Конспект урока по математике на тему Наибольший общий делитель (5 класс)

Урок 8. ДЕЛИМОСТЬ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Тема. Наибольший общий делитель.

Цель. Закрепить умения раскладывать натуральные числа на простые множители. Научится находить наибольший общий делитель.

Ход урока.

1. Организационный момент.

2. Проверка домашнего задания.

3. Анализ самостоятельной работы.

4. Актуализация опорных знаний.

1. Когда говорят, что число а делится на число b.

2. Когда говорят, что число а кратно числу b.

3. Сформулируйте признаки делимости.

4. Какие числа называются простыми? Составными.

5. Назовите первые 10 простых чисел.

6. Что означает разложить составное число на простые множители?

5. Объяснение нового материала.

Наибольший общий делитель.

Знаем:

Определение. Если натуральное число а делится на натуральное число b, то число b называют делителем числа а.

a : b, а - кратное числа b (а всегда больше или равно b),

b - делитель числа а (b всегда меньше или равно а).

Пример 1. Найдите:

1) Все делители чисел 24 и 32;

2) Все общие делители чисел 24 и 32;

3) Наибольший общий делитель чисел 24 и 32.

Решение.

1) делители 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24;

делители 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32;

2) общие (одинаковые) делители 24 и 32: 1, 2, 4, 8;

Наибольший общий делитель чисел a и b обозначают НОД(a, b).

3) НОД(24, 32) = 8.

Определение. Наибольшим общим делителем двух натуральных чисел - это самое большое натуральное число, на которое делится каждое из этих чисел.

Однако находить данным способом НОД чисел неудобно, особенно если числа «большие».

Рассмотрим более универсальный способ нахождения НОД.

Пример 2. Найдите НОД(630, 252) = 2  3  3  7 = 126.630 = 2  3³  5  7;

2)

252 = 2²  3²  7;

Пример 3. Найдите НОД(56, 45) = 1.Определение. Числа, не имеющие общих простых делителей, называют взаимно простыми числами.

Определение. НОД взаимно простых чисел равен 1.

Пример 4. Найдите НОД(32, 16) = 2  2  2  2 = 16.Определение. Если одно из чисел делится нацело на другое, то НОД этих чисел равен меньшему из них.

Алгоритм нахождения НОД (2^х или более чисел).

1) Разложить каждое из чисел на простые множители.

2) Выделить общие.

3) Найти их произведение.

6. Решение упражнений.

1. Найдите:

1) Все делители чисел 36 и 88;

2) Все общие делители чисел 36 и 88;

3) Наибольший общий делитель чисел 36 и 88.

Решение.

1) делители 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36;

делители 88: 1, 2, 4, 8, 11, 22, 44, 88;

2) общие делители 36 и 88: 1, 2, 4;

3) НОД(36, 88) = 4.

2. Найдите наибольший общий делитель чисел:

1) 15 и 21; 2) 36 и 78; 3) 54 и 90; 4) 84 и 112.

Решение.

1) НОД(15, 21) = 3;2) НОД(36, 78) = 2  3 = 6;

3) НОД(54, 90) = 2  3  3 = 18;

1)

54 = 2  3³;

2)

90 = 2  3²  5;

8) НОД(84, 112) = 2  2  7 = 28.

1)

84 = 2²  3  7;

2)

112 = 2⁴  7;

3. С помощью разложения чисел на простые множители докажите, что являются взаимно простыми числа:

1) 24 и 25; 2) 32 и 75.

Решение.

1) НОД(24, 25) = 1, Значит, 24 и 25 взаимно простые;

1)

24 = 2³  3;

2)

25 = 5²;

2) НОД(32, 75) = 1, Значит, 32 и 75 взаимно простые.

1)

32 = 2⁵;

2)

75 = 3  5²;

4. Найдите:

1) НОД(34, 17); 2) НОД(108, 36); 3) НОД(45, 90).

Решение.

1) НОД(34, 17) = 17; 2) НОД(108, 36) = 36; 3) НОД(45, 90) = 45.

5 (Дополнительный). Найдите наибольший общий делитель чисел: 28, 84 и 98.

Решение.

НОД(28, 84, 98) = 2  7 = 14.

1)

28 = 2²  7;

2)

84 = 2²  3 7;

3)

98 = 2  7²;

7. Подведение итогов урока.

8. Домашнее задание. § 3.5 (выучить теорию). № 663, 664(а-в), 667(а-в), 668(а-в).

Урок 8. Тема. Наибольший общий делитель.

Задания по новой теме.

1. Найдите:

1) Все делители чисел 36 и 88;

2) Все общие делители чисел 36 и 88;

3) Наибольший общий делитель чисел 36 и 88.

2. Найдите наибольший общий делитель чисел:

1) 15 и 21; 2) 36 и 78; 3) 54 и 90; 4) 84 и 112.

3. С помощью разложения чисел на простые множители докажите, что являются взаимно простыми числа:

1) 24 и 25; 2) 32 и 75.

4. Найдите:

1) НОД(34, 17); 2) НОД(108, 36); 3) НОД(45, 90).

5 (Дополнительный). Найдите наибольший общий делитель чисел: 28, 84 и 98.

Урок 8. Тема. Наибольший общий делитель.

Задания по новой теме.

1. Найдите:

1) Все делители чисел 36 и 88;

2) Все общие делители чисел 36 и 88;

3) Наибольший общий делитель чисел 36 и 88.

2. Найдите наибольший общий делитель чисел:

1) 15 и 21; 2) 36 и 78; 3) 54 и 90; 4) 84 и 112.

3. С помощью разложения чисел на простые множители докажите, что являются взаимно простыми числа:

1) 24 и 25; 2) 32 и 75.

4. Найдите:

1) НОД(34, 17); 2) НОД(108, 36); 3) НОД(45, 90).

5 (Дополнительный). Найдите наибольший общий делитель чисел: 28, 84 и 98.

Урок 8. Тема. Наибольший общий делитель.

Задания по новой теме.

1. Найдите:

1) Все делители чисел 36 и 88;

2) Все общие делители чисел 36 и 88;

3) Наибольший общий делитель чисел 36 и 88.

2. Найдите наибольший общий делитель чисел:

1) 15 и 21; 2) 36 и 78; 3) 54 и 90; 4) 84 и 112.

3. С помощью разложения чисел на простые множители докажите, что являются взаимно простыми числа:

1) 24 и 25; 2) 32 и 75.

4. Найдите:

1) НОД(34, 17); 2) НОД(108, 36); 3) НОД(45, 90).

5 (Дополнительный). Найдите наибольший общий делитель чисел: 28, 84 и 98.