План-конспект 'Арккосинус числа а. Решение уравнений cos x = a. ' (10 класс)

Урок по алгебре и началам анализа в 10 классе.

Тема урока: Арккосинус числа а. Решение уравнений cos x = a.

Цели урока:

1. Обучающие:

• ввести понятие арккосинуса числа а;

• выработать навык вычисления арксинуса числа а;

• вывести формулу корней простейших тригонометрических уравнений формулу cos x = a;

• научить применять формулу при решении простейших тригонометрических уравнений;

• изучить частные случай решения тригонометрических уравнений при а равном 0, -1, 1.

2. Развивающие:

• развивать умение кратко, логично, последовательно излагать мысли и суждения;

• развивать способность аргументировать свои утверждения;

• развивать умения классифицировать, сравнивать, анализировать и делать выводы.

3.Воспитательные:

• обучать навыкам планирования деятельности, работы в оптимальном темпе,

• воспитывать умение правильно оценивать свои возможности, результаты учебной деятельности, развивать коммуникативные навыки;

• воспитывать трудолюбие и целеустремленность.

Оборудование: компьютер, раздаточный материал, плакат с единичной окружностью.

Ход урока:

1. Организационный момент

Сегодня на уроке мы будем учиться

• кратко, логично, последовательно излагать мысли и суждения;

• аргументировать утверждения;

• сравнивать, анализировать и делать выводы;

• оценивать результаты своей учебной деятельности.

2.Актуализация знаний

-Устный счет

1. Вычислить значения: cos ; cos ; cos .

Учитель

Ученик

Точки единичной окружности ,, принадлежат какой четверти?

Точки единичной окружности ,, принадлежат 1четверти

Косинус какого угла есть величина положительная?

Вывод: Косинус острого угла есть величина положительная.

Если угол принадлежит 1 четверти

2. Вычислить значения: cos ; cos; cos

Учитель

Ученик

Точки единичной окружности ,, принадлежат какой четверти?

Точки единичной окружности ,, принадлежат 2 четверти.

Косинус какого угла есть величина отрицательная?

Вывод: Косинус тупого угла величина отрицательная

Если угол принадлежит 2 четверти

3. Проверка домашней работы (3 учащихся заранее готовят на доске решения уравнений с помощью единичной окружности)

• cos t =

t = +2πk , где kZ (объяснение ведется по единичной окружности)

Ответ: t = +2πk , где kZ.

• cos t = 1,5,

не имеет решения т.к. -1≤а≤1

Ответ: нет решений.

• cos t = 1,

t = 2πk, где kZ.

Ответ:t = 2πk, где kZ.

• cos t = 0,

t = + πk, k;

Ответ: t = + πk, k;

• cos t = -1,

t = π + 2πk, k.

Ответ: t = π + 2πk, k.

4.Изучение нового материала

Учитель

Ученик

Теперь решим уравнение cos t =.

на доске ведет запись на основной доске рядом с примером cos t = , все остальные учащиеся слушают (пример и единичная окружность записаны заранее)

Проговаривая алгоритм решения простейшего тригонометрического уравнения, ученик решает уравнение с помощью единичной окружности.

t = t₁ +2πk, t = t₂ +2πk, где kZ, т.к. t₁₌ - t_2, то t = ± t₁ +2πk, где kZ,

Является ли эта запись ответом решения уравнения?

Эта запись не является ответом решения уравнения, т. к. не определены значения t_1.

Учитель: Что это за число t₁, пока неизвестно, ясно только то, что t₁. Столкнувшись с такой ситуацией, математики поняли, что надо придумать способ ее описания на математическом языке. Поэтому был введен на рассмотрение новый символ arcсos а, который читается: арккосинус а.

Запишем тему сегодняшнего урока: «Арккосинус числа а. Решение уравнений cos t = a»

Сегодня на уроке мы изучим понятие арккосинус числа а, научимся его вычислять и применять при решении простейших тригонометрических уравнений.

Arcus в переводе с латинского значит дуга, сравните со словом арка. Символ arcсosа, введенный математиками, содержит знак (arc), сosа - напоминание об исходной функции

Открываем учебник, определение арккосинуса (ученики открывают учебник и читают по книге определение, выделяя главное)

Закрепление и отработка понятия арккосинус числа а и алгоритма его вычисления (фронтальная работа с классом)

Учитель

Ученик

Значит, вычисляя арккосинус числа а, какой нужно себе задать вопрос?

Косинус какого числа равен а?

Применяя изученное определение, найдите значение выражения

arccos ();arcсos( ) arcсos( )

arccos () =

arcсos() =

arcсos( ) =

Все значения а принадлежат отрезку от -1 до 0. Какой четверти принадлежат значения арккосинуса а?

Значения arccosа принадлежат отрезку от 0 до

А как же вычислить значение arccos(-а)? Обратимся к учебнику и найдем формулу, по которой вычисляется значение arccos(-а) (читаем и выделяем формулу).

Вычислить: arccos (-); arcсos(- );

arcсos(- );

arccos (- )=

arсcos(- ) =

arсcos(- ) =

Все значения (-а) принадлежат отрезку от -1 до 0. Какой четверти принадлежат значения arccos(-а)?

Значения arcсos(-а) принадлежат отрезку от до π

Закрепление и отработка понятия арккосинус числа а и алгоритма его вычисления (фронтальная работа с классом)

Вычисляем по слайду на интерактивной доске

5. Самостоятельная работа

2 человека работают у доски самостоятельно, остальные работают в тетрадях, затем проверяют правильность выполнения. Те, кто работал с дом заданием, у доски пишут на листочка, затем сдают их на проверку

Учитель

Ученик

Вернемся к уравнению cos t =. Зная понятия арккосинуса, теперь мы можем записать ответ решения этого уравнения следующим образом.

cos t =.

t = ±arccos + 2πk, где kZ .

Ответ: t = ±arccos + 2πk, где kZ

Мы решили уравнение двумя способами: с помощью единичной окружности и с помощью формулы.

Записывают в тетради решение за учителем

Итак, запишем справочный материал и выделим его решением уравнения

cos t = a, где а.

t = ± arcсos а + 2πk, k.

Ответ: t = ± arcсos а + 2πk, k.

Записывают в тетради модель решения уравнения за учителем

6. Закрепление изученного материала

cos t = ; cos t = .

7. Подведение итогов урока

Учитель

Ученик

Какие новые понятия вы изучили на уроке?

Мы узнали новое понятие арккосинус а.

Какой новый способ решения простейших тригонометрических уравнений мы рассмотрели на уроке?

С помощью формул

8.Домашнее задание