7


  • Учителю
  • Методическое пособие для 10 класса по алгебре

Методическое пособие для 10 класса по алгебре

Автор публикации:
Дата публикации:
Краткое описание: Данное методическое пособие направлено на расширение знаний учащихся. Работа с пособием дает полный объем знаний, умений и навыков, которым должны овладеть учащиеся 10класса. В состав методического пособия входят: 8 тем по учебной программе 10класса: ФУНКЦИЯ, ЕЕ СВОЙСТВА
предварительный просмотр материала















Методическое пособие

по алгебре

для 10 класса

СОШ №21 г.Экибастуза








Составила:учитель математики

Бигельдинова Асель Жумабаевна








Пояснительная записка


Данное методическое пособие направлено на расширение знаний учащихся, повышение уровня подготовки к ЕНТ. Работа с пособием дает полный объем знаний, умений и навыков, которым должны овладеть учащиеся 10класса.

В состав методического пособия входят: 8 тем по учебной программе 10класса:

  1. ФУНКЦИЯ, ЕЕ СВОЙСТВА

  2. ТРИГОНОМЕТРИЯ

  3. ПРОСТЕЙШИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

  4. ПРАВИЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ

  5. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ

  6. КАСАТЕЛЬНАЯ К ГРАФИКУ ФУНКЦИИ

  7. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ

  8. КОМБИНАТОРИКА И БИНОМ НЬЮТОНА


Каждая тема представлена кратким справочным материалом, примерами с решениями, дидактическим материалом, тематическими тестами.


В результате использования пособия учащиеся должны уметь:

- точно и грамотно формулировать теоретические положения и излагать собственные рассуждения в ходе решения заданий;

- применять изученные алгоритмы для решения соответствующих заданий;

- преобразовывать выражения, содержащие тригонометрические выражения;

- решать тригонометрические уравнения и неравенства;

Разнообразный дидактический материал дает возможность отработать теоретические знания на практике. Все занятия направлены на расширение представлений об изучаемом материале, на отработку тестовых задач с целью более качественной подготовки к ЕНТ.





Тема1: ФУНКЦИЯ, ЕЕ СВОЙСТВА


СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ


Определение: Закономерность, при которой каждому значению х из множества Х соответствует единственное значение у из множества Y, называется функцией.

Обозначение функции: y=f (x).y=g(x). y=(x).., где х - независимая переменная, или аргумент; у- зависимая переменная ,или функция.

Множество значений переменной, при которых функция имеет смысл, называют областью определения функции, обозначение Д (f), а значение функции, соответствующее каждому значению независимой переменной из области определения, называют множеством значения функции, обозначение Е(f).


Понятие о четности, нечетности функции

Определение: Функция f называется четной, если для любого х из ее области определения f (-x)= f (x)

Определение: Функция f называется нечетной, если для любого х из ее области определения f (-x)= - f (x)

Понятие периодичности функции

Определение: Функцию f называют периодической с периодом Т0, если для любого х из области определения значение этой функции в точке х,

х-Т, х+Т равны, т.е. f (х+Т)= f(х)= f(х-Т)

Определение периода любой периодической функции основано на следующем свойстве: если функция f (x) является периодической и ее период равен числу Т, то периодической будет функция у=kf`(ax+b), (где k0, а0 и b - постоянные) и ее период равен числу .

УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ


Пример 1. Найдите область определения функции

а) у=2 б) у= в)у= г) у= +

Решение:

а) у=2 функция заданная в виде многочлена, поэтому можно вычислять ее значения при любых значениях аргумента. Область определения все действительные числа.

Ответ: Д(f) =R


б) у= функция дробно-рациональная х .

Ответ: Д(f) =()

в)у= , необходимо взять подкоренное выражение неотрицательным, т.е. 2х-1.

Ответ: Д(f) =;+

г) у= + найдем область определения для х т.е ;+

для знаменатель х+2 х т.е ()

Д(f)=;+()=;+.


Ответ: Д(f)=;+



Пример 2. Найдем множество значений функций у=2

Решение: Известно, что Е(f) для у= есть отрезок

Рассмотрим -1 / умножим на 2

-2 / прибавим -5

-7

Ответ: Д(f)=

Пример 3. Определим четность или нечетность функций:

а) f(х)= б) f(х)=- +х в) f(х)=+

Решение: а) f(-х)= = f(х) - четная функция


б) f(-х)=- +(-х)= -х = - (- +х )= - f(х)- нечетная функция


в) f(-х)=+=-+ функция ни четная, ни нечетная (общего вида)

Пример 4. Найдем период для функции у=

Решение: Период функции у=, а по условию а=2 Тогда по формуле получаем, что =. Следовательно период данной функции равен .

Ответ:

Пример 5. Найдем наименьший положительный период функции у=tg

Решение: По определению период функции у=tg х равен по условию

а =, тогда по формуле получаем, что ==3 .

Ответ: 3
















ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ


  1. Найдите область определения функции:

а) у= б) у=

Ответ: Д(f) = (-2) Ответ: Д(f) ;0)


в) у = arcsin (2х-5)

Ответ: Д(f) = (2)


2. Найдите множество значений функции:

а) у=2 б) у=

Ответ: Е(f)=Ответ: Е(f)=

в) у= 1-2

Ответ: Е(f)=

3. Найдите область определения и множество значений функции:

а) у = б) у=

Ответ: Д(f)= , Е(f)= (0;+) Ответ: Д(f)= R, Е(f)=

в) у =-

Ответ: Д(f)=(-), Е(f)= (-)


4. Выясните четность, или нечетность следующих функций:

а) у = б) у =3+ в) у =+tgх

г) у = д) у = х -


5. Найдите наименьший положительный период функций

а) у = б) у = 5tg в) у =

Ответ: Ответ: Ответ: 16

г) у =ctg (5х - ) д) у = tg(2-5х) е) у = 2

Ответ: Ответ:Ответ:


ТЕСТ №1


1. Какая из функций в области определения является нечетной?


2. Что можно сказать о функции:

А) Ни четная, ни нечетная. В) Четная. С) Периодическая.

D) Нечетная. Е) Общего вида.


3. Найдите наименьший положительный период функции

4. Найдите область определения функции

5. Найдите множество значений функции

6. Найдите функцию, обратную данной


7. Найдите наименьшее значение функции у = х2 - 6х + 11

8. Найдите область определения функции:


9. Найдите множество значений функции


10. Найдите область определения функции:







ТЕСТ №2


1. Какая из функций является нечетной?


2. Какая из функций является четной?

3. Найдите наименьший положительный период функции


4. Найдите область определения функции:

5. Найдите множество значений функции

6. Дана функция у = 5 - 4х. Найдите ей обратную.

7. Дана функция у = х2-4х+3. Найдите значение х, при котором функция

принимает наименьшее значение.


8. Найдите область определения функции:

9. Найдите наименьшее значение функции


10 .Найдите область определения функции:




Тема2: ТРИГОНОМЕТРИЯ


СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ


1)Значение тригонометрических функций


Угол

Функция


00


0


300



450



600



900



1800




2700



3600



sinα






1


0


-1


0


cosα


1





0


-1


0


1


tgα


0



1



-


0


-


0


ctgα




1



0


-


0


-


2)Знаки синуса, косинуса, тангенса, котангенса в каждой из координатных четвертей.


Знаки синуса Знаки косинуса Знаки тангенса и

котангенса

+ + - + - +

- - - + + -




3) sin(-α) = -sinα нечетная функции

tg (-α) = -tgα нечетная функции

ctg (-α) = -ctgα нечетная функции

cos (-α) = cosα} - четная функция



Формулы тригонометрии



Основные тригонометрические тождества

Формулы двойного угла

sin2α +cos2α=1

tgα ∙ctgα =1

sin2α = 2sinα ∙ cosα

cos2α = cos2α - sin2α

cos2α = 1-sin2α

cos2α =2cos2α -1




Формулы половинного угла


Формулы сложения



sin (α+β) =sinα cosβ +cosα sinβ

sin (α-β) =sinα cosβ-cosα sinβ

cos (α+β) = cosα cosβ -sinα sinβ

cos (α-β) = cosα cosβ +sinα sinβ



Формулы суммы и разност




Тема: ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ


СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ


Решите уравнение:


1. arcsin(-a) = -arcsin a arcsin = ; arcsin(- ) = -

2. arccos(-a) = π - arccos a arccos = ; arccos(- ) = π - = π

3. arctg(-a) = -arctg a arctg1 = ; arctg(-1) = -

4. arcctg(-a) = π - arcctg a arcctg1 = ; arcctg(-1) = π - = π


5. sin (arcsin a) = a

cos (arccos a) = a

6. arcsin (sin х) = х

arccos (cos х) = х

7 .tg (arctg a) = a

arctg (tg х) = х, если х€


Найдите значение выражения:


a) arcsin 1 г) arctg 0 ж) arccos (-)

б) arcsin (- ) д) arctg (-) з) arcctg (-)

в) arccos е) arcctg ()


Тема3: ПРОСТЕЙШИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ


СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ


Уравнения вида sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x =a называются простейшими тригонометрическими уравнениями. Любое другое тригонометрическое уравнение с помощью преобразований можно привести к простейшим.

1) sin x = a, -1 ≤ a ≤ 1


х = (-1)k arcsin a + πk, k€z


Частные случаи

sinx = 0; x = πk, k€z

sinx = 1; x = + 2πk, k€z

sinx = -1; x = - + 2πk, k€z

sin2x = a; x = ±arcsin + πn

2) cos x = a, -1 ≤ a ≤ 1

х = ±arccos a + 2πk, k€z


Частные случаи

cosx = 0; x = - + πk, k€z

cosx = 1; х=2πk, k€z

cosx = -1; х= π + 2πk, k€z

cos2x = ±arccos + πn, n€z


3) tg x = a

х = arctg a + πk, k€z


УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ

Пример 1. Решить уравнение:

sinx = -

x = (-1)k arcsin (- ) + πk, k€z

x = (-1)k+1 + πk, k€z

Ответ: x = (-1)k+1 + πk, k€z


Пример 3. Решить уравнение:

sin2x =

2x = (-1)k arcsin + πk, k€z

2x = (-1)k + πk, k€z

х = (-1)k + k, k€z

Ответ: х = (-1)k + k, k€z


Пример 2. Решить уравнение:

2 cosx + 1 = 0

2cosx = -1

cosx = -

x = ±arccos(- ) + 2πk, k€z

x = ±() + 2πk, k€z

Ответ: x = ±() + 2πk, k€z


Пример 4. Решить уравнение:

3tgx -1 = 0

tgx =

x = arctg + πk, k€z

Ответ: x = arctg + πk, k€z

















ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ


Решите уравнения:


1. cos x = 7. sin x = -0,6

2. cos x = -1 8. cos (-4x )= 0

3. sin(- x) = 0,5 9. cos = -

4. 2 sin x = 0 10. tg( x+π/4) =

5. ctg х + 1 = 0 11. 2 sin x + = 0

6. sin 3x = 12. cos x = 3



Тема: РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ


  1. Уравнения, сводящиеся к квадратным

(Виды уравнений: а sin2x + b sinx + c= 0, а cos2x + b sinx + c = 0)

Алгоритм решения:

а) Выполнить преобразования, приводящие к уравнению с одной функцией

б) Решить квадратное уравнение относительно данной функции

в) Решить простейшие тригонометрические уравнения


Пример: 2 sin2 x + 5 sin x - 3 = 0

Замена: sinx = t , |t| ≤ 1

2 t2 + 5 t - 3 = 0 , t = -3

t = Обратная замена: sin x=-3 нет решения,

sinx = (простейшее уравнение)

(см. таблицу)


2) Уравнения вида a sinx + b cosx = 0 (однородное уравнение первого порядка)

Решается делением на sin x ≠ 0 или cos х ≠ 0

Например: поделим на cos x, получим уравнение а tgx + b = 0

tgx = - (простое тригонометрическое уравнение)


  1. Уравнения, решаемые разложением левой части на множители, если справа 0

(левую часть уравнения раскладываем на множители, затем каждый из сомножителей приравниваем к нулю)


а sin2x + b sinxcosx = 0 (вынесем за скобки sin х)

sinx (a sinx + b cosx) = 0 (данное уравнение распадается на 2 уравнения:

1) sinx = 0 (прост. триг. уравнение) . 2) а sinx + b cosx = 0 (однородное триг. уравнение 1-го порядка, смотри пункт 2)


4) Однородные тригонометрические уравнения 2-го порядка


а sin2 x + b sinx cosx + c cos2x = 0 Примечание: если уравнение имеет вид

а sin2 x + bsinx cosx + c cos2x = d, то правую часть

уравнения умножаем на 1, т.е.

Решается делением на сos2 х≠ 0

a tg2x + b tgx + c = 0 (смотри пункт 1)

замена: tgx = t

at2 + bt + c =0 …


ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ


Решите уравнение

1.2 cos2x + 9 sinx + 3 = 0, (указание: заменить на 1-sin2x) 2.sinx + cosx = 0

Ответ: - + πn, n€z Ответ: (-1)n+1 + πn, n€z



3. 2sin cosx - sinx = 0 4. 3 sin2x + sinxcosx = 2cos2x

Ответ: x = - + πn, x = arctg + πn, n€z Ответ: x = ± + 2πn, n€z, x = πn, n€z



ТЕСТ № 1


1. Решите уравнение: sinx =

А) (-1)k + πk, k€z B) ± + 2πk C) (-1)k + πk D) (-1)k + 2πk


2. Решите уравнение: 2 cos2x =

A) + 2πk B) ± + πk C) + πk D) ± + 2πk



3. Решите уравнение: 3tg3x = 3

A) + k B) - + πk C)k D) +



4. Решите уравнение: 2cos2x - 5cosx = -3

A) 2πn, n€z B) нет решения C) πn, n€z D) π + 2πn, n€z

5. Решите уравнение: sin2x - 2sinx = 0

A) πn, n€z B) (-1)k + πк C) ± + 2πn D) π + 2πn, n€z

6. Решите уравнение:

A) нет решения B) C) D) ± + 2πn, n€z

7. Решите уравнение: 2sin + = 0

A) (-1)k + 2πk B) (-1)k + 1 + 2πk C) (-1)k + πk D) (-1)k + 1 + πk


8. Решите уравнение: sinx - cosx = 0

A) + πn B) + πn C) ± +2 πn D) ± + πn


9. Решите уравнение: sin2 + sin cos = 0

A) - + 2 πn, n€z, 2πn, n€z B) + 2 πn, n€z C) + πn, n€z D) - + πn, n€z, πn, n€z


10. Решите уравнение: 3tg6x + = 0

A) + πn, n€z B) + 6 πn, n€z C) + 3 πn, n€z D) - n, n€z





ТЕСТ №2

1. Решите уравнение:

А) В) С)D)

2. Решите уравнение если

А) В) С) D)


3. Решите уравнение:

А); В);

С); D).

4. Решите уравнение: .

А); В); С); D).

5. Найдите корень уравнение принадлежащий []

А)300; В)450; С)200; D)150.


6. Решите уравнение: .

А) В) С)D)


7. Решите уравнение:

А) В) С) D)

8. Решите уравнение: .

А); В); С) ; D).

9. Решите уравнение: .

А); В);

С) ; D).


10. Решите уравнение:

А) ; В) ;

С) ; D) .




Тема4: ПРАВИЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ





 
 
X

Чтобы скачать данный файл, порекомендуйте его своим друзьям в любой соц. сети.

После этого кнопка ЗАГРУЗКИ станет активной!

Кнопки рекомендации:

загрузить материал