Урок с применением игровой технологии 'Перпендикулярность прямых и плоскостей' (10 класс)

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №5

Разработка урока по геометрии по теме:

«Перпендикулярность прямых

и плоскостей».

10 класс.

Сивченкова Е.В.,

учитель математики

Школы №5.

Тверская область

г.Нелидово

2013 г.

Итоговый урок по теме: Перпендикулярность прямых и плоскостей.

Цель: повторение, обобщение и систематизация знаний учащихся по темам: «Расстояние от точки до плоскости и от точки до прямой», «Теорема о трёх перпендикулярах и ей обратная», «Угол между прямой и плоскостью», «Двугранный и его линейный угол»; развитие навыков решения геометрических задач; воспитание у учащихся вкуса к самостоятельной активной творческой деятельности.

Оборудование: мультимедийный проектор, экран, цветные мелки, таблицы Брадиса, калькулятор, таблички с надписями «Прокурор», «Адвокат», «Судья» (устанавливаются на столы, где будут сидеть соответственно «прокурор», «адвокат» и «судья»).

1. Распределение ролей:

Судьяведущий всё заседание. Эту роль выполняет как учитель, так и ученик. Это главная роль, требующая умения, навыка и быстроты реакции на все возникающие вопросы и ситуации на уроке.

Государственный защитник или адвокат стремится защитить, помочь при рассмотрении дела (т.е. при решении задачи). Он же готовит свидетелей в защиту дела.

Государственный обвинитель или прокурор знакомит всех с сутью дела (с условием задачи) и требует его решения. Задача прокурора следить за законностью рассматриваемого дела.

Секретарь судебного заседания готовит и ведет всю документацию дела (ведёт у доски запись решения задачи).

Свидетель им может быть любой ученик, если это связано с выяснением понятий, определений, теорем, используемых при решении задачи. Могут быть подготовленные свидетели. Это те учащиеся, кто заранее готовит доказательство необходимого факта или историческую справку, необходимую в ходе заседания суда.

Присяжные заседатели (обычно 12 человек) выбираются из числа учащихся, родителей, учителей математики, администрации школы. Присяжные заседатели выносят приговор - итог математического заседания. Они оценивают ответы учащихся, обосновывая их, делают замечания по ходу расследования дела (решения задачи) и делают вывод: рассмотрено ли дело (т.е. решена ли задача).

Вводное слово учителя. Сегодняшнее итоговое занятие по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей» мы проведём с вами в форме заседания математического суда. Это значит, что сегодня на уроке я буду выступать в роли судьи, у меня будут два помощника государственный обвинитель и государственный защитник или прокурор и адвокат, а в роли присяжных заседателей будут присутствующие у нас гости (представляю). Сегодня они вынесут свой приговор по каждому рассмотренному в суде делу. Итак, уважаемые присяжные заседатели доставайте листочки, внимательно слушайте, оценивайте ответы - вам выносить сегодня вердикт. Остальные будут проходить свидетелями по двум делам. От вас я жду активности, точности и знания, доверьтесь своему адвокату и остерегайтесь прокурора, он будет ловить вас на каждой неточности.

Ход урока.

Судья. Итак, начинается первое заседание математического суда. Представляю своих помощников: адвокат - Прудникова Наталья, она защищает данное дело и предоставляет свидетелей в его защиту; прокурор - Дмитренко Сергей, пытается докопаться до истины и следит за соблюдением математических законов. Окончательное решение по делу вынесут присяжные заседатели.

Для ведения протокола необходим секретарь. Есть ли в зале желающие? (Выбирается секретарь). Прошу всех занять свои места, слово прокурору.

Прокурор. Предоставляю на рассмотрение следующее дело.

Дело №1. Точка М удалена от каждой стороны равнобедренной трапеции на расстояние, равное 12 см. Основания трапеции равны 18 см и 32 см. Найдите расстояние от точки М до плоскости трапеции.

Секретарь записывает.

№1 М

КС

ОР К D

В

N Н

A

Судья. Заслушаем адвоката по общему ходу расследования дела.

Адвокат. Ваша честь, для начала необходимо хорошо уяснить данные дела. Для этого:

1. прошу дать разрешение рассмотреть первую улику защиты - модель дела, изготовленную свидетелем Варламенковым, учащимся 10-Б класса;

2. затем защита представит данные на чертеже;

3. далее мы докажем, что в данную трапецию можно вписать окружность и вычислим радиус этой окружности;

4. эти действия приведут нас к справедливому решению данного дела.

Судья. Хорошо, я согласна сходом ведения дела. Давайте рассмотрим модель.

Адвокат. (Адвокат рассказывает и показывает условие задачи на модели, переходит к доске и выполняет чертёж.)Таким образом, прямые МР, МК, МН и МN перпендикулярны соответственно прямым ВС, СD, AD и АВ, а прямая МО перпендикулярна плоскости (АВСD).

Прокурор. Ваша честь, здесь встречаются какие-то расстояния от точки до прямой и от точки до плоскости. Я требую сформулировать точные определения.

Судья. Ваше требование законно, господин прокурор. Заслушаем свидетелей, которые удовлетворят любопытство прокурора.

Адвокат. Защита вызывает 1-го свидетеля. (Из числа учащихся вызывают того, кто поднял руку. Если желающих отвечать нет, то у адвоката должны быть подготовленные заранее свидетели на возможные вопросы прокурора. Если ответ не могут дать ученики, то спасает положение учитель.)

Свидетель №1. Расстоянием от точки А до прямой α называется длина перпендикуляра, опущенного из точки А на данную прямую α.

Расстоянием от точки А до плоскости α называется длина перпендикуляра, опущенного из точки А на данную плоскость α.

Адвокат. Продолжаем рассматривать дело. Защита вызывает 2-го свидетеля.

Свидетель №2. Рассмотрим треугольники ∆ ∆ МОН и ∆МОN. Эти треугольники равны по гипотенузе и катету. Значит, равны и отрезки ОР, ОК, ОН и ОN.

Судья. Свидетель ваш, господин прокурор.

Прокурор. Ваша честь, защита выдаёт желаемое за действительное. Откуда вообще взялись здесь эти прямоугольные треугольники?

Свидетель №2. Поскольку мы уже выяснили, что расстоянием от точки М до плоскости (АВСD) является длина перпендикуляра, опущенного из точки М на плоскость трапеции АВСD, то целесообразно провести этот перпендикуляр. Обозначим его МО. Согласно определению перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая МО перпендикулярна плоскости (АВСD), то она перпендикулярна любой прямой лежащей в этой плоскости, в том числе и прямым ОР, ОК, ОН и ОN. Отсюда мы и получим прямоугольные треугольники ∆ ∆ МОН и ∆МОN.

Прокурор. Хорошо это вы объяснили. Но, если вы пользуетесь признаком равенства треугольников, то вы должны, по крайней мере, сформулировать этот признак.

Свидетель №2. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника, соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Судья. Господин прокурор, у вас нет больше вопросов к свидетелю? Тогда мы возобновим слушание. Каким образом, господин адвокат, равенство треугольников ∆ ∆ МОН и ∆МОN поможет нам найти истину?

Адвокат. Чтобы ответить на ваш вопрос, ваша честь, защита вызывает 3-его свидетеля.

Свидетель №3. Рассмотрим ближайший к нам треугольник ∆МОN. МО перпендикуляр к плоскости (АВСD), МN наклонная к плоскости (АВСD), а ОN её проекция на плоскость (АВСD). По условию задачи прямая АВ проведена в плоскости (АВСD) через основание наклонной МN перпендикулярно к ней, значит по теореме обратной теореме о трёх перпендикулярах прямая АВ будет перпендикулярна и проекции этой наклонной на плоскость (АВСD), т. е. прямой ОМ. Совершенно аналогично мы докажем что прямые ВС, СD и АD будут перпендикулярны прямым ОР, ОК и ОН. Теперь мы можем сделать вывод о том, что длины отрезков ОN, ОР, ОК и ОН являются расстояниями от точки О до прямых АВ, ВС, СD и АD соответственно и эти расстояния равны согласно показаниям свидетеля №2. Таким образом, точка О равноудалена от сторон трапеции АВСD и является центром вписанной в трапецию АВСD окружности.

Прокурор. Позвольте, а что такое вписанная окружность?

Свидетель №3. Окружность называется вписанной в данный многоугольник, если она касается каждой стороны этого многоугольника.

Прокурор. А где лежит центр вписанной в многоугольник окружности?

Свидетель №3. Центр вписанной в многоугольник окружности лежит в точке пересечения биссектрис всех углов данного многоугольника, если такая точка существует.

Прокурор. Ваша честь, кажется в рассуждениях свидетеля теорема обратная теореме о трёх перпендикулярах. Я требую доказательства этой теоремы.

Адвокат. Тогда защита вызывает 4-ого свидетеля.

Свидетель №4. Теорема обратная теореме о трёх перпендикулярах. Прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, будет перпендикулярна и её проекции на эту плоскость.

А Дано АН ,

АМ - нная, А

n НМ - проекция наклонной АМ

на плоскость n АМ.

Н М

Доказать: n НМ.

Свидетель доказывает теорему по готовому чертежу, который проецируется на экран через проектор.

Прокурор. В доказательстве теоремы использовался признак перпендикулярности прямой и плоскости. Но этот факт не доказан, я требую его доказательства.

Адвокат. Протестую! Ваша честь, прокурор уводит нас от решения дела. Для доказательства теоремы обратной теореме о трёх перпендикулярах достаточно только сформулировать признак перпендикулярности прямой и плоскости. Если мы будем доказывать все второстепенные факты, не относящиеся прямо к делу, то разбор дела никогда не закончится.

Судья. Протест принят. Основной факт доказан. Переходим к следующему этапу доказательства. Какие будут версии нахождения радиуса вписанной в трапецию окружности.

Адвокат. Я вызываю следующего свидетеля №5.

Свидетель №5. Смею заметить, что если на плоскости прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой. Значит перпендикуляры ОР и ОН, проведённые к параллельным основаниям трапеции АD и ВС лежат на одной прямой РН, проходящей через точку О, в противном бы случае через точку О проходило бы минимум две прямые ОР и ОН перпендикулярные, например прямой АD, что противоречит аксиоме параллельных прямых. Итак, отрезок РН является высотой трапеции АВСD и диаметром вписанной в трапецию АВСD окружности. Следовательно, радиус этой окружности равен половине высоты трапеции АВСD. R = РН.

Адвокат. Ваша честь, чтобы найти высоту трапеции, разрешите приложить к делу вторую улику защиты.

Судья. Если это необходимо для решения дела, у суда возражений нет.

Адвокат. (Адвокат демонстрирует модель равнобедренной трапеции АВСD, у которой из вершин верхнего основания проведены две высоты ВВ₁ и СС₁.)

Итак, вопрос заключается в том, чтобы найти высоту равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность. О дальнейшем ходе доказательства расскажет нам свидетель

№6.

В С

А D D

В₁ С₁

Свидетель №6. Так как ВВ₁ и СС₁ высоты трапеции АВСD, то треугольники ∆ АВВ₁ и ∆ DСС₁ прямоугольные. Кроме того, эти треугольники будут равны по гипотенузе и катету. Поэтому А В₁ = С₁D = 7 (см).

Адвокат. Теперь необходимо найти боковую сторону АВ трапеции АВСD. Тогда, применив теорему Пифагора в треугольнике ∆ АВВ₁, мы сможем наконец-то найти высоту трапеции АВСD и радиус вписанной в неё окружности.

Судья. У кого есть объяснения по этому поводу?

Адвокат. Защита вызывает Свидетеля №7.

Свидетель №7. Я хочу напомнить очень полезный факт из геометрии 8 класса о свойстве сторон описанного четырёхугольника. У описанного четырёхугольника суммы противоположных сторон равны. Используем этот факт для решения нашей задачи.

АВ + СD = АD + ВС;

2 ·АВ = 32 + 18;

2 ·АВ = 50

АВ = 25.

Итак, сторона АВ =25 см. Теперь можно найти высоту трапеции АВСD и радиус вписанной в неё окружности.

Прокурор. Минуточку, минуточку! Господин адвокат, кажется, считает не очень-то значительным свойство описанного четырёхугольника для успешного решения нашего дела? Иначе бы он не оставил сей факт без доказательства.

Судья. Да, господин прокурор как всегда прав. Что будет предпринимать защита?

Адвокат. Я рассчитывал рассмотреть доказательство свойства описанного четырёхугольника чуть позже, чтобы не разрушать цепочку математических выкладок. Однако, если господин прокурор настаивает, то мы поменяем порядок ведения дела и приведём доказательство данного свойства прямо сейчас. Защита вызывает свидетеля №8.

Свидетель № 8. Суммы противоположных сторон описанного четырёхугольника равны.

К

b

b

α

α

В

АДано: АВСD - описанный

Р

N

mчетырёхугольник.

nДоказать:

M

n

m

D

С

АВ +DС = АD + ВС

Доказательство.

Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны. Поэтому АК = АР = α, ВК = ВN = b, СN = СМ = n и DM = DР = m.

Тогда получаем, что АВ + DС = АК + ВК + DM + CM = α + b + m + n.

Аналогично AD + ВС = АР + РD + BN + NC = α + m + b + n = α + b + m + n.

Таким образом, АВ + DС = AD + ВС = α + b + m + n, то есть АВ + DС = AD + ВС.

Что и требовалось доказать.

Адвокат. А теперь нужно закончить математические выкладки. Я вызываю свидетеля №9.

Свидетель № 9. Вернёмся к прямоугольному треугольнику ∆ АВВ₁ и по теореме Пифагора найдём катет ВВ₁ этого треугольника.

ВВ₁= = = = = 24 (см). Итак, высота трапеции АВСD равна 24 см, ВВ₁ = РН = 24 (см). Следовательно, R = РН = .

Теперь нам осталось рассмотреть прямоугольный треугольник ∆ МОN. По теореме Пифагора найдём катет МО этого треугольника. = = = 0.

То есть точки М и О совпадают, значит, точка М лежит а плоскости трапеции АВСD и расстояние от неё до плоскости трапеции равно нулю.

Судья. Есть ли вопросы у господина прокурора? Желает ли что-нибудь добавить господин адвокат? Нет? Тогда думаю, вы удовлетворены ходом заседания. Все стороны дела рассмотрены. Слово присяжным заседателям.

Присяжные заседатели подводят итоги урока, а судья объявляет оценки.