Работа для НПК Геометрия Лобачевского

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ

ШКОЛА № 10 «ПЕРЕСВЕТ»

________________________________________________________________

Геометрия Лобачевского

СЕКЦИЯ МАТЕМАТИКА

Работу выполнила:

Шашкина Софья, ученица 8А класса

Руководитель:

Лямцева Ольга Яковлевна

учитель математики

первой квалификационной категории

БЕРДСК - 2016

Содержание

8

Заключение …………………………………………………………

13

Список литературы ………………………………………………….

14

Введение

Любая теория современной науки считается единственно верной, пока не создана следующая. Это своеобразная аксиома развития науки.

Этот факт многократно подтверждался. Физика Ньютона переросла в релятивистскую физику, а та в квантовую. Теория флогистона стала химией, а самозарождение мышей из грязи обернулось биологией. Такова судьба всех наук, и нельзя сказать, что сегодняшнее открытие через двадцать лет не окажется грандиозной ошибкой. Но это тоже нормально - ещё Ломоносов говорил: «Алхимия - мать химии: дочь не виновата, что её мать глуповата».

Участь эта не обошла и геометрию. Традиционная Евклидова геометрия переросла в неевклидову, геометрию Лобачевского. Именно сравнению некоторых теорем этих теорий и посвящена данная работа.

Геометрия Лобачевского является очень удачным объектом для исследования. Это обусловлено, во-первых, наглядностью и естественностью задач, и во-вторых, парадоксальностью ответов. В то же время геометрия Лобачевского является важной частью математики и активно используется в самых разных ее областях. Лобачевский принадлежит к числу тех великих русских математиков, труды которых являлись не только ценным вкладом в науку, но и открывали ей новые пути.

Я выбрала данную тему потому, что геометрия Лобачевского помогает взглянуть на окружающий мир по-другому. Чтобы ее понять, необходимо обладать фантазией и пространственным воображением.

Целью моей работы является изучение некоторых теорем геометрии Лобачевского, сравнение их с теоремами геометрии Евклида.

Для достижения цели мною были поставлены следующие задачи:

Изучение теоретических аспектов геометрии Лобачевского;

Рассмотрение практического применения на отдельных примерах.

1. Биография Лобачевского

Детство Лобачевского было тяжелым и бедным. В Казанской гимназии он был казеннокоштным студентом, что накладывало определенные обязанности и ограничения. Самым простым было учиться лучше других; но казеннокоштным студентам, например, не разрешалось выходить дальше, чем за пределы парадного двора. Но уже с самого начала жизни Лобачевский интересовался геометрией. Это неудивительно, ведь его отец был землемером. Лобачевский проявил также большую склонность к языкам - например, французский он выучил за три месяца. Он писал стихи - его поэмы о Волге считаются одними из лучших. Но при этом он не забывал учиться - в 1807 году он студент, а в 1811 - магистр. Работая над развитием геометрии, в 1826 году, уже будучи деканом физико-математического факультета, он сделал доклад, содержавший основы неевклидовой геометрии. Однако время было не совсем подходящим: открылись хищения из казны Магницким - ещё одним математиком этой эпохи.

Магницкого «записали» в декабристы. Словом, ученому миру было не до новых теорий.

Но он не сдался. С 1829 по 1830 год он публиковал в журнале «Казанский вестник» мемуары «О началах геометрии», и это была первая публикация основ его теории.

Лобачевский пользовался уважением и любовью студентов и коллег. Когда упразднили должность директора университета, то его кандидатуру на пост главного ректора утвердили без возражений. Но жизнь нанесла ещё один удар: он начал слепнуть. Он начал играть со своей женой в страшную игру, пытаясь убедить её, что ещё хорошо видит. Она закатывала истерики, уговаривала лечиться, но все тщетно - Лобачевский ослеп. Но, тем не менее, он продолжал преподавать и пользоваться безграничной любовью и уважением учеников. Знаменателен случай, когда молодого студента, засмеявшегося над споткнувшимся Лобачевским, однокурсники заставили уйти из университета. Лобачевский об этом даже не узнал.

В 1855 году он был уволен со службы с причислением к министерству. В этом же году опубликовал свою последнюю работу - «Пангеометрия», которую диктовал своим ученикам. Его горячим желанием было создать единую механику, но времени не хватило. Он умер в 1856 году - забытый царем, лишившись орденов и квартиры - ордена украли, а квартиру конфисковали. В его формулярном листе за сорок лет работы в графе отпусков бисерным почерком Лобачевского было написано: «Не был».

2. История открытия

«Начала» - величайший памятник деятельности Евклида, в котором он собрал воедино всё то, что сделали его предшественники в области геометрии и «словесной алгебры». Но не только в этом его заслуга. Он также внёс много своего, нового, оригинального. Вплоть до XX в. геометрию в школах преподавали по учебникам, в которые были включены евклидовы «Начала», переведённые и литературно обработанные. Однако не всё написанное Евклидом удовлетворяло живших после него математиков. Так называемый пятый постулат Евклида вызвал особые нарекания математиков. Именно эта аксиома, как показала историческое развитие науки, содержала в себе зародыш другой, неевклидовой геометрии.

Вот о чём говорится в пятом постулате: Если две прямые a и b образуют при пересечении с третьей прямой внутренние односторонние углы, сумма величин которых меньше двух прямых углов (т.е. меньше 180), то эти две прямые обязательно пересекаются.

Данное утверждение заметно сложнее остальных аксиом. Потому-то пятый постулат часто замеряют на равносильную аксиому параллельности: к данной прямой через данную вне её точку можно провести не более одной параллельной прямой.

Сложность формулировки пятого постулата и его неубедительность привели к тому, что очень многие математики, жившие после Евклида, старались исключить этот постулат из списка аксиом, т.е. доказать его как теорему с помощью остальных аксиом Евклида. В «сражениях» с пятым постулатом особенно далеко продвинулись Ламберт, Саккери и Лежандр.

В начале XIX в. в «сражение против пятого постулата» вступил русский математик профессор Казанского университета Николай Иванович Лобачевский. Он был исключительно талантлив и настойчив. Первое время Лобачевский шёл тем же путём что и его предшественники, т.е. пытался рассуждать от противного.

Допустив, что пятый постулат неверен, а остальные аксиомы справедливы, Лобачевский считал, что рано или поздно придет к противоречию. Этим противоречием он и будет доказан.

Но так и не получив этого противоречия, Лобачевского осенила гениальная догадка: противоречия никогда не будет! Иначе говоря, если мы добавляем ко всем прочим аксиомам ещё и пятый постулат, то получается непротиворечивая геометрическая система - та евклидова геометрия, к которой мы так привыкли. Если же ко всем прочим аксиомам вместо пятого постулата мы добавим отрицание аксиомы параллельности, т.е. аксиому о том, что через точку вне прямой можно провести более одной прямой, параллельной данной, то получим другую геометрическую систему (Лобачевский назвал её «воображаемой» геометрией), которая, однако, тоже непротиворечива.

Лобачевский выступил с докладом об открытии неевклидовой геометрии в1824г., но поддержки не нашёл. Математики его времени ещё не были подготовлены к мысли о возможности существования иной, неевклидовой геометрии. Учёный умер, так и не добившись признания своих идей.

Впрочем, один человек понимал и поддерживал его работы. Гениальный Гаусс, «король математиков» (судя по архиву, разобранному уже после смерти), ещё в 1815г., за девять лет до сообщения Лобачевского, размышлял над аналогичными идеями. И, тем не менее, Гаусс, к мнению которого прислушивались все, не решился опубликовать свои работы. Однако Гаусс добился того, что Лобачевского избрали иностранным членом - корреспондентом Гёттингенского учёного общества. Это единственная почесть, возданная Лобачевскому при жизни.

Математики следующего поколения (Клейн, Кэли, Пуанкаре и др.) сумели построить модель геометрии Лобачевского из материала геометрии Евклида, тем самым установив непротиворечивость и законность новой геометрии. И математики поняли, что могут быть разные геометрии и разные пространства.

3. Сравнение доказательств некоторых теорем геометрии Евклида и Лобачевского.

Все теоремы о треугольниках, которые в евклидовой геометрии доказывают без помощи аксиомы параллельности, имеют место также в геометрии Лобачевского. Подавляющее большинство теорем относится именно к этому типу. Но треугольники на плоскости Лобачевского обладают рядом специфических свойств.

Рассмотрим некоторые из них. Исследуем, прежде всего, связь постулатов Евклида и Лобачевского с вопросом о сумме углов треугольника. Покажем, что постулат Евклида равносилен предположению, что сумма углов треугольника равна двум прямым, а постулат Лобачевского - что сумма углов меньше 2-х прямых.

Геометрия Евклида

Геометрия Лобачевского

Теорема о сумме углов треугольника

Теорема. Сумма углов любого

треугольника равна 180⁰.

Доказательство. Рассмотрим произвольный треугольник ABC и докажем, что ∠A+∠B+∠C=180°. Проведем через вершину B прямую а, параллельную стороне АС. ∠1 и ∠4 являются накрест лежащими углами при пересечении параллельных прямых а и АС секущей АВ, а ∠3 и ∠5 - накрест лежащие углы при пересечении тех же параллельных прямых секущей ВС. Поэтому ∠4=∠1, ∠5=∠3. Очевидно, сумма углов 4, 2 и 5 равна развернутому углу с вершиной В, т. е. ∠4+∠2+∠5=180°. Отсюда, учитывая предыдущие равенства, получаем: ∠1+∠2+∠3=180°, или ∠A+∠B+∠C=180°.

Теорема 1. Сумма углов любого треугольника

меньше 180⁰.

Доказательство. Через середины AB и BC проведем среднюю линию треугольника PQ.

Из каждой вершины треугольника проведем перпендикуляр на среднюю линию.

Получили пары равных треугольников по гипотенузе и острому углу: ΔAMP=ΔPBN, ΔBNQ=ΔQRC. Следовательно, ∟1=∟2, ∟3=∟4; AM=BN, BN=CR,AM=CR.

Получили четырехугольник AMRC -это четырехугольник Саккери, так как углы при основании MR равны, и AM равна CR. А в геометрии Лобачевского есть теорема о том, что сумма углов, прилежащих к четвертой стороне четырехугольника Саккери меньше 180⁰, то есть, получаем, что ∟A+∟1+∟C+∟4<180⁰.

Производя замену углов из равенств ∟1=∟2, ∟3=∟4, получаем, ∟A∟C+∟2+∟3<180⁰, но сумма второго и третьего углов есть угол B, следовательно, сумма углов треугольника меньше 180⁰.

Теорема 2. Сумма углов треугольника в геометрии Лобачевского есть величина переменная и зависит от формы и размеров треугольника.

Доказательство:

Пусть дан треугольник ABC, в котором проведен произвольный отрезок BD,

разбивающий его на два треугольника ABD и BDC. Теорема доказывается методом от противного.

Допустим, что у всех треугольником в геометрии Лобачевского сумма углов есть постоянная величина. Обозначим сумму углов данного треугольника ΣABC и пронумеруем его углы. Из рисунка видно, что ∟1+∟2+∟3+∟4+∟5+∟6=ΣABC+180, так как ∟5+∟6=180 , но ∟1+∟2+∟3+∟4+∟5+∟6=ΣABC+ΣDBC. Отсюда ΣABC+ΣDBC=ΣABC+180 .

Принимая во внимание сделанное допущение (сумма углов треугольника -величина постоянная γ), равенство ΣABC+ΣDBC= ΣABC+180 перепишется так: γ+γ=γ+180. Решив полученное уравнение относительно γ, получим, что γ=180. Это противоречит условию, так как в геометрии Лобачевского сумма углов треугольника меньше 180.

Внешний угол треугольника

Теорема. Внешний угол треугольника равен сумме внутренних, с ним не смежных углов.

Доказательство

Из равенств ∠4 + ∠3 = 180° и

∠1 + ∠2 + ∠3 = 180° получаем, что ∠4=∠1+∠2.

Теорема. Внешний угол треугольника больше суммы внутренних, с ним не смежных углов.

Доказательство. Действительно, пусть 4 -

внешний угол треугольника, смежный с

внутренним углом 3, и пусть 1 и 2 - остальные внутренние углы; тогда 3+4=180⁰, следовательно 4 > 1 + 2.

Четвертый признак равенства треугольников, или первый признак подобия

Теорема. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны. (Первый признак подобия треугольников)

Доказательство. Пусть ABC и А1В1С1 - треугольники, у которых ∠A=∠A1;∠B=∠B1, и, следовательно, ∠C=∠C1. Отложим на ВА от точки В отрезок ВА2, равный отрезку A1B1, и через точку А2 проведем прямую, параллельную прямой АС. Эта прямая пересечет ВС в некоторой точке С2. Треугольники А1В1С1 и А2ВС2

равны: А1В1=А2В по построению, ∠В=∠В1 по условию и ∠А1=∠А2, так как ∠А1=∠А по условию и ∠А=∠А2 как соответственные

углы. По определению подобных треугольников имеем: △A2BC2∼△ABC , и

значит, △ABC∼△A1B1C1.

Теорема. Если три угла одного треугольника равны трем углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. Пусть в треугольниках ABC и А'В'С' имеем A=A', B=B', C=С'. Докажем, что АВ = A'В'. Предположим, что АВ ≠А'В'; для определенности допустим, что АВ>А'В'. На лучах АВ и АС возьмем точки В" и С" так, чтобы АВ"=А'В' и АС"=А'С'. (По первому признаку равенства треугольников имеем АВ"С" = А'В'С, поэтому ∠1=∠2. По условию ∠2=∠3, следовательно, ∠1=∠3.

Аналогично, ∠4=∠6. По предположению

АВ>А'В' поэтому А - В" - В, т. е. прямая В"С" пересекает сторону АВ треугольника ABC. Прямые В"С" и ВС не пересекаются (т.к. ∠1=∠3), следовательно, по аксиоме Паша В"С" пересекает сторону АС ⍙ABC, и значит, А-С"-С. Отсюда следует, что BB"C"C выпуклый. Из равенств ∠1=∠3 и∠4=∠6 следует, что сумма углов этого четырехугольника равна 360⁰ . Таким образом,

приходим к противоречию. Значит, АВ=А'B'. По второму признаку равенства треугольников АВС=A'В'С'.

Заключение

Как видно из моей исследовательской работы, геометрия Лобачевского очень отличается от геометрии Евклида.

Однако логическая стройность геометрии Лобачевского такая же, как и геометрии Евклида.

В процессе работы изучена литература, связанная с историей математики, с математическим содержанием. Рассмотренный мною материал могут использовать учителя при проведении факультативных занятий, или частично при проведении уроков геометрии.

Содержащиеся в работе сведения о геометрии Лобачевского дают мне

возможность, для рассмотрения в дальнейшем, её практического применения.

Открытие неевклидовой геометрии доказало, что нельзя абсолютировать представления о пространстве, что «употребительная» (как назвал Лобачевский геометрию Евклида) геометрия не является единственно возможной, однако это не подорвало незыблемость геометрии Евклида. В основе геометрии Евклида лежат не «врожденные» уму понятия и аксиомы, а такие понятия, которые связаны с деятельностью человека, с человеческой практикой. Только практика может решить вопрос о том, какая геометрия вернее излагает свойства физического пространства. Открытие неевклидовой геометрии дало решающий толчок грандиозному развитию науки, способствовало и поныне способствует глубокому пониманию окружающего нас материального мира.

Я считаю, что я достигла цели, которую поставила в исследовательской работе. Данное исследование удовлетворила мои внутренние потребности в изучении данной темы.

Список литературы

1. А. Д. Александров, А. Л. Вернар, В. И. Рыжик, Геометрия М: Просвещение, 1991).

2. Широков П.А. Краткий очерк основ геометрии Лобачевского. -М.:Наука, 1983.

3. Франгулов С.А., Совертков П.И. Геометрия Лобачевского. СПб., 1992.

4. Прасолов В.В. Геометрия Лобачевского. М.: Изд-во МК НМУ, 1995.

5. </ Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Ч.II. Просвещение, 1998

6. Джавад Тарджеманов. Юность Лобачевского. Татарское книжное издательство, 1968.

13