Урок по теме «Разложение многочлена на множители с помощью комбинации различных приемов». 7 класс

Урок алгебры в 7 классе по теме:

«Разложение многочлена на множители с помощью комбинации различных приемов»

Цели урока:

Образовательные: систематизировать, расширить и углубить знания, умения учащихся применять различные способы разложения многочлена на множители и их комбинации; Развивающие: способствовать развитию наблюдательности, умения анализировать, сравнивать, делать выводы; Воспитательные: побуждать учеников к сомо- и взаимоконтролю, вызывать у них потребность в обосновании своих высказываний.

Оборудование: магнитная доска, набор карточек для сбора задания №2 на магнитной доске. Бланки с тестовыми заданиями, индивидуальные оценочные листы, копировальная бумага, слайды презентации.

Работа учащихся состоит из трех этапов. Результаты каждого этапа ученики заносят в индивидуальные оценочные листы:

Фамилия

Имя

Этапы

Задания

Количество баллов

I

№1

№2

№3

II

№4

№5

III

№6

Итоговое количество баллов

Оценка

Оценка за урок от суммы n набранных баллов по всем заданиям. Если n ≥ 36, то оценка «5»;

Если 29 ≤n ≤ 35 - оценка «4»;

Если 20 ≤n ≤ 28 - оценка «3»;

Если n ≤ 20 - оценка «2».

Ход урока

Эта I. Начало урока посвящается повторению.

В парах выполняется задание №1 (3 мин):

Тест №1

Соединить соответствующие части определения.

Представление многочлена в виде суммы двух или нескольких многочленов

Разложить многочлен на множители - это

Представление многочлена в виде произведения двух или нескольких одночленов

Представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов

Оценка 2 балла.

Завершите утверждение. Оценка 2 балла.

Представление многочлена в виде произведения одночленов и многочлена называется _______________________________________________________

Вынести в каждой группе общий множитель (в виде многочлена) за скобкиВосстановить порядок выполнения действий при разложении многочлена на множители способом группировки. Оценка 2 балла.

Чтобы разложить многочлен на множители способом группировки, нужно

1

3

2

Вынести в каждой группе общий множитель в виде одночлена за скобки

Сгруппировать его члены так, чтобы слагаемые в каждой группе имели общий множительОценка 2 балла. 4. Отметьте знаком «+» верные выражения.

а)а² + с² - 2ас = (а - с)²;

б) р² + 2ра - а² = (р - а)²; в) 2рс - р² - с² = (р - с)²; г) 2са + с² + а² = (с + а)².

Оценки 4(по 1 баллу за каждое верное выбранное и верно невыбранное).

Учитель включает проектор, демонстрирует слайды (1, 2, 3) с ответами к заданиям теста. Происходит быстрая проверка и комментарий заданий. Учитывается коэффициент участия в работе, ученики распределяют между собой заработанное количество баллов, выставляют их в оценочные листы. Затем на магнитной доске двое учеников выполняют задание № 2.(5 мин).

Провести классификация данных многочленов по способу разложения на множители. В результате заполняют таблицу:

Метод разложения на множители

49у⁴ - 25х²

Х² + 6х + 9

27в³ + а⁶

а⁴ - в⁴

2вх - 3ау - 6ву + ах

3а² + 3ав - 7а - 7в

а² + ав - 5в

2ах-5вх-10вх+ах

2у(х - 5) + х(х - 5)

в(а + 5) - с(а + 5)

15а³в + 3а²в²

20х³у² + 4х²у²

Формулы сокращенного умножения

Способ группировки

Вынесение общего множителя за скобки

Остальные учащиеся выполняют задание теста №2 на карточках. После выполнения работы пары обмениваются вариантами, производят взаимопроверку, сличают работу соседа с тем, что собрано двумя учениками на магнитной доске. Оценивают работу товарищи. Оценка - 8 баллов (по 1 баллу за каждое верное соединение).

Тест № 2

Формула сокращенного умножения

Вынесение общего множителя за скобки

Не раскладывается на множители

Способ группировки

2у(х-5)-х(х-5)

3а²+3ас-7с-7а

49р⁴25у²

4х⁴+25с²

х²+6х+9

2ас-5уx-10ус+ax

9а²+5а+4

15а³у²+3а²у

Вариант 2. Соединить линиями многочлены с соответствующими им способами разложения на множители.

Тест № 2

Вариант 1

Задание 1. Соединить линиями многочлены с соответствующими им способами разложения на множители.

х(а+5)-с(а+5)

а²+ау-5а-5у

Способ группировки

Не раскладывается на множители

Формула сокращенного умножения

Вынесение общего множителя за скобки

20х³у²+4х²у

4а²-5а+9

2bx-3ax-6bу+ax

а⁴-х⁸

9х²+у⁴

27с³+а⁶

Даем характеристику каждому перечисленному приему, демонстрируем слайды 4, 5, 6.

Вынесение общего множителя

Из каждого слагаемого, входящего в многочлен, выносится некоторый одночлен. Входящий в качестве множителя во все слагаемые. Таким общим множителем может быть не только одночлен, но и многочлен.

Применение формул сокращенного умножения

Здесь группа из двух, трех (или более) слагаемых, которая обращает выражение, входящее в одну из формул сокращенного умножения, заменяется произведением многочленов.

Группировка

Бывает, что члены многочлена не имеют общего множителя, но после заключения нескольких членов в скобки (на основе переместительного и сочетательного законов сложения) удается выделить общий множитель, являющийся многочленом.

«Математическая эстафета» (7 мин).

Работа по командам. На последней парте каждого ряда находится листок с 8 заданиями. Ученики, получившие листок выполняют первые два задания (разрешается совместная работая) и передают листок вперед сидящим ребятам, после чего подключаются к работе всего класса.

Работа считается оконченной, когда учитель получает три листка (по количеству рядов) с выполненными 8 заданиями.

Проверка итогов работы осуществляется с помощью проектора (слайд 8).

В этой работе оценивается коэффициент участия в решении.

Оценка - 8 баллов (по 1 баллу за каждй1 верно выполненный пример).

Задания

1-й ряд

2-й ряд

3-й ряд

Разложить на множители

1. 3а + 12в; 2. 2а + 2в а² + ав; 3. 9а² - 16в²; 4. 7а²в - 14ав² + 7ав; 5. m²+mn-m-mg-ng+g; 6. 4a² - 4ab+b²; 7. 2(3а²+bc)+a(4b+3c); 8. 25a²+70ab+49b²;

1. 16a²+8ab+b²; 2. 3m-3n+mn-n²; 3. 5a-25b; 4. 4a²-3ab+a-ag+3bg-g; 5. 9a²-30ab+25b²; 6. 2(a²+3bc)+a(3b+4c); 7. 144a²-25b²; 8. 9a³b-18ab²-9ab;

1. 10a+15c; 2. 4a²-9b²; 3. 6xy-ab-2bx-3ay; 4. 4a²+28ab+49b²; 5. b(a+c)+2a+2c; 6. 5a³c-20acb-10ac; 7. x²-3x-5x+15; 8. 9a²-6ac+c².

Ответы

1. 3(a+4b); 2. (2+a)(a+b); 3. (3a-4b)(3a+4b); 4. 7ab(a-2b+1); 5.(m-g)(m+n-1); 6. (2a-b)²; 7. (2a+c)(3a+2b); 8. (5a+7b)².

1. (a+b)²; 2.(3+n)(m-b); 3.5(a-5b); 4. (a-g)(a-3b+1); 5.(3a-5b)²; 6.(2a+3b)(a+2c); 7.(12a+5b)(12a+5b); 8. 9ab(a²-2b-1).

1. 5(2a+3c); 2.(2a-3b)(2a+3b); 3.(3y-b)(2x-a); 4. (2a+4b)²; 5.(a+c)(b+2); 6. 5ac(a²-4b-2); 7. (x-3)(x-5); 8. (3a-c).

Этап II. На практике при решении примеров часто приходится использовать комбинацию различных примеров. Поэтому, чтобы успешно решать такие примеры сегодня, мы попытаемся выработать план их последовательности применения. Иными словами, здесь нужны не только задания, но и опыт.

Задание № 4. Разложите на множители и укажите, какие приемы использовались при этом: 4а²b³

1. 6а⁶b³ - 96a⁴b⁴ + 64a²b⁵,

2. Решение: 6а⁶b³ - 96a⁴b⁴ + 64a²b⁵=4а²b³(9a⁴-24a²b+16b²) = 4а²b³(3a²-4b)². Комбинировали два приема: - вынесение общего множителя за скобки; - использование формула сокращенного умножения;

2) а² + 2аb + b² - c², Решение: а² + 2аb + b² - c²= (a²+2ab+b²)-c² = (a+b)²-c² = (a+b-c)(a+b-c). Комбинировали два приема: - группировку; - использование формула сокращенного умножения;

Порядок разложения на множители

1. Вынесите общий множитель за скобку (если он есть). 2. Попробовать разложить многочлен на множители по формуле сокращенного умножения. 3. Попытайтесь применить способ группировки (если предыдущие способы не привели к цели).

3) у^{3 -} 3у² + 6у - 8. Решение: у^3-3у²+6у-8=(у³-8)-(3у²-6у)=(у-2)(у²+2у+4)-3у(у-2)=(у-2)(у²+2у+4 -3у) = (у-2)(у²-у+4). Комбинировали три приема: - группировку; - формулы сокращенного умножения; - вынесение общего множителя за скобки. Эти примеры показывают, что при разложении многочлена на множители полезно соблюдать следующий порядок: (слайд 9)

4) х³ + 3х³ + 2х. Решение: х³ + 3х³ + 2х=х(х²+3х+2)= х(х²+2х+2) =х((х²+2х+2)+(х+2)) = =х(х(х+2)+х+2) = х(х+1)(х+2). Комбинировали три приема: - вынесение общего множителя за скобки; - предварительное преобразование; - группировку. Отмечаем, что для решения этого примера мы использовали еще один пример разложения на множители - предварительное преобразование. Даем ему характеристику. (Слайд 10)

Предварительное преобразование

Некоторый член многочлена раскладывается на необходимые слагаемые или дополняется путем прибавления к нему некоторого слагаемого. В последнем случае, чтобы многочлен не изменился, от него отнимается такое же слагаемое.

Оценка - 4 баллов (по 1 баллу за каждый верно выполненный пример самостоятельно).

№5. Решить уравнения: (7мин). Совокупность различных приемов разложения на множители позволяет легко и изящно производить арифметические вычисления, решать уравнения вида: ах² +bx +с = 0 (а≠0). ( Такие уравнения называются квадратными, мы с вами займемся их изучением в 8 классе), решать задачи на делимость, доказывать тождества. 1)х² - 15х + 56 = 0; (x²-7x)-(8x-56)=0; x(x-7)-8(x-7)=0; ( x-7)(x-8=0; x-7=0 или x-8=0; x=7 или x=8 Ответ: 7; 8.

2) х² + 10х + 21 = 0. X²+10x+25-4=0; (x+5)²-4=0; (x+5-2)(x+5+2)=0; (x+3)(x+7)=0; x+3или х+7=0; x= -3 или x=-7.Ответ:-3;-7. Отмечаем, что при разложении многочлена х² + 10х + 21 на множители мы «увидели» полный квадрат (X²+10x+25-4=(x+5)² ) и таким образом применили еще один прием разложения на множители: метод выделения полного квадрата. Этап III.

№6 Самостоятельная работа. На листочках под копирку. Разложите на множители, используя различные способы. Вариант I Вариант II: 1)5а³ - 125ab²; 1) 63ab³ - 7a²b; 2) a² - 2ab + b² - ac + bc; 2) m² + 6mn + 9n² - m - 3n; 3) (c - a)(c + a) - b(b - 2a); 3) (b - c)(b + c) - a(a + 2c); 4) х² - 3х + 2; 4) х² + 4х + 4; 5) х⁴ + 5х² + 9. 5) х³ + 3х² + 4. (Слайд 10 - ответы). Самостоятельная работа проверяется на уроке с помощью проектора. Копии решения сдают учителю, осуществляют самопроверку и самооценку знаний. Отметка за работу равна числу верно выполненных заданий. Слайд с ответами к заданиям.

Вариант 1

Вариант 2

1. 5a(a - 5b)(a + 5b); 2.(a - b)(a - b - c); 3.(c - a + b)(c + a - b); 4. (x - 2)(x - 1); 5.(x² + 3 - x)(x² + 3 - x).

1. 7ab(9b - a); 2.(m + 3n)(m + 3n - 1); 3.(b + a + c)(b - a - c); 4. (x + 3)(x + 1); 5.(x² + 2 - x)(x² + 2 + x).

Подведение итогов. (2мин). Учитель проводит фронтальный обзор основных этапов урока; отмечает, что, кроме трех основных приемов разложения на множители: вынесение множителя за скобки, группировка, использование формул сокращенного умножения, учащиеся познакомились еще с двумя способами: метод выделения полного квадрата, предварительное преобразование. Оценивает работу учащихся и ориентирует их в домашнем задании.

Задание на дом (слайд 11)

№1089(а,б)

5.

3 или 2

№ 998(а,в), 1002, 1004

№ 1007

№1083(а,б), 1085(а-в), 1090(а)

4Дополнительное задание: составить 8 примеров для математической эстафеты по теме урока.