Конспект урока: Изображение пространственных фигур на плоскости (10 класс)

Дисциплина: Математика.

Преподаватель: Домашкина А.С.

Группа

Дата

ПЛАН ЗАНЯТИЯ

Тема программы 3: Геометрия. Параллельность прямых и плоскостей.

Тема занятия 17-18: Изображение пространственных фигур на плоскости.

Цель:

О:

• Повторить свойства параллельных прямых и плоскостей.

• Свойства параллельного проецирования.

• Научиться правильно изображать плоские фигуры и объёмные тела на плоскости.

В:

• Формирование грамотной математической речи, умения слушать, анализировать, строить логические цепочки, делать выводы, работать с чертежами.

• Формирование трудовых навыков, умения распределять своё рабочее время на занятии, быстро, грамотно и аккуратно оформлять записи в своих конспектах.

• Формирование математического мировоззрения, математической культуры, культуры речи, использование математических терминов и символики.

Р:

• Формирование умения чётко и ясно излагать свои мысли, обсуждать и корректировать высказывания своих одногруппников.

• Формирование интереса к предмету математики путём использования формы занятия беседа-лекция-практикум, использования наглядности (моделей).

Тип занятия: изучение нового материала.

Дидактическое обеспечение:

1. Морд­ко­вич А.Г. Ал­геб­ра и на­ча­ла ма­те­ма­ти­че­ско­го ана­ли­за. - М.: Мне­мо­зи­на.

2. Му­ра­вин Г.К., Му­ра­ви­на О.В. Ал­геб­ра и на­ча­ла ма­те­ма­ти­че­ско­го ана­ли­за. - М.: Дрофа.

3. Кол­мо­го­ров А.Н., Аб­ра­мов А.М., Дуд­ни­цын Ю.П. и др. Ал­геб­ра и на­ча­ла ма­те­ма­ти­че­ско­го ана­ли­за. - М.: Про­све­ще­ние.

4. Презентация к занятию.

Инструменты и оборудование: мел, доска, линейка.

Литература: Мордкович, А.Г. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч.1. Учебник. - М.: Мнемозина, 2010.

Интернет-ресурсы: Сайт Издательский дом «Первое сентября» [Электронный ресурс] /www. 1september</</u>.ru/.

Формирование компетенций в соответствии с ФГОС:

ОК:

Социальная компетентность - способность действовать в социуме с учётом позиций других людей.

Коммуникативная компетентность - способность вступать в коммуникацию с целью быть понятым.

Предметная компетентность - способность анализировать и действовать с позиции отдельных областей человеческой культуры.

Математическая компетентность - умение работать с числом, числовой информацией.

Ход занятия

1. Организационный момент:

а) приветствие;

в) отметить отсутствующих;

2. Сообщение темы, цели занятия, критериев оценки:

Обучающимся предлагается практическое занятие с поддержкой наглядностей на доске, все необходимые записи они делают в своих тетрадях. Сообщение темы, целеполагание.

Критерии оценивания:

наличие лекции + верное решение всех заданий - "5";

наличие лекции + решение всех заданий, но есть недочеты - "4";

наличие лекции + решение всех заданий с недочетами и ошибками - "3".

3. Актуализация знаний (повторение изученного материала/внеаудиторной самостоятельной работы):

Чтобы работа на уроке была плодотворной, давайте вспомним некоторые факты, характеризующие свойства параллельных прямых и плоскостей. Ваша задача определить верность следующих высказываний:

1. Верно ли, что через любую точку пространства можно провести множество прямых параллельных данной прямой?

Ответ: Неверно.

По теореме о существовании прямой, параллельной данной прямой через точку пространства можно провести единственную прямую.

2. Верно ли, что если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая тоже пересекает эту плоскость?

Ответ: Верно.

По лемме о пересечении плоскости двумя параллельными прямыми, если одна из параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

3. Верно ли, что две непересекающиеся прямые в пространстве параллельны?

Ответ: неверно.

В пространстве не имеют общих точек параллельные и скрещивающиеся прямые.

4. Верно ли, что если две прямые параллельны некоторой плоскости, то они параллельны друг другу?

Ответ: неверно.

Эти прямые могут быть не только параллельными, но и пересекаться, а также они могут быть скрещивающимися.

3. Объяснение нового материала:

Итак, мы приступили к изучению стереометрии - геометрии в пространстве. Как всегда нам необходимо уметь изображать геометрические фигуры, причем все чертежи мы по-прежнему выполняем на плоскости (на странице тетради, на доске и т.д.). Каким образом пространственную фигуру (например, куб) можно «уложить» в плоскость?

Для решения этой задачи применяется метод параллельного проектирования. Выясним его суть на примере простейшей геометрической фигуры - точки.

Итак, у нас есть геометрическая фигура в пространстве - точка А. (слайд 2)

Выберем в пространстве произвольную плоскость  (её мы будем называть плоскостью проекций) и любую прямую a пересекает  (она задает направление параллельного проектирования). (слайд 3)

Проведем через точку А прямую, параллельную прямой а. Точка А' пересечения этой прямой с плоскостью и есть проекция точки А на плоскость . Точку А ещё называют прообразом, а точку А' - образом. Если А, то А' совпадает с А. (слайд 4)

Рассматривая любую геометрическую фигуру как множество точек, можно построить в заданной плоскости проекцию данной фигуры. Таким образом можно получить изображение (или «проекцию») любой плоской или пространственной фигуры на плоскости (см.рис.).

Наглядным примером параллельного проектирования является отбрасываемая любым объектом(прообраз) в пространстве тень(образ) от солнечных лучей(направление параллельного проектирования) на Земле(плоскость проекций). (слайд 5)

Примечание 1. При параллельном проектировании не выбирают направление параллельного проектирования параллельно плоскости проекции (самостоятельно обоснуйте почему). (слайд 6)

Примечание 2. При параллельном проектировании плоских фигур не выбирают направление параллельного проектирования параллельно плоскости, которой принадлежит эта плоская фигура, т.к. получающаяся при этом проекция не отражает свойства данной плоской фигуры. (слайд 7)

Примечание 3. Если направление параллельного проектирования перпендикулярно плоскости проекций, то такое параллельное проектирование называется ортогональным (прямоугольным) проектированием. (слайд 8)

Примечание 4. Если плоскость проекций и плоскость, в которой лежит данная фигура параллельны (||(АВС)), то получающееся при этом изображение… правильно - равно прообразу! (слайд 9)

Параллельное проектирование обладает свойствами:

1. параллельность прямых (отрезков, лучей) сохраняется; (слайд 10)

2. отношение длин отрезков, лежащих на параллельных или на одной прямой сохраняется; (слайд 11)

Если, например, АВ=2CD, то А'В'=2C'D' или

3) Линейные размеры плоских фигур(длины отрезков, величины углов) не сохраняются (исключение - см. примечание 4). (слайд 12)

5. Закрепление материала:

Построим изображение куба: (слайд 13)

Далее разберем примеры изображения некоторых плоских фигур: (слайд 14)

Слайд 15:

Слайд 16:

Слайд 17:

Разберемся, как построить изображение правильного шестиугольника.

Разобьем правильный шестиугольник на три части: прямоугольник FBCE и два равнобедренных треугольника ΔFAB и ΔCDE. Построим вначале изображение прямоугольника FBCE - произвольный параллелограмм FBCE. Осталось найти местоположение двух оставшихся вершин - точек A и D.

Вспомнив свойства правильного шестиугольника, заметим, что: 1) эти вершины лежат на прямой, проходящей через центр прямоугольника и параллельной сторонам BC и FE; 2) OK=KD и ON=NA.

Значит:

1. Находим на изображении точку О и проводим через неё прямую, параллельную BC и FE, получив при этом точки N и K.

2. Откладываем от точек N и K от центра О на прямой такие же отрезки - в итоге получаем две оставшиеся вершины правильного шестиугольника A и D. (слайд 18)

6. Подведение итогов занятия:

1. Что является параллельной проекцией отрезка, треугольника, прямоугольника, квадрата, окружности?

2. Какие величины не изменяются при параллельном проецировании? (длина отрезка, градусная мера углов, отношения длин отрезков, отношение площадей двух фигур)?

3. Может ли при параллельном проецировании параллелограмма получиться трапеция и наоборот?

7. Рефлексия:

Предлагаю обучающимся закончить предложения на выбор:

• сегодня я узнал…

• было интересно…

• было трудно…

8. Домашнее задание:

Попробуйте самостоятельно построить изображение правильного пятиугольника.

Подсказка: разбейте фигуру на две части - равнобокую трапецию и равнобедренный треугольник, а затем воспользуйтесь некоторыми свойствами этих фигур и, конечно же, свойствами параллельного проектирования.