КТП и пояснительная записка по геометрии к учебнику Александров

КАЛЕНДАРНО-ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ

п/п

Тема

К.ч

Тип урока

Теоретический материал

дата

План

факт

Введение. Повторение

3

1

Треугольники

1

комбинированный

При повторении признаков равенства треугольников следует обратить внимание на то, что определить их равенство можно по-разному, но, аргументируя равенство треугольников, удобнее называть не номер признака, а элементы, обеспечивающие это равенство: по трем сторонам; по двум сторонам и углу между ними; по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Повторяя свойства и признаки равнобедренного треугольника и серединного перпендикуляра отрезка, вспоминаем о характерных свойствах фигур, о взаимно обратных утверждениях, о применении словесного оборота тогда и только тогда. Особо стоит остановиться на четырёх признаках равенства прямоугольных треугольников, которые перечислены в задаче 1. Они являются следствиями общих признаков равенства треугольников и теоремы о сумме углов треугольника. Пятый признак равенства прямоугольных треугольников (по катету и гипотенузе) таким следствием не является и его доказательство приведено в задачной рубрике

2

Параллельность

1

комбинированный

Взаимно обратные утверждения появятся и при повторении признаков параллельности прямых и свойств углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой. Эти три пары взаимно обратных утверждений и составляют содержание пункта 2.

3

Множество (геометрическое место точек)

1

комбинированный

Глава I. Площади многоугольных фигур

31

Понятие площади - важнейшее понятие геометрии. Геометрия начиналась в древности с измерения площадей. Отодвигать в конец курса изучение этого фундаментального понятия не следует не только из-за его практической важности, но и потому, что на него опирается построение основ тригонометрии в следующей главе.

§ 1 Многоугольники

7

4

1.1 Ломаные и многоугольники

1

комбинированный

Сначала из отрезков строятся ломаные, и из этих ломаных выделяются простые замкнутые ломаные. Обращаем внимание, что многоугольник - это конечная часть плоскости, ограниченная простой замкнутой ломаной, а не простая замкнутая ломаная, которая является границей многоугольника. Такой подход согласуется с обычным пониманием слов прямоугольник, квадрат, площадь квадрата и т.п.

5

1.2 Выпуклые и невыпуклые многоугольники

1

комбинированный

Начинается изучение важной линии выпуклых фигур, играющей видную роль в современной математике. Сравнить выпуклые и невыпуклые многоугольники удобно на четырёхугольниках. В пункте 1.3 о четырёхугольниках напоминается, что сумма углов четырёхугольника равна 360

6

1.3 Четырёхугольники

1

комбинированный

7-8

1.4 Правильные многоугольники

2

комбинированный

Идущую от учебника А. П. Киселева традицию увязывать изучение правильных многоугольников лишь с измерением длины окружности и площади круга, нельзя считать удачной. Правильные многоугольники богаты разнообразными геометрическими свойствами, красивы, симметричны. Они находят многочисленные применения в быту, в архитектуре, в искусстве. Да и о правильных призмах и пирамидах, о правильных многогранниках нельзя говорить без правильных многоугольников.

9

1.5 Многоугольные фигуры

1

комбинированный

Понятие многоугольной фигуры как объединения конечного числа многоугольников вводится с той целью, чтобы в следующем параграфе определить площадь именно для класса многоугольных фигур.

10

1.6 Многогранники. Пирамиды

1

комбинированный

В разделе «Наглядная геометрия» в 5-6 классах присутствует понятия многогранника. Здесь оно обогащается сравнением двух подходов к этому понятию: описательному - как части пространства, ограниченного конечным числом многоугольников, и конструктивному - как фигуре, составленной из тетраэдров. Выделяется важный класс многогранников - пирамиды. Большое внимание уделено построению пирамид и знакомству с правильными пирамидами.

§ 2 Площадь многоугольной фигуры

2

11

2.1 Понятие площади. Измерение площади

1

Урок -практикум

В первом параграфе введено много новых понятий и стоит дать итоговый обзор этих понятий, напомнить их определения. Хорошо было бы порешать задачи рубрики Исследуем из разных пунктов этого параграфа.

12

2.2 Площадь прямоугольника

1

Урок-практикум

Площадь определяется на классе многоугольных фигур как аддитивная положительная величина, которая равна для равных треугольников. Любая многоугольная фигура составлена из треугольников, а потому две многоугольные фигуры, составленные из соответственно равных треугольников, имеют равные площади - равновелики.

§ 3 Теорема Пифагора

6

13-14

3.1 Теорема Пифагора

2

Урок-лекция

Теорема Пифагора - важнейшая теорема евклидовой геометрии - это теорема о площадях квадратов, построенных на сторонах прямоугольного треугольника. Она используется при доказательстве многих теорем и при решении вычислительных задач. Поэтому её доказательство дается как можно раньше (п.3.1). В отдельном п.3.2 рассказано о знаменитом древнегреческом мудреце Пифагоре, именем которого названа главная теорема евклидовой геометрии.

15

3.2 - 3.3 Пифагор. Равносоставленные фигуры

1

комбинированный

В задачном материале в разделе Дополняем теорию доказана и теорема, обратная теореме Пифагора. Тем самым доказано, что равенство суммы квадратов двух сторон треугольника квадрату его третьей стороны, является характеристическим свойством прямоугольного треугольника.

16

3.4 Вычисление длин. Квадратный корень. Вычисление высоты треугольника по его сторонам

2

комбинированный

даны определения равенства некоторых простейших фигур - треугольников, прямоугольников. Поскольку многоугольные фигуры составлены из треугольников, то определение равносоставленности для многоугольных фигур вполне содержательно (хотя без него можно было бы и обойтись, но это понятие присутствует в Стандартах, а потому оно должно быть в учебнике). Задач к этому пункту авторы не предлагают, а стоит вернуться к предыдущим задачам (например, к задачам 2.2, 2.3, 2.4, 3.3) и поискать там равносоставленные фигуры. Может быть, стоит сказать и о том, что любые равновеликие многоугольные фигуры равносоставлены (теорема Бойяи - Гервина).

17

3.5 Наклонные и проекции

1

Урок-практикум

Чтобы при решении задач не быть зависимым от курса алгебры, в п.3.4 рассказано об операции извлечения квадратного корня. В этом пункте с помощью теоремы Пифагора решена важная задача - длина высоты треугольника выражена через длины его сторон (задача 3.6).

18

Контрольная работа №1 по теме: «Многоугольники и их площади»

§ 4 Площадь треугольника и площадь трапеции

6

19-20

Работа над ошибками

4.1 Площадь треугольника

2

комбинироаанный

Следующей за прямоугольником фигурой, для которой выводится формула вычисления её площади, является треугольник (п.4.1). Сначала доказывается, что площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Затем, зная формулу площади прямоугольного треугольника, выводится формула для площади любого треугольника.

21

4.2 Формула Герона

1

Урок-практикум

Треугольник задается своими сторонами. Поэтому естественно выразить площадь треугольника через длины его сторон. Это делается в п.4.2 - выводится формула Герона. Для её вывода используется формула для высоты треугольника, полученная в п.3.4.

22

4.3 Трапеция

1

комбинированный

Любая многоугольная фигура составлена из треугольников. Поэтому, умея вычислять площадь треугольника, мы сумеем вычислять площади любых многоугольных фигур. Многоугольников, для которых выводятся специальные формулы вычисления площадей, немного. В п.4.3 ученики знакомятся с одним из таких многоугольников - трапецией.

23

4.4 Площадь трапеции

1

24

Решение задач по теме: «Теорема Пифагора»

1

Урок -практикум

§ 5 Параллелограмм и его площадь

10

25-26

5.1 Параллелограмм. Свойства параллелограмма

2

комбинированный

Изучение первых двух пунктов параграфа (о свойствах и признаках параллелограмма) вполне традиционно: свойства параллелограмма вытекают из признаков равенства треугольников, а признаки параллелограмма следуют из признаков параллельности прямых. Отметим, что сопоставление свойств и признаков параллелограмма позволяет выделить несколько характерных свойств параллелограмма (см. п.5.2).

27-28

5.2 Признаки параллелограмма

2

комбинированный

29-30

5.3 Частные виды параллелограмма

2

комбинированный

В п.5.3 рассматриваются прямоугольник, ромб и квадрат, которые являются частными случаями параллелограмма. Но определять прямоугольник как параллелограмм, у которого все углы прямые, по мнению авторов, нелепо. С прямоугольником ученики знакомы с первого класса и знают его как четырёхугольник, у которого все углы прямые (да и его название говорит об этом). Сказать о том, что прямоугольник является частным случаем параллелограмма необходимо, но не определять его как некий параллелограмм. Так же и ромбом стоит назвать четырёхугольник, у которого все стороны равны друг другу, а затем выяснить, что он является параллелограммом и установить его характеристические свойства среди параллелограммов.

31-32

5.4 Площадь параллелограмма

2

комбинированный

Формулу для площади параллелограмма легко вывести, разбив параллелограмм диагональю на два равных треугольника.В п.5.5 рассматривается стереометрический аналог параллелограмма - параллелепипед, а также рассматриваются призмы. На этот пункт может не хватить времени в первом полугодии (в этом случае начните изучение этого пункта во втором полугодии). Кроме того, в первом полугодии необходимо провести контрольную работу о параллелограммах

33

5.5 Параллелепипед. Призмы

1

Урок-практикум

34

Контрольная работа № 2 по теме: «Параллелограмм, треугольник, трапеция их площади »

1

Глава II. Геометрия треугольника

29

§ 6 Синус. Применение синуса

7

35

Работа над ошибками. 6.1 Теорема об отношении перпендикуляра и наклонной

1

Интуитивное представление о синусе формируется у учеников в связи с задачей о вычислении высоты подъёма при движении по наклонному прямолинейному пути. Как доказать, что высота подъёма пропорциональна пройденному пути, т.е. отношение высоты подъёма к длине пройденного пути не зависит от точки, в которой вычисляется это отношение? Основная трудность, возникающая при этом, состоит в отношении несоизмеримых отрезков, т. е. в проблеме иррационального числа. А. Д. Александров «спрятал» эту проблему в школьном курсе геометрии в формулу для площади прямоугольника S = ab. После того как, опираясь на эту формулу, выведена формула для площади треугольника, в доказательстве теоремы об отношении перпендикуляра и наклонной проблема несоизмеримых отрезков уже не появляется.

36

6.2 Определение синуса

1

37

</ 6.3 Свойства синуса и его график

1

Определение синуса угла как отношения перпендикуляра и наклонной формулируется единообразно как для острых, так и для неострых углов. Из этого определения сразу вытекает, что синусы смежных углов равны. Вряд ли учеников стоит здесь спрашивать: «Что называется синусом?». Полезнее спросить у них: «Как найти синус угла?». После того, как доказано, что синусы равных углов равны, можно определить синус на промежутке [0o, 180o] градусных мер углов. При этом приходится ввести вырожденный угол, у которого стороны совпадают и мера которого равна 0о.

38

6.4 Решение прямоугольных треугольников

1

Урок-практикум

Решая прямоугольные треугольники, ученики должны запомнить, что синус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего этому углу катета к гипотенузе.

39

6.5 Вычисление площади треугольника

1

Урок-практикум

40

6.6 Теорема синусов

1

Урок-практикум

Теорема синусов является простым следствием определения синуса. Она позволяет решать треугольник по двум углам и стороне, а также помогает решать многие практические задачи, например, находить расстояние до недоступного предмета.

41

Решение задач по теме: «Синус»

1

Изучая в течение месяца синус и решая многие задачи с применением синуса, ученики твердо усваивают это понятие.

§ 7 Косинус. Применения косинуса

8

43

7.1 Определение косинуса

1

комбинированный

Необходимость кроме синуса ввести еще одну тригонометрическую функцию - косинус -аргументируется тем, что значение синуса не определяет угол однозначно. Косинус же этим недостатком не обладает: зная косинус угла треугольника, мы по косинусу угол находим однозначно. Естественно, что понятие о косинусе прежде всего надо связывать с проекцией наклонной на ось. Так мы и поступаем, определяя косинус. Как и синус, косинус сразу определяется для любых углов, т.е. в промежутке [0, 180].

Как и в случае синуса, вряд ли стоит ученикам выучивать наизусть определение косинуса, но им необходимо знать, как находится косинус угла, а также, что косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к гипотенузе

44

7.2 Основное тригонометрическое тождество

1

комбинированный

Доказав основное тригонометрическое тождество, мы сводим изучение свойств косинуса к уже известным нам свойствам синуса. Важно, чтобы ученики видели в этом тождестве частный случай теоремы Пифагора.

45

7.3 Косинусы острых углов прямоугольного треугольника

1

Урок-практикум

Решая с помощью косинуса прямоугольные треугольники, устанавливаем равенство синуса и косинуса дополнительных углов

46

7.4 Свойства косинуса и его график

1

Урок-практикум

Хотя свойства косинуса на промежутке [0, 180] уже вытекают из свойств синуса, но полезно их увидеть при движении радиуса единичной полуокружности.

47

7.5 Теорема косинусов (обобщённая теорема Пифагора)

1

комбинированный

Важнейшее применение косинуса - обобщённая теорема Пифагора, которую обычно называют теоремой

косинусов. Эта теорема вместе с теоремой синусов позволяет уже решить любой треугольник.

48

7.6 Средние линии треугольника и трапеции

1

комбинированный

Теорема о средней линии треугольника доказывается с помощью теоремы косинусов. Её доказательство характерно для геометрии вычислений, когда надо «просто посчитать». Фактически в этом доказательстве доказывается подобие треугольника, отсечённого средней линией, исходному треугольнику.

49

7.7 Применения косинуса в практике

1

Урок-практикум

). В последнем пункте этого параграфа 7, используя теоремы синусов и косинусов, решаем двумя способами практическую задачу о нахождении расстояния между двумя недоступными предметами.

50

Контрольная работа № 3 по теме: «Синус. Косинус»

1

§ 8 Тригонометрические функции

3

51

Работа над ошибками. 8.1 Тангенс

1

Урок-лекция

Продолжается знакомство учеников с историческим материалом. На этот раз они знакомятся с историей появления тригонометрических функций.

52

8.2 Котангенс

1

комбинированный

С тангенсом связаны не только решение прямоугольных треугольников, но и такие важнейшие в математике факты как угловой коэффициент графика линейной функции и геометрический смысл производной.

53

8.3 Из истории тригонометрии

1

комбинированный

В школьной программе котангенс то появляется, то исчезает. Роль его в математике незначительна и аналогична роли секанса и косеканса. Но в последнем варианте Стандартов второго поколения котангенс присутствует, а потому авторы кратко о нём рассказывают.

§ 9 Подобные треугольники

3

54

9.1 Определение подобных треугольников

1

комбинированный

Три основные, опорные для курса геометрии 8 класса теоремы - это теорема Пифагора, теорема синусов и теорема косинусов. Как их следствия можно получить разнообразные теоремы евклидовой планиметрии. В частности, из них легко получается теория подобия треугольников, если определить подобные треугольники как треугольники, стороны которых пропорциональны (равенство треугольников - частный случай их подобия).

55

9.2 Признаки подобия треугольников

1

комбинированный

Поскольку подобие треугольников определяется пропорциональностью их сторон, то остаются лишь два признака подобия треугольников. Первый из них вытекает из теоремы косинусов и своим частным случаем имеет первый признак равенства треугольников (заметим, что в теореме о средней линии треугольника речь идет о подобии с коэффициентом 0,5). Второй признак подобия треугольников вытекает из теоремы синусов и своим частным случаем имеет второй признак равенства треугольников. Доказательства обоих признаков ведутся чисто алгебраически.

56

9.3 Свойства подобных треугольников

1

комбинированный

Равенство соответственных углов подобных треугольников также выводится с помощью теоремы косинусов. Тригонометрия применяется и при доказательстве двух других свойств подобных треугольников: пропорциональности соответственных отрезков и отношения площадей.

§ 10 Применения теорем о подобии треугольников

8

57

10.1 Подобие треугольников и параллельность Теорема Фалеса

1

комбинированный

Теоремы о подобии треугольников позволяют легко доказать теорему о пропорциональности отрезков, которые образуются на сторонах угла, пересеченных параллельными прямыми

58

10.2 Фалес

1

подобие применяется при делении отрезка на равные части и при построении четвертого пропорционального отрезка. О возможности разделить отрезок на равные части циркулем и линейкой говорилось еще в 7 классе. Теперь теорема Фалеса позволяет это сделать. В этом же пункте рассказывается о методе подобия при решении задач на построение. И при построении среднего геометрического (п.10.4) также применяется подобие треугольников.

59

10.3 Применения подобия при решении задач на

построение

1

Урок-практикум

60-61

10.4 - 10.5 Построение среднего геометрического.

Пентаграмма и золотое сечение

2

Деление отрезка в крайнем и среднем отношении (золотое сечение) и построение правильного пятиугольника приводится в п.10.5. Также в этом пункте рассказано о роли золотого сечения в искусстве.

Точка пересечения медиан треугольника в связи с теоремой о точке пересечения медиан треугольника (т. е. о центре масс треугольника) рассказано о методах механики, которые применял Архимед для решения геометрических задач.

62

10.6 Точка пересечения медиан треугольника

1

Урок -практикум

63

Решение задач по теме «Подобие треугольников»

1

Урок-практикум

64

Контрольная работа №4 по теме: «Подобие треугольников»

1

Контроль

Повторение

6

65

Повторение по теме: «Многоугольники. Площадь многоугольной фигуры»

1

Курс геометрии 7 и 8 классов уже содержит большинство важнейших результатов элементарной планиметрии. В оставшееся время полезно сделать обзор этих результатов, сочетая материал 7 и 8 классов. Этот обзор можно подкрепить тестовой проверкой.

Равенство треугольников - это тема 7-го класса (она повторяется в пункте 1 Введения), подобие треугольников - тема 8-го класса (параграфы 9 и 10 учебника). Равенство - частный случай подобия, когда коэффициент подобия равен 1. Следует сравнить определения равенства и подобия, сравнить признаки и свойства, указать на их аналогии и на их отличия.

Это урок о формулах. Прежде всего, следует вспомнить теорему Пифагора - и как теорему о площадях, и её алгебраическую формулировку. А затем повторить те формулы, которые перечислены в учебнике в Итогах.

66

Повторение по теме: «Теорема Пифагора. Площадь треугольника, параллелограмма и трапеции»

1

67

Повторение по теме: «Тригонометрия, Подобие треугольников»

1

68

Контрольная работа № 5 по теме: «Многоугольники и их площади»

69

Работа над ошибками

70

Обобщающее повторение

Стоит вспомнить, что четырехугольник составлен из двух треугольников и может быть, как выпуклым, так и невыпуклым, что сумма его углов равна 360^о. Конечно, следует вспомнить формулы площадей трапеции и параллелограмма, свойства и признаки параллелограмма, свойства и признаки частных видов параллелограмма. В учебнике параллелограммам и трапециям посвящены тесты 5-8, а в учебном пособии тесты 6 и 35 посвящены четырёхугольникам общего вида, и многочисленные тесты относятся к параллелограммам и трапециям, а также к их частным видам.

14