Урок математики в 11-м классе по теме:

«Нестандартные методы решения иррациональных неравенств»

Гугучкина Татьяна Геннадьевна, учитель математики.

Цель урока

1. Познакомить учащихся с нестандартными методами решения иррациональных неравенств;

научить применять эти методы, уметь их классифицировать.

2. Развивать логическое мышление и интуицию при решение задач.

3. Воспитывать интерес к предмету, коллективизм и самоконтроль.

Оборудование.

1. Таблица с алгоритмом решения стандартных иррациональных неравенств.

2. Карточки - задания.

3. Задачи из сборников подготовки к ЕГЭ.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Актуализация знаний.

III. Объяснение нового материала.

IV. Закрепление изученного материала.

V. Подведение итогов.

VI. Задание на дом.

I. Организационный момент

II. Актуализация знаний.

Цель нашего урока познакомиться с нестандартными методами решения иррациональных неравенств, уметь классифицировать и применять их. Но мы сначала повторим основные моменты решения стандартных иррациональных неравенств. К доске вызываются два ученика для выполнения задания по карточкам. Два ученика выполнят тест, сидя за партой, а остальные выполняют устные задания.

1. Решение иррационального неравенства стандартного вида

1)>0,

2)>2х + 3.

Эти неравенства взяты из заданий ЗФТШ, № 1 за 2012 - 2013 учебный год, 10-й класс.

2. Самостоятельная работа - тест.

Вариант 1 Вариант 2

1) Найти значение выражения

А) 45 Г) 15 С) 75 Б) 50 Е) 81 Г) 75

2) Внести множитель под знак корня

в в < 0 а а < 0

Н) Е) Я) К) М) Л)

3) Упростите выражение

а > 0 а > 0

О) 2а К) 0 Р) а К) 2а П) 0 М) 3

4) Сравните числа

Н ) < Р) > С) = П) > М) = К) <

5) Решите уравнения

х⁴ - 1 = 0

К) 1 А) -1 и 1 Е) -1

6) Решите уравнение

К) -2 Л) 4; -4 С) 0

Ответы1) Г; 2) Е; 3) О; 4) Н Ответы: 1) Г; 2) И;3) П; 4) П; 5) А; 6) С.

3. Устная работа.

1) Упростите выражение.

а); б); в); г) Ответы: а); б); в); г), т.к. а<0

2) внести множитель под знак корня

а) ; б); в); г) Ответы: а); б); в); г) а>0,

а<0, -

3) Решите уравнение

а); б) в)

Ответы: а)1, -4; б) 2, 8 в) 1, т.к. -3,5 не удовлетворяет ОДЗ

г)

Ответ: решения нет, так как при каждом допустимом значении переменной сумма двух не отрицательных чисел не может быть равна -2

д)

Ответ: решения нет, так как при всех допустимых значениях переменной, значение корня отрицательному числу равняться не может.

4) Решите неравенство.

а)< -1

Ответ: решения нет, так как по определениюнеотрицательное число, при всех допустимых значениях, меньше отрицательного быть не может.

б)> -8

Ответ:

в)> -3

Ответ:

III. Объяснение нового материала.

Нестандартные методы решения иррациональных неравенств не рассматриваются в школьном курсе алгебры и начал анализа. Мы познакомимся с методом рассуждения, методом оценки, метод интервалов.

1. Метод рассуждения

С помощью цепочки логических рассуждений приходим к более простому выражению, решение которого не требует усилий.

Рассуждаем с учителем.

Решим неравенство

Решение

Так как по определению неотрицательное число, при всех допустимых значениях х ≥ 0, то произведение двух множителей неотрицательно, когда принимает неотрицательные значения, то есть решением неравенства является промежуток .

Ответ: .

Выходят учащиеся к доске и решают неравенства.

а)<0.

Решение

Так как по определению , при всех допустимых значениях х ≥ 1, то

х - 7 < 0, значит

Ответ:

б)

Эти неравенства взяты из заданий ЗФТШ, № 1 за 2012 - 2013 учебный год, 10-й класс.

2 Метод оценки.

Метод состоит в том, что оцениваются границы, в которых могут лежать значения выражений в каждой из частей неравенства.

Рассуждаем с учителем

Решение

В неравенстве присутствуют функции разного вида. Справа сумма квадратичной функции и квадратного корня, а в левой части тригонометрическая функция. Правая часть имеет смысл при у - х² - 1≥0, то есть у>х² +1, а х²+1≥1 следовательно у≥1, то есть , но ׀cos x׀ ≤ 1, при всех действительных значениях х выполняется неравенство , поэтому неравенство наше может быть выполнено только если , то есть это выполняется при х = 0, у = 1.

Ответ: (0;1)

Это задание взято из вступительных тестов МГУ 2012.

Выходят учащиеся к доске и решают неравенства.

а) .

Решение.

В неравенстве присутствуют функции разного вида, значит решим методом оценки. По определению ≥ 0, ≥ 1, а ׀cos x׀ ≤ 1, при всех допустимых значениях х ≥ 0 выполняется неравенство cos x ≤ . Решение неравенства х ≥ 0.

Ответ: (0;+∞)

б)

Решение.

cos x ≤ 1. , но

Ответ: решений нет.

Это задание взято из вступительных тестов МГУ 2012.

3.Метод интервалов

Рассуждаем с учителем

Решим неравенство

а)

Решение.

Рассмотрим функцию . Область определения , нуль функции 6. Функция на промежутках определена, непрерывна и не обращается в нуль, поэтому сохраняет постоянный знак. Определим знак значение функции в каждом из интервалов: f(3)<0, f(11)>0. Значит решением неравенства является промежуток

Ответ:

Это же неравенство можно решить простым способом.

Решение.

ОДЗ: х - 2 ≥ 0, х ≥ 2

В области определения х может принимать положительные значения, значит

Ответ:

Выходит учащийся к доске и решает неравенство.

Решение.

Учитывая, что при , то

Ответ: .

4. Решите неравенство ,содержащее три и более корней

1) Решить неравенство.

Решение.

Обе части неравенства имеют смысл для тех и только тех значений х, которые удовлетворяют системе неравенств

Легко видеть, что система имеет одно решение х = 5/2. Подстановкой в неравенство убеждаемся, что х = 5/2 является решением.

Ответ: 5/2.

2)

Решение.

Данное неравенство равносильно системе неравенств:

Ответ: .

V. Подведение итогов

Историческая справка

При выполнении теста у учащихся получились два имени: Геон и Гиппас. Их имена связаны с открытием иррациональных чисел. Открыв новый математический объект пифагорийцы пришли в замешательство. В основе всеобщей гармонии мира, считали они должны лежать целые числа и их отношения, ни каких других чисел они не знали. И вдруг эта гармония рушится - существуют величины, которые отношением целых чисел в принципе не являются. Они держали свое открытие в секрете. Гиппас из Метапонта разгласил людям «ужасную» тайну о существовании несоизмеримых величин. И небо покарало его, он утонул в море во время шторма.

VI. Задание на дом

1) , 3) , 5).

2) , 4) ,

Литература

1. Задания ЗФТШ, № 1 за 2012 - 2013 учебный год, 10-й класс.

2. Сборник задач по математике. Под редакцией М.И. Сканави.

3. 3000 конкурсных задач по математике. Авторы: Е.Д. Куланин, В.П. Норин.

4. Решение задач методом оценки. Автор: А.А. Аксенов.