Решение тригонометрических уравнений в 10 классе

Элементы модульных уроков в 10 классе

Модульная педагогическая технология конструируется на основе ряда целей.

Важнейшая из них-создание комфортного темпа работы для каждого ученика.

Каждый ученик получает шанс определить свои возможности в учении и приспособиться к тем уровням изучения материала, которые предложены.

Самым главным отличием технологии является применение принципов планирования совместной деятельности учителя и ученика.

Процесс такого планирования:

1. Определение целей для учеников, т. е. устанавливается, кто хочет знать не более того, что требуется госстандартом, а кто готов заниматься более, поскольку планирует поступать в ВУЗ или просто получить высокую оценку.

2. После того как учащиеся определить своими целями, учитель выстраивает свое целеполагание, определяя содержание и объем педагогической помощи учащимся.

Исходя из целей проектируется итоговая диагностика. Она создается с учетом уровневой дифференциации, что позволяет осознанно определить тот минимум знаний, который необходим для получения оценок, определяемых желанием каждого ученика.

На основе целеполагания и планируемой итоговой диагностики отбирается предметное содержание (объяснения и задания из учебника, из дидактических материалов и т. д.)

На основе отобранного содержания выстраивается логика изучения темы ( поурочное планирование). Определяется время и место промежуточной и итоговой диагностик и учебной коррекции. Для каждого урока определяются микро цели и приемы обратной связи; создаются опорные конспекты и задания к уроку.

В результате описанного процесса учитель создает:

-логическую структуру уроков с промежуточной диагностикой;

-разно уровневые материалы для диагностики знаний учеников;

-дидактический материал ко всем урокам.

Модульная педагогическая технология помогает осуществить индивидуальный подход к ученику, включить каждого в осознанную учебную деятельность, мотивировать его, формировать навыки самообучения и самоорганизации, обеспечивая тем самым постепенный переход от пассивно воспринимающей позиции ученика к его сотрудничеству с учителем.

Тема : Решение тригонометрических уравнений

Урок №1 Учебный элемент №1

Простейшие тригонометрические уравнения

Цель: Формировать навыки решения простейших тригонометрических уравнений по заданному алгоритму.

Ученик должен знать: общий вид уравнений ,, , ctgх=а осознанно выбирая формулы для их решения.

Ход урока.

Решение любого тригонометрического уравнения сводится к решению простейшего уравнения.

Схема:

Если │а│, то уравнение решений не имеет, если │а│, то

Х=Z

Частные случаи:

а) sinх=1, то х=+ 2πn, где n

б) sinх=0, то х=πn, где nΖ

в) sinх=-1, то х=-+ 2πn, где n

arcsin(-a)=arcsina х= arcsina+πn, n

Если , то уравнение решений не имеет, если , то

Х=

Частные случаи:

а) cosх=1, то х=2πn , n

б) cosх=0 , то х=+ πn, n

в) cosх=-1, то х= π+2πn, n

αrcos (-a)=π- arcosa х=

tg=a a

х=arctgа+πn, где n

arctg(-a)=-arctga х=-arctga+πn , n

ctgx=a a

х=arcсtga+

ctgx=-a

arcсtg(-a)=; то х= arctgа+πn, где n

Примеры: а) 2 =1

Х=(-1)arcsin +πк , где к

Х= + πк , где к

ОТВЕТ: Х= + πк , где к

б) tgx=

x=arctg+πn, где n

x=+πn, где n

ОТВЕТ: x=+πn, где n

Замечания:

Уравнения вида tg, с=а так же являются простейшими, их нужно решать сначала относительно , а далее относительно х.

а)

= + πк , где к

Х= + 2πк , где к

ОТВЕТ: Х= + 2πк , где к

б) )=1

х+=2πк, где к

х=-+2πк, где к

ОТВЕТ: х=-+2πк, где к

в) tg(2х-)=

(2х-)=+πn, где nZ

2х=+ πn, где nZ

Х=+, где nZ

ОТВЕТ: Х=+, где nZ

г) - 5х)= в силу четности , записываем

+ 5х)=

+ 5х=±(π-)+ 2πк, где к

+ 5х=±π+2πк, где к

5х=±π+2πк - , где к

Х==±π+πк - , где к

ОТВЕТ: Х==±π+πк - , где к

Д.З :на усмотрение учителя

Урок №2 Учебный элемент №2

Тригонометрические уравнения. Метод сведения к квадратному.

Цель:

Формировать умения решать тригонометрические уравнения приведением к квадратному уравнению.

Закрепить и сделать промежуточную диагностику учеников по простейшим тригонометрическим уравнениям.

Ход урока:

Раздаются карточки для промежуточной диагностики. У каждого ученика в контрольную тетрадь вложена карточка(см. приложения).

По окончании времени проводиться самопроверка и сдается для окончательной проверке учителем. Учащиеся выполняют задания верно, то проставляется сразу балл в графу «оценка за 1 элемент» модуля. Те ученики, которые не справились с заданием или сделали ошибки закончат полное решение на уроке , выполняя задания соседнего варианта на уроке закрепления материала, при подготовке к тематической контрольной работе где будет предложен 5элемент для сильных ребят. До окончательной диагностики по теме каждый из учеников должен усвоить простейшие методы решения тригонометрических уравнений и получить накопительную оценку по теме.

ЭЛЕМЕНТ №1, время выполнения 10 минут

Цель: закрепить решение простейших тригонометрических уравнений.

Решите уравнения :

1 вариант

2 вариант

cos x= ½ (1 балл)

sin x= -1/2 (1 балл)

sin x= - (1 балл)

cos x= (1 балл)

tg x= 1 (1 балл)

ctg x= -1 (1 балл)

cos(x+)= 0 (2 балл)

sin(x-)= 0 (2 балла)

2cos x= 1 (1 балл)

4sin x= 2 (1 балл)

3tg x= 0 (1 балл)

cos 4x= 0 (2 балла)

sin 4x=1 (2 балла)

5tg x= 0 (1 балл)

Новый материал: Учитель с учениками делают конспект-эталон для решения уравнений второго элемента модуля.

Метод сведения к квадратному уравнению состоит в том, чтобы пользуясь изученными формулами (см урок №1)нужно преобразовать уравнения к такому виду, чтобы какую-то функцию sinx, cosx, tgx, ctgx или их комбинацию обозначить через переменную , а полученное при этом квадратное уравнение решить.

asin²x+bcosx=0 ; sinx=t; sin²=1 - cos²x

acos²x+bsinx=0 ; cosx=t ; cos²x=1 - sin²x

Пример: №1 Решить уравнение 4 - .

Решение: Вместо подставим тождественное ему выражение Тогда исходное уравнение примет вид

Если ввести y = sin x , получим квадратное уравнение

Оно имеет корни 1 и 3. Значит, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений

Sin x = 1 или sin x = 3.

Уравнение sin x = 1 имеет решение x = n, n.

Уравнение sin x = 3 решений не имеет.

Ответ:

№2 3cos² - cos - 2=0

Замена:

cos=t │t│≤1

3t²-t-2=0

D=25 ; t= - ; t=1

Обратная замена:

cos=1 или cos=-

=2n, n =(π-arccos) +2к, к.

Х=4n , n х=(π-arccos) +4к, к.

ОТВЕТ: 4n , n ; (π-arccos) +4к, к.

Решение упражнений: а) cos2x+3sinx=2; используя формулы двойного угла

б) tg²x - (1+)tgx+ =0

Д.З. конспект, 1) tg²2x - 4 tg2x+3=0

2) 6sin²x + 5cosx-7=0

Урок №3 Учебный элемент №3

Тригонометрические уравнения. Метод разложения на множители.

Цель : Формировать навыки решения тригонометрических уравнений методом разложения на множители.

Проводиться диагностика элемента №2, время работы 10 минут, условия самопроверки и проставления баллов ученики уже знают.

1 вариант

2 вариант

(2 балла)

Новый материал:

Составляется конспект-эталон.

Уравнения типа asin²x+ bsin 2x=0 можно решить при помощи разложения на множители (привести к одному аргументу).

Каждый множитель приравниваем к нулю. Таким образом, исходное уравнение можно представить в виде совокупности более простых уравнений. Одним из самых популярных является способ вынесения за скобки общего множителя, применение формул сокращенного умножения.

Пример. Решить уравнение.

Решение. Сначала сгруппируем первый член с третьим, а cos2x представим в виде .

Из выражения, стоящего в первых скобках, вынесем sin x, а в выражении, стоящем во вторых скобках, вместо запишем . Уравнение примет вид

Отсюда следует, что исходное уравнение равносильно совокупности уравнений

Ответ:

Примеры: а) cosx(3tgx - 5)=-

б) 4sinx+sin2x=0

в) Cos3x+cοs5x=0

Д.З. конспект, 1) sin(4x - =-

2) 3cos² - cos - 2 =0

3) sin3x+cos7x=0

Урок №4

Однородные тригонометрические уравнения и к ним сводящиеся

Цель: Формировать умения решать однородные уравнения.

Проводиться диагностика решения уравнений учебного элемента №3, после самопроверки выставляются баллы в карточки учащихся.

Задания для самостоятельной работы. Решить уравнения.

1 вариант

2 вариант

(2 балла)

(2 балла)

(3 балла)

(3 балла)

Новый материал:

Однородные уравнения первой степени asinx+bcosx=0 или однородные второй степени asin²x+bcosxsinx +cos²x=0 приводятся к виду atgx+b=0 atg²x+btgx+c=0.

Покажем как решать однородное уравнение 1-й степени, т.е.

Пример 1. Решить уравнение .

Поделим обе части уравнения на cos x или sin x. Но предварительно надо доказать, что это выражение никогда не обращается в нуль. Предположим, что cos x=0. Тогда 5sin x-2∙0=0 sin x=0. Получается, что если sin x=0, то и cos x=0 , чего быть не может ввиду равенства .

Значит можно поделить уравнение на cos x:

Получим уравнение 5tg x-2=0. Отсюда .

Решение однородных уравнений вида начинается с того, что обе части уравнения делят на cos²x или sin²x

Пример 2. .

Решение. Данное уравнение не является однородным. Но его можно превратить в однородное, заменив 3sin2x на 6sin x cos x и число 2 на .

Приведя подобные слагаемые, получим уравнение

. Аналогично решению примера 1, докажем, что cos x0 .

Тогда можно обе части уравнения поделить на . Получим

или . Отсюда

.

ОТВЕТ :

ПРИМЕРЫ:

1. 3sin²x+sin2x=2

2. 4sin²x + 2cos2x=3

3. Sin2x+2cos2x=1

Д.З. конспект, примеры: 1) 4sin²x+sin2x=3 2) sin²x-0,5 sin2x=0

Урок №5

Решение тригонометрических уравнений

Цель : Закрепить навыки решения различных учебных элементов, скорректировать решение учебных элементов №1-4 . Подготовиться к тематической аттестации по данной теме

Проводиться диагностика решения уравнений учебного элемента №4, после самопроверки выставляются баллы в карточки учащихся.

1 вариант

2 вариант

(2 балла)

(2 балла)

(3 балла)

(3 балла)

Ученики прошли первый обязательный уровень решения тригонометрических уравнений. Теперь им необходимо самостоятельно выбрать метод решения уравнений. У слабоуспевающих учеников есть возможность провести решение уравнений из учебных элементов соседнего варианта в которых были сделаны ими ошибки . Дополнительные баллы после самопроверки выставляются в оценочный лист.

Решение примеров: 1) tgx-2ctgx+1=0 решение рассматривается на доске под руководством учителя

tgx-+1=0 ОДЗ:

tg²x-2+tgx=0 cosx≠0 x≠+πk k

tgx=t sinx≠0 x≠2πn n

t²+t-2=0

D=9 t=-2; t=1

Обратная замена: tgx=-2 tgx=1

x=-arctg2+πl; l x=+πm ; m

С учетом ОДЗ ОТВЕТ: x=-arctg2+πl; l x=+πm ; m

РЕШЕНИЕ УПРАЖНЕНИЙ С КОНСУЛЬТАЦИЕЙ УЧИТЕЛЯ сильными учениками и проведение коррекции учебных элементов №1-4 слабыми учениками.

1. 1-cosx=2sin² 2б

2. sin²x+sin2xcosx=0 2б

3. 2ctgx-3tgx+5 2б

4. 2sinxcosx+-2cosx-sinx=0 3б

Тематическая аттестация по теме: «Решение тригонометрических уравнений»

Учебный элемент №5 Самостоятельный выбор метода

Слабые ученики могут продолжить решение элементов №1-4 с накоплением коррекционных балов.

1 вариант

2 вариант

cos2x+3sin x=2

sin2x-cos2x=0

cos x cos2x=1

Учебный элемент №6

1. sin6x+cos6x=1-2sin3x (2 )

5. sin x(sin x+cos x)=1

В случае затруднений воспользуйтесь подсказками.

1. Воспользуйтесь формулой двойного угла для sin6 x, сos 6x.

2. Обозначьте x-2=t , решите уравнение, сведя его к квадратному с помощью формулы .

3. Сгруппируйте первое и третье слагаемые, примените разложение на множители.

4. Воспользуйтесь формулой двойного угла для sin4x, cos4x, формулой понижения степени .

5. Раскройте скобки, примените основное тригонометрическое тождество.

6. Приведите дроби к общему знаменателю. А затем используйте основное тригонометрическое тождество , сведите к квадратному.

Приложение 1. Оценочный лист учащегося.

Фамилия

Имя

УЭ

К-во баллов за основные задания

Корректирующие задания

Общее к-во баллов за этап

№1

№2

№3

№4

№5

№6

Итоговое количество баллов n баллов

Оценка

Приложение 2. Анализ работ учащихся.

В классе ____ учеников.

Писали работу ____ ученика.

Получили оценку

«5»

«4»

«3»

«2»

Уровень успешности -

Уровень обученности -

Основные ошибки.

1. Ошибки вычислительные.

2. Незнание тригонометрических формул.

3. Незнание области определения тригонометрических функций.

Таблица баллов:

«5» n≥42

«4» 30≤n≤41

«3» 20 ≤n≤29

«2» n≤19