§ 1. Основні властивості найпростіших геометричних фігур

1. Геометричні фігури

На рисунку 1.1 зображено декілька геометричних фігур, побудованих у середовищі пакета динамічної геометрії DG. Для того щоб отримати уявлення про можливості пакета змініть положення базових точок рисунка (вони позначені червоними квадратиками). Ви помітите, що положення геометричних фігур при цьому змінюються, змінюється їх взаємне розташування, змінюються розміри фігур, проте деякі важливіші властивості фігур при цьому зберігаються. Ті властивості геометричних фігур, що не змінюються під час рухів і змін масштабу, і є геометричними властивостями, які є предметом дослідження геометрії Евкліда. Пакет DG дозволяє виконувати геометричні побудови швидко і точно, швидко і точно виконувати перетворення фігур, вимірювати параметри отриманих геометричних динамічних рисунків (які ми будемо скорочено називати ДР). Параметри ДР можна динамічно змінювати (наприклад, перетягувати базові точки ДР на нові позиції), при цьому пакет буде автоматично (динамічно) обчислювати нові параметри рисунка і перебудовувати його. Це відкриває нові можливості дослідження геометричних фігур. Геометрія стає більш наочною, "експериментальною" - за допомогою пакета DG властивості геометричних фігур можна підмітити, після чого їх можна експериментально перевірити або спростувати.

Рисунок 1.1 ДР "Геометричні фігури"

2. Точка і пряма

Розглянемо першу аксіому геометрії, яка характеризує властивості належності точок і прямих на площині. Після цього обговоримо особливості побудов точок і прямих у середовищі пакета DG.

Аксіома 1. Точка і пряма

1. Яка б не була пряма, існують точки, що належать цій прямій, і точки, що не належать їй.

2. Через будь-які дві точки можна провести пряму і тільки одну.

Для побудови точок у пакеті DG є інструмент Точка, який на панелі геометричних інструментів представлено кнопкою . Для вилучення точок можна скористатися контекстним меню точки, для чого треба підвести курсор миші до відповідної точки (при цьому курсор змінить свій вигляд) і клацнути правою кнопкою миші; потім зі спадаючого меню обрати команду Вилучити точку.

Завдання 2.1

1. Побудуйте на площині декілька точок, скориставшись інструментом Точка.

2. Вилучіть точки за допомогою команди Вилучити точку.

Для підвищення виразності рисунків зображення точок можна редагувати. Для цього треба скористатися контекстним меню точки й обрати в ньому команду Властивості точки. На рисунку 1.2 наведено зображення, яке побудовано виключно точками, з використанням різних елементів форматування.

Рисунок 1. 2 ДР "Побудова та форматування точок у пакеті DG"

Завдання 2.2

1. Спробуйте самостійно повторити побудову ДР "Побудова та форматування точок у пакеті DG".

2. Побудуйте в пакеті DG оригінальний динамічний рисунок за допомогою тільки одного примітиву Точка.

3. Відрізок

Розглянемо аксіому розміщення точок на прямій.

Аксіома 2. Розміщення точок на прямій

З трьох точок на прямій одна і тільки одна лежить між двома іншими.

У пакеті DG є спеціальний інструмент Точка фігури для побудови точки, яка належить геометричній фігурі (прямій, променю, відрізку, колу, дузі кола). Для його використання достатньо активізувати цей інструмент - натиснути на кнопку на панелі геометричних інструментів, або обрати команду Фігури\Точка\Точка фігури в головному меню пакета. Якщо тепер підвести курсор до геометричної фігури (прямої, променя, відрізка, кола, дуги кола), він змінить свій вигляд, а після натискування на кнопку миші на геометричній фігурі з'явиться точка. Побудована точка не буде вільною - її не можна перетягнути у довільну точку екрана за допомогою миші, вона завжди буде належати геометричній фігурі на якій її було сконструйовано. Але її можна переміщувати вздовж цієї геометричної фігури. Такі точки в пакеті DG називаються напівзалежними - вони мають тільки одну степінь свободи на відміну від вільних (або базових) точок, які можуть вільно переміщуватися на площині рисунка.

Завдання 3.1

1. Побудуйте в пакеті DG декілька прямих.

2. Побудуйте на прямих декілька точок, скориставшись для цього інструментом Точка фігури.

3. Динамічно змінюючи параметри побудованих прямих та положення точок на них наочно переконайтеся, що аксіома 2 розміщення точок на прямій виконується для прямих та точок, побудованих у пакеті DG.

Зауваження

Точку можна пристебнути до фігури або відстебнути від фігури - властивість точки бути "пристебнутою" до геометричної фігури (бути напівзалежною точкою), можна змінити, перетворивши її на вільну точку. Для цього треба викликати контекстне меню "пристебнутої" точки, клацнувши на ній правою кнопкою миші, й у спадаючому меню обрати команду Відстебнути точку.

Навпаки, вільну точку можна перетворити у напівзалежну, пристебнувши її до фігури. Для цього також треба скористатися контекстним меню точки: підвести відповідну точку до геометричної фігури, після чого викликати контекстне меню точки й у спадаючому меню вибрати команду Пристебнути до фігури.

Рисунок 1. 3 ДР "Як відстебнути та пристебнути точку до прямої"

Завдання 3.2

1. На рисунку, який було підготовлено при виконанні завданні 3.1, відстебніть точки, що лежать на прямих (зрозуміло, базові точки прямих відстебнути від цих прямих неможливо).

2. Впевніться за допомогою експериментів, що відстебнуті точки перетворилися на вільні точки.

3. Знову пристебніть точки, що були відстебнуті, до прямих.

4. Впевніться за допомогою експериментів, що пристебнуті точки перетворилися в напівзалежні точки.

Крім прямої в пакеті DG є і інші прямолінійні примітиви:

• Відрізок - його можна побудувати за допомогою відповідного інструмента Відрізок. Для побудови відрізка достатньо клацнути на точках - кінцях цього відрізка (при цьому кінцями відрізка можуть бути вільні точки, напівзалежні точки, залежні точки; клацання мишкою на вільному місці створює нову вільну точку).

• Промінь - його можна побудувати за допомогою інструмента Промінь. Для побудови променя достатньо клацнути на точках - початку променя та довільній точці на промені (як і у випадку з відрізком, базовими точками променя можуть бути вільні точки, напівзалежні точки, залежні точки; клацання мишкою на вільному місці створює нову вільну точку).

4. Вимірювання відрізків

Аксіома 3. Вимірювання відрізків

Кожний відрізок має певну довжину, більшу від нуля. Довжина відрізка дорівнює сумі довжин частин, на які він розбивається будь-якою його точкою.

У пакеті DG є спеціальний інструмент - Виміряти відстань для вимірювання довжин відрізків. Для вимірювання довжини відрізка достатньо клацнути мишкою на його кінцях; для вимірювання відстані між двома довільними точками (навіть якщо вони не з'єднані відрізком) достатньо клацнути на цих точках. Довжина відрізка відображається в надписі, який автоматично розміщується біля його середини. Місце надпису можна змінити, перетягуючи його за допомогою миші на нове місце. Для корегування форми представлення надпису треба скористатися його контекстним меню, яке можна викликати, клацнувши на ньому правою кнопкою миші. Точність вимірювань встановлюється в головному меню на вкладниці Опції\Опції\Різне (Рис. 1.4).

Завдання 4.1

1. Побудуйте новий рисунок, а на ньому - довільну пряму. На прямій поставте точку за допомогою інструмента Точка фігури.

2. Виміряйте довжини трьох відрізків, які утворені побудованими трьома точками (дві точки - базові точки прямої і одна напівзалежна точка, що належить прямій).

3. Впевніться за допомогою експериментів, що аксіома вимірювання відрізків виконується в середовищі пакета DG. Для цього переміщуйте побудовані точки і спостерігайте за довжинами відрізків.

   

Рисунок 1. 5 ДР "Аксіома 3. Властивості вимірювання відрізків"

5. Півплощини

Аксіома 4. Розміщення точок відносно прямої на площині

Пряма розбиває площину на дві півплощини.

Якщо дві точки лежать в одній півплощині, на які розбиває площину деяка пряма, то відрізок, з кінцями в цих точках, не перетинає дану пряму. Якщо ж точки лежать в різних півплощинах, на які розбиває площину деяка пряма, то відрізок, з кінцями в цих точках, перетинає дану пряму.

Завдання 5.1

1. Побудуйте новий рисунок, а на ньому - довільну пряму.

2. Побудуйте довільний відрізок, кінці якого не лежать на прямій.

3. Впевніться за допомогою експериментів, що аксіома 4 розміщення точок відносно прямої на площині виконується у середовищі пакета DG. Для цього переміщуйте базові точки рисунка довільним чином і спостерігайте за виконанням аксіоми.

Рисунок 1.6 ДР "Аксіома 4. Розміщення точок відносно прямої на площині."

6. Півпряма або промінь

Нагадаємо, що півпрямою або променем називають частину прямої, яка складається з усіх точок цієї прямої, що лежать по один бік від даної на ній точки; ця точка називається початковою точкою півпрямої. Різні півпрямі однієї й тієї ж прямої зі спільною початковою точкою називаються доповняльними.

Наведемо приклад використання променя при розв'язуванні задачі.

Задача 1.6.1

У площині дано многокутник F і довільну точка P, яка не належить жодній з його сторін. Як визначити, лежить точка P зовні чи всередині многокутника F?

Ця задачу можна розв'язувати різними способами, але найпростіший, мабуть, такий. Побудуємо довільний промінь, що виходить із точки P і порахуємо число точок перетину променя зі сторонами многокутника F. Якщо точок перетину буде непарне число, то точка P лежить всередині многокутника, якщо ж парне число - зовні многокутника. Особливі випадки мають місце коли промінь проходить через вершини многокутника. Самостійно вдоскональте запропоноване рішення для цих випадків.

Завдання 6.1

1. Побудуйте довільний многокутник, скориставшись для цього інструментом Многокутник. Зауважимо, що при побудові многокутника, після задання всіх його вершин потрібно повторно вказати його першу вершину.

2. Побудуйте довільний промінь, скориставшись для цього інструментом Промінь.

3. За допомогою комп'ютерних експериментів підтвердіть або спростуйте висловлені вище гіпотези щодо умов, коли точка лежить зовні або всередині многокутника.

4. За допомогою комп'ютерних експериментів дослідіть особливі випадки - випадки, коли промінь проходить через вершину многокутника.

   

Рисунок 1. 7 ДР "Задача 1.6.1"

7. Кут

Згідно з підручником, кутом називається фігура, яка складається з точки - вершини кута і двох різних півпрямих, що виходять із цієї точки - сторін кута.

У пакеті DG немає примітива кут - його треба конструювати згідно з наведеним означенням: побудувати вершину кута, а потім за допомогою примітива Промінь побудувати дві сторони кута - дві півпрямі, що виходять з побудованої точки - вершини кута.

Завдання 7.1

1. Побудуйте довільний кут.

2. Змінюючи положення базової точки сторони кута перетворіть побудований кут на гострий; тупий; прямий; розгорнутий.

3. Побудуйте точки на сторонах кута.

4. З'єднайте побудовані точки відрізком, скориставшись для цього інструментом Відрізок.

5. Побудуйте промінь, що проходить між сторонами кута.

8. Відкладання відрізків і кутів

Під час виконання побудов дуже часто виникає потреба відкладання відрізків даної довжини. Наступна аксіома віддзеркалює основну властивість цієї дії.

Аксіома 6. Відкладання відрізків

На будь-якій півпрямій від її початкової точки можна відкласти відрізок даної довжини і тільки один.

Для експериментальної перевірки справедливості цієї аксіоми достатньо побудувати промінь з початком у довільній точці A; на цьому промені побудувати за допомогою інструмента Точка фігури точку C; виміряти довжину відрізка AC, скориставшись інструментом Вимірювати відстань. Після цього, переміщуючи точку C вздовж променя, переконаємося, що довжина відрізка монотонно збільшується при віддаленні точки C від початку A і може набути будь-якого доданого значення. Зображення відповідного ДР "Аксіома 6. Відкладання відрізків" наведено нижче.

Рисунок 1. 8 " Аксіома 6. Відкладання відрізків"

ДР "Аксіома 6. Відкладання відрізків" віддзеркалює процес відкладання на промені відрізка заданої довжини за допомогою лінійки. Якщо виникає потреба відкласти відрізок, довжина якого дорівнює довжині іншого відрізка, то можна виміряти довжину даного відрізка, а потім за допомогою лінійки відкласти відрізок отриманої довжини на промені. Це можна зробити більш ефективно (без зайвих дій вимірювання довжини відрізка) за допомогою циркуля. Виконайте такі побудови:

• Побудуйте довільний відрізок, скориставшись інструментом Відрізок.

• Побудуйте довільний промінь, скориставшись інструментом Промінь.

• Побудуйте коло, радіус якого дорівнює довжині побудованого відрізка, а центр збігається з початком променя, скориставшись інструментом Коло за радіусом.

• Побудуйте точку перетину побудованого кола і променя, скориставшись інструментом Точка перетину.

• Виміряйте довжини обох відрізків і переконайтеся, що вони рівні, скориставшись інструментом Виміряти відстань.

• Виконайте тестування розробленого ДР, змінюючи його параметри і спостерігаючи за довжинами відрізків.

На рисунку 1.9 наведено зображення відповідних побудов.

Рисунок 1. 9 ДР "Аксіома 6. Відкладання відрізків за шаблоном"

Відкладання відрізка за шаблоном цілком повторює операції відповідних побудов за допомогою звичайного циркуля.

Зауважимо також, що в пакеті DG є можливість створювати макроси - пойменовані (названі) процедури виконання заданих послідовностей дій. Можна створити макрос SegmentBySample, тоді зазначені побудови будуть виконуватися автоматично після задання вихідних параметрів - кінців відрізка та точок, які задають промінь.

Завдання 8.1

1. Почніть побудову нового ДР, скориставшись для цього командою Файл\Новий.

2. Завантажте макрос SegmentBySample з бібліотеки макросів, скориставшись для цього командою Макроси\Завантажити макрос.

3. Побудуйте довільний відрізок.

4. Побудуйте довільний промінь.

5. Відкладіть на промені відрізок, довжина якого дорівнює довжині заданого відрізка, скориставшись макросом SegmentBySample.

Аксіома 7 стосується відкладання кутів і відображає процес відкладання від променя кута заданої величини за допомогою транспортира.

Аксіома 7. Відкладання кута

Від будь-якої півпрямої у дану півплощину можна відкласти кут з даною градусною мірою, меншою за 180, і тільки один.

Неважко створити динамічний рисунок, який ілюструє це твердженню. Ми не будемо обговорювати деталі його побудови. Наведемо можливий варіант ДР "Аксіома 7. Відкладання кута" (Рис. 1.10).

Рисунок 1. 10 ДР "Аксіома 7. Відкладання кута"

Як і у випадку відкладання відрізків, на практиці часто виникає потреба відкласти від даного променя в дану півплощину кут, градусна міра якого дорівнює градусній мірі деякому іншого кута. Якщо для цього використовувати транспортир, то спочатку треба виміряти величину заданого кута, а потім відкласти його відповідним чином від заданого променя. Відкладемо кут, рівний даному куту (тобто, кут, що має ту ж саму градусну міру), за допомогою циркуля.

Сконструюємо ДР "Відкладання кута за шаблоном".

1. Побудуйте кут BAC, який відіграватиме роль шаблона. Для побудови скористайтеся інструментом Промінь.

2. Побудуйте промінь DE - промінь, від якого відкладатимуться кути.

3. Побудуйте коло радіусом AB з центром у точці D, скориставшись інструментом Коло за радіусом.

4. Знайдіть точку F перетину побудованого кола з променем DE, скориставшись інструментом Точка перетину.

5. Побудуйте коло радіусом BC з центром у точці F.

6. Побудуйте коло радіусом AC з вершиною в точці D.

7. Знайдіть точки H і I перетину кіл з центрами в точках F і D, скориставшись інструментом Точка перетину.

8. Виберіть з точок H і I ту, яка відповідає умовам задачі, і через неї проведіть промінь з початком у точці D.

9. Виміряйте кути, скориставшись інструментом Виміряти кут.

10. Виконайте тестування розробленого ДР - при зміні параметрів рисунка кути повинні залишатися рівними.

    

Рисунок 1. 11 ДР "Відкладання кута за шаблоном"

На динамічному рисунку ми зберегли всі допоміжні побудови і рівні відрізки зафарбували однаковим кольором. Експериментально переконайтеся, що побудови виконано правильно; акуратне доведення потребує використання властивостей трикутників, які будуть вивчатися в курсі геометрії пізніше (ознака рівності трикутників за трьома сторонами).

Можна також розробити макрос AngleBySample для побудови кута за шаблоном.

Завдання 8.2

1. Почніть побудову нового ДР, скориставшись кнопкою Створити новий рисунок, що розміщена на стандартній панелі інструментів.

2. Завантажте макрос AngleBySample з бібліотеки макросів, скориставшись командою Макроси\Завантажити макрос.

3. Побудуйте довільний кут.

4. Побудуйте довільний промінь.

5. Відкладіть від променя кут, градусна міра якого дорівнює градусній мірі даного кута, скориставшись макросом AngleBySample.

9. Трикутник

За означенням, трикутник є фігурою, що складається з трьох точок, що не лежать на одній прямій і трьох відрізків, які попарно сполучають ці точки.

На перший погляд здається все просто, але це не зовсім так. Кожна наука вивчає не властивості конкретних об'єктів своєї предметної області, а спільні властивості цілих класів об'єктів. Тому дуже важливим є критерій, коли об'єкти можна віднести до одного класу, в нашому випадку важливим є те, коли можна вважати два трикутника рівними.

Треба зрозуміти означення рівності трикутників. Наступна аксіома стверджує існування трикутника, що дорівнює даному, і який можна побудувати виходячи з довільного положення його вершини, довільного напряму його сторони, довільної півплощини, в якій він розташований. Таким чином, на площині можна побудувати безліч трикутників, рівних даному.

10. Існування трикутника, що дорівнює даному

Аксіома 8. Існування трикутника, що дорівнює даному

Який би не був трикутник, існує трикутник, що дорівнює йому у заданому розміщенні відносно даної півпрямої.

При побудові за шаблоном кута, рівного даному (п. 8), ми фактично будували трикутник, рівний даному, і який відкладено від даного променя в дану півплощину.

Зважаючи на важливість питання, ми повторимо ці побудови в наступному ДР "Аксіома 8. Існування трикутника, що дорівнює даному".

1. Побудуйте довільний трикутник ABC, скориставшись інструментом Многокутник.

2. Побудуйте довільний промінь DE, скориставшись інструментом Промінь.

3. Відкладіть на промені DE відрізок, що дорівнює стороні AB трикутника:

   1. Побудуйте коло з радіусом AB і центром у точці D, скориставшись інструментом Коло за радіусом.

   2. Знайдіть точку F перетину променя DE з побудованим колом, скориставшись інструментом Точка перетину.

4. Побудуйте коло з радіусом AC і центром у точці D.

5. Побудуйте коло з радіусом BC з центром у точці F.

6. Знайдіть точки перетину H і I кіл з центрами в точках D і F.

7. Побудуйте трикутники DFI і DFH, скориставшись інструментом Многокутник.

8. Виконайте вимірювання сторін трикутників, скориставшись інструментом Виміряти відстань.

9. Виконайте вимірювання кутів трикутників, скориставшись інструментом Виміряти кут.

   Трикутники DFG і DFI - шукані; кожен з них лежить в одній з двох півплощин, які визначаються заданим променем. Наведемо варіант відповідного ДР (Рис. 1.12).

   

Рисунок 1. 12 ДР "Аксіома 8. Існування трикутника, що дорівнює даному"

Завдання 10.1

За допомогою комп'ютерних експериментів впевніться, що трикутники DFI і DFH - шукані, тобто рівні вихідному трикутнику ABC.

11. Паралельні прямі

Аксіома 9. Паралельні прямі

Через точку, що не лежить на даній прямій, можна провести на площині не більше як одну пряму, паралельну даній.

Для побудови прямої, яка проходить через дану точку паралельно до даної прямої, в пакеті DG існує спеціальний інструмент Паралельна пряма.

Побудуємо ДР "Паралельні прямі":

1. Побудуємо довільну пряму AB, скориставшись інструментом Пряма.

2. Побудуємо довільну точку C, скориставшись інструментом Точка.

3. Через точку C проведемо пряму, паралельну прямій AB, скориставшись інструментом Паралельна пряма.

Завдання 11.1

Змінюючи масштаб зображення, переконайтеся, що побудовані прямі не перетинаються (збільшення масштабу виконується натискуванням на клавішу <+> на цифровій клавіатурі, зменшення - натискуванням на клавішу <->). Зазначені операції можна повторювати до 32 разів.

Рисунок 1. 13 ДР "Паралельні прямі"

Зауважимо, що під час проведення комп'ютерних експериментів у середовищі пакета DG постійно виникає потреба спостерігати ті чи інші фрагменти рисунка. Пересування вздовж площини виконується в ручному режимі - для цього слід виконати операцію Drag and Drop на полі рисунка (натиснути на ліву кнопку миші і, не відпускаючи її, змістити мишу у відповідному напрямку).

12. Теореми і доведення

Чи може допомогти пакет DG у доведенні теорем? На перший погляд - ні, тому, що у теоремах говориться про справедливість деякого твердження (висновку теореми) для нескінченої множини об'єктів (тих об'єктів, що задовольняють умову теореми). За допомогою пакета DG можна тільки експериментально перевірити справедливість висновку теореми для великої кількості об'єктів, які задовольняють умову теореми, причому, цю перевірку можна зробити за допомогою пакета DG значно точніше, ніж без нього, але й тільки, як сказав Мцирі з однойменної поеми М.Ю. Лермонтова при аналізі причин втечі з монастиря. До того ж перевірку можна виконати тільки наближено - всі обчислення в пакеті виконуються наближено. Наприклад, довжину діагоналі квадрата зі стороною 1 можна обчислити тільки наближено, оскільки DG може оперувати тільки десятковими дробами з певного діапазону. З тієї ж самої причини довжину третини одиничного відрізка буде обчислено наближено - число 1/3 не можна точно представити у вигляді скінченого десяткового дробу. Проблему наближеності обчислень можна буде усунути у майбутньому, наділивши пакет можливостями виконання точних обчислень, як у пакетах комп'ютерної алгебри (наприклад, у пакеті Derive). Проблему експериментальних досліджень властивостей нескінченої кількості об'єктів, що задовольняють умові теореми, не можна буде розв'язати ніколи. Разом із тим, проводити бездоганні з математичної точки зору доведення теорем можна аналітично, за допомогою символьних обчислень, наприклад, у середовищі пакета Derive. Таким чином, принципові розв'язання питань автоматизації доведень можливі тільки на шляху використання пакетів символьних перетворень. Залишимо поки доведення теорем дослідникові, принаймні у курсі геометрії загальноосвітньої школи. А навіщо тоді пакет DG з його можливостями автоматизації наближених експериментів в геометрії? Навіщо експерименти в геометрії? Чи можуть допомогти експерименти під час доведення теорем? За суттю, весь даний посібник є докладною відповіддю на ці запитання. Оскільки даний параграф присвячений питанню доведення теорем, сформулюємо, як можна використовувати пакет DG у процесі доведення теорем.

Побудова контрприкладу до теореми за допомогою пакета DG

Звідки беруться теореми? Теореми - це результат математичного передбачення дослідника. Попередньо невідомо: це передбачення є істинним чи хибним. В першому випадку гіпотезу можна довести, а в другому - спростувати. В першому випадку теорему доводять за допомогою логіки, як говорять, дедуктивно, в другому випадку - вдаються до побудови приклада об'єкта, для якого твердження не виконується. Процес пошуку доведення теореми невід'ємний від процесу пошуку контрприкладів до теореми. Пакет DG можна ефективно використовувати для спростування хибних тверджень, хибних гіпотез.

Як приклад використання пакета DG з метою спростування хибних гіпотез розглянемо ДР "Задача про ворону та сир" (умова задачі наведена на рисунку 1.14).

У процесі розв'язування задачі можуть виникнути гіпотези, що оптимальною точкою буде:

1) точка, яка рівновіддалена від основи паркана і основи дерева;

2) точка, яка рівновіддалена від вершини паркана і вершини дерева.

Завдання 12.1

За допомогою експериментів із залученням ДР "Задача про ворону та сир" спростуйте наведені вище гіпотези.

Рисунок 1.14 ДР "Задача про ворону та сир"

Пошук закономірностей за допомогою пакета DG

Доведення теореми звичайно розбивається на окремі кроки - твердження, які теж є теоремами, але більш простими - образно кажучи, теоремами-одноходівками, які є логічними наслідками співставлення деякої умови і вже доведеної раніше теореми або аксіомами геометрії, які вважаються істинними за визначенням. Уміння побачити ці кроки доведення - більш прості теореми, послідовність яких і складає доведення теореми, є мистецтво математика. Пакет DG можна використовувати для пошуку закономірностей, послідовність яких може привести до доведення теореми.

Ці закономірності, висловлені у формі гіпотез, також потребують дедуктивного доведення. Разом із тим, правильно сформульоване питання є половиною відповіді на нього. Видатний філософ сучасності М. Хайдегер говорить, що філософія (тобто "любомудріє") є вміння ставити запитання. Те ж саме можна сказати про математику, тим більше, що математика займає проміжне положення між конкретними науками і філософією, математика - це мова науки (як сказав великий І. Ньютон: "Природа розмовляє з людиною мовою математики").

Як приклад використання пакета DG з метою знаходження закономірностей є ДР "Задача про ворону та сир".

У цій задачі мабуть "більше ніж половиною розв'язання" є здогадка про те, що шукана точка задовольняє таку умову: відрізки, які сполучають її з вершиною дерева й точкою на паркані, утворюють рівні кути з горизонтальною прямою. Відшукання цієї гіпотези спрощується за допомогою наведеного ДР. Усі параметри ДР можна змінювати - висоту дерева, висоту паркана, положення дерева, паркана та сиру, причому довжина шляху ворони автоматично перераховується під час змін ДР. Експерименти допоможуть висловити ґрунтовну гіпотезу, після чого тільки й можна приступати до доведення або спростування цієї гіпотези. Доведення цього твердження спирається на властивості точок, симетричних відносно прямої (вони рівновіддалені від довільної точки осі симетрії) і на властивості сторін трикутника (сума довжин двох довільних сторін трикутника більша довжини його третьої сторони). Ці твердження будуть доведені в курсі геометрії пізніше.

13. Аксіоми

Як зазначалося в попередньому пункті, всі властивості геометричних фігур повинні бути доведені за допомогою логічних міркувань (дедукції). При цьому більш складні твердження зводять до більш простих, більш прості зводять до ще більше простих і т.д. Однак зрозуміло, що на цьому шляху повинна бути межа - інакше доведення ніколи не закінчиться. Таким чином, повинні існувати деякі твердження (аксіоми), істинність яких не буде доводитись, вони будуть істинними з інших міркувань. Найпростіший вихід - поступити формально, прийняти деякі властивості істинними "за означенням" або "за домовленістю". Це логічно бездоганний підхід, проте з точки зору практичної значущості теорії, незрозуміло, чи може така теорія бути корисною на практиці. Тобто аксіоми повинні якоюсь мірою відбивати властивості реального світу. Призначенням геометрії є моделювання просторових властивостей світу, тому аксіоми геометрії повинні відбивати просторові властивості світу - бути абстракціями реальних об'єктів і їх властивостей. Геометрія в перекладі з грецької означає "землемірство". Площину можна собі уявляти як рівнинну місцевість, на якій виконуються побудови за допомогою інструмента "геошнур" - двох кілків, сполучених шнурком. Ввіткнення кілка в землю відповідає побудові точки на площині, а натягування шнурка між двома кілками - проведенню прямої через дві точки. Обертання ж одного кілка навколо ввіткнутого в землю другого при натягнутому шнурку постійної довжини представляє побудову кола. За допомогою геошнура можна виконувати розмітку садибної ділянки.

Історично аксіоми геометрії відбивали властивості побудов на рівнинній поверхні за допомогою геошнура. І саме це забезпечило велику практичну значимість геометрії, бо геометрія є моделлю побудов на рівнині. З іншого боку, побудови на рівнині за допомогою геошнура виконують роль інтерпретації для геометрії - всі отримані в геометрії результати можуть бути використані на практиці відповідним чином.

Універсальність аксіоматичного методу виявляється в тому, що інтерпретацій аксіоматичних теорій може бути багато. Якщо для якоїсь множини об'єктів виконуються аксіоми теорії, то для цих об'єктів справедливі всі результати (теореми), що були отримані у межах цієї теорії.

Однією з інтерпретацій геометрій є побудови на папері за допомогою циркуля і лінійки.

Пакет DG - це ще одна інтерпретація геометрії Евкліда, геометрії на площині. Важливо усвідомити, що властивості точок, прямих та площин з точки зору математичної теорії і властивості цих об'єктів в пакеті DG не можна ототожнювати. Та ж сама ситуація, як і з побудовами на місцевості за допомогою геошнура чи побудовами на папері за допомогою циркуля та лінійки: точки, побудовані на аркуші паперу - це не точки у строгому розумінні терміну точка, прямі - не прямі, і площини - не площини. Разом із тим, пакет DG - інтерпретація геометрії на площині і це означає, що він моделює і з деякою похибкою відбиває відповідні властивості справжньої - абстрактної геометрії. Зразу ж зауважимо, що якість електронної моделі геометрії (пакета DG) значно вище за традиційні (побудови на місцевості, або на папері), проте й електронна модель є теж наближеною і цього не треба ні забувати, ні нехтувати цим. Найголовніше, що треба мати на увазі - це те, що пакет DG просто зручний інструмент для виконання геометричних побудов, деякою мірою, він є просто "комп'ютерним інструментарієм геометрії" - "комп'ютерним олівцем", "комп'ютерною лінійкою", "комп'ютерним циркулем".

Пакет DG - це магічні олівець, лінійка і циркуль, які працюють з магічною швидкістю, точністю, виразністю:

• Магічна швидкість - обчислювальні потужності одного комп'ютера перевищують обчислювальні потужності всього людства разом, причому обчислення виконуються з абсолютною точністю (на відміну від людських обчислень);

• Магічна точність - більше 10 значущих цифр (еквівалентна можливості виміряти відстань від Харкова до Києва з точністю до 0,1 міліметра):

• Магічна виразність - графічні можливості комп'ютерів дозволяють використовувати палітру з більш ніж 16 000 000 кольорів (таку палітру, мабуть, не могли собі уявити і імпресіоністи).

Проте, крім магічних швидкості, точності та виразності, є ще дві магії пакета DG - це магія динамізму та магія інтелектуальності, які перетворюють його у принципово новий інструмент, який не можна реалізувати тільки комп'ютерними засобами.

• Магічна динамічність. Пакет DG це не простий графічний редактор, який запам'ятовує графічні образи, це геометричний редактор, що запам'ятовує правила, алгоритми побудови графічних зображень, і тому при інтерактивній зміні положення базових точок зображення автоматично перебудовує зображення за збереженими правилами. Наприклад, якщо побудувати трикутник, а потім навколо нього описати коло, то під час переміщення вершин трикутника за допомогою миші коло автоматично буде змінюватись, залишаючись при цьому колом, яке описане навколо трикутника.

• Магічна інтелектуальність. Пакет DG здатен накопичувати задачі, які він може розв'язувати самостійно (тобто, автоматично, без втручання користувача). Як відомо, один із найважливіших критеріїв інтелектуальності є вміння вчитись. Кожний користувач може навчити пакет DG розв'язувати типові задачі, які є особистісно значущими для нього. Для цього в DG умонтовано механізм розробки та використання макроконструкцій.

Ми так багато сказали про магічні властивості пакета DG, проте не відповіли на головне питання - а навіщо він потрібний взагалі? Є геометрія - чудова наука, яка існує вже принаймні 2500 років, є сталий курс геометрії, сталі прийоми її викладання та вивчення. Що ще потрібно? Спробуємо відповісти на це питання. Найкращий метод навчання - самостійне відкриття закономірностей, відкриття, яке повторює шлях людства в опануванні знаннями. Це найкращий шлях, але і найтрудомісткіший - кожен учень повинен побути хоч трошки і Евклідом, і Архімедом, і Паскалем, і Ньютоном, і Менделєєвим, і Ейнштейном, і Ландау, .... Без сучасних потужних інформаційних технологій це завдання не розв'язати. За допомогою відповідних пакетів можна змоделювати умови, в яких відбулося відкриття, а учень сам, проводячи відповідну навчальну дослідницьку роботу, "відкриє" закономірності. При такому підході учень буде брати участь у відкритті властивостей, познайомиться з "технологією відкриття", технологією "життя", функціонування відповідної галузі науки. За допомогою пакета DG учень отримує зручний інструмент для проведення комп'ютерних експериментів у галузі геометрії.

Останнє важливе питання - виконання аксіом геометрії у пакеті DG. Коли експериментально перевіряємо справедливість аксіом у пакеті DG (наприклад, що через точку, яка не лежить на даній прямій, можна провести на екрані за допомогою пакета DG не більше як одну пряму, паралельну даній), ми тим самим перевіряємо, що система аксіом геометрії має інтерпретацію і тому геометрія є змістовною - її результати можна використовувати на практиці, принаймні в комп'ютерній геометрії. Проте кожна інтерпретація геометрії, у тому числі й комп'ютерна, дає можливість не тільки застосовувати отримані результати в галузі геометрії, але й допомагати в пошуку нових результатів. Розв'язуючи задачу, стародавній математик створював геометричний рисунок паличкою на піску, математик доінформаційного суспільства виконував побудови олівцем на папері, сучасний математик будує й досліджує геометричні моделі на екрані комп'ютера. Ці комп'ютерні моделі з одного боку можуть виконувати роль інтерпретацій відомих теорем геометрії, з другого боку - комп'ютерні моделі можуть виконувати роль джерела плідних ідей для відкриття нових властивостей геометричних фігур - нових теорем.

Аксіоми геометрії виникли з людського досвіду побудов на площині. Зрозуміло, в реальності не існує площини - нескінченної "абсолютно рівної" поверхні, яка не має "товщини", на якій розташовані прямі - лінії, що не мають "ширини" і які "абсолютно прямі", у площині та на прямих лежать точки - деякі ефемерні об'єкти, що не мають ані товщини, ані ширини, ані довжини.

Не існує в реальності ні прямих, ні точок. Навіщо ж вивчати властивості об'єктів, яких у реальності не існує? Відповідь і проста і складна: вивчати - для того, щоб знати, бо знання можуть бути тільки абстрактними, загальними, притаманними не тільки одному реальному об'єкту, а цілому класу реальних об'єктів. Це дуже складний процес формування абстрактних понять, і чим більше розвивається суспільство, тим більш загальні абстракції формуються, тим більш загальні теорії будуються. Математика - це універсальний інструмент для побудови моделей дійсності. Геометрія - це важливий розділ математики, який дозволяє в абстрактній формі моделювати та досліджувати просторові властивості об'єктів та процесів реального світу. Наприклад, в геометрії досліджено властивості площини, й отримані результати використовують архітектори, проектувальники, будівельники тоді, коли розглядається досить мала ділянка земної поверхні. Якщо ж вивчаються об'єкти, які розташовано на поверхні Землі і які мають досить великі розміри, то використовують розділ геометрії, який вивчає властивості сфери. Оскільки поверхні планет можна з великою точністю вважати сферами, то фахівці всіх спеціальностей, пов'язаних з розміщенням об'єктів на поверхні планет (геологи, геодезисти, машиністи, капітани, льотчики, космонавти і т.д.) можуть використовувати результати, які отримані відповідних розділах геометрії.

Для застосування результатів евклідової геометрії на практиці треба знайти ті об'єкти дійсності, які можна вважати за площини, прямі та точки і потім до них застосовувати результати, що отримані в геометрії.