Урок по алгебре на тему 'формула суммы n-членов арифметической прогрессии'

«Формула суммы n-членов арифметической прогрессии»

Цель урока: Вывести формулу суммы n-членов арифметической прогрессии, выработать навыки непосредственного применения данной формулы.

Задачи урока:

• Учебная: познакомить учащихся с формулой суммы n-первых членов арифметической прогрессии. Выработать навыки применения формулы суммы п- первых членов арифметической прогрессии при решении заданий по данной теме.

• Развивающая: развивать мыслительную деятельность учащихся, самостоятельность при решении заданий по теме. любознательность и вычислительные навыки.

• Воспитательная: воспитывать интерес к предмету, внимательность.

Тип урока: Урок изучения новой темы и целевого применения изученного.

Оборудование: Электронный учебник, интерактивная доска, презентационные слайды с использованием мультимедий.

Эпиграф урока:

Давным-давно сказал один мудрец
Что прежде надо
Связать начало и конец
У численного ряда.

Ход урока

1. Математический диктант

2. Объяснение новой темы.

3. Закрепление темы.

4. Задание на дом.

5. Сообщения учащихся

6. Рефлексия

1. Математический диктант по вариантам. Двое учащихся работают на оборотной стороне доски. Взаимопроверка диктанта

   
   

   Вариант1

   Вариант2

   1

   Найти 5-й член числовой последовательности заданной формулой

   Ответ: 25.

   
   

   Найти 4-й член числовой последовательности заданной формулой

   Ответ:

   
   

   2

   Чему равна разность арифметической прогрессии: 1; 4; 7; …

   Ответ: 3

   
   

   Чему равна разность арифметической прогрессии: 3; 0; -3; -6; …

   Ответ: -3

   
   

   3

   Найдите пятый член арифметической прогрессии: 3; 7; 11; …

   Ответ: 19

   
   

   Найдите шестой член арифметической прогрессии; если

   Ответ: 20

   
   

   4

   Найти 10-й член арифметической прогрессии если

   Ответ: 43

   
   

   Найти 5-й член арифметической прогрессии если

   Ответ: 21

   
   

2. Объяснение новой темы.

Учитель: найдите сумму всех натуральных чисел от единицы до ста. Кто быстрее? Я предложила вам задачу, которую Гаусс решил в шестилетнем возрасте

Эпизод из жизни немецкого математика К. Ф. Гаусса (1777 - 1855). Когда ему было 9 лет, учитель, занятый проверкой работ учеников других классов, задал на уроке следующую задачу: «Сосчитать сумму натуральных чисел от 1 до 100 включительно: 1 + 2 + 3 + …98+99 +100. Каково же было удивление учителя, когда один из учеников (это был Гаусс) через минуту воскликнул: «Я уже решил…» Большинство учеников после долгих подсчетов получили неверный результат. В тетради Гаусса было написано одно число и притом верное: 5050

Учитель: Попытаемся найти ответ на данный вопрос. Кто увидел закономерность?

Ответ: Второе слагаемое на единицу больше первого, а предпоследнее на единицу меньше последнего, так что сумма должна быть такой же. То же будет происходить и с каждой новой парой чисел. Таких сумм 50, так как всего чисел 100 и все они разделены на пары. Значит, вся сумма равна числу 101 умноженному на 50.

Учитель: Что собой представляет последовательность чисел

1;2;3;…;98;99;100?

Ответ: арифметическую прогрессию, первый член которой 1, а разность арифметической прогрессии 1.

Учитель: Что собой представляет сумма: 1+2+3+4+…+99+100?

Ответ: Сумму арифметической прогрессии.

Учитель: тема урока : формулы суммы п- первых членов арифметической прогрессии.

Пусть сумма первых n членов арифметической прогрессии равна Sn тогда:

Складывая эти равенства почленно, получим:

Отсюда имеем формулу:

Теорема

Сумма первых n членов арифметической прогрессии равна полусумме крайних членов, умноженной на число членов.

Тренировочные упражнения:

1. (an) - арифметическая прогрессия. a1 = 6, a5 = 26. Найти S5.
   Решение: Sn = (а1+а5) : 2 × 5 Теперь вычислим сумму пяти первых членов арифметической прогрессии: S5 = (6+26) : 2 × 5=80. Ответ: 80.

2. (an) - арифметическая прогрессия. a1 = 12, d = - 3. Найти S16.

Решение: S16 = (а1+а16):2×16

Заметим, что в данной прогрессии не задан последний член этой суммы. Найдем 16 член прогрессии: а16 = 12+ 15×(-3) =12+(-45) =-33

Теперь вычислим сумму: S16 = (12+ (-33)) ×16: 2 = (-21) ×8 = -168. Ответ: -168.

Учитель: При решении таких задач можно воспользоваться второй формулой для нахождения Sn.

Если учесть, что

то получим формулу

3. Закрепление темы.

Если в арифметической прогрессии первый член равен 20, разность арифметической прогрессии равен (- 0,5) и сумма п-го члена равна 371, то найдём п и ап.

Работа по учебнику. Выполнить самостоятельно, с последующей проверкой с помощью интерактивной доски.

1 вариант - № 371(а), №372 (а).

2 вариант - № 371(б), №372 (б).

4. Домашнее задание.

1. Найдите сумму первых шестнадцати членов арифметической прогрессии, в которой а1 = 6, d = 4.

2. Найдите сумму первых n - членов арифметической прогрессии, 1,6; 1,4; …, если n = 6.

3. Найти сумму натуральных чисел начиная с 20 по 110 включительно.

4. Найдите сумму первых восьми членов арифметической прогрессии (аn), в которой а1 = 6, а7 = 26.

5. Сообщения учащихся.

Это интересно:

1 ученик: (презентация). Информация о задаче, которую решил шестилетний Колмогоров.

Когда шестилетний Колмогоров нашёл, что сумма первых нечётных чисел равна п², он вероятно рассуждал так: « Возьмем число 1, 1 = 12. Представим это геометрически, как один квадратик. Теперь прибавим к единице число 3. К нашему квадратику прибавим ещё тир квадратика. Затем прибавим число 5, добавим ещё 5 квадратиков - 2 сверху. 2 справа и один в углу. Получится квадратик 3 на 3. Девять. Каждый раз мы будем прибавлять к квадрату п на п новый уголок, состоящий из п квадратиков сверху, п квадратиков справа и одного в углу. Вот и будет получаться новый квадрат со стороной п + 1. Значит, прибавляя последовательные нечётные числа, мы всегда будем получать квадрат их количества».

Рисунок 1

2 ученик (презентация): Информация о стихотворных слогах ямбе и хорее, связь их с арифметической прогрессией.

В романе А.С.Пушкина «Евгений Онегин» была такая фраза: «Не мог он ямба от хорея, как мы не бились отличить…» Отличие ямба от хорея состоит в различных расположениях ударных слогов стиха. Ямб - стихотворный размер с ударением на чётных слогах, хорей с ударением на нечётных слогах.

Ямб - стихотворный метр с ударениями на четных слогах стиха

«Мой дя-дя са-мых чест-ных пра-вил…» то есть ударными являются 2-й, 4-й, 6-й, 8-й и т. д. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и с разностью, равной двум: 2; 4; 6; 8 …

Хорей - стихотворный размер с ударением на нечетных слогах стиха.

«Бу-ря мгло-ю не-бо кро-ет» Номера ударных слогов также образуют арифметическую прогрессию, но ее первый член равен единице, а разность по-прежнему равна двум: 1; 3; 5; 7; …

6. Рефлексия.

Каждому учащемуся предлагается закончить одно из следующих предложений:

Я сегодня на уроке узнал о…

Мне понравились на уроке моменты…

Я чувствую себя…

Мне не понравилось…

У меня сейчас настроение…

Я узнал на уроке новое о…

По данной теме мне хотелось бы узнать еще о…

Мне было сегодня на уроке…

Мое состояние сейчас я оцениваю, как……

Я хотел бы изучить подробнее по данной теме следующие вопросы…

Данная тема была для меня…

Урок был…