- Учителю
- Урок-практикум по математике на тему 'Решение задач на смеси и сплавы' (8-11 классы)
Урок-практикум по математике на тему 'Решение задач на смеси и сплавы' (8-11 классы)
Тема: «Решение задач на смеси и сплавы»
Введение ФГОС требует не только наличия знаний у учащихся, но и умение их применять, умение учиться. В связи с этим появилась необходимость в усилении практической направленности обучения, включая в работу с учащимися соответствующие задания на проценты, пропорции, графики реальных зависимостей, текстовые задачи с построением математических моделей реальных ситуаций. В процессе подготовки приходится искать различные пути решения таких типов задач как задачи «на движение». «на работу», «процентное содержание», «смеси и сплавы»...
В процессе поиска решения этих задач полезно применить очень удобную модель и научить школьников пользоваться ею. Изображаем каждую смесь (сплав) в виде прямоугольника разбитого на фрагменты, количество которых соответствует количеству составляющих эту смесь (этот сплав) элементов.
Но первым делом необходимо повторить такие понятия как:
1.концентрация (доля чистого вещества в смеси (сплаве));
2.масса смеси(сплава);
3.масса чистого вещества в смеси (сплаве).
А также, то, что процентом называется его сотая часть и три основные задачи на проценты:
1. Найти 15% от числа 60.
Решение:60•0,15=9.
2. Найти число, 12% которого равны 30.
Решение: 30:0,12=250.
3. Сколько процентов составляет число 120 от 600?
Решение: 120:600•100%=20%.
В качестве примера рассмотрим следующую задачу.
Задача 1. Имеется два сплава меди и свинца. Один сплав содержит 15% меди, а другой 65% меди. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 200г сплава, содержащего 30% меди?
Изобразим каждый из сплавов в виде прямоугольника, разбитого на два фрагмента (по числу составляющих элементов). Кроме того на модели отобразим характер операции - сплавление, поставим знак «+» между первым и вторым прямоугольниками. Поставив знак «=» между вторым и третьим прямоугольниками, мы тем самым показываем, что третий сплав получен в результате сплавления первых двух. Полученная схема имеет следующий вид:
Теперь заполняем получившиеся прямоугольники в соответствии с условием задачи:
-
Над каждым прямоугольником («маленьким») указываем соответствующие компоненты сплава. При этом обычно бывает достаточно использовать первые буквы их названия (если они различны). Удобно сохранять порядок соответствующих букв.
-
Внутри прямоугольников вписываем процентное содержание (или часть) соответствующего компонента. Понятно, что если сплав состоит из двух компонентов, то достаточно указать процентное содержание одного из них. В этом случае процентное содержание второго компонента равно разности 100% и процентного содержания первого.
-
Под прямоугольником записываем массу (или объем) соответствующего сплава (или компонента).
Рассматриваемый в задаче процесс можно представить в виде следующей
модели- схемы:
свинец
медь
15%
+
свинец
медь
65%
=
свинец
медь
30%
200г
Решение.
1-й способ. Пусть хг - масса первого сплава. Тогда, (200-х)г - масса второго сплава. Дополним последнюю схему этими выражениями. Получим следующую схему:
свинец
свинец
свинец
медь
медь
медь
15%
65%
30%
х г
(200-х) г
200 г
+
=
Сумма масс меди в двух первых сплавах (то есть слева от знака равенства) равна массе меди в полученном третьем сплаве (справа от знака равенства):
Решив это уравнение, получаем х=140. При этом значении х выражение 200-х=60. Это означает, что первого сплава надо взять140г, а второго-60г.
Ответ:140г. 60г.
2-й способ. Пусть х г и у г - масса соответственно первого и второго сплавов, то есть пусть исходная схема имеет вид:
свинец
свинец
медь
медь
15%
65%
х г
y г
свинец
медь
30%
200 г
+
=
Легко устанавливается каждое из уравнений системы двух линейных уравнений с двумя переменными:
Решение системы приводит к результату: Значит, первого сплава надо взять 140 г, а второго-60 г.
Ответ: 140г,60г.
Задача 2. В 4кг сплава меди и олова содержится 40% олова. Сколько килограммов олова надо добавить к этому сплаву, чтобы его процентное содержание в новом сплаве стало равным 70%?
Решение: Пусть х кг - искомое количество олова. Тогда масса полученного сплава равна (4+х) кг. Составим схему и внесем эти выражения на схему:
олово
олово
олово
медь
медь
100%
4кг
х г
хкг
(4+х)кг
40%
70%
+
=
Составим уравнение, подсчитав массу олова слева и справа от знака равенства на схеме. Получаем уравнение: (1), корнем которого служит
Отметим, что уравнение можно составить и на основе подсчета массы меди слева и справа от знака равенства. Для этого понадобится знать процентное содержание меди в данном и полученном сплавах. Внесем эти данные в схему:
олово
олово
олово
медь
медь
60%
30%
4 кг
х г
х кг
(4+х) кг
+
=
В этом случае получаем следующее уравнение:
(2).
Уравнение (1) равносильно уравнению (2). В этом легко убедиться, решив последнее уравнение. Его корень равен 4. Обычно решают то уравнение, которое проще. В нашем случае разница не так заметна. Вместе с тем, второе уравнение содержит переменную только в одной (правой) части и его обе части сразу можно разделить на 0,3. Поэтому предпочтение можно отдать второму уравнению.
Ответ:4кг.
Задача 3. К некоторому количеству сплава меди с цинком, в котором эти металлы находятся в отношении 2:3, добавили 4 кг чистой меди. В результате получили новый сплав, в котором медь и цинк относятся как 2:1. Сколько килограмм нового сплава получилось?
Решение.
Прежде чем составлять схему, уточним, что в первом сплаве медь составляет , а в полученном сплаве - . Обозначим массу полученного сплава х кг, и внеся указанные части в соответствующие фрагменты схемы, получаем:
цинк
медь
медь
медь
цинк
2/5
1
(x-4) кг
х г
4 кг
х кг
2/5
2/3
+
=
Нетрудно составить уравнение, подсчитав количество меди слева от знака неравенства, и приравняв его к количеству меди, справа от него. Получаем уравнение: Решив его, получаем искомое значение: х=9.
Замечание. Можно было составить уравнение на основе подсчета массы цинка в обеих частях неравенства. Для этого внесем в схему необходимые данные:
1) если в первом сплаве медь составляет часть , то цинк - ;
медь
медь
медь
цинк
цинк
3/5
1/3
(x-4)кг
х г
4кг
хкг
2/5
+
=
2) если в полученном сплаве медь составляет часть , то цинк - .
Уравнение в этом случае имеет вид: Это уравнение равносильно предыдущему.
Ответ х=9кг.
Аналогичные рассуждения позволяют школьникам справиться и с более сложными задачами рассматриваемого вида.
Задача 4. Имеются три смеси, составленные из трех элементовA, B и С. В первую смесь входят только элементы А и В в весовом отношении 1:2, во вторую смесь входят только элементы В и С в весовом отношении 1:3, в третью смесь входят только элементы А и С в весовом отношении 2:1. В каком отношении нужно взять эти смеси, чтобы во вновь полученной смеси элементы А, В и С содержались в весовом отношении 11:3:8?
Решение.
Предшествующая работа позволяет школьникам без проблем составить одну из схем, где за х единиц веса, у единиц веса и z единиц веса обозначены соответственно вес первой, второй и третьей смеси.
+
А
В
х ед.в.
B
C
у ед.в.
+
А
В
z ед.в.
=
C
A
C
(x+y+z) ед.в.
x ед.в.
(x+y+z) ед.в.
y ед.в.
z ед.в.
В
C
A
+
+
=
В
C
A
В
C
A
В
C
A
Вторая схема может иметь вид:
Подсчет и уравнивание веса любых двух из трех компонентов рассматриваемых смесей приводит к системе двух уравнений с тремя переменными. Если рассмотрим компоненты А и В, то система имеет вид:
Решение этой системы может вызвать затруднения у школьников: количество уравнений (их два) меньше числа переменных (их три). Навести на решение поможет правило: составить выражение, значение которого надо найти по вопросу задачи. Это выражение имеет вид: x:y:z. Значит, для ответа на вопрос задачи совсем не обязательно находить значение каждой из переменных. Достаточно найти два отношения x:y и y:z или x:y и z:y. Для нахождения двух последних отношений разделим левую и правую части каждого уравнения на у (у≠0).Получаем систему:
Теперь система имеет два уравнения и две переменных: Целесообразно для удобства записей ввести новые переменные: Теперь система принимает вид:
В результате решения системы получаем: Это означает, что следовательно, искомое отношение имеет вид: x:y:z=3:4:15.
Ответ:3:4:15.
Задача 5.
Для консервирования 10 кг баклажан необходимо 0,5 л столового уксуса
(10 % раствор уксусной кислоты). У хозяйки имеется уксусная эссенция (80 % раствор уксусной кислоты), из которой она готовит уксус, добавляя в нее воду. Сколько миллилитров уксусной эссенции понадобится хозяйке для консервирования 20 кг баклажан?
Решение.
Для консервирования 20кг баклажан понадобится 1л или 1000мл столового уксуса (10% раствор уксусной кислоты). Для получения его из х мл уксусной эссенции (80% раствор уксусной кислоты) необходимо добавить воду, тогда схема для решения задачи имеет вид:
вода
вода
вода
укс.кисл
укс.кисл
80%
100%
10%
х мл
х г
(1000-х) мл
1000 мл
+
=
Составим уравнение, подсчитав количество уксусной кислоты слева от знака неравенства, и приравняем его к количеству уксусной кислоты справа от него. Получаем уравнение
Значит, для приготовления 500мл маринада понадобится 125мл уксусной эссенции (80% раствор уксусной кислоты).
Ответ:125мл.
Задача 6. Свежие абрикосы содержат 80 % воды по массе, а курага (сухие
абрикосы) - 12 % воды. Сколько понадобится килограммов свежих абрикосов, чтобы получить 10 кг кураги?
Решение.
При высыхании абрикос испаряется вода, количество сухого вещества не меняется. Схема для решения такой задачи имеет вид:
вода
вода
вода
с.в.
с.в.
20%
100%
88%
х кг
х г
(10-х)кг
10 кг
80%
12%
-
=
Составим уравнение, подсчитав количество сухого вещества в левой и правой части схемы:
0,2х=8,8
х=44.
Ответ:44кг.
Задача 7. По рецепту засолки огурцов на каждые 10 л рассола необходимо добавить 1 л столового уксуса . У хозяйки имеется уксусная эссенция (80 % раствор уксусной кислоты), из которой она готовит уксус (10 % раствор уксусной кислоты), добавляя в нее воду. Сколько миллилитров уксусной эссенции понадобиться хозяйке для приготовления 5 л рассола?
Решение.
Для приготовления 5л рассола необходимо 0,5л или 500мл столового уксуса (10 % раствор уксусной кислоты). Для получения его из х мл уксусной эссенции (80% раствор уксусной кислоты), необходимо добавить воду. Тогда схема для решения задачи имеет вид:
вода
вода
вода
укс.кисл
укс.кисл
80%
100%
10%
х мл
х г
(500-х) мл
500 мл
20%
90%
+
=
Составим уравнение, подсчитав количество уксусной кислоты слева от знака неравенства, и приравняем его к количеству уксусной кислоты справа от него. Получаем уравнение:
Значит, для приготовления 5л рассола хозяйке понадобится 62,5мл уксусной эссенции (80% раствор уксусной кислоты).
Ответ:62,5.
Задача 8.. Кислый маринад для консервирования овощей содержит 24% столового уксуса (10 % раствор уксусной кислоты). У хозяйки имеется уксусная эссенция (80 % раствор уксусной кислоты). Сколько процентов уксусной эссенции должно содержаться в аналогичном маринаде?
Решение:
Объем маринада принимаем за единицу (1ед.об).. Если кислый маринад содержит 24% столового уксуса (10 % раствор уксусной кислоты) это значит, что в 1 ед. об. маринада содержится 0,24 ед.об столового уксуса. Найдем, сколько миллилитров уксусной эссенции содержится в 0,24 ед.об. столового уксуса (или в 1ед.об. рассола).
вода
100%
(0,24-х) ед.об.
вода
укс.кисл
10%
0,24 ед.об.
90%
=
вода
укс.кисл
80%
х ед.об
х г
20%
+
Составим уравнение, подсчитав количество уксусной кислоты слева от знака неравенства, и приравняем его к количеству уксусной кислоты справа от него. Получаем уравнение:
0,8х=0,024 ;
х=0,03.
Так как в 1ед.об. рассола содержится 0,03ед.об. уксусной эссенции, то процентное ее содержание составляет 3%.
Ответ:3.
Для самостоятельного решения:
-
Бронза - сплав меди и олова. В древности из бронзы отливали колокола, если в ней содержалось 75% меди. К куску бронзы 500кг и содержащему 72% добавили некоторое количество бронзы, содержащей 80% меди и получили бронзу, необходимую для изготовления колокола. Определите сколько добавили 80% бронзы.
Ответ:300кг.
-
В лаборатории изготовили 1кг 16% солевого раствора. Через неделю из этого раствора испарилось 200г воды. Какова стала концентрация соли в растворе?
Ответ:20%.
-
При выплавке стали из чугуна, выжигается углерод. Содержание углерода в чугуне 4%. Сколько тонн углерода нужно выжечь из 245т чугуна, чтобы получилась сталь с содержанием углерода 2%?
Ответ:5т.
-
Имеется 600г сплава золота и серебра содержащего золото и серебро в отношении 1:5 соответственно. Сколько грамм золота необходимо добавить к этому сплаву чтобы получить новый сплав содержащий 50% серебра.
Ответ:400г.
-
Слиток сплава меди и цинка массой 36 кг содержит 45% меди. Какую массу меди надо добавить к этому куску, чтобы полученный сплав содержал 60% меди?
Ответ:13,5кг.
-
После смешивания двух растворов, один из которых содержал 48 г, а другой - 20 г безводного йодистого калия, получилось 200 г нового раствора. Найдите концентрацию каждого из первоначальных растворов, если концентрация первого на 15% больше концентрации второго.
Ответ:40% и 25%.
-
Имелось два слитка меди. Процент содержания меди в первом слитке на 40% меньше, чем во втором. После того как оба слитка сплавили, получился слиток, содержащий 36% меди. Найдите процентное содержание меди в каждом слитке, если в первом было 6 кг меди, а во втором - 12 кг.
Ответ:20% и 60%
8. Сколько чистого спирта нужно добавить к 735 г 16%-ного раствора йода и спирта, чтобы получить 10%-ный раствор?
Ответ:441г.
-
Смешали 30%-ный раствор соляной кислоты с ее 10%-ным раствором и получили 600 г 15%-ного раствора. Сколько граммов 30 % -ного раствора было взято?
Ответ:150г.
10. В сосуде находится 10%-ный раствор спирта. Из сосуда отлили 1/3 содержимого, а оставшуюся часть долили водой так, что сосуд оказался заполненным на 5/6 первоначального объема. Какое процентное содержание спирта оказалось в сосуде?
Ответ:8%.
-
Имеются два слитка, состоящие из цинка, меди и олова. Известно, что первый слиток массой 150 кг содержит 40% олова, а второй массой 250 кг - 26% меди. Процентное содержание цинка в обоих слитках одинаково. Сплавив первый и второй слитки, получили сплав, в котором оказалось 30% цинка. Сколько килограммов олова содержится в полученном сплаве?
Ответ:170 кг.
-
Имеются два сплава, состоящие из меди, цинка и олова. Известно, что первый сплав содержит 25% цинка, а второй - 50% меди. Процентное содержание олова в первом сплаве в 2 раза меньше, чем во втором. Сплавив 200 кг первого сплава и 300 кг второго, получили новый сплав, в котором оказалось 28% цинка. Определите, сколько килограммов меди содержится в получившемся новом сплаве.
Ответ: 280 кг.
-
Из сосуда, содержащего чистый спирт, отлили 20% содержимого и добавили такое же количество воды. Затем снова отлили 20% содержимого и добавили такое же количество воды. Какое минимальное количество раз надо повторить этот процесс, чтобы содержание спирта в сосуде стало меньше 30%?
Ответ:6 раз.
14. Сплав весит 2 кг и состоит из серебра и меди, причем вес серебра составляет 14% веса меди. Сколько серебра в данном сплаве? Ответ:0,25 кг.
15. Имелись два разных сплава меди, причем процент содержания меди в первом сплаве был на 40% меньше, чем во втором. После того как их сплавили вместе, получили сплав, содержащий 36% меди. Определите процентное содержание меди в обоих сплавах, если известно, что в первом ее 6 кг, а во втором - вдвое больше.
Ответ:20% и 60%.
-
Два раствора, первый из которых содержал 800 г, а второй 600 г безводной серной кислоты, смешали и получили 10 кг нового раствора серной кислоты. Определите массу первого и второго растворов, вошедших в смесь, если известно, что процент содержания безводной серной кислоты в первом растворе на 10% больше, чем во втором.
Ответ:4кг и 6 кг.
-
Морская вода содержит 5% (по весу) соли. Сколько килограммов пресной воды надо прибавить к 40 кг морской воды, чтобы содержание соли в последней составляло 2 % ?
Ответ: 60 кг.
-
Имеется стальной лом двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько нужно взять металла каждого из этих сортов, чтобы получить 140 т стали с содержанием 30% никеля?
Ответ:40т и 100т.
-
Свежие грибы по весу содержат 90% воды, а сухие 12% воды. Сколько получится сухих грибов из 22 кг свежих?
Ответ:2,5 кг
20. Имеется сплав серебра с медью. Вычислите вес и пробу этого сплава, если его сплав с 3 кг чистого серебра есть сплав 900-й пробы, а его сплав с 2 кг сплава 900-й пробы есть сплав 840 пробы. (Проба благородного металла, равная например, 760 означает, что масса этого благородного металла в сплаве составляет 0,760 от массы всего сплава.)
Ответ: Вес первоначального сплава 3кг его проба 0,8.
21. Имеются три слитка. Первый весит 5 кг, второй 3 кг и каждый из этих слитков содержит 30% меди. Если первый слиток сплавить с третьим, то получится слиток, содержащий 56% меди, а если второй слиток сплавить с третьим, то получится слиток, содержащий 60% меди. Найдите вес третьего слитка и процент содержания меди в нем.
Ответ:10кг; 69%
22. Один сплав меди с оловом содержит эти металлы в отношении 2:3, другой - в отношении 3 : 7. В каком количестве надо взять эти сплавы, чтобы получить 12 кг нового сплава, в котором медь и олово были бы в отношении 3:5?
Ответ: 9кг и 3кг.
23. 40% раствор серной кислоты разбавили 60% раствором, после чего добавили 5кг воды и получили раствор 20% концентрации. Если бы вместо 5кг воды добавили 5 кг 80% раствора серной кислоты, то получился бы 70% раствор. Сколько было 40% и 60% раствора серной кислоты?
Ответ: 1кг 40% и 2кг 60%.
Список литературы.
1. Е.А.Семенко и др. Обобщающее повторение курса алгебры и начал анализа. Краснодар: «Просвещение-Юг», 2005.Ч.1. - 156с
2. Е.А.Семенко и др. Тестовые задания для подготовки к ЕГЭ - 2008 по математике. Краснодар: «Просвещение-Юг», 2008.Ч.2. - 103с
3. Е.А.Семенко и др. Тестовые задания для подготовки к ЕГЭ - 2008 по математике. Краснодар: «Просвещение-Юг», 2006.Ч 3. - 121с
4. Д,Гущин Сборник заданий по алгебре для подготовки к ЕГЭ и конкурсным экзаменам. Пособие для учителей/Париж, СПб: Стетоскоп, ВВМ, 2008. - 114с 5.Высоцкий И.Р., Гущин Д.Д. и др. ЕГЭ 2010. Математика. Универсальные материалы для подготовки учащихся /ФИПИ - М.: Интеллект-Центр, 2010. - 96с.
6. Часть 1 Алгебра. Углубленное изучение. 8 класс. Учебник. Автор: А.Г. Мордкович М.: Мнемозина, 2006год.
7. Часть 2 Алгебра. Углубленное изучение. 8 класс. Задачник к учебнику А.Г.Мордковича. Авторы: Л.И.Звавич, А.Р.Рязановский М.:Мнемозина, 2006год.