МОУ «Гимназия №29»

Обобщающий урок по алгебре

«Квадратные уравнения»

(8 класс)

Провела: учитель математики

Ювкина Г.В.

Тема урока: «Квадратные уравнения» (Слайд № 2)

Цели урока:

• Систематизировать, закрепить знания и умения учащихся, связанные с применением методов решения квадратных уравнений,

• Содействовать развитию математического мышления учащихся.

• Воспитывать такие качества личности, как познавательная активность, самостоятельность.

• Побуждать учеников к самоконтролю, взаимоконтролю своей деятельности.

Оборудование: рабочая тетрадь, карточки-задания, опорная система-таблица, тесты

Ход урока.

1. Организационный момент. Постановка цели. (Слайд № 4)

Урок я хочу начать словами известного математика А.Маркушевича: «Через математические знания, полученные в школе, лежит широкая дорога к огромным, почти необозримым областям труда и открытий»

Сегодня мы будем делиться теми идеями, которые придут нам в голову, совершим пусть маленькие, но открытия. Для начала - одно из них, решим ребус.

ные у ^,,,, вне ^,, (Слайд № 5)

2. Воспроизведение и коррекция опорных знаний.

И так, сегодня, обобщающий урок по теме: «Квадратные уравнения». Мы обобщим, систематизируем и расширим наши знания о квадратных уравнениях. На уроке: «думаем, мыслим, работаем и помогаем друг другу».

Попрошу подготовить экскурсию по квадратным уравнениям (один ученик работает на месте). Работа с листами экспрес-опроса (см. приложение).

Два ученика делают работу в тетрадях по карточкам.

1 карточка . 2 карточка

5х²+2х-1=0 - 2х⁴+5х²+6=0 - биквадратное уравнение

квадратное уравнение общего вида 5х²+45=0 - неполное квадратное уравн.

а=5, в=2, с=-1 а=5, в=0, с=45

х²-1=0 - неполное квадратное уравнение х²+9х-22=0 - приведённое кв.уравн.

а=1, в=0, с=-1 а=1, p=9, g=-22

х²+8х-3=0 - приведённое квадратное 5х²+8х-3=0 - квадратное уравнение

уравнение общего вида

а=1, p=8 ,g=-3

2. Исторический телетайп. (Слайд № 6)

А мы вернёмся к истории квадратных уравнений. Третьей группе было дано творческое домашнее задание. Подготовить математический телетайп «Из истории квадратных уравнений».

Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне.

Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры вавилоняне. Это было связано с нахождением площадей земельных участков, с развитием астрономии и военного дела.

Квадратные уравнения в Индии.

Индийский учёный Брахмагупта (7 век) изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведённых к форме: ах²+вх=с, а>0.

Правила Брахмагупта по существу совпадает с нашим.

Квадратные уравнения у ал-Хорезмы.

В алгебраическом трактате ал-Хорезмы даётся классификация квадратных уравнений. Этот трактат является первой дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения.

Квадратные уравнения в Европе 16-17 веков.

Итальянский математик Леонардо ействии разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и подошёл к введению отрицательных чисел. Его книга «Книга абака» способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но в Германии, Франции и других странах Европы.

Лишь в 17 веке благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других учёных способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

4. Разработка опорной схемы-таблицы.

Так поговорим о современной теории квадратных уравнений, на основе ваших знаний составим опорную схему-таблицу по квадратным уравнениям.

Вопросы

• Какие виды квадратных уравнений вы знаете.

• Какой вид примет квадратное уравнение, если в≠0, с=0, а≠0 и сколько оно имеет действительных корней

• Какой вид примет квадратное уравнение в=0, с≠0, а≠0 и сколько оно будет иметь действительных корней, если а, с - одного знака.

• Сколько действительных корней имеет уравнение х(ах+в)=0..

• Спасибо! Мы с вами повторили неполные квадратные уравнения и составили первый блок нашей опорной схемы, которая называется «Неполные квадратные уравнения»

4. Работа с учебником.

№ 529 (1,2,3), 1 группа (1), 2 группа (2), 3 группа (3)

Пока ребята решают уравнения, попросим учеников провести с нами экскурсию по уравнениям.

Спасибо!

Проверка задания по учебнику.

Двое учащихся получают задания по карточкам у доски.

1 карточка

2 карточка

2х²+х-3=0

-=

А мы с вами продолжаем беседу о квадратных уравнениях.

• Какой вид имеет квадратное уравнение общего вида.

• Какие формулы для нахождения корней вы знаете в данном случае?

• Отчего зависит наличие действительных корней?

Мы составим с вами второй блок опорной схемы «Квадратные уравнения общего вида» (см. приложение).

Проверим задания у доски. Прокомментируем каждое из решений.

Вопрос:

• Какие идеи вы можете высказать ещё по решению первого уравнения?

• Какой вид имеет приведённое квадратное уравнение?

• По какой формуле вычисляются действительные корни данных уравнений.

• Теорема Виета (прямая и обратная).

Третья группа составляет приведённые квадратные уравнения, имеющая корни х₁ и х₂ и записывает их.

На экране (Слайд № 7)

Х₁=-2, Х₂=-3 Х₁=-5, Х₂=1

Х₁=-7, Х₂=-1

Вторая и первая группа работают устно (решают квадратные уравнения).

Спасибо!

Проверяем задания у третьей группы.

Спасибо!

Во всех этих задачах мы использовали формулу Виета. Прав великий Генрих Манн: «В математике есть формулы, по содержанию необъятные, как Божественная комедия, и по форме краткие и выразительные, как японские трёхстишья хокку».

Мы составим третий блок нашей схемы и получим полную картину о квадратных уравнениях. Наша опорная таблица - активное рабочее средство для повторения. Я попрошу в тетрадях для опорных схем составить свою таблицу

4. Тестирование (Слайд № 8) - звучит музыка.

(несколько учеников работают на компьютере, а остальные работают с тестами на карточках).

4. Решение нестандартных задач. (Слайд № 9)

Знания о квадратных уравнениях нам позволяют решать другие различные уравнения, которые в дальнейшем сводятся к квадратным, т.е. комплексные уравнения.

Например: х⁴+3х²-4=0

- Как называется данное уравнение и идея его решения?

Все ученики решают в тетрадях уравнение: 2х\(х+2) + 1\(х-2) = 4\(х²-4)

- В чём особенность решения данного уравнения? Какая формула сокращённого умножения?

Решить уравнение: 2014х²-2015х+1=0

2014год … 140 лет со дня рождения С. Эрьзи. 2005 год …85 лет образования Мордовии

4. Подведение итогов урока (Слайд № 10)

В заключение урока раздаются листочки. Вы должны оценить свою работу, выбрав одно из предложений.

Оцените степень сложности урока:

• Легко

• Обычно

• Трудно.

Оцените степень вашего усвоения материала:

• Усвоил полностью, могу применять.

• Усвоил полностью, но затрудняюсь в применении.

• Не усвоил.

Сегодня мы провели большую работу на уроке, которая подняла нас на новый уровень знаний. Вспомним известный афоризм: «Образование - это не количество прочитанных книг, а количество понятых».

4. Домашнее задание. (Слайд № 11)

Задача-исследование. Доказать, что, если в квадратном уравнении ах²+вх+с=0, а+в+с=0, то х₁=1, х₂=с\а.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Таблица-схема

а≠0, в=0, с≠0

ах²+с=0

имеют два действительных корня, если а и с имеют разные знаки.

Не имеют действительных корней, если а и с одного знака.

ах²+вх+с=0

а≠0

х²+px+g=0,

a=1

а≠0, в≠0, с=0

ах²+вх=0

х(ах+в)=0

х₁=0, х₂= -в\а

а≠0, в=0,с=0

ах²=0

х=0

b²-4ac>0, два действительных корня

b²-4ac=1, один действительный корень

b²-4ac<0, не имеет действительных корней

Формула Виета

х₁+х₂=-р

х₁х₂=g

Степень сложности и усвоения

Оцените степень сложности урока:

• Легко

• Обычно

• Трудно.

Оцените степень вашего усвоения материала:

• Усвоил полностью, могу применять.

• Усвоил полностью, но затрудняюсь в применении.

• Не усвоил.

Карточки для индивидуальной работы

1 карточка

5х²+2х-1=0 -

х²-1=0 -

х²+8х-3=0 -

2 карточка

2х⁴+5х²+6=0 -

5х²+45=0 -

х²+9х-22=0 -

5х²+8х-3=0 -

ТестыВариант 1

1. Какое из данных уравнений является квадратным?

А)

Б) 0·х² = 5;

В) 6 х = 1;

Г)

2. Найдите коэффициенты а, в и с квадратного уравнения: 5х + х² - 4=0.

А) 1; 5; -4;

Б) 5; 1; -4;

В) -4; 5; 1;

Г) 1; -4; 5.

3. Решите уравнение: 5х² = 9х.

А) корней нет;

Б) 0; 1,8;

В) 0; -1,8;

Г) 1,8.

4. Дискриминант какого из уравнений равен 81?

А)

Б)

В)

Г)

5. Решите уравнение:

А) -4; 6;

Б) -4; -6;

В) 4; 6;

Г) 4; -6.

Вариант 2

1. Какое из данных уравнений является квадратным?

А)

Б) 7х + 9 =0;

В) ;

Г)

2. Найдите коэффициенты а, в и с квадратного уравнения: -х + 2х² +9=0.

А) 2; 0; 9;

Б) 2; -1; 9;

В) -1; 2; 9;

Г) -1; 9; 2.

3. Решите уравнение: 17х = 10х².

А) 0; 1,7;

Б) 1,7;

В) корней нет;

Г) 0; -1,7.

4. Дискриминант какого из уравнений равен 25?

А)

Б)

В)

Г)

5. Решите уравнение:

А) -5; 3;

Б) 3; 5;

В) -3; 5;

Г) -5; -3.

Экспресс-опрос

2. Уравнение вида ах²+вх+с=0, где хотя бы один из коэффициентов а, в, с равен нулю.

3. Уравнение вида х²+рх+g=0. Старший коэффициент равен 1

Карточки для работы у доски.

1 карточка

2 карточка

2х²+х-3=0

-=

Домашнее задание

Задача-исследование. Доказать, что, если в квадратном уравнении ах²+вх+с=0, а+в+с=0, то х₁=1, х₂=с\а.