Мақала Жай сандардың математикадағы орны

ЖАЙ САНДАРДЫҢ МАТЕМАТИКАДАҒЫ ОРНЫ

Болатбекова Алуа, 4-курс студенті

Ғылыми жетекші: п.ғ.к., профессор Қожашева Г.О.

Математика адамзат тарихында тұрмыстық мұқтаждықты қанағаттандыру мақсатында пайда болған ең алғашқы ғылым. Олай дейтініміз адамзат өзін айнала қоршаған ортадан күнкөрістік тағамдық заттардың қорын жинағанда олардың мөлшерін білу үшін санауға мәжбүр болған. Санаудың нәтижесінен сан ұғымы қалыптасқан. Сонымен, сан адамзаттың ақыл ойының жалаң туындысы емес, тұрмыстық қажеттіліктен бастау алған ұжым [1].

Математика ғылымының түп атасы болмысымыздағы заттарды және нәрселерді қарапайым санау мен өлшеу тәсілдерінің тұжырымдалуына байланысты пайда болды. Алғашқы кездердегі санау «аз», «көп» деген секілді екі -үш атаудан ғана бастау алса, қазіргі кезде адам ойының пайымдауынша шексіз болатын санды дәл атау мүмкін емес, сондықтан шексіздік ұғымы пайдаланылған. Алғашқы кездері сандардың атаулары болмады, олардың саны қанша болса, сонша ұсақ таспен баламаланып немесе ағашқа сонша кертік салу арқылы белгіленген.

Математика ғылымының арифметика, алгебра, геометрия және тригонометрия, т.б. деп аталатын салалары бар. Арифметика ғылымы негізінен санау және сандардың қасиеттері жайлы мәселелермен шұғылданса, геометрия табиғатта кездесетін неше алуан пішіндердің аудандары мен көлемдерін, жер телімдерінің аудандарын анықтаумен айналысады. Алгебра болса аудан өлшеуді екінші дәрежелі теңдеулерге, ал көлем өлшеуді үшінші дәрежелі теңдеулерге баламалап теңдеу шешу мәселелерімен айналысатын, белгісіз шамалар қолданылатын арифметикалық кең ауқымды жалпылануы іспетті пән болды.

Математика қоршаған ортаның әрі нақты дүниедегі барша заттардың сан түрінде бейнелеген (өрнектелген) қатынастарын және осы заттардың кеңістіктегі пішіндерін зерттеуге арналған жалпылама ғылым болып табылады. Математиканың дерексіздік қасиетті иемденуі оны нақты дүниедегі болмыстардан қол үздірмейді, қайта қолдану аясын кеңейтеді.

Математиканың көне замандардағы даму кезеңдерінде заттарды санау нәтижесінде натурал сандар туралы түсінік қалыптасқан. Натурал сандарға қарама қарсы сандарды біріктіру нәтижесінде бүтін сандар ұғымы пайда болды. Күнделікті тұрмысымызда ауа райына байланысты жазда «бүгін осынша градус ыстық», ал қыстыгүні «осынша градуы суық» болды және не жылы емес не суық емес екі «ортадағы» температураны «нөл градус» шамасында дегенді радиодан немесе теледидардан жиі естиміз. Осыны «суық» деген сөз «-» («минус») таңбасымен, ал жылы, ыстық «+» («плюс») таңбасымен белгіленген. Ал, 0 (нөл) болса «+» және «-» таңбалы сандардың қақ ортасында орналасады. Сонымен, ... -2,-1,0,1,2 ... сандары тізбегі бүтін сандар деп аталған. Теріс натурал сандар, нөл және оң натурал сандар бүтін сандар деп аталған.

Өлшеу ісі саласындағы натурал сандармен барлық өлшемдері бүтін сан ретінде анықтау мүмкін болмай қалғандықтан бүтіннің үлесі, яғни бөлшек сан ұғымын енгізу қажеттілігі туындаған.

Бөлшек сандар және бұларға қарама қарсы сандарды біріктіргенде пайда болған сандар рационал сандар деп, ал мұндай сандарға жатпайтын «ақылға» сыйымсыз сандар иррационал (яғни, рационал емес) сандар деп аталған. Рационал сандар түріндегі бөлшек ретінде жазыла алады (тек болмауы шарт). Рационал сан шектеулі және шектеусіз пероидты ондық бөлшек түрінде жазыла алады. Нақты иррационал сан шектеусіз периодсыз ондық бөлшек түрінде жазылады (мысалы, және ). Иррационал сандар рационал емес алгебралық және трансценденттік сандарға ажыратылады [2].

Б.з.б. ІІІ ғасырда жазылған «Негіздер» деп аталған еңбегінде ежелгі грек математиги Евклид жай сандардың шексіз екенін, сандардың бөлінгіштігінің негізгі теоремаларын, екі кесіндінің ортақ өлшемін табу, екі санның ең үлкен ортақ бөлгішін анықтауға арналған алгоритмдерді анықтау мәселелері баяндалған.

1427 жылы парсы математигі әл -Кәши «Арифметиканың кілті» деп аталған кітабында ондық бөлшектер жүйесін және оларға амалдар қолдану ережелерін алғаш болып сипаттап баяндаған. Ондық бөлшектің қазіргі кездегіге ұқсас жазылуы нидерландық ғалым Симон Стивеннің 1585 жылы жазылған еңбегінде кездескен.

Сандар туралы ең алғаш пайымдаулар жасаған ежелгі грек ойшылы Пифагор болған. Натурал сандардың бөлінгіштік қасиеттері бойынша жұп сан және тақ сан болып ажыратылуын оған дейінгі кезеңдердегі математиктер де білген. Пифагор болса осы жұп сандар мен тақ сандардың қасиеттерін зерттеген. Екі жұп санның қосындысы да жұп сан болатындығы және екі тақ санның қосындысы да жұп сан болатындығы оны ойландырған.

Пифагор сандарды нүкте арқылы белгілеп мынадай бір заңдылықты байқаған. Мысалы, 5 санын бір қатарға бес нүкте арқылы белгілегенде, мұның ортасында жалғыз бір нүкте болып, оның екі жағында екі екіден нүкте орналасқан, бұл тақ сан. Сонымен тақ санды нүктемен белгіленде дәл ортасында бір нүкте болатыны белгілі болған. Ал, 8- жұп санын бір қатарға сегіз нүкте арқылы белгілегенде оның ортасында бір нүкте емес, екі нүкте орналасқан. Алғашқы 5 саны тақ, ал екінші 8- жұп саны екенін білеміз.

Екі тақ санның көбейтіндісінің тақ сан болатынын дәлелдеу үшін Пифагор нүктелерден тіктөртбұрыш құрған. Осы нүктелердің төменгі қатарының ортасында жалғыз нүкте және бүйір жағындағы тік жолда да дәл ортасында бір нүкте болғандықтан, тіктөртбұрыштың ортасында да бір орталық 0 нүктесі болады. Ортасында жалғыз нүктесі болатын санның жоғарыда тақ сан болатынын дәлелдедік.

Пифагор нүкте пішінін күрделендіре түскен. Тіктөртбұрыштың орнына үшбұрыш алған. Сонда 1,3,6,10,15, 21 т.с.с. сандар пайда болған. Бұл сандар үшбұрыш сандар деп аталды. Нүктелерден үшбұрыштар емес квадраттар да құрастыруға болады. Сонда 1,4, 9,16 т.б. сандарын бейнелейтін нүктелер пайда болған. Осы сандар квадраттар деп аталған. Осы квадрат атауы күні бүгінге дейін қолданылып келе жатқанын білеміз. Пифагор нүктелерден тек жазық пішіндер емес, кеңістік пішіндер де құрастырған. Нүктелерден пирамидалар, кубтар т.с.с. құрған. «Сандар кубы» деген атау осы атаудан қалған мұра.

Сандардан құралған әр түрлі пішіндер Пифагордың «әлемді сандар билейді» деп айтуына негіз болса керек. Сондықтан да сандар арқылы әр қилы түсініктерді бейнелеуге әрекеттенген. Мысалы, ол «әділдік» ұғымын 4 санымен бейнелеген, себебі 4 саны екі бірдей (өзара тең) көбейткіштерден құралған алғашқы сан, яғни 4=22 (1 саны Пифагор заманында сан деп есептелмеген). Пифагор вавилондық математиктер секілді жұп сандарды «ұрғашы» сандар, ал тақ сандар «еркек» сандар деп атаған. Сондықтан, некелесуді ең алғашқы тақ сан мен жұп санның қосындысына тең болатын 5 санымен бейнелеген, яғни 5=3+2. Алғашқы 1, 2, 3 және 4 сандарымен ежелгі грек ойшылдарының көзқарастарына сәйкес бүкіл әлемді бейнелейтін: от, жер, су және ауаны белгілеген. 10 санына Пифагор ерекше мән берген екен, себебі әлгі 1, 2, 3 және 4 сандарының қосындысы 10-ға тең. Сонымен оның пайымдауынша 10 саны бүкіл әлемді бейнелейтін сан болған. Пифагордың көптеген ілімдері шумерлер мен вавилондық математиктердің ілімдеріне ауысқан. Пифагор шумерлер мен вавилондықтар сияқты 7 санына тағзым еткен.

Пифагор кемелдікте бейнелеу үшін сандардың бөлінгіштік қасиетіне назар аударған (бөлінгіш ретінде 1-ді алған, бөлгіш ретінде санның өзін қабылдамаған). Санның бөлгіштерінің қосындысы әлгі санның өзінен кем болса, онда бұл санды толымсыз сан деген, ал әлгі қосынды санның өзінен артық болып кетсе, онда оны толымсыз сан деген. Егер әлгі қосынды санның өзімен тепе тең болса, онда ол кемел сан деп аталған. Егер екі санның біреуінің бөлгіштерінің қосындысы екіншісіне тең болса және, керісінше, екіншісінің бөлгіштерінің қосындысы бірінші санға тең болса, онда мұндай екі сан достасқан сандар делінген. 220 мен 284 сандары осындай достасқан сандар.

Мысалы, 10 саны толымсыз сан: себебі бөлінгіштерінің қосындысы 1+2+5=8 ( санның өзін бөлгіш қатарына жатқызылмағанын жоғарыда ескерткен болатынбыз), 8 <10. Ал 12 санының бөлгіштерінің қосындысы: 1+2+3+4+6=16, 12<16. Осы 12 саны - толымсыз сан (бөлгіштері көп). Ал 6 саны -кемел сан. Мұның бөлгіштерінің қосындысы 1+2+3=6, яғни бөлгіштерінің қосындысы өзіне тең. 28 және 496 сандары кемел сандар. Осы кемел сандар Пифагор заманында белгілі болған екен. Сол кездің өзінде жұп кемел сандарды табу ережесі белгілі болған. Бүгінгі күнге дейін тақ кемел сан анықталмаған. Әлгі ереже бойынша кемел саны кемел сан былайша анықталған: саны - жай сан болса, онда саны кемел сан болмақ. Мысалы, (2 саны жай сан) бұл жай сан. Олай болса, кемел сан. Ал болса (3 саны да жай сан): жай сан, кемел сан. болғанда (4 саны жай сан емес) -жай сан емес, сондықтан кемел сан болмайды.

1989 жылы дейін электрондық есепшеуіш машина арқылы жай сан болатыны анықталған. Бұл санды жазу үшін 25000 цифр қажет! Есептеуіш машиналар арқылы 25 таңбалы екі достасқан сан анықталған.

</ Пифагор математикаға енгізілген жай сан мен құрама сан бүгінгі күнге дейін зерттелуде. Әрбір санның не жай сан немесе бірнеше жай санның көбейтіндісіне тең болатыны анықталған. Жай сандар арқылы өзге сандар анықталады. Сол себепті де жай сандарды өзге сандар құрастырылатын «кірпіштер» деп бейнелеп айтуымызға негіз бар. Пифагордан 2 ғасыр кейін ғұмыр кешкен Евклид өзінің «Негіздер» деп аталатын кітабында ең үлкен жай сан болмайды деген, өйткені натурал сандар қатары шексіз «созыла» береді.

Бүгінгі күнге дейін математиктер жай сандардың барлығын анықтайтын әмбебап формуланы қорытып шығара алмай кеткен. Талпыныстар көп, бірақ мәселе түбегейлі шешілмеген. ХІІІ ғасырда ғұмыр кешкен француз математигі Пьер Ферма формуласын ойлап тауып жай сандарды анықтайтын әмбебап формула тапқан шығармын деген ойда болыпты, бірақ болған жағдайда пайда болған сан жай сан болмаған. П.Ферма формуласымен анықталған жай сандар: болғанда пайда болған 5; болғанда пайда болған 17; болғанда пайда болған 257; болғанда сандар жай сандар болған.

Жоғарыда көбейту арқылы жай сандардан кез келген сандарды туындатуға болатынын көрдік. Ал, егер тек жай сандарды қоссақ не болмақ? Кез келген қосылғыштарды пайдаланып кез келген сан жазуымызға болады: мысалы 2 санын бірнеше рет қосу арқылы жұп сан шығаруға болады, ал тақ сан жазу үшін тақ сан - 3-ке 2 санын бірнеше рет қосу арқылы шығаруға болады. XVIII ғасырда Ресейде көп жыл еңбек еткен неміс математигі Христиан Гольдбах 1742 жылы тақ жай сандарды жұптап қосындылағанда мынадай бір қызықты жайтты: екі тақ санның қосындысы әр ретте жұп сан түрінде кездесетінін байқаған (Х.Гольдбах заманында 1 саны жай сан ретінде есептеліп келген):

10=5+5

12=5+7

14=7+7

16=13+3

4=1+3

6=1+5

8=1+7

10=3+7

12=5+7

14=3+11

16=3+13

18=5+13

20=3+17

22=11+11

24=11+13

26=13+13

…………

94=87+7

96=89+7

98=97+1

Ғалымдар екі ғасырдай уақыт Гольдбах мәселесімен шұғылданған. Ақыр соңында 1935-1937 жылдары орыс математигі Иван Виноградов өте үлкен натурал сан үш жай санның қосындысынан құралатындығын дәлелдеген. Бұл жайт Гольдбах мәселесін шешумен парапар болды. Сеебебі Гольдбах мәселесінде жұп сандар екі жай санның қосындысына тең делінсе, И.Виноградов бұл мәселенің басқаша шешімі, яғни натурал санның үш жай санның қосындысынан құралғанын дәлелдеді, бұл жайт Гольдбах мәселесінің дәл емес екенін дәлелдейді [3].

«Математикада барлығы ашылған, дедуктивтік мағынада барлығы реттелген» деген сияқты қиялды жай сандар туралы кейбір тұжырымдар жоққа шығарады. Олар бұл ғылымда әлі белгісіз жайттардың көп екенін, тіпті кейбір қарапайым тұжырымдардың да дәлелдеулері осы уақытқа дейін жоқ екенін нанымды көрсетеді.Мысалы, айырымы 2-ге тең жай сандар жиыны (11 және13, 29 және 31 және т.с.с.) ақырлы немесе ақырсыз екені әліге дейін белгісіз. Үш белгісізі бар теңдеуінің жағдайында бүтін шешімі жоқ деген тұжырымды (Ферманың ұлы теоремасын) дәлелдеуге математиктер үш жарым ғасырдан бері әрекет жасап, табысқа жете алмай келеді.

болса, бұл теңдеудің шешімі бар: өйткені , ал үшін ол теңдеудің шешімі табылған да жоқ және шешімнің жоқ екені де дәлелденген жоқ [4].

Бұл теореманың пайда болуы тарихы және оны дәлелдеу әрекеттері өте қызық, ол туралы жарияланымдар көп-ақ. Бұл сайысты осы теореманың авторы Пьер Ферманың өзі бастап берді, ол Диофант шығармаларының шетіне бұл теореманың таңғажайып дәлелдемесін тапқанын, бірақ оны баяндауды жазып көрсететін жолдардың тым аз екенін жазған. Одан кейінгі оның дәлелдемесін іздеу үш ғасыр бойы нәтиже бермеді, әрі теореманың тұжырымы қарапайым және оның шарты әрбір оқушыға түсінікті болуы көптеген профессионал емес кісілерді математикамен айналысуға итермеледі. Ұзақ уақыт бойы теорема дәлелденбесе де, оның шешімін іздеу барысында бұл теореманың дәлелдемесіне қарағанда маңызы кем емес, қызықты идеяларға жиі алып келіп жатты.

Бәрібір оның шешімі табылды. 1997 жылы бұл теореманы дәлелдегені үшін Эндрю

Уайлс мәртебелі сыйға ие болды. Бәлкім, осындай ауқымдағы жаңалықтың ашылуын математиктер мен оның әуесқойлары әртүрлі қабылдаған болар.Адамзат ой-күшінің қуатын ұғынудың қуанышы және мақтаныш сезімімен қатар, енді математикалық идеялардың осындай қуатты катализаторы жоқ екені, математиканың рационалды әлемін безендіретін жұмбақтың жоқ екені мұңлы болғандай. Сол П.Ферманың өзі сандары кез келген үшін жай сандар болады деп санаған. Шынында да, үшін оның мәндері - сәйкес жай сандар. Бірақ қажымас Л.Эйлер жүз жыл өткен соң Ферма тұжырымының қате екенін: өрнегі үшін құрама сан

( саны ге бөлінеді) екенін көрсетті. Ал осы есептеулер қолмен істелді, бұл ұлы математиктің қайтыс болған күні замандастарының: «Ол қайтыс болды да, санауды доғарды», - деп текке айтпағанын көрсетеді.

түріндегі сандарды Ферма сандары деп атайды, олар математиктердің ғылыми қызығушылық объекті болып қала береді. Олармен байланысты тағы басқа маселелер бар, осы түрдегі жай сандар жиыны ақырлы немесе ақырсыз екені белгісіз [5].

Жай сандарды анықтаудың жай әдісін қарастырамыз, ол оны тапқан кісінің атымен Эратосфен елегі деп аталады. Айталық, 50-ден кіші барлық жай сандарды табу керек болсын. Алдымен 2-ге еселі, яғни әрбіреуінен кейінгі барлық сандар сызылып тасталады, содан соң 3-ке еселілер - әрбір үшінші сандар, әрбір бесінші сандар, әрбір жетінші сандарға дейін сызылып тасталады. Одан кейінгі тексерудің қажеті жоқ, өйткені оларға бөлгенде екінші көбейткіш 7-ден кіші болады. Сонда сызылмай қалған сандар-жай сандар болады.

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50.

Бірінші ондықтағы жай сандар саны -4;

екінші ондықта -4 саны;

үшінші ондықта -2 саны;

төртінші ондықта -2 саны.

200-ден 210-ға дейін бірде - бір жай сан жоқ. Одан ары қарай есептеулер жүргізе отырып, олардың мәні өскен сайын натурал сандар жиынының әрбір тең кесінділерінде жай сандар саны азаятын тенденцияны байқаймыз.

Қолданылған әдебиеттер тізімі:

1. Н.Көбенқұлұлы Математика әлемі. Алматы.-Қазақ энциклопедиясы.-2011.

2. Оразбаев Б.М. Сандар теориясы.Алматы.-Мектеп.-1970

3. Нұрымбетов Ә.Б. Алгебра және сандар теориясы мен есептер жинағы.Алматы.- ЖҚ Отан.-2014

4. Мәліков Т.С. Сандар жүйелері Алматы. -Бастау.-2013

5. Нұрымбетов Ә.Б. Алгебра және сандар теориясы.Алматы.- Эверо.-2009