Конспект урока на тему: ОБЪЕМ ШАРА И ЕГО ЧАСТЕЙ (11 класс)

Урок на тему:

ОБЪЕМ ШАРА И ЕГО ЧАСТЕЙ

Цель: вывести формулу объема шара и его частей.

Ход урока

I. Объяснение нового материала.

1. Объем шара радиуса R равен πR³.

Доказательство см. п. 82-83.

2. Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него плоскостью (рис. а, в).а)

б)

в)

Объем шарового сегмента определяется формулой V = πH² , где H - высота шарового сегмента.

3. Шаровым слоем называется часть шара, расположенная между двумя параллельными плоскостями, пересекающими шар (рис. б).

4. Шаровым сектором называется тело, которое получается из шарового сегмента и конуса.а)

б)

Объем шарового сектора определяется формулой V = πR²H, где H - высота соответствующего шарового сегмента.

II. Решение задач.

См.: Крамор В. С. Повторяем и систематизируем школьный курс геометрии. - М.: Просвещение, 1992.

Задача 1. Чему равен объем шарового сектора, если радиус окружности его основания равен 60 см, а радиус шара равен 75 см?

Решение

1. Под основанием сектора в задаче понимается основание соответствующего сектору сегмента. Пусть R - радиус шара, r - радиус основания сегмента.

2. Наша задача сводится к отысканию высоты этого сегмента: H = PO₁. OP - радиус шара, перпендикулярный основанию сегмента.

3. Из прямоугольного треугольника OO₁M (MO₁O = 90°) найдем:

OO₁ == 45, поэтому H = PO₁ =

= OP - OO₁ = R - OO₁ = 75 - 45 = 30.

а) б)

4. Объем шарового сектора.

V =πR²H =π 75² ∙ 30 = 112 500π см^3.

5. Примечание. Поставленная задача имеет два решения:

1) Шаровой сектор, который мы рассматривали, называется выпуклым, и его высота равна R - OO, называется невыпуклым. Найдем его объем.

6. Рассмотрим второй случай, где высота сектора H = R - OO₁ = 120, так что полученный объем будет в 4 раза больше, чем вычисленный: V = π 45 ∙ 10⁴ см^3.

7. Таким образом, искомый объем равен либо 112 500π см³, либо 450 000π см³.

Задача 2. В шаре радиуса R выделен шаровой сектор с углом α в осевом сечении. Найдите его объем.

Решение

1. Объем сектора V =πR²H.

2. Так как R - известная величина, то остается нам найти H = AO₁.

3. Из условия C₁OC = α, значит, AOC = и соответственно

AC =, тогда ACO₁ =ABC =.

4. Из прямоугольного треугольника AO₁C получаем AO₁ = AC sin.

5. Из прямоугольного треугольника ABC находим AC = AB sin, или AC = 2R sin, следовательно, H = 2R sin².

6. Таким образом, .

Задача 3. В полусфере радиуса R через середину высоты проведено сечение, параллельное основанию полушара. Найдите объем полученного шарового пояса.

Решение

1. A₁O₁B₁ || AOB, AO = OC = R, OO₁ = O₁C =.

2. Объем шарового слоя найдем из равенства V = V_{полушара} - V_сегм.

3. V_{полушара} =.

4. У сегмента H =, V_сегм = πH².

5. Следовательно, V =πR³ -.

Задача 4. Круговой сектор радиуса R с дугой 120° вращается около прямой, проходящей через центр и составляющей с сектором угол 30°. Найдите объем тела вращения.

Решение

1. Дано: AO = R, AB = 120°, BOD = 30°.

2. AB = 120°, AOB = 120°, тогда AOO₁ = 180° - (120° + 30°) =

= 30°. Следовательно, объемы двух полученных секторов будут равны. Тогда

V_{т. в.} = V_шара - 2V_сект.

3. Из прямоугольного треугольника OO₂B найдем:

OO₂ = R cos 30° =.

4. V_{т. в.} ==

=, V_{т. в.} =.

Задача 5. Круговой сектор с углом 30° и радиусом R вращается около одного из боковых радиусов. Найдите объем полученного тела (рис.).

Решение

1. По условию BOA = 30°, значит, BOC = 60°, OB = OC = R, поэтому треугольник BOC правильный, причем его сторона BC отсекает от радиуса OA отрезок DA, равный высоте H соответствующего шаровому сектору сегмента.

2. H = AD = AO - OD = R - R= R.

3. Объем сектора .

Задача 6. Плоскость, перпендикулярная диаметру шара, делит диаметр на части 3 и 9 см. На какие части делится объем шара?

Решение

1. Радиус шара = 6.

2. Высота меньшего сегмента H = 3, объем его

V₁ = πH²= 45π см³.

3. Объем всего шара V₃ = πR³ = 288π см³.

4. Объем второго сегмента V₁ = V₃ - V₁ = 288π - 45π = 243π см³.

Задача 7. Из деревянного равностороннего цилиндра выточен наибольший возможный шар. Сколько процентов материала сточено?

Решение

1. Из условия вытекает, что высота цилиндра H = 2R, подставим значение H в формулу объема цилиндра: V₄ = πR²H = 2πR³.

2. Объем шара V_ш =πR³.

3. Найдем, сколько сточено материала: V₄ - V_ш = 2πR³ - πR³.

4. Найдем, сколько процентов составляет сточенный материал: .

Домашнее задание: теория (п. 82-83), №№ 710, 711, 717.