Элективный курс Решение уравнений и неравенств с параметрами

Пояснительная записка

Элективный курс «Решение уравнений и неравенств с параметрами» является предметно ориентированным и предназначен для учащихся 10 класса общеобразовательной школы для расширения их теоретических и практических навыков.

Практика работы в школе показывает, что задачи с параметрами представляют для школьников наибольшую трудность, как в логическом, так и техническом плане. Задачи с параметрами - это задачи, в которых проверяется техника владения знаниями элементарной математики, методами решения уравнений и неравенств, уровень логического мышления учащихся.

Элективный курс «Решение уравнений и неравенств с параметрами» знакомит учащихся с методами решения алгебраических задач с параметрами. К сожалению, в школьной программе для общеобразовательных классов этому типу заданий уделяется очень мало времени, не реализован системный подход в данной методической лини, поэтому содержание курса призвано восполнить данный пробел. Одновременно элективный курс позволяет не только дополнить и углубить знания учащихся, но и развивать их исследовательские умения, логическое мышление. Решение задач с параметрами открывает перед учащимися значительное число эвристических приемов общего характера, ценных для математического развития личности, применяемых в исследованиях и задачах смежных предметных областей. Элективный курс рассчитан на 17 аудиторных часов для учащихся 10 классов общеобразовательных школ.

Цели элективного курса:

• Формирование у учащихся целостного представления о методах решения задач с модулями и параметрами.

• Развитие творческих способностей школьников при конструировании способов решения задач высокого уровня сложности.

Задачи курса:

• Обобщение и систематизация знаний школьников об уравнениях, неравенствах и способах их решения.

• Расширение и углубление знаний учащихся о методах и приемах решения задач с параметрами;

• Формирование у школьников умения применять знания из разных разделов курса математики для конструирования способа решения задачи в нестандартной ситуации.

• Развитие математического и логического мышления учащихся.

Основные формы проведения занятий: лекция, эвристическая беседа, практикум по решению задач. В технологии проведения занятий присутствует этап самопроверки, который предоставляет учащимся возможность самим проверить, как ими усвоен изученный материал. Для получения эффективных результатов имеет смысл использовать компьютер и интерактивную доску, которые помогут как в визуализации результатов работы с данными, так и при решении задач.

Курс завершается итоговым зачетом. Работа оценивается отметкой «зачтено», если учащийся правильно решил любые три задачи (Приложение 1). Выполнение №4 и №5 заданий соответствует повышенному уровню освоения содержания курса.

3. Учебные пособия:

• Д.А. Айвазян Математика. Решение уравнений и неравенств с параметрами. /авт.сост.Д.А, Айвазян.-Волгоград: Учитель. 2009г.

• Е.А, Полякова Уравнения и неравенства с параметрами. -М.: Илекса, 2010. -96с.

• Голубев В.И. Решение сложных и нестандартных задач. -М: Илекса, 2007

• Крамор В. С. Примеры с параметрами и их решение.

• Севрюков, П.Ф. Школа решения задач с параметрами: учебно-методическое пособие. -М.: Илекса, Народное образование; Ставрополь: Сервисшкола,2005. -112с

• Шахмейстер А. Х. Задачи с параметрами в ЕГЭ. - СПб. М.: «Петроглиф», 2004.

4. Технические средства обучения

• Портативная ПЭВМ (RAYbookSi152)

• Многофункциональный принтер XeroxSupport:0830-1700hrs

• Мультимедийный проектор (EPSON)

• Акустическая система AD-05

• Экран (навесной)

5. Учебно-практическое и учебно-лабораторное оборудование

• Аудиторная доска с магнитной поверхностью

• Комплект чертежных инструментов (классных): линейка, транспортир, угольник (30⁰, 60⁰,90⁰), циркуль.

Требования к уровню подготовки учащихся.

В результате изучения курса учащиеся должны

знать:

• понятие параметра;

• что значит решить уравнение с параметром, неравенство с параметром, систему уравнений и неравенств с параметром;

• основные способы решения различных уравнений, неравенств и систем уравнений и неравенств с параметром (линейных и квадратных);

• алгоритмы решений задач с параметрами;

• зависимость количества решений неравенств, уравнений и их систем от значений параметра свойства решений уравнений, неравенств и их систем;

• свойства функций в задачах с параметрами.

уметь:

• определять вид уравнения (неравенства) с параметром;

• выполнять равносильные преобразования;

• применять аналитический или функционально-графический способы для решения задач с параметром;

• осуществлять выбор метода решения задачи и обосновывать его;

• использовать в решении задач с параметром свойства основных функций;

• выбирать и записывать ответ;

• решать линейные, квадратные уравнения и неравенства

Содержание тем курса

Тема 1. Линейные уравнения с параметром. 3часа.

Линейные уравнения с параметром. Алгоритм решения линейных уравнений с параметром. Решение линейных уравнений с параметрами. Зависимость количества корней в зависимости от коэффициентов a и b.. решение уравнений с параметрами при наличии дополнительных условий к корням уравнения. Решение уравнений, приводимых к линейным. Решение линейных неравенств.

Тема 2. Линейные неравенства с параметром. 2 часа

Линейные неравенства с параметрами. Алгоритм решения линейных неравенств с параметрами. Область допустимых значений параметра в линейных неравенствах. Решение линейных неравенств с параметрами. Зависимость решений от коэффициентов а и в. Решение неравенств приводимых к линейным.

Тема3. Квадратные уравнения и неравенства с параметром. 5 часов

Понятие квадратного уравнения с параметром. Алгоритмическое предписание решения квадратных уравнений с параметрами. Зависимость количества корней уравнения от коэффициента а и дискриминанта. Решение с помощью графика. Применение теоремы Виета при решении квадратных уравнений с параметром. Решение квадратных уравнений при дополнительных условиях к корням уравнений. Расположение корней квадратного трехчлена относительно заданной точки. Задачи, сводящиеся к исследованию расположения корней квадратного трехчлена. Решение квадратных уравнений с параметром первого типа, второго типа.

Тема3. Квадратные неравенства с параметром. 2часа.

Понятие квадратного неравенства с параметром. Алгоритм решения. Зависимость решения от коэффициента а и дискриминанта. Решение неравенств методом интервалов. Решение неравенств с параметрами, приводимых к квадратным.

Тема 4. Функционально-графические методы решения задач с параметрами. 3часа

Графический метод решения линейных и квадратных неравенств с параметрами. Решение задач с параметром с помощью: фазовой плоскости; «пучка прямых на плоскости». Использование графических иллюстраций в задачах с параметрами.

Итоговый зачет по курсу 1ч.

Решение линейных и квадратных уравнений с параметрами,

Решение линейных и квадратных неравенств с параметрами.

Приложение

Задания к итоговому зачету по курсу

«Решение уравнений и неравенств с параметрами»

2а(а-2)х=а-2.

1. Решите уравнение:

(а²-2а+1)х= а²+2а-3.

2. Решите неравенство:

a(3-x)≥3x+a.

2. Решите неравенство:

a(2x-1)

3. При каких значениях m корни уравнения х²-2mx+m²-1=0 принадлежат промежутку (-2;4)?

3. При каких значениях m корни уравнения х²+4mx+1-2m+4m²=0 меньше -1?

4. Решите неравенство:

(х+3) (х-а)<0.

4. Решите неравенство:

(5-х)(х-а)>0.

5. Найдите все значения параметра а, при котором уравнение /х²-5ч=6/=ах имеет ровно три решения?

5. При каких значениях параметра а уравнение х/х-4/+а=0 имеет ровно три корня?

Календарно-тематическое планирование

элективного курса «Решение уравнений и неравенств с параметрами», 10А класс

Содержание

Формы, методы,

виды деятельности

Оборудование, контрольно-измерительные материалы

Планируемые

Фактические

Линейные уравнения с параметром 3ч.

1

Понятие уравнения с параметром

Линейные уравнения с параметрами

Линейные уравнения с параметром. Алгоритм решения линейных уравнений с параметром. Зависимость количества корней в зависимости от коэффициентов a и b.

Лекция с элементами эвристической беседы

Ф, И

Мультимедийная презентация «Уравнения и неравенства с параметрами»

2

Линейные уравнения с параметрами с дополнительными условиями для корней

Зависимость количества корней в зависимости от коэффициентов a и b. Решение линейных уравнений с параметрами при наличии дополнительных условий (ограничений) к корням уравнений

Практикум

Ф, И, П

3

Уравнения с параметром, приводимые к линейным

Решение уравнений, приводимых к линейным.

Практикум

Ф, И, П

Линейные неравенства с параметром 2ч.

4

Линейные неравенства с параметрами и неравенства приводимые к линейным.

Решение линейных неравенств с параметрами.

Алгоритм решения неравенства с параметрами, приводимого к линейному неравенству.

Лекция с элементами эвристической беседы.

Ф, И

Мультимедийная презентация «Уравнения и неравенства с параметрами»

5

Линейные неравенства с параметрами и неравенства приводимые к линейным.

Решение линейных неравенств с параметрами,

приводимого к линейному .

Практикум

Ф, И, П

Квадратные уравнения с параметром 5ч.

6

Квадратные уравнения с параметром. Уравнения приводимые к квадратным

Понятие квадратного уравнения с параметром.

Зависимость количества корней уравнения от коэффициента а и дискриминанта.

Эвристический

Ф, И

Мультимедийная презентация «Квадратные уравнения и неравенства с параметрами»

7

Квадратные уравнения с параметром. Уравнения приводимые к квадратным

Решение квадратных уравнений при дополнительных условиях к корням

Практикум

Ф, И, П

8

Решение квадратных уравнений с помощью теоремы Виета

Применение теоремы Виета при решении квадратных уравнений с параметром.

Практикум

Ф, И

9

Задачи, связанные с исследованием корней квадратного трехчлена

Теоремы о расположении корней квадратного трехчлена относительно заданной точки.

Эвристический, наглядно-иллюстративный, Ф, И

Мультимедийная презентация «Квадратные уравнения и неравенства с параметрами»

10

Задачи, связанные с исследованием корней квадратного трехчлена

Решение задач на использование теоремы о расположении корней квадратного трехчлена относительно заданной точки.

Практикум

Ф, И

Квадратные неравенства с параметрами 3ч.

11

Квадратные неравенства с параметром

Решение квадратных неравенств с параметром (первого типа)

Практикум

Ф, И

Мультимедийная презентация «Квадратные уравнения и неравенства с параметрами»

12

Решение квадратных неравенств методом интервалов

Решение квадратных неравенств с параметром (второго типа) методом интервалов.

Практикум

Ф, И

13

Решение квадратных неравенств

Нахождение заданного количества решений уравнения или неравенства

Практикум

Ф, И

Функционально- графический метод решения задач с параметрами 3ч.

14

Графический метод решения задач с параметрами.

Использование графических иллюстраций в задачах с параметрами.

Анализ задач, решаемых графическим методом.

Практикум

Ф, И

Мультимедийная презентация «Графический метод решения задач с параметрами»

15

Решения задач с параметрами с помощью фазовой плоскости

Использование понятия «фазовая плоскость»

Практикум

Ф, И

16

Решения задач с параметрами с использованием «пучка прямых»

Использование понятия «пучок прямых на плоскости»

Практикум

Ф, И

17

Итоговый зачет.

Выполнение заданий для зачета

Контролирующий

Раздаточный материал для проведения итогового зачета по курсу. Приложение 1

Ф - ФРОНТАЛЬНЫЙ ОПРОС

И - ИНДИВИДУАЛЬНАЯ РАБОТА

П - РАБОТА В ПАРАХ

Г - РАБОТА В ГРУППЕ

Список литературы

Для учащихся

1. Мордкович А.Г.Алгебра и начала анализа 10-11 класс. / А.КГ Мордкович, Л.О Денищева, - М.: Мнемозина, 2009 год.

2. Ф.Ф. Лысенко «Математика. ЕГЭ 2010. Тематические тесты» (В1-В12, С1-С6). Ростов-на-Дону, 2009г.

3. Цыганов, Ш Квадратные трехчлены и параметры. / Ш.Цыганов. Математика. -1999. -№5. с 4-9.

4. Шарыгин,И.Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач. Учебное пособие для 10 класс средней школы. / И.Ф. Шарыгин- м.: Просвещение,989. -252с.

Образовательные ресурсы сети Интернет

ege.edu.ru

eqworld.ipmnet.ru

graphfunk.narod.ru

www.uztest.ru

Для учителя

1. А.П.Ершова, В.В. Голобородько. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и началам анализа для 10-11 классов. Разноуровневые дидактические материалы. - М.: Илекса, 2007г.

2. Айвазян, Д.Ф. Математика 10-11 классы. Решение уравнений и неравенств с параметрами. / авт.сост.Д.А. Айвазян. - Волгоград: Учитель, 2009. -204с.

3. Амелькин, В.В. Задачи с параметрами/ В.В. Амелькин, В.Л.Рабцевич. -М.: Асар,1996,504с.

4. Горнштейн П.И. и др. Задачи с параметрами. - М.: Илекса, Харьков: Гимназия, 2003.

5. Полякова, Е.А. Уравнения и неравенства с параметрами в профильном 11 классе. / Е.А. Полякова. - М.: ИЛЕКСА, 2010. -96с.

6. Ф.Ф. Лысенко «Математика. ЕГЭ, 2008.2009,2010. Учебно-тренировочные тесты». Ростов-на-Дону, издательство «Легион-М» 2010г.

7. Ястребинецкий Г.А. Задачи с параметрами. - М.: Просвещение, 1986.

Образовательные ресурсы сети Интернет

ege.edu.ru

eqworld.ipmnet.ru

graphfunk.narod.ru

www.uztest.ru

www.it-n.ru

www.ed.vseved.ru

mat.1september.ru</