Урок по алгебре на тему Элементы статистики ( 9 класс)

Элементы статистики.

Цель урока: рассмотреть статистическую обработку информации и ее основные характеристики: мода, размах, среднее ; вести понятие варианты, ее кратности и частоты; прорешать задачи на закрепление.

Орг. момент:2-3 минуты.

Наш 21 век характеризуют различным образом: век генной инженерии, век новых технологий (нанотехнологий), век астрофизики и т.д. если вдуматься, все определения объединяет получение новой информации. Поэтому правильнее назвать наш век веком информации. Буквально за несколько последних лет появился компьютер, Интернет, различные поисковые системы, разрабатываются и совершенствуются методики обработки информации. Многие участвуют в выборах, переписи населения, опросах и т.п. При этом появляется некоторая информация.

Задача статистики - отражение этой информации и ее обработка.

Рассмотрим пример.

В финал конкурса «Мисс факультета» вышли 10 студенток, за которых болели и голосовали 90 человек. Можно записать данные в таблицу.участницы

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Число

голосов

7

3

14

15

7

4

3

7

20

10

Всего 90

Прежде всего возникает вопрос о наглядном отражении результатов голосования. Из алгебры, вы знаете, что графическая информация нагляднее табличной. Поэтому применяются три вида графического отражения информации - диаграммы: линейная, столбчатая и круговая.

Линейная - строится как обычный график, где для наглядности все отмеченные точки соединены между собой отрезками. Ее называют многоугольник распределения. (см.слайд).

Второй вид диаграммы - столбчатая диаграмма (или гистограмма).

Третий вид диаграммы - круговая (камамбер).

Обсудим некоторые характеристики рассматриваемого примера.

В математике и статистике среднее арифметическое (или просто среднее) набора чисел - это сумма всех чисел в этом наборе, деленная на их количество.

Если расставить выборку по возрастанию (убыванию) той величины, которой мы интересуемся, то медиана это то, что будет ровно посередине. Например, если мы расположим по порядку интервалы времени: секунда, минута, час, сутки, неделя - то медианой будет час.

Медиана обозначается Ме - это некоторое серединное значение упорядоченного ряда значений случайной величины.

Число членов ряда n=10 - четное число:

3; 3; 3; 4; 4; 5; 5; 5; 8; 12.

Для него медиана равна среднему

арифметическому двух центральных событий:

Ме =(4+5)/2=4,5

3 3 3 4 4 5 5 5 8 12

Мода. Если мы выстроим все пары обуви на складе по цвету, то самый ходовой цвет будет модой.

Мода - это то, что непременно должны учитывать производители упаковок и фасовщики.

Если бы большинство людей покупало за один раз стакан молока, молочные пакеты не были бы литровыми.

Мода (обозначается Мо) - наиболее часто встречающееся значение случайной величины.

В совокупности: 2, 3, 3, 4, 5 модой является число 3.

Иногда в совокупности встречается более чем одна мода (например: 2, 6, 6, 6, 8, 9, 9, 9, 10; мода = 6 и 9).

В этом случае можно сказать, что совокупность мультимодальна. Из структурных средних величин только мода обладает таким уникальным свойством.

Ряд может иметь две моды, а может не иметь моды.

Например,

47,46,50,52,47,49,52,55 - имеет две моды: 47 и 52.

59,68,66,70,67,71,74 - этот ряд не имеет моды.

Разность между наибольшим и наименьшим числом называется размахом ряда чисел.

Обозначается R.

В совокупности: 2, 3, 3, 4, 5 размахом является число 3 = 5 - 2.

Пример.

26, 23, 18, 25, 20, 25, 30, 25, 34, 19.

Выстроим по возрастанию:

18, 19, 20, 23, 25, 25, 25, 26, 30, 34.

(26+23+18+25+20+25+30+25+34+19): 10= = 245:10 = 24,5

24,5 - среднее арифметическое

34-18 = 16 - размах,

25 - мода,

25 - медиана.

Задача №1.

Найти размах, моду и медиану следующей совокупности:

-2; 3; 4 ; -3; 0; 1; 3; -2; -1; 2; -2; 1.

Задача № 2.

В ряду чисел 3; 8; 15; 30; - ; 24 пропущено одно число. Найдите его, если:

а) среднее арифметическое ряда равно 18;

б) размах ряда равен 40;

в) мода ряда равна 24.

Задача № 3.

Выборка 130; 141; 151; 142; 129; 144; 129; 147; 145; 150 содержит сведения о росте (в сантиметрах) каждого из 10 обследованных школьников. Найдите моду, размах, медиану и среднее.

Если число членов ряда n нечетное , то

Ме = X _[n/2]+1, где [ n/2]-целая часть числа n/2.

Если n четное, то

Ме = (X _[n/2]+X _[n/2]+1) : 2

Задача.

Найдите медиану ряда чисел:

а) 30; 32; 37; 40; 41; 42; 45; 49; 52;

б) 102; 104; 205; 207; 327; 408; 417;

в) 16; 18; 20; 22; 24; 26;

г) 1,2; 1,4; 2,2; 2,6; 3,2; 3,8; 4,4; 5,6.

Решение задачи:

а)число членов ряда n = 9, ряд упорядочен.

Ме = X_[9/2]+1=X₅=41.



б)n =7 , ряд упорядочен.



Ме = X₃₊₁=207.



в) n = 6 , ряд упорядочен .

Ме = (X _[n/2] + X _[n/2]+1) : 2



Ме = (20+22) : 2 = 21.



г)n =8, ряд упорядочен.

Ме = (X₄+X₅) : 2 =(2,6+3,2) : 2 =2,9.



Ответ:а)41; б)207; в)21; г)2,9.

Статистическая информация о результатах наблюдений может быть представлена в различных формах. Простейший из них - это запись результатов в порядке их получения. Данная запись называется простым статистическим рядом.

Отдельные значения, составляющие этот ряд, называют вариантами.

Количество вариант в ряду n называют объемом ряда или объемом выборки.

Например, игральный кубик бросали 12 раз. В результате получили:

3; 4; 5; 6; 6; 6; 5; 1; 4; 6; 1; 4 (n = 12)

Вариантами являются х₁=3, х₂=4, х₃=5, х ₄=6, х₅ =6, и т.д.

Варианты х₄, х ₅,х ₆, х ₁₀ имеют одинаковые значения, но это разные варианты.

Таблица распределения данных

варианта

10

20

30

40

50

60

80

90

100

120

Всего 10

вариант

кратность

3

6

8

7

10

8

2

3

2

1

Сумма 50

Если среди всех данных конкретного измерения одна из вариант встретилась k раз, то число k называют кратностью этой варианты измерения.

Объем измерения - это сумма всех кратностей.



Частота варианты - это результат деления кратности варианты на объем измерения.

Задача №1.

Мальчик написал в блокноте некоторую выборку из 6 чисел, но неаккуратно вырвал листок, и в результате последнее число оказалось утрачено. Сохранились первые числа: -3; 2; 4,5; -2; 2,5. Восстановите утраченное число, если известно, что медиана выборки равна 1.

Задача №2.

Школьник обнаружил, что число оценок, которые он получил по математике за год, равно 20. При этом в дневнике записаны следующие оценки: пятерок - 10, двоек, троек, четверок по 3. Одна оценка не записана. Когда школьник спросил об этой оценке у учителя, тот сказал только, что среднее арифметическое ряда оценок - число целое. Какая оценка не записана у ученика?

Задача №3.

Измерили длины слов (количество букв) в приведенном ниже отрывке из поэмы А.С.Пушкина «Медный всадник». Нужно построить таблицы распределения кратностей и частот в зависимости от длины слов.

«…Ужасен он в окрестной мгле!

Какая дума на челе!

Какая сила в нем сокрыта,

А в сем коне какой огонь!

Куда ты скачешь, гордый конь,

И где опустишь ты копыта?…»

«… Ужасен он в окрестной мгле! 6; 2; 1; 9; 4

Какая дума на челе! 5; 4; 2; 4

Какая сила в нем сокрыта, 5; 4; 1; 3; 7

А в сем коне какой огонь! 1; 1 ;3; 4; 5; 5

Куда ты скачешь, гордый конь, 4; 2; 7; 6; 4

И где опустишь ты копыта?…» 1; 3; 8; 2; 6





Длина слова

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Всего 9 вариант

кратность

5

4

3

7

4

3

2

1

1

Сумма (объем) 30

Длина слова

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Всего 9 вариант

кратность

5

4

3

7

4

3

2

1

1

Сумма (объем) 30

частота

0,167

0,133

0,1

0,234

0,133

0,1

0,067

0,033

0,033

Итог 1

Задания на дом: задачник№ 579;№584

Шестаков стр.213 № 11.1 А08 -б)

§ 19 стр.191 учебник

Литература:

1.А.Г.Мордкович Алгебра.9кл.:В двух частях. Ч.1:Учеб. для общеобразоват.учреждений. - 8-е изд.испр. - М.:Мнемозина,2006

2.А.Г.Мордкович Алгебра.9кл.:В двух частях. Ч.2:задачник для общеобразоват.учреждений.- М.:Мнемозина,2006

3. Рурукин А.Н.,Масленникова И.А.,Мишина Т.Г. Поурочные разработки по алгебре:9 класс. - М.:ВАКО,2011

4.Мордкович А.Г. События. Вероятности. Статистическая обработка данных:Доп.параграфы к курсу алгебры 7-9 кл. общеобразоват.учреждений./А.Г. Мордкович, П.В.Семенов. - 4-е изд. - М.:Мнемозина,2006

5.Решение задач по статистике, комбинаторике и теории вероятностей.7-9 классы. Авт.сост.В.Н.Студенецкая. Изд.2-е,испр. - Волгоград: Учитель,2006

6.Сборник задач для подготовки и проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы:9 класс.

Шестаков С.А.,Высоцкий И.Р.,Звавич Л.И.;Под редакцией С.А.Шестакова. - М.:ООО «Издательство АСТ»:ООО «Издательство Астрель», 2005

А. С. Пушкин « Сказка о попе и работнике его Балде».

« …Попадья Балдой не нахвалится,

Поповна о Балде лишь и печалится,

Попенок зовет его тятей;

</ Кашу заварит, нянчится с дитятей.      

Только поп один Балду не любит,

Никогда его не приголубит,

О расплате думает частенько;

Время идет, и срок уже близенько…»

А. С. Пушкин « Сказка о попе и работнике его Балде».

Бедный поп

Подставил лоб:

С первого щелка

Прыгнул поп до потолка;

Со второго щелка

Лишился поп языка,

А с третьего щелка

Вышибло ум у старика.

А Балда приговаривал с укоризной:

« Не гонялся бы ты, поп, за дешевизной.»

А. С. Пушкин « Сказка о царе Салтане».

« Ветер по морю гуляет

И кораблик подгоняет;

Он бежит себе в волнах

На раздутых парусах.

Корабельщики дивятся,

На кораблике толпятся,

На знакомом острову

Чудо видят наяву:

Город новый златоглавый,

Пристань с крепкою заставой -

Пушки с пристани палят,

Кораблю пристать велят.»…

А. С. Пушкин « Сказка о рыбаке и рыбке».

«Воротился старик ко старухе:

У старухи новое корыто.

Еще пуще старуха бранится:

«Дурачина ты, простофиля!

Выпросил, дурачина, корыто!

В корыте много ль корысти?

Воротись, дурачина, ты к рыбке;

Поклонись ей, выпроси уж избу».

А. С. Пушкин « Сказка о мертвой царевне и семи богатырях».

«Правду молвить, молодица

Уж и впрямь была царица:

Высока, стройна, бела,

И умом и всем взяла;

Но зато горда, ломлива,

Своенравна и ревнива.

Ей в приданое дано

Было зеркальце одно;

Свойство зеркальце имело:

Говорить оно умело.»

А. С. Пушкин « Руслан и Людмила».

«У лукоморья дуб зеленый;

Златая цепь на дубе том:

И днем и ночью кот ученый

Все ходит по цепи кругом;

Идет направо - песнь заводит,

Налево - сказку говорит».