Декартова система координат на плоскости.

1) Зададим на плоскости две взаимно перпендикулярные оси координат - ось и ось - с точкой пересечения , являющейся начальной точкой каждой из этих осей.

Говорят, что этим на плоскости определена система координат . Ее называют еще прямоугольной или декартовой системой координат по имени французского математика и философа Декарта, который ввел в математику это важное понятие.

Оси и могут иметь разные единичные отрезки (мы будем рассматривать оси с равными единичными отрезками, если не оговорено противное).

Ось называется еще осью абсцисс, а ось - осью ординат. Точку пересечения осей координат называют началом системы координат. Плоскость, на которой задана, декартова система координат, называют координатной плоскостью.

Обычно ось абсцисс изображают на бумаге в виде горизонтальной прямой, направленной вправо, а ось ординат - в виде вертикальной прямой, направленной вверх.

C

A₁

А

D

1

1

O

y

х

Так мы и согласимся делать, если какие-либо соображения не заставят нас отклониться от этого соглашения. Буквы и мы тоже иногда будем считать удобным заменять другими буквами …

2) Проекцией точки на какую-либо прямую называется основание перпендикуляра, опущенного из нее на эту прямую.

На рисунке изображена прямая , точка и точка , являющаяся проекцией на .

D

-4

B

y

F

4

O

х

5

Рис. 5

1

C

y

A(4,3)

4

O

х

3

Рис. 4

y

A(x,y)

x

1

1

O

х

y

Рис. 3

Пусть в плоскости задана прямоугольная система координат .

Зададим в этой плоскости точку (рис. 3).

Абсциссой точки называется координата ее проекции на ось абсцисс (ось ).

Ординатой точки называется координата ее проекции на ось ординат (ось ).

Абсцисса и ордината точки называются координатами точки.

Координаты точки обычно записывают в скобках рядом с буквой, обозначающей эту точку: , причем на первом месте пишется абсцисса, а на втором - ордината. Например, точка , изображенная на рис. 4, имеет абсциссу и ординату , поэтому пишут .

Важно отметить, что если на плоскости задана прямоугольная система координат, то каждой точке плоскости приводится в соответствие пара чисел координаты точки, и в то же время произвольную пару чисел можно рассматривать как координаты некоторой точки плоскости.

Нужно иметь в виду, что если пара состоит из разных чисел, то, переменив эти числа местами, мы получим другую пару чисел, определяющую другую точку на плоскости.

Поэтому часто координаты точки называют упорядоченной парой чисел. Абсциссу точки называют еще первой координатой, так как записывают на первом месте, а ординату второй координатой точки .

Итак, если на плоскости задана прямоугольная система координат , то

1. каждой точке плоскости поставлена в соответствие упорядоченная пара чисел (координаты точки);

2. разным точкам на плоскости поставлены в соответствие разные упорядоченные пары чисел;

3. каждая упорядоченная пара чисел соответствует некоторой (одной) точке плоскости (см. пункт 2).

Эти три утверждения можно заменить следующими словами:

Между точками плоскости и упорядоченными парами чисел имеет место взаимно однозначное соответствие.

Упражнение.

Отметить на координатной плоскости точки:

Координатные углы. Координаты симметричных точек

Прямоугольная система координат разделяет плоскость на четыре части, называемые координатными углами, или координатными четвертями, или квадрантами.

Мы обозначим их римскими цифрами I, II, III, IV (рис. 6).

Если исключить точки, лежащие на осях координат, то можно сказать, что:

точки угла I имеют координаты такие, что , ;

точки угла II имеют координаты такие, что , ;

точки угла III имеют координаты такие, что , ;

точки угла IV имеют координаты такие, что , .

Например, точка В( 1, 1) на рис. 7 принадлежит углу II; точка D(4, 4) принадлежит углу IV.

Легко видеть, что:

абсцисса точки равна нулю тогда и только тогда, когда эта точка лежит на оси ;

Е

B

-2

-1

1

2

-1

-2

-4

D

y

F

1

O

х

Рис. 7

C

А

ордината точки равна нулю тогда и только тогда, когда эта точка лежит на оси .

y

I

II

III

IV

Рис. 6

1

O

х

1

Например, на рис. 5 точка F лежит на оси и имеет абсциссу , точка Е лежит на оси и имеет ординату .

Отметим еще, что начало координат точка О и только она имеет обе координаты, равные нулю.

Две точки и называются:

симметричными относительно оси ординат (оси ), если их координаты удовлетворяют равенствам

симметричными относительно оси абсцисс (оси ), если их координаты удовлетворяют равенствам

симметричными относительно начала координат (точки О), если их координаты удовлетворяют равенствам

Например, на рис. 7 точки А и В симметричны относительно оси ординат, точки С и D симметричны относительно оси абсцисс, точки E и F симметричны относительно начала координат.

Вопросы.

1. Для каких точек абсцисса равна нулю?

2. Для каких точек ордината равна нулю?

3. Для каких точек абсцисса положительна?

4. Для каких точек ордината положительна?

5. Какие точки симметричны относительно оси абсцисс?

6. Какие точки симметричны относительно оси ординат?

7. Какие точки симметричны относительно начала координат?

Упражнение.

Для точки А найти точки, симметричные ей относительно оси , относительно оси и относительно начала координат, если:

а) А (1, 2); б) А (1, 3); в) А (2, 3); г) А ( 4, 3),и отметить эти точки на координатной плоскости.