Учителю
Методические указания по математике

Методические указания по математике

Автор публикации: Мелентьева С.Б.

Дата публикации: 01.01.2016

Краткое описание:

предварительный просмотр материала

Государственное автономное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

САМАРСКИЙ ТЕХНИКУМ СЕРВИСА ПРОИЗВОДСТВЕННОГО ОБОРУДОВАНИЯ

Мелентьева С.Б.

МАТЕМАТИКА

МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ТЕМЕ: «ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ. РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ».

Самара. 2014

ОДОБРЕНА

Предметно- цикловой

комиссией

____ /Елшанская С.В /

« » 20__ г.

Составлена в соответствии с ФГОС по специальностям СПО

Рекомендовано к использованию

решением методического

совета №__________

от «___ »__________2014 г.

Рекомендовано к использованию

решением методического совета №

от « » 20__ г.

Председатель совета

зам. директора по УМР

/ФИО / (подпись)

« » 20___ г.

Разработал: Мелентьева С.Б.

Рецензент:

Пособие представляет собой издание, содержащее карточки - инструкции и задания для самостоятельного решения направленные на усвоение, закрепление знаний и формирование практических умений и навыков решения уравнений и неравенств по теме: «Показательная функция. Решение показательных уравнений и неравенств». Для обучающихся первого курса всех специальностей и профессий.

ВВЕДЕНИЕ

Данное пособие обеспечивает обязательный минимум общеобразовательной подготовки студентов по математике, при изучении темы «Показательная функция. Решение показательных уравнений и неравенств».

В пособие приведены карточки - инструкции обучающего характера, способствующие повторению, закреплению знаний и умений.

Подобранны разно уровневые задания для самостоятельного решения, которые помогут преподавателю правильно построить свою деятельность и использовать данный материал для составления и проведения дифференцированных самостоятельных, контрольных и зачетных работ.

Цель:

-научить решать показательные уравнения и неравенства;

-сформировать у студентов навыки и умения применения свойств показательной функции при решении упражнений;

-сформировать у студентов навыки и умения в решении основных видов показательных уравнений и неравенств, используя свойства степени и показательной функции;

Карточки - инструкции предназначены для студентов всех специальностей техникума при изучении темы «Показательная функция. Решение показательных уравнений и неравенств».

1.Основные теоретические сведения.

Определение. Показательной функцией называется функция , где а- заданное число.

Свойства показательной функции.

1. Область определения функции - множество R всех действительных чисел.

2. Область значений функции - множество всех положительных чисел.

3. Монотонность функции:

если, функция является возрастающей на множестве всех действительных чисел;

если, функция является убывающей на множестве всех действительных чисел;

4. График функции проходит через точку (0; 1)

5. При любых действительных значениях х и у справедливы равенства:

Эти формулы называют основными свойствами степеней

Определение. Показательным уравнением называется уравнение, в котором неизвестное содержится в показателе степени

Рассмотрим простейшее показательное уравнение , где . Область значений функции - множество положительных чисел. Поэтому в случае или уравнение не имеет решений.

Отметим некоторые способы решения показательных уравнений:

Решение показательных уравнений приведением степеней в левой и правой частях уравнения к одному и тому же основанию.
Метод вынесения общего множителя за скобку.
Приведение показательного уравнения к квадратному, с введением новой переменной.

Определение. Неравенства вида или, где называют простейшими показательными неравенствами.

Решение показательных неравенств основано на строгой монотонности показательной функции. Известно, что при основании, больше единицы, показательная функция возрастает , а при положительном основании меньше единицы и больше 0,- убывает.

В процессе решения показательных неравенства приводятся к виду

(), если знак неравенства сохраняется

или если знак неравенства меняется на противоположный

При решении показательных неравенств используют те же приемы, что и при решении показательных уравнений.

2.Решение показательных уравнений приведением степеней в левой и правой частях уравнения к одному и тому же основанию.

Карточка-инструкция по теме: «Решение показательных уравнений».

Решите уравнение

Решение. Представляем правую часть данного уравнения в виде . Тогда, в соответствии со свойствами степеней, запишем уравнение, равносильное исходному

Решаем это уравнение получаем и .

Ответ: 1; 2.

Решите самостоятельно:

а); б)

Карточка-инструкция по теме: «Решение показательных уравнений».

Решите уравнения:

Решение.

Указание. , поэтому заменим единицу числом .

Указание. применяя эту формулу, получаем:

3.Метод вынесения общего множителя за скобку.

Карточка-инструкция по теме: «Решение показательных уравнений».

Решите уравнение

Решение. Это уравнение решается способом вынесения общего множителя за скобки. За скобки выноситься множитель с наименьшим показателем степени . Чтобы найти многочлен. Заключаемый в скобки, надо каждый член многочлена. Стоящего в левой части уравнения, разделить на вынесенный множитель.

Используя правило , произведем деление:

а)

б)

в)

Получаем уравнение:

Производим действия, заключенные в скобке:

Разделим обе части уравнения на 79, получим

Ответ: 1

Решите самостоятельно:

а) б)

4.Приведение показательного уравнения к квадратному,

с введением новой переменной.

Карточка-инструкция по теме: «Решение показательных уравнений».

Решите уравнение

Решение. 1) Заменим , тогда .

2) Уравнение приводиться к виду , решая квадратное уравнение, получим корни .

3) Получаем совокупность двух показательных уравнений простейшего вида:

4) Решим показательное уравнение. Так как , то , откуда х=0.

5) Решим показательное уравнение. Так как 9, то , откуда х=2.

Ответ: 0; 2.

Можно сделать проверку найденных корней уравнения.

1)Проверим корень х=0. Подставим значение х=0 в заданное уравнение, получим

; 0=0 - истинно.

2)Проверим корень х=2. Получаем ; 0=0 - истинно. Таким образом, х=0 и х=2 являются корнями данного уравнения.

Решение самостоятельно:

Карточка может иметь и сокращенную запись решения, например:

Карточка-инструкция по теме: «Решение показательных уравнений».

Решите уравнение:

Решение. 1) .

2) .

3) , .

4) ; ; ; ;

;

5) ; ; ; х=3.

6) ; - не имеет смысла, так как при любых значениях.

Ответ:3.

Решите самостоятельно:

Карточка может иметь только отдельные указания к решению уравнения, например:

Карточка-инструкция по теме: «Решение показательных уравнений».

Решите уравнение:

Указания: 1) Преобразовать член уравнения

2) Получаем уравнение .. Почему способ вынесения общего множителя не годиться?

Данное показательное уравнение сводиться к квадратному введением вспомогательного переменного. Закончите решение уравнения.

Решите уравнение:

Указания: 1) Замените , тогда

2) Приведите данное уравнение к квадратному заменой переменной

Решите уравнение:

Указание: Уравнение заменой переменного приводиться к квадратному.

5.Задания для самостоятельного решения.

Решите уравнения:

На оценку «3»

На оценку «4»

На оценку «5»

6.Решение показательных неравенств.

Карточка-инструкция по теме: «Решение показательных неравенств».

Решите неравенство:

Решение: 1) Так, как .

Перепишем неравенство в следующем виде . Показательная функция убывает (.поэтому данное неравенство равносильно неравенству , решив его, получаем .

Ответ:

Решите самостоятельно неравенство:

а) б)

Карточка-инструкция по теме: «Решение показательных неравенств».

Решите неравенство:

Решение:1) Обозначим , тогда , так как , то

Неравенство приводиться к виду

2) Решим неравенство

а) находим дискриминант по формуле

б)находим корни по формуле , , и

в) проиллюстрируем полученные результаты на числовой прямой

График функции - парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент ). Так как , то множество решений этого неравенства есть числовой промежуток (-4;1), т.е.

-4 - 1 х

3) Так как , то подписав вместо у найденное его значение, получаем двойное неравенство

Рассмотрим это неравенство при любом значении х, так как показательная функция может принимать только положительные значения (свойство показательной функции).

Остается рассмотреть одно условие: или . Функция - в-зрастающая (основание ), следовательно,

Ответ

Решите самостоятельно неравенство:

7.Карточки для работы с хорошо успевающими учащимися.

Карточка-инструкция по теме: «Решение показательных неравенств».

Решите неравенство

Решение. 1) , откуда получаем систему

2); ; или

а). Тогда решение

б) , тогда решение

Ответ:

Решите самостоятельно неравенство:

Карточка-инструкция по теме: «Решение показательных неравенств».

Решите неравенство: .

Решение. 1) Если , то данное неравенство равносильно системе неравенств

2 3 х

а) , ;

б) , откуда или или (см. рис. )

в) или ;

или .

2) Если . То данное неравенство равносильно системе неравенств

а) , откуда ;

б) , откуда ;

в) - с-стема решений не имеет

Ответ: .

Решите самостоятельно неравенство:

8.Задания для самостоятельного решения.

Решите неравенства:

На оценку «3»

На оценку «4»

На оценку «5»

Литература.

Башмаков М.И. Математика: учебник для 10 класса: среднее (полное) общее образование (базовый уровень)-М.: Издательский центр «Академия», 2009.-304с.
Башмаков М.И. Математика.10 класса: Сборник задач: среднее (полное) общее образование -М.: Издательский центр «Академия», 2008.-272с.
Колмагоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П., Ивлев Б.М., Шварцбург С.И.. Алгебра и начало анализа: Учебник для 10-11 кл.общеобразоват. учреждений.-11-е изд.-М.:Просвещение, 2001.-384с.
Соболь Б.В., Виноградова И.Ю., Рашидова Е.В. Пособие для подготовки к единому государственному экзамену и централизованному тестированию по математике. Ростов н/Д: «Феникс», 2003.-352с.
Тырымов А.А. Математика для поступающих в вузы (Способы решения основных типов задач, предполагаемых на письменных экзаменах. Алгебра и тригонометрия) часть 1- Издательство «Учитель», 2000.-80с.

Содержание.

Введение. 3.
Основные теоретические сведения 4
Решение показательных уравнений приведением степеней в левой и

правой частях уравнения к одному и тому же основанию. 6.

Метод вынесения общего множителя за скобку. 7
Приведение показательного уравнения к квадратному, с введением
новой переменной. 8.
Задания для самостоятельного решения. 10
Решение показательных неравенств. 13
Карточки для работы с хорошо успевающими учащимися. 15
Задания для самостоятельного решения. 17
Литература. 19

⇧

⇩