Тема: "Решение тригонометрических уравнений"

Тип урока: урок обобщения.

Развивающая цель: - развивать познавательную активность учащихся, совершенствовать навыки самостоятельной работы.

Воспитательная цель - формировать умение работать индивидуально, оценивать свои возможности.

Познавательная цель: получение новых знаний по этой теме.

Ход урока.

Учитель: Работа состоит из нескольких этапов, так называемых учебных элементов. Учебные элементы № 1-4 соответствуют I уровню подготовки, № 5 обеспечивает II уровень, № 6 - III уровень подготовки. Каждый учебный элемент содержит или указания учителя о том, что нужно знать и уметь, или краткие пояснения к выполнению заданий, или ссылки на то, где в учебнике можно найти нужные пояснения, а также список заданий. Вся работа над данным модулем сопровождается оценочным листом.

Прочитав указания учителя, ученик выполняет самостоятельные работы, которые включены в учебный элемент, и проверяет их по эталонам решений. Эталон демонстрирует ученику, когда тот объявляет о завершении самостоятельной работы. Ученик сравнивает свои ответы с эталонными и исправляет ошибки. Если он получил менее указанного в инструкции количество баллов, то должен набрать дополнительные баллы в корректирующих заданиях. Для этого ученик решает задания другого варианта, которые аналогичны тем, где он допустил ошибку. Оценка за весь модуль зависит от суммы n набранных балов по всем учебным элементам. Если n 30, то ученик получает "5", при 25n29 - оценка "4", при 21n24 - оценка "3", при n < 21 ученик получает "2".

Приведу теперь материалы, предлагаемые ученику в каждом учебном элементе.

Учебный элемент № 1

Цель: закрепить решение простейших тригонометрических уравнений.

Указания учителя

Вспомните основные правила решения тригонометрических уравнений. Для этого прочитайте текст на стр.170 - 176 учебника под редакцией Алимова.

Выполните письменно самостоятельную работу.

Задания самостоятельной работы (на 10 мин)

Решите уравнения

I вариант

Cos x = (1 балл)

Sin x = /2 (1 балл)

tg x = 1 (1 балл)

cos (x+π/3) = 0 (2 балла)

2 cos x = 1 (1 балл)

3 tg x = 0 (1 балл)

sin 4x = 1 (2 балла)

II вариант

sin x = - (1 балл)

cos x =/2 (1 балл)

ctg x = -1 (1 балл)

sin (x - π/3) = 0 (2 балла)

4 sin x = 2 (1балл)

cos 4x = 0 (2 балла)

5 tg x = 0 (1 балл)

Список правильных ответов и критерии оценивания ученик получает от учителя. Учащийся исправляет ошибки и проставляет число заработанных баллов в свой оценочный лист. Если он набрал 6 баллов или больше, то переходит к следующему элементу. Если же набрано меньше 6 баллов, то следует прорешать задания другого варианта, аналогичные тем, в которых была допущена ошибка, и проставить набранные баллы в графу "Корректирующие задания".

Учебный элемент №2

Цель: закрепить умения решать тригонометрические уравнения методом сведения к квадратному.

Указания учителя

Прочитайте внимательно данные ниже пояснения.

Выполните самостоятельные работы.

Метод сведения к квадратному уравнению состоит в том, что, пользуясь изученными формулами (они собраны в таблицу, которая вывешена в классе), надо преобразовать уравнение к такому виду, чтобы какую-то функцию (например, sin x или cos x) или комбинацию функций обозначить через y, получив при этом квадратное уравнение относительно y.

Пример. Решить уравнение 4-cos х =4 sin x.

Решение. 4 - (1 - sinх) = 4sin х,

3 + sinх = 4 sin х,

sinх - 4 sin х + 3 = 0

Сделаем замену: y = sin х, получим квадратное уравнение y - 4y + 3 = 0. Оно имеет корни 1 и 3. Значит, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений.

Sin х = 1 или sin х = 3. Уравнение sin х = 1 имеет решение х =π/2 + 2πn, где n принадлежит Z. Уравнение sin х = 3 решений не имеет

Ответ: х = π/2 +2πn, где n принадлежит Z.

Задания для самостоятельной работы ( на 10 минут).

1 вариант.

tgx- 3tg x + 2 = 0 ( 2 балла )

2cosx+ 5 sin x - 4 = 0 (3 балла).

+ 2 sin x = 3 (3 балла).

2 вариант

2 +cosx - 3 cos x = 0 (2 балла)

4 -5cos x - 2 sinx = 0 (3 балла)

+ 2sin x = 3 (3 балла).

Указания учителя.

Проверьте и оцените свою работу, правильные ответы возьмите у учителя. Исправьте ошибки, если они есть, проставьте количество баллов в оценочный лист.

Если вы набрали 5 баллов, то переходите к следующему этапу, если же меньше, то решайте задание другого варианта .

Учебный элемент№3

Цель: закрепить навык решения тригонометрических уравнений методом разложения на множители.

Указания учителя.

Метод разложения на множители.

Суть этого метода состоит в том, что данное выражение раскладывается на множители. Самыми популярными являются способы вынесения за скобку общего множителя, группировки, применение формул сокращённого умножения.

Пример. Решить уравнение.

2sinx -cos 2x -sin x = 0

Решение.(2 sinx - sin x) - (cos x -sin x ) = 0

Sin x( 2sin x - 1) -(1 -2 sinx) = 0,

Решая дальше это уравнение , получим ответ.

Х =π/4 +πk, х =-π/2 +2πn, где n ,k целые числа.

Задания для самостоятельной работы ( на 10 минут)

1 вариант.

sinx - sin x = 0 ( 2 балла)

3cos x + 2sin 2x =0 (3 балла).

2 вариант.

сtgx - 4 ctg x = 0 ( 2 балла)

5sin 2x - 2 sin x = 0 (3 балла)

Указание учителя.

Если набрано 5 баллов, то переходите к следующему элементу, а если меньше, то решайте другой вариант.

Учебный элемент № 4.

Цель: закрепить навык решения однородных уравнений.

Указания учителя.

Однородные уравнения это уравнения вида:a sin x +b cos x = 0,a sinx + b sin x cos x + c cos x = 0

Примеры таких уравнений.

1. 5sin x - 2 cos x = 0

2. 12 sin x + 3 sin 2x - 2 cos x = 0

После решения этих уравнений предлагается самостоятельная работа на 10 минут.

1 вариант.

Sin x - cos x = 0 ( 2 балла)

sin x - sin 2x = 3 cosx ( 3 балла)

2 вариант.

5sin x + 6 cos x = 0 (2 балла)

3sin x - 2 sin 2x + 5 cos x = 2 ( 3 балла)

Указания учителя.

Если набрано 5 баллов, то можно переходить к следующему элементу, а если меньше 5 баллов, то нужно прорешать тот номер другого варианта, где допущена ошибка.

Учебный элемент № 5.

Указания учителя.

Вы прошли 1 уровень усвоения материала. Теперь нужно самостоятельно выбрать метод решения уравнений, вспомнить формулы и применить их.

Самостоятельная работа на ( 20 минут).

1вариант.

Cos 2x - 5 sin x - 3 = 0 ( 1 балл)

Sin 2x + cos 2x = 0 ( 1 балл)

cos x - cos 2x = sin x (2 балла)

sin 4x - cos 2x = 0 (2 балла)

2 вариант.

Cos 2x + 3 sin x = 2 (1 балл)

Sin 2x - cos 2x = 0 (1 балл)

6 - 10 cosx + 4 cos 2x = sin 2x (2 балла)

cos x cos 2x = 1 (2 балла).

Указания учителя.

Проверьте и оцените свою работу, правильные ответы возьмите у учителя. Исправьте ошибки, если они есть. Проставьте баллы в оценочный лист. Если набрано 5 баллов, то переходите к следующему заданию, а если меньше, то решайте другой вариант.

Учебный элемент № 6.

Указания учителя.

Молодцы! Вы освоили решение уравнений 2 уровня сложности. Целью дальнейшей работы является применение своих знаний и умений в более сложных ситуациях.

Самостоятельная работа.

(Она даётся в одном варианте и не ограничивается во времени, так как её решают далеко не все учащиеся.)

1. sin 6x + cos 6x = 1 - 2 sin 3x (2 балла)

2. 29 - 36 sin( x - 2 ) = 0 (3 балла)

3. 2sin x cos x + - 2 cos x - sin x = 0 (2 балла)

4. sin 4x = 2 cosx - 1 (2 балла)

5. sin x( sin x + cos x) = 1 (3 балла).

6. + = (3 балла)

Затем проверяются и оцениваются работы учащихся, исправляются ошибки, если они есть. Подсчитывается количество баллов и ставится в оценочный лист. Оцениваются работы.

Каждый ученик анализирует свою работу:

1.Я умею…

2.Я знаю…

3.Хотелось бы лучше научиться…

4.Мне нравится…

5.На уроке мне было хорошо…

Затем задаётся домашнее задание.