Внеклассное занятие по математике на тему Логические задачи (8 класс)

Бутко Сергей Васильевич-учитель математики высшей категории К.Г.У. Вечерняя средняя общеобразовательная школа при Е.С. учреждение 164\3 г Петропавловска Сев.Каз.обл.

Занимательные логические задачи

Особое место в математике занимают задачи, ре­шение которых развивает логическое мышление, что способствует успешному изучению предмета. Эти за­дачи носят занимательный характер и не требуют большого запаса математических знаний, поэтому они привлекают даже тех учащихся, которые не очень любят математику.

Решение многих логических задач связано с рас­смотрением нескольких конечных множеств с одина­ковым числом элементов, между которыми требует­ся установить соответствие. При решении таких за­дач удобно использовать различные таблицы и гра­фики.

Решение логических задач с использованием таблиц

Задача 1. Три друга - Алеша, Боря и Витя - учатся в одном классе. Один из них ездит домой из школы на автобусе, один - на трамвае, один - на троллейбусе. Однажды после уроков Алеша пошел проводить своего друга до остановки автобуса. Когда мимо них проходил троллейбус, третий друг крик­нул из окна: «Боря, ты забыл в школе тетрадку!». Кто на чем ездит домой?

Решение. При решении задачи удобно пользовать­ся таблицей:

Автобус

Троллейбус

Трамвай

Алеша

Боря

Витя

Договоримся отмечать в таблице результат, по­лученный в ходе логических рассуждений, знаком «+» положительный, а знаком «-» отрицательный. Видим, что в задаче речь идет о двух множествах: множестве имен и множестве видов транспорта, на котором ребята едут домой. Обращаем внимание на то, что между этими множествами установлено вза­имно однозначное соответствие, то есть каждому элементу первого множества соответствует единствен­ный элемент второго множества, а двум различным элементам первого множества соответствуют два раз­личных элемента второго множества. В каждом столбце - только один «+», в каждой строке - только один знак «+». Поэтому, если в какой-то из клеток появляется знак «+», то все остальные клетки в данной строке и в данном столбце заполняем знаками «-».

Выделяем ключевые условия.

1. Алеша провожает друга до остановки автобуса.

2. Крик из троллейбуса: «Боря, ты забыл тетрадку»

. Анализируя каждое из условий, заполняем таблицу.

Из условия (1) делаем вывод о том, что Алеша не ездит на автобусе - ставим знак «-» в ячейку <автобус - Алеша>. Из условия (2) делаем вывод о том, что в троллейбусе едет не Боря -ставим знак «-» в ячейку <троллейбус - Боря>.

Из (1) и (2) - в троллейбусе едет не Алеша (он провожает друга до остановки автобуса). Ставим знак « - »в ячейку <троллейбус - Алеша>.

В каждой строке или столбце обязательно есть знак «+». Из таблицы видим, что в первой строке два знака « - », значит, в ячейке <трамвай - Алеша > ставим знак « + ».

В столбике <трамвай> может быть только один знак «+» (соответствие однозначное), поэтому ячейки <трамвай - Боря» и <трамвай -Витя»заполняем знаками «-»:

Таблица принимает вид:

Автобус

Троллейбус

Трамвай

Алёша

─

─

+

Боря

+

─

─

Витя

─

+

─

Задача 2. Каникулы в школе птиц и зверей нача­лась большим карнавалом. Медведь, волк, лиса и заяц явились в маскарадных костюмах волка, медведя, лисы и зайца. На балу зверь в маскарадном костюме зайца выиграл в лотерее банку меда и остался этим очень недоволен. Известно также, что медведь не любит лису и никогда не берет в лапы картинок, где она нарисована. Зверь в маскарадном костюме лисы выиграл в лотерее пучок моркови, но это тоже не до­ставило ему никакой радости. Не могли бы вы ска­зать, какой маскарадный костюм смастерил себе каж­дый из зверей?

Решение. По смыслу задачи все звери переоделись, поэтому сразу заполняем клетки, расположенные по диагонали знаками «-».

Костюмы

медведя

лисы

волка

зайца

Медведь

─

Лиса

─

Волк

─

Заяц

─

Выделяем ключевые условия.

1. Зверь в костюме зайца выиграл банку меда и был этим недоволен.

2. Медведь не берет в руки картинки с изображе­нием лисы.

3. Зверь в костюме лисы выиграл пучок моркови и был этим недоволен.

Из условия (1) следует, что в костюме зайца был не медведь (медведи любят мед). Ставим знак «-> в ячейку <костюм зайца - медведь>. Из условия (2) следует, что медведь не надел бы костюма лисы. Ста­вим знак «-» в ячейку < костюм лисы -медведь>

В первой строке все клетки, кроме одной, запол­нены знаком «-». Соответствие взаимно однозначное. Поэтому последнюю клетку заполняем знаком «+». Все клетки, которые находятся ниже знака «+», за­полняем знаками «-».

Из условия (3) - зверь в костюме лисы не любит морковь, значит, это не заяц. Ставим знак «-» в ячей­ку <костюм лисы - заяц>.

В столбце <костюм лисы> все клетки заполнены зна­ками «-», значит, последнюю клетку заполняем знаком «+», а пустые клетки в строке <Волк> знаками «-».

В строке <3аяц> все клетки кроме одной заполне­ны знаками «-», значит, последнюю заполняем зна­ком «+». В столбце <костюм медведя> может быть только один знак «+», поэтому оставшуюся пустую ячейку здесь заполняем знаком «-».

В строке <Лиса> все клетки кроме одной заполне­ны знаками «-». В последней ставим знак « + ».

Костюмы

медведя

лисы

волка

зайца

Медведь

─

─

+

─

Лиса

─

─

─

+

Волк

─

+

─

─

Заяц

+

─

─

─

Все знаки расставлены. Можем сделать вывод: медведь - в костюме волка, лиса - в костюме зай­ца, волк - в костюме лисы, заяц - в костюме мед­ведя.

Задача 3. В бутылке, стакане, кувшине и банке находятся молоко, лимонад, квас и вода. Известно, что:

(1)вода и молоко не в бутылке;

(2)сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом;

(3) в банке не лимонад и не вода;

(4) стакан стоит между банкой и сосудом с молоком.

В каком сосуде находится каждая из жидкостей?

Решение. Из условия (1) ясно, что вода и молоко не

в бутылке, значит, ставим знак «-» в соответствую­щие ячейки. Из условия (2) - сосуд с лимонадом сто­ит между кувшином и сосудом с квасом, значит, в кувшине не лимонад и не квас. Из условия (3) - ли­монад и вода не в банке. Из условия (4) - в стакане и банке не молоко. В результате таблица принимает вид:

Лимонад

Вода

Молоко

Квас

Бутылка

─(1)

─(1)

Стакан

─(4)

Кувшин

─(2)

─(2)

Банка

─(3)

─(3)

─(4)

Замечаем, что в столбце <молоко> все клетки кро­ме одной заполнены знаками «-», поэтому последнюю клетку заполняем знаком «+» (помним, что в каж­дой строке и в каждом столбце должен быть только один знак «+», так как соответствие однозначное). Аналогично, в строке <банка>.

Теперь легко заполнить пустую клетку в строке <бутылка> и клетку под ней. Осталась одна пустая клетка в строке <стакан>. Очевидно, что в нее нужно поставить знак «+».

Итак, лимонад - в бутылке, вода - в стакане, молоко - в кувшине, квас - в банке.

Задача 4. В небольшом районном городе живут пять друзей: Иванов, Петренко, Сидорчук, Гришин и Капустин. Профессии у них разные: один из них маляр, другой - мельник, третий - плотник, чет­вертый - почтальон, а пятый - парикмахер. Пет­ренко и Гришин никогда не держали в руках ма­лярной кисти. Иванов и Гришин собираются посе­тить мельницу, на которой работает их товарищ. Петренко и Капустин живут в одном доме с почта­льоном. Сидорчук был недавно в ЗАГСе одним из свидетелей, когда Петренко и дочь парикмахера сочетались законным браком. Иванов и Петренко каждое воскресенье играют в городки с плотником и маляром. Гришин и Капустин по субботам обяза­тельно встречаются в парикмахерской, где работает их друг. Почтальон предпочитает бриться сам. Кто есть кто?

Решение. Выделим ключевые условия.

1. Петренко и Гришин никогда не держали в руках малярной кисти.

2. Иванов и Гришин собираются посетить мельницу, на которой работает их товарищ.

3. Петренко и Капустин живут в одном доме с почтальоном.

4. Сидорчук был недавно в ЗАГСе одним из свидетелей, когда Петренко и дочь парикмахера сочетались законным браком.

5. Иванов и Петренко каждое воскресенье играют в городки с плотником и маляром.

6. Гришин и Капустин по субботам обязательно встречаются в парикмахерской, где работает их друг.

7. Почтальон предпочитает бриться сам.

Из условия (1): Петренко и Гришин - не маляры. Из условия (2): Иванов и Гришин - не мель­ники. Из условия (3): Петренко и Капустин не почтальоны. Из условия (4): Петренко и Сидодчук - не парикмахеры. Из условия (5): Иванов и Петренко - не плотники и не маляры. Из условия (6) Гришин и Капустин - не парикмахеры. Из условий (7) и (6): Гришин и Капустин - не парикмахеры. Выясняем, что в задаче речь идет о взаимно однозначном соответствии. Теперь заполняем таблицу.

Фамилии

Профессии

маляр

плотник

мельник

почтальон

парикмахер

Иванов

─(5)

─(5)

─(2)

Петренко

─(1)

─(5)

─(3)

─(4)

Сидорчук

─(4)

Гришин

─(1)

─(2)

─(6)

Капустин

─(3)

─(6)

Делаем вывод: Иванов - парикмахер. Пегренко ─мельник, Сидорчук - почтальон, Гришин - плотник, Капустин - маляр.

Задача 5. Беседуют трое друзей: Белокуров, Рыжов и Чернов. Брюнет сказал Белокурову: «Любопытно, что один из нас блондин, другой - брюнет, третий - рыжий, но ни у кого цвет волос не соответствует фа­милии». Какой цвет волос у каждого из друзей.

Решение. Выделим ключевые условия:

(1) брюнет сказал Белокурову... (значит Белоку-

ров не брюнет);

(2) цвет волос не соответствует фамилии.

Соответствие взаимно однозначное.

Рассуждения аналогичны рассуждениям в задачах1-4.

7