Разработка урока по теме Вписанная и описанная окружности. Свойства описанного четырехугольника

Урок № 60

</ Тема: «Вписанная и описанная окружности. Свойство описанного четырехугольника ».

Цель:

• Ввести понятие вписанной окружности и описанного около окружности многоугольника;

• Рассмотреть теорему о том, что в любой треугольник можно вписать окружность;

• Повторение: Решение прямоугольных треугольников;

• Подготовка к ГИА;

• Развивать память, внимание и логическое мышление у обучающихся;

• Вырабатывать трудолюбие, целеустремленность, умение работать в парах.

План урока.

1. Организационные моменты.

Сообщение темы и целей урока.

2. Актуализация знаний и умений обучающихся.

1. Проверка выполнения домашнего задания. (Разбор нерешенных заданий)

2. Проверка знания теоретического материала. Из учебника вопросы 1- 20, с. 187-188.

Выполнить устно:1) а) Докажите, что АВМ =

= МСА.

б) АМ = 4, МD = 3, ВD = 4.

Найдите расстояние от точки М

до стороны АС.

2) Найдите МKN и расстояние MN, если ОМ = , KМ = 3.

3) Найдите углы АВС, если

ОАС = 20° и АОС = 120°.

4) стороны угла А касаются окружности радиуса r с центром О.

а) Найдите ОА, если r = 5 см,

А = 60°.

б) Найдите r, если ОА = 14 дм,

А = 90°.

3. Повторение: Решение прямоугольных треугольников

1. Средняя линия треугольника.

2. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.

3. Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника.

4. Значения синуса, косинуса и тангенса стандартных углов.

5. Решение задач на повторение.

1. В равнобедренной трапеции меньшее основание равно 4 см, боковая сторона равна 6 см, а один из углов трапеции равен 120°. Найдите площадь трапеции.

Решение

1) B = С = 120°.

АBЕ = 120° - 90° = 30°.соsАBЕ = .

; BE = 3 (см).

2) sinАBЕ = ; AE = 3 (см).

3) АD = ВС + 2АЕ = 4 + 2 · 3 = 10 (cм).

4) S_АВСD = (см²).

2. В прямоугольной трапеции меньшее основание равно 3 см, большая боковая сторона 4 см, а один из углов трапеции равен 150°. Найдите площадь трапеции.

Решение1) ЕCD = BCD - BCЕ =

= 150° - 90° = 60°.

sinЕСD =

ED = 2 (см).

2) сosЕCD = ;

; CE = 2 (см).

3) АD = ВС + ЕD = 3 + 2.

4) S_АВСD = ∙ 2 = 6 + 2 (см²).

3. Изучение нового материала.

Изложить в виде лекции п. 74 до замечания 2.

4. Закрепление изученного материала.

Выполнить №№ 701 (для остроугольного треугольника), 689, 691.

№ 689.

Решение1) Центр О вписанной окружности искомого радиуса r лежит на биссектрисе СМ треугольника АВС, а так как СМ АВ, то вписанная окружность касается отрезка АВ в точке М. Поэтому ОМ = r.

I способ.

1. АМ = AB = 5 см.

2. M и N - точки касания, следовательно, AN = АМ = 5 см, откуда CN = АС - АN = 8 cм.

3. В АСМ : СМ = = 12 (см).

4. В СON : СО² = СN² + ON², то есть

(12 - r)² = 8² + r²

144 - 24r + r² = 64 + r².

r = 3.

ОМ = ON = 3 см.

II способ.

1. В АСМ : АМ = AB = 5 см.

СМ = = 12 (см).

2. Отрезок АО - биссектриса треугольника АМС (так как о - центр вписанной окружности), поэтому или ; 13r = 60 - 5r, r = 3.

ОМ = ОN = 3 см.

№ 690.

Решение1) О - центр вписанной окружности в треугольник АВС, который лежит на высоте (биссектрисе) равнобедренного треугольника, проведенной к основанию.

2) ОМ = ОD - радиусы этой окружности.

3) Пусть k - коэффициент пропорциональности, тогда ОВ = 12k см, ОD = ОМ = 5k см.

4) Прямоугольные треугольники ВDС и ВМО имеют общий угол В, и, значит, ВDС ВМО по первому признаку.

5) .

6) Из прямоугольного треугольника ВDС по теореме Пифагора имеем:DС = .

7) ; 5 = ;

625 = 3600 - 289k²

k² = .

8) DC = = 25 (cм).

№ 693 (а).

Решение1) АС || ОN, так как АС СВ и ON CВ.

СВ || ОK, так как СВ АС и OK АС, значит, четырехугольник KONC - прямоугольник, а так как KО = CN = r = ON = KC, то KONC - квадрат.

2) АKО = АМО (по катету и гипотенузе), поэтому АK = АМ.

3) ВNO = ВМО (по катету и гипотенузе).

4) Р_АВС = АВ + ВС + АС = АМ + МВ + NB + CN + KC + АK.

Р_АВС = 2АМ + 2MВ + 2CN = 2(АМ + МВ + СN).

а) Р_АВС = 2(АВ + СN) = 2(26 + 4) = 60 (см).

б) Из АВС, С = 90° имеем по теореме Пифагора:

АС² = АВ² - СВ² = АВ² - (CN + NB) = 17² - (5 + r)²

ВС² = АВ² - АС² = АВ² - (АK + KС) = 17² - (12 + r)²

АВ² = АС² + ВС²

17² = 17² - (5 + r)² + 17² - (12 + r)²

2r² + 34r - 120 = 0

r² + 17r - 60 = 0

r = 3 (второй корень не удовлетворяет условию задачи).

Р_АВС = 2(АВ + CN) = 2(17 + 3) = 40 (см).

5. Итоги урока.

Подведение итогов урока.

6. Домашнее задание: вопросы 21, 22, с. 188; №№ 701 (для прямоугольного и тупоугольного треугольников), 637.

6