Урок по геометрии на тему 'Формула площади трапеции' (8 класс)

Формула площади трапеции

Тема: изучение формулы площади трапеции

Учебник: Атанасян. Геометрия 7-9. Глава VI §2 п.53

Тип урока: урок изучения нового.

Учебная задача: в совместной деятельности с учащимися открыть формулу площади трапеции, доказать её.

Диагностируемые цели:

в результате урока ученик:

• воспроизводит запись формулы площади трапеции;

• умеет читать её разными формулами;

• выражает линейный элемент трапеции из формулы её площади;

• знает прием доказательства формулы и при этом использует свойства площадей;

• применяет формулу при решении простейших задач на нахождение площади трапеции.

Методы обучения:

• частично-поисковой

• репродуктивный

Форма работы: фронтальная

Средства обучения: мел, доска, учебник, инструменты.

Структура урока:

• мотивационно-ориентировочный этап(10 мин)

• содержательный этап (30 мин)

• рефлексивно-оценочный этап (5 мин)

Ход урока

I.Мотивационно - ориентировочный этап.

Актуализация:

Речь учителя: Мы с вами изучаем тему «Площадь». Площади каких фигур вы уже умеете вычислять?

Речь ученика: квадрата, треугольника, прямоугольника, параллелограмма.

Речь учителя: Хорошо, посмотрим на рисунок 1.

Записи на доске:

B C

8 S_ABCD-?

30⁰

A D

20

Речь учителя: Что дано?

Речь ученика: АВ=8, АD=20, BAD=30˚.

Речь учителя: Что нужно найти?

Речь ученика: S_ABCD.

Речь учителя: Чему она равна?

Речь ученика: 80 см.²

Речь учителя: Молодцы. Чем пользовались при нахождении площади ABCD?

Речь ученика: формулой для вычисления площади S=ah.

Речь учителя: а теперь посмотрим на след. рисунок:

Записи на доске:

E

A D

Выразить S_ABCDЕ=?

B C

Речь учителя: что изображено на рисунке?

Речь ученика: пятиугольник ABCDE.

Речь учителя: что надо сделать?

Речь ученика: найти его площадь.

Речь учителя: какие фигуры можно получить из этого пятиугольника?

Речь ученика: соединим В с Е, C c Е. Получим 3 треугольника.

Записи на доске:

E

A D

B C

Речь учителя: как тогда можно выразить S_ABCDЕ?

Речь ученика: S_ABCDЕ= S_ABЕ+S_BCЕ+ S_CDЕ

Записи на доске: S_ABCDЕ= S_ABЕ+S_BCЕ+ S_CDЕ

Речь учителя: выразили площадь?

Речь ученика: да

Речь учителя: чем пользовались при выражении площади пятиугольниками?

Речь ученика: тем, что площадь многоугольника равна сумме площадей многоугольников, из которых составлен данный многоугольник.

Мотивация.

Речь учителя: молодцы! Вернемся к рис.1. На продолжении стороны АD отложим DK=3 см. Найдите площадь полученного четырехугольника.

Записи на доске:

B C

8

30⁰

A 20 D 3 K

Речь учителя: чем является ABCK?

Речь ученика: трапецией.

Речь учителя: почему это трапеция?

Речь ученика: так как ВС//АК, а АВ и СК пересекаются.

Речь учителя: что надо найти?

Речь ученика: S_ABCК

Речь учителя: каким способом можно вычислить площадь S_ABCК?

Речь ученика: как сумма площадей параллелограмма АВСD и треугол. АСК.

Речь учителя: верно. Чему равна площадь параллелограмма.

Речь ученика: 80 см²

Речь учителя: верно. А чему равна высота ВМ в параллелограмме?

Речь ученика: ВМ=4, т.к. ВМ- это катет прямоугольного треугольника АВМ, у которого АВ=8, а угол А=30⁰ ).

Речь учителя: как найти S_DCK-?

Речь ученика: S=1/2*CH*DK=1/2*4*3

Речь учителя: Почему СH=4?

Речь ученика: так как CH=BM.

Речь учителя: итак, чему равна S_ABCК?

Речь ученика: S_ABCК= S_ABCD+ S_DCК=80+6=86.

Записи на доске:

h= BM=CH=1/2*AB=1/2*8=4

S_ABCD=80

S_CDК=6

S_ABCК= S_ABCD+ S_DCК=80+6=86.

Речь учителя: итак, как найдена площадь трапеции?

Речь ученика: как сумма площадей треугольника и параллелограмма.

Речь учителя: всегда ли можно использовать такой способ для нахождения площади трапеции?

Речь ученика: да

Речь учителя: а всегда ли удобно?

Речь ученика: нет, так много действий.

Речь учителя: как вы думаете, можно ли найти другой способ для вычисления площади трапеции?

Речь ученика: наверное, да.

Речь учителя: как мы находим площади параллелограмма и треугольника?

Речь ученика: по формулам

Речь учителя: так, оказывается, для трапеции тоже существует формула нахождения её площади. Какую цель мы поставим перед собой на сегодняшнем уроке?

Речь ученика: вывести формулу для вычисления формулы трапеции.

Речь учителя: итак, открываем тетради и записываем тему урока: «Площадь трапеции»

Записи на доске: Площадь трапеции.

Содержательный этап

Речь учителя: как вы думаете, что нам поможет при нахождении формулы трапеции?

Речь ученика: рисунок 1.

Речь учителя: правильно. Начертим у себя в тетради трапецию ABCK по рис.1, сохраняя не только построения, но и буквенные обозначения.

Записи на доске:

B C

A D K

Речь учителя: что надо найти?

Речь ученика: формулу площади трапеции

Речь учителя: вспомним, как решали предыдущую задачу на нахождение площади трапеции

Речь ученика: мы говорили, что площадь трапеции равна сумме площадей параллелограмма и трапеции

Речь учителя: значит, что в нашей задаче нужно сделать?

Речь ученика: провести CD//АВ, ВМ, СМ.

Речь учителя: как находиться площадь параллелограмма АВСD?

Речь ученика: S_ABCD=АD*BM.

Речь учителя: обозначим ВМ=h(высота), AD=а(основание), так как АВСD параллелограмм, то ВС=АD=а, АВ=СD. Как находится площадь треугольника СDK?

Речь ученика: S_CDК=1/2*CH*DK.

Речь учителя: чему равна СН?

Речь ученика: СН=ВМ=h, так как высоты в трапеции равны.

Речь учителя: как связаны основания трапеции АК, основание параллелограмма AD и основание треугольника DK?

Речь ученика: основание трапеции состоит из основания параллелограмма и треугольника.

Речь учителя: какой вывод можно сделать о формуле площади трапеции, зная, что формула площади параллелограмма выражается через основание и высоту и треугольника выражается через основание и высоту?

Речь ученика: наверно площадь трапеции выражается через основание и высоту.

Речь учителя: обозначим нижнее основание трапеции за b, то есть АК= b. Выразим площадь трапеции.

Речь ученика: S_ABCК =S_ABCD+ S_CDК

Записи на доске: S_ABCК =аh+1/2*(b-a)h=ah+1/2*b*h-1/2*ah=1/2*(ah+bh)=

=1/2*h(a+b).

Речь учителя: мы с вами получили формулу для вычисления формулы площади трапеции. Какие величины используются в формуле?

Речь ученика: 2 основания и высота.

Речь учителя: а что мы называем основанием трапеции?

Речь ученика: две параллельные стороны трапеции.

Речь учителя: видите, в формуле снова используются высота и основание. Значит, наше предположение было верным. Вернемся к рисунку 1. и проверим, правильно ли мы нашли формулу? Подставляем, получим:

Записи на доске: S_ABCК = ½*ВМ(ВС+АК)=1/2*4*(23+20)=2*43=86

Речь учителя: ответ совпал?

Речь ученика: да.

Речь учителя: удобна ли эта формула?

Речь ученика: да, помогает быстро найти площадь трапеции.

Речь учителя: кто сформулирует мне теорему?

Речь ученика: площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту.

Речь учителя: хорошо! А теперь запишем её разными способами, а вы мне её прочитаете.

Записи на доске:

S=1/2*h(a+b)= h/2*(a+b) =h(a+b)/2=(h*(a+b))/2.

Речь учителя: молодцы! А теперь давайте по шагам восстановим доказательство. Шаг первый?

Речь ученика: построили трапецию и провели прямую CD//АВ.

Речь учителя: шаг второй?

Речь ученика: обозначили ВМ за h, ВС и АК за а и b.

Речь учителя: третий шаг: как выразили площадь трапеции ABCК?

Речь ученика: S_ABCК =S_ABCD+ S_CDК

Речь учителя: шаг четвертый…

Речь ученика: все поставили, раскрыли скобки, привели подобные и вычислили.

Записи на доске:

1.АВСК-трапеция

2.Построили CD//АВ.

3. Обозначим ВМ=h, ВС = а, АК=b.

4. S_ABCК =S_ABCD+ S_CDК. S_ABCD=ha, S_CDК= ½*h*(b-a)

5. S_ABCК = ha+½*h*(b-a)= ½*h(b + a)

Речь учителя: используя формулу площади трапеции какие элементы мы можем находить?

Речь ученика: высоту и основания.

Речь учителя: а теперь задание по рядам - выразите первый ряд из этой формулы h, второй- b, третий - а.

Записи на доске:

2S=h(b + a) 2S=hb + ha 2S=hb + ha

h=2S/ (b + a) hb =2S-ha ha=2S-hb

b=2S-ha/h a=2S-hb/h

Речь учителя: а теперь посмотрим на рисунки на доске и решим след. задачи.

Записи на доске:

25

B 22 C B C O C

25 4

A H D A D A H B D

24 27 10

S_ABCD-? (46) S_ABCD-?(130) S_AOCD-?(15)

Учащиеся устно решают задачи, последнюю оформляют в тетради.

Записи на доске:

1. Проведем высоту ОН. Так как ∆ АОН прямоугольный, ОАН=30⁰, то ОН=1/2АО=1/2*4=2

2. S_AOCD=1/2*(AD+OC)*OH

3. ОС=НВ=1/2АD=1/2*10=5.

4. S_AOCD=1/2*(10+5)*2=15.

Рефлексивно-оценочный этап

Речь учителя: какая задача стояла перед нами в начале урока?

Речь ученика: вывести формулу площади трапеции

Речь учителя: достигли ли мы её?

Речь ученика: да

Речь учителя: как выражается формула площади трапеции?

Речь ученика: S= ½*h(b+a)

Речь учителя: какими свойствами и формулами мы пользовались?

Речь ученика: S=S₁+S₂, S=ah, S=1/2(b-a)h.

Речь учителя: а что мы можем найти из формулы площади трапеции?

Речь ученика: два основания, высоту.

Речь учителя: молодцы! А теперь мы запишем домашнее задание-параграф 2, пункт.53, номера 481, 480.

Анализ увиденного урока учителя:

1. Данный урок был проведён 26 ноября 2010 года в 8 «а» классе, в 53 гимназии Советского района, учителем математики Гусевой Е.П.

2. Тема урока: «Формула площади трапеции» изучается в главе «Четырёхугольники» после изучения площади треугольника.

Дидактические единицы:

• Теорема: «площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту».

• свойства площадей.

• Формулы площади параллелограмма, треугольника.

Используется метод доказательства, основанный на методе площадей . Этот урок является по типу уроком изучения нового, где даются основные теоретические сведения , необходимые для последующих занятий, на которых будет проходить отработка доказанной теоремы. Поэтому в системе уроков по данной теме этот урок имеет важное фундаментальное значение.

Далее формула нахождения площади трапеции будет часто использоваться

при решении различных задач. С термином « теорема» учащиеся знакомы

давно, метод доказательства, основанный на свойствах площадей также уже знаком ученикам при доказательстве формулы нахождения площади прямоугольника.

3)Учебная задача урока : в совместной деятельности с учащимися открыть формулу площади трапеции, доказать её. Учебная задача была сформулирована учащимися при помощи учителя на мотивационно- ориентировочном этапе.

Диагностируемые цели:

в результате урока ученик:

• воспроизводит запись формулы площади трапеции;

• умеет читать её разными формулами;

• выражает линейный элемент трапеции из формулы её площади;

• знает прием доказательства формулы и при этом использует свойства площадей;

• применяет формулу при решении простейших задач на нахождение площади трапеции.

4)Тип урока: урок изучения нового.

Методы обучения: частично - поисковой, репродуктивны й.

Средства обучения: мел, доска, учебник.

Форма работы: фронтальная.

При решении каждой задачи учитель строил фигуру и писал решение на доске, таким образом, ученики могли наглядно представлять материал, изучаемый на уроке.

Структура урока

1.

Организационный момент

2.

Мотивационно-ориентировочный этап:

• Актуализация: решение заданий

• Мотивация

• Постановка цели урока

3.

Содержательный этап

-«открытие» теоремы, её доказательство,

-решение задач.

4.

Рефлексивно-оценочный этап.

- Подведение итогов

- Домашнее задание

Была избрана традиционная структура урока. Ребята и ранее в начале урока решали задания , чтобы включиться в учебную деятельность. На актуализации были повторены задания, которые впоследствии помогли на операционно - познавательном этапе «открыть» теорему. Домашнее задание на уроке не проверялось из - за ограниченности во времени. В качестве мотивации выступила задача, которую учащиеся могли решить одним способом, но учитель им сообщил, что можно иначе решить это задание. Впоследствии учитель, при помощи хорошо разработанной системы вопросов, помог ребятам «открыть» теорему, доказать её.

Система упражнений и заданий на различных этапах урока соответствовала целям. На этапе актуализации ученики вспомнили некоторые формулы, определения, которые они изучали ранее. В мотивационном и содержательном этапах использовались задания, необходимые для достижения целей урока.

По окончании урока, учитель подвёл итоги, повторил с учениками, какие теоретические факты получены на уроке, все определения, свойства и теоремы, используемые на уроке. Далее Елена Павловна задала домашнее задание.

5) Урок прошел отлично. Учитель достиг всех поставленных целей, выполнил запланированный материал, ребятам было интересно работать с Еленой Павловной. Я считаю, что интересным было само доказательство теоремы. Оно отличается от доказательства в учебнике, тем самым, учитель показал своё мастерство. При повторном проведении урока на эту тему я, наверное, ничего бы не поменяла.

Мне урок очень понравился, я считаю его полностью продуманным и оцениваю я его на отлично.