. В тупоугольном треугольнике ABC , высота AH равна 20. Найдите .

Решение

Рассмотрим прямоугольный треугольник . В нем .По теореме Пифагора

Тогда

Но, так как эти углы смежные. Тогда

По формулам приведения получаем

Ответ -0,6

3.В треугольнике ABC , , тангенс внешнего угла при вершине A равен . Найдите AC.

Решение

Углы МАС и САH - смежные. Их сумма равна 180º.Тогда по формулам приведения

Построим CH - высоту. Тогда она и медиана и потому AH=4.Из треугольника ACH Откуда Найдем .

Подставим в это тождество найденное значение тангенса.

Получаем

Ответ 7

4.В треугольнике АВС угол А равен 45º, угол В равен 30º, ВС = 8. Найти АВ

Решение

Так как сумма углов в треугольнике 180º, то угол С=180º- 30º-45º=105º,

Применим теорему синусов , то есть

Найдем . Применим формулы сложения

Имеем

Ответ

5. Трапеция вписана в окружность радиуса 12. Её большее основание образует с боковой стороной угол, синус которого равен 5/8, а с диагональю - угол, косинус которого равен 4/5. Найти площадь трапеции.

Решение

Так как трапеция вписана в окружность, то она равнобедренная

Так как окружность описана около трапеции, то она описана и около треугольника ACD.Применим к этому треугольнику теорему синусов

получаем Отсюда имеем ;

пусть СМ=h - высота. Из треугольника CMА получаем, то есть .Тогда По теореме Пифагора

Из треугольника CMD получаем по теореме Пифагора Так как трапеция равнобедренная, то

Тогда площадь трапеции равна S=

Задания для самостоятельного решения

1. В треугольнике ABC угол C равен , . Найдите .

2. В треугольнике ABC угол C равен , . Найдите .

3. В треугольнике ABC угол C равен , , . Найдите BC.

4. В треугольнике ABC угол C равен , , . Найдите AB.

5. В треугольнике ABC угол C равен , , . Найдите BC.

6. В треугольнике ABC угол C равен , , . Найдите AB.

7. В треугольнике ABC угол C равен , , . Найдите AB.

8. В треугольнике ABC угол C равен , , . Найдите .

9. В треугольнике ABC угол C равен , , . Найдите .

10. В треугольнике ABC угол C равен , , . Найдите .

11. В треугольнике ABC угол C равен , CH - высота, , . Найдите BH.

12. В треугольнике ABC угол C равен , CH - высота, , . Найдите AH.

13. В треугольнике ABC , . Найдите AB.

14. В треугольнике ABC , , . Найдите AC.

15. В треугольнике ABC , . Найдите .

16. В треугольнике ABC , . Найдите .

17. В треугольнике ABC , . Найдите .

18. В треугольнике ABC , . Найдите высоту CH.

19. В треугольнике ABC , , . Найдите высоту CH.

20. В треугольнике ABC , высота CH равна 20. Найдите .

21. В треугольнике ABC , высота AH равна 4, . Найдите .

22. В треугольнике ABC , высота AH равна 20, . Найдите .

23. В треугольнике ABC , AH - высота, , . Найдите .

24. В треугольнике ABC , AH - высота, , . Найдите .

25. В треугольнике ABC угол C равен , CH - высота, , . Найдите .

26. В треугольнике ABC угол C равен , высота CH равна 20, . Найдите .

27. В тупоугольном треугольнике ABC , высота AH равна 20. Найдите .

28. В тупоугольном треугольнике ABC , AH - высота, . Найдите .

29. В тупоугольном треугольнике ABC , высота AH равна 24, . Найдите .

30. В тупоугольном треугольнике ABC , высота AH равна 4, . Найдите .

31. В треугольнике ABC , высота AH равна 7, . Найдите .

32. В треугольнике ABC , высота AH равна 24, . Найдите .

33. В треугольнике ABC , высота AH равна 4, . Найдите .

34. В треугольнике ABC угол C равен , CH - высота, , . Найдите BH.

35. В треугольнике ABC угол C равен , CH - высота, , . Найдите AH.

36. В треугольнике ABC угол C равен , . Найдите синус внешнего угла при вершине A.

37. В треугольнике ABC угол C равен , . Найдите косинус внешнего угла при вершине A.

38. В треугольнике ABC угол C равен , . Найдите тангенс внешнего угла при вершине A.

39. В треугольнике ABC угол C равен , . Найдите синус внешнего угла при вершине B.

40. В треугольнике ABC угол C равен , . Найдите косинус внешнего угла при вершине B.

41. В треугольнике ABC угол C равен , . Найдите синус внешнего угла при вершине A.

42. В треугольнике ABC угол C равен , . Найдите тангенс внешнего угла при вершине B.

43. В треугольнике ABC угол C равен , . Найдите синус внешнего угла при вершине B.

44. В треугольнике ABC угол C равен , . Найдите косинус внешнего угла при вершине B.

45. В треугольнике ABC угол C равен , . Найдите тангенс внешнего угла при вершине B.

46. В треугольнике ABC угол C равен , . Найдите синус внешнего угла при вершине

47. В треугольнике ABC угол C равен , . Найдите тангенс внешнего угла при вершине A.

48. В треугольнике ABC угол C равен , . Найдите тангенс внешнего угла при вершине B.

49. В треугольнике ABC угол C равен , , . Найдите синус внешнего угла при вершине A.

50. В треугольнике ABC угол C равен , , . Найдите косинус внешнего угла при вершине A.

51. В треугольнике ABC угол C равен , , . Найдите тангенс внешнего угла при вершине A.

52. В треугольнике ABC угол C равен , , . Найдите тангенс внешнего угла при вершине A.

53. В треугольнике ABC угол C равен , , . Найдите синус внешнего угла при вершине A.

54. В треугольнике ABC угол C равен , синус внешнего угла при вершине A равен 0,1. Найдите .

55. В треугольнике ABC угол C равен , синус внешнего угла при вершине A равен . Найдите .

56. В треугольнике ABC угол C равен , синус внешнего угла при вершине A равен . Найдите .

57. В треугольнике ABC угол C равен , синус внешнего угла при вершине A равен . Найдите .

58. В треугольнике ABC угол C равен , синус внешнего угла при вершине A равен . Найдите .

59. В треугольнике ABC угол C равен , косинус внешнего угла при вершине A равен . Найдите .

60. В треугольнике ABC угол C равен , косинус внешнего угла при вершине A равен -0,1. Найдите Задание B6 (№ 27394)

61. В треугольнике ABC угол C равен , косинус внешнего угла при вершине A равен . Найдите .

62. В треугольнике ABC угол C равен , косинус внешнего угла при вершине A равен . Найдите .

63. В треугольнике ABC угол C равен , косинус внешнего угла при вершине A равен . Найдите

64. В треугольнике ABC угол C равен , косинус внешнего угла при вершине A равен , . Найдите BC.

65. В треугольнике ABC угол C равен , тангенс внешнего угла при вершине A равен , . Найдите AC.

66. В треугольнике ABC угол C равен , тангенс внешнего угла при вершине A равен , . Найдите BC

67. В треугольнике ABC угол C равен , синус внешнего угла при вершине A равен , . Найдите AB.

68. В треугольнике ABC угол C равен , синус внешнего угла при вершине A равен , . Найдите BC.

69. В треугольнике ABC , . Найдите синус внешнего угла при вершине A.

70. В треугольнике ABC , , тангенс внешнего угла при вершине A равен . Найдите AC.

71. В параллелограмме . Найдите .

73. В параллелограмме ABCD . Найдите .

74. Найдите синус угла наклона отрезка, соединяющего точки O(0, 0) и A(6, 8), с осью абсцисс.

75. Найдите косинус угла наклона отрезка, соединяющего точки O(0, 0) и A(6, 8), с осью абсцисс.

Теорема синусов и теорема косинусов

ТЕОРЕМА синусов: Во всяком треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов. Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной около треугольника окружности, то есть:

ТЕОРЕМА косинусов: Во всяком треугольнике квадрат стороны, лежащей против некоторого угла, равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними, то есть:

Следствие.

В треугольнике квадрат большей стороны равен сумме квадратов двух других сторон тогда и только тогда, когда треугольник прямоугольный. В треугольнике квадрат большей стороны меньше суммы квадратов двух других сторон тогда и только тогда, когда треугольник остроугольный.

В треугольнике квадрат большей стороны больше суммы квадратов двух других сторон тогда и только тогда, когда треугольник тупоугольный.

ТЕОРЕМА Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

Задания с решениями

1.Найдите большую диагональ ромба, сторона которого равна , а острый угол равен 60º.

Решение

Так как угол А равен 60º, то угол D равен 120º. Применим теорему косинусов к треугольнику ADC.

, то есть .

Так как , то получаем

Ответ 15

2.Сторона AB треугольника ABC равна 1. Противолежащий ей угол C равен . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Решение

По теореме синусов

Тогда . Откуда получаем , 2R= 2, R=1

Ответ 1

3.Сторона AB тупоугольного треугольника ABC равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

Решение

По теореме синусов , но .

Тогда получаем . Откуда следует, что .

Так как угол С тупой, то угол С равен 150º

Ответ 150º

4. Площадь треугольника АВС равна 50, АС = 10, угол С равен 30 º.Найти АВ

Решение

Площадь треугольника АВС можно найти по формуле .С учетом того, что АС = 10, угол С равен 30º,а S=50, получим уравнение .

Тогда , , .

Найдем АВ по теореме косинусов.

Ответ

5. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 40, основание равно 48. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Решение

Проведем высоту СК. Так как треугольник равнобедренный, то СК медиана и АК=КВ=24

Из треугольника АСК найдем по теореме Пифагора СК.

Из треугольника АСК найдем синус угла А.

По теореме синусов для треугольника АВС имеем .

Тогда , 2R=50, R=25.

Ответ 25.

6. В равнобедренном треугольнике косинус угла при вершине равен , Основание треугольника равно 6 .Найти длину боковой стороны

Решение

Обозначим Применим теорему косинусов

Подставим значения

Получаем

Ответ

7. Стороны треугольника равны 25 , 39 и 56 .Найти площадь треугольника и косинус большего из углов.

Решение

Пусть АС=39,ВС=25,АВ=56.Тогда больший из углов -это угол С

Определим вид угла С., .Так как >, то угол С тупой.

Найдем площадь по формуле Герона.

С другой стороны,

Получаем , откуда Тогда так как угол С тупой, то

Вторым способом можно найти косинус угла С по теореме косинусов:

Ответ

8. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8 .найти отрезки, на которые делит гипотенузу биссектриса прямого угла треугольника.

Решение

Пусть АС=8, ВС=6

По теореме Пифагора найдем АВ.

Пусть СМ - биссектриса. Обозначим АМ=х, тогда МВ=10-х

По свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника имеем, то есть получаем уравнение . Откуда ,

То есть АМ=, тогда МВ=10-=

Ответ ,

Задания для самостоятельного решения

1. Сторона AB треугольника ABC равна 40. Противолежащий ей угол C равен . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

2. Угол C треугольника ABC, вписанного в окружность радиуса 36, равен . Найдите сторону AB этого треугольника.

3. Угол C треугольника ABC, вписанного в окружность радиуса 3, равен . Найдите сторону AB этого треугольника.

4. Сторона AB треугольника ABC равна 1. Противолежащий ей угол C равен . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

5. Найти площадь треугольника АВС и длину стороны ВС , если АВ=10 , АС = 4, угол А равен 45º

6. Найти площадь треугольника АВС и длину стороны ВС , если АВ=8 , АС = 14, угол А равен 60º

7. Площадь треугольника АВС равна 60, АС = 15, угол С равен 30º.Найти ВС .

8. В треугольнике АВС угол А равен 60º, угол В равен 45º, АС = 10. Найти ВС.

9. В параллелограмме стороны равны 4 и 8 , а один из углов равен 135º . Найти площадь параллелограмма и его диагонали

10. В параллелограмме стороны равны 7 и 4 , а один из углов равен 150 º . Найти площадь параллелограмма и его диагонали

11. В параллелограмме стороны равны 10 и 5 , а один из углов равен 120 º . Найти площадь параллелограмма и его диагонали

12. В равнобедренном треугольнике косинус угла при вершине равен 4\5 , Основание треугольника равно 10 .Найти длину боковой стороны.

13. В равнобедренном треугольнике косинус угла при вершине равен 3\5 , Основание треугольника равно 8 .Найти длину боковой стороны

14. Стороны треугольника равны 25 , 29 и 36 .Найти площадь треугольника и косинус большего из углов

15. Стороны треугольника равны 29, 25 и 6 .Найти площадь треугольника и косинус меньшего из углов

16. Стороны треугольника равны 29, 25 и 6 .Найти медиану треугольника, проведенную к меньшей стороне.

17. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 13, а основание 10.Найти длину отрезков, на которые биссектриса угла при основании делит биссектрису угла при вершине треугольника.

18. В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит противолежащий катет на отрезки длиной 4 и 5. Найти площадь треугольника.