Статья 'Исследовательская деятельность на уроках алгебры в 8 классе'

Исследовательская деятельность

на уроках математики в 8 классе.

«Мир полон решений,

ищущих свои проблемы»

Р.Эванс

Каждому ребенку дарована от природы склонность к познанию окружающего мира. Поэтому будем прививать нашим ученикам вкус к поиску и исследованию. Пусть они почувствуют прелесть открытия!

Чтобы «вызвать» в уме ученика мыслительный процесс, который переживает творец и изобретатель, нужно научить его умению анализировать, сравнивать, комбинировать, обобщать и делать выводы, выявлять сходства. Для этого поставим перед учащимися задачу:

Выявить….

Установить…

Обосновать…

Уточнить…

Разработать… или доказать какую либо идею.

1.Исследование на уроке алгебры по теме: «Теорема Виета»

В качестве иллюстрации учебного исследования приведем пример

урока алгебры в 8 классе по теме: «Теорема Виета».

I этап. Мотивация.

Создание условий для возникновения у ученика вопроса или проблемы.

На этапе - мотивация - использован прием «погружение в проблему», основанный на личностной реакции ребенка на стимулирующий материал.

На доске написаны приведенные квадратные уравнения. Учитель предлагает ученикам провести соревнование в вычислении корней квадратных уравнений. Дети умеют это делать по формуле корней квадратного уравнения.

Учащиеся удивляются, каким образом учителю удается угадывать корни уравнений без вычислений?

Ученики высказывают предположение о существовании особых свойств приведенного квадратного уравнения, либо о существовании новой формулы корней квадратного уравнения. Ученики ставят проблемный вопрос:

«Существует ли связь между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения? Если существует, то какова эта связь?»

II этап. Формулирование проблемы - самый «тонкий» и творческий компонент мыслительного процесса. В идеале сформулировать проблему должен сам ученик в результате мотивирующей задачи. Однако в реальной школьной практике такое случается не всегда: для очень многих школьников самостоятельное определение проблемы затруднено; предлагаемые ими формулировки могут оказаться неправильными. А поэтому необходим контроль со стороны учителя.

III этап. Сбор, систематизация и анализ фактического материала .

На данном этапе проводится поиск путей решения проблемы.

Он может осуществляться посредством проведения испытаний, всевозможных проб, измерения частей фигуры, каких-либо сравнений, исследований параметров и т.д. Систематизацию и анализ полученного материала удобно осуществлять с помощью таблиц, схем, графиков и т.п. - они позволяют визуально определить необходимые связи, свойства, соотношения, закономерности.

Дети получают заготовку таблицы «Рабочий лист» и им предлагается план проведения исследования.

План исследования:

1.Решите каждое квадратное уравнение известным способом.

2.Заполните рабочий лист.

3.Сравните результаты колонок №2 и№5 по каждому уравнению, найдите закономерность, сделайте вывод.

4.Сравните результаты колонок№3 и №6 по каждому уравнению, найдите закономерность, сделайте вывод.

5.Ответьте на вопрос урока.

6.Подготовьте отчет.

Учащиеся заполняют таблицу:

Рабочий лист

1

2

3

4

5

6

Приведенное

квадратное уравнение

х²+pх+q=0

Второй коэффициент p

Свободный член q

Корни х₁ и х₂

Сумма корней х₁ и х₂

Произведение корней х₁∙х₂

х²+7х+12=0

7

12

-3 и -4

-7

12

х²-9х+20=0

-9

20

4 и 5

9

20

х²-х-6=0

-1

-6

-2 и 3

1

-6

х²+х-12=0

1

-12

-4 и 3

-1

-12

х²+х+30=0

1

30

нет

-

-

IY этап Выдвижение гипотезы.

А теперь связывание информации и выдвижении гипотезы:

Проведенное исследование позволяет учащимся высказать гипотезу о связи между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения.

Гипотеза. Если х₁ и х₂ -корни уравнения х²+pх+q=0, то х₁ + х₂ = -p? х₁ ∙ х₂ =q?

Y этап. Проверка гипотезы. Эмпирический вывод требует теоретического обоснования.

Ученики предполагают, что если истинность гипотезы удастся доказать путем рассуждений, то они получат новую теорему.

Проверка гипотезы позволяет укрепить веру или усомниться в истинности предложений, а может внести изменения в их формулировки.

Доказательство данной теоремы проводит учитель или подготовленный заранее ученик.

Предлагается ребятам составить схему теоремы, обратной записанной:

«Условие»: х₁ + х₂ =- p, х₁ ∙ х₂ =q.

«Заключение»: х₁ и х₂ - корни квадратного уравнения х² + pх +q =0.

Формулируется учителем теорема, обратная данной.

YI этап. Применение. Заключение.

Попытаемся определить, какие задачи можно будет решать с помощью прямой и обратной теоремы.

Как вы думаете, какой и этих теорем я пользовалась, когда

готовилась к уроку и придумывала для вас приведенные квадратные уравнения?

Математиков всегда интересовал вопрос, как решить задачу более рациональным способом.

Нельзя ли находить корни приведенного квадратного уравнения методом подбора?

Какую теорему в этом случае будем использовать?

Ответы учеников. Даются задания учащимся.

Учебное исследование, как часть урока, закончено.

2. Мини - исследование на уроке алгебры по теме «Арифметический квадратный корень»

Кроме уроков исследований, которые проводятся в основном при изучения новой темы, существуют также и мини - исследования, которые проводятся на уроках отработки умений и навыков.

Например, тема: Исследуем выражения . Найдем сходство и различия этих двух выражений.

I этап. Постановка вопроса.

Выяснить, равны ли значения выражений: и . Можно ли между ними поставить знак равенства?

II этап. Поиск путей решения.

План исследования:

1.Выполнить извлечение квадратных корней из при выбранных значениях а.

2.Заполнить рабочий лист.

3.Проанализировать полученные результаты и сделать выводы.

III. Анализ фактического материала. Выполняются учениками вычисления и заполнение рабочего листа

не имеет смысла.

а

Сравнение

а>0

5

а=0

0

а<0

-4

не имеет смысла

Сравнить нельзя

На основании полученных данных при вычислении сделаем анализ:

Выражение имеет смысл при любых значениях а.

Выражение имеет смысл при неотрицательных значениях а.

Найдем значения этих выражений:

1. при а ≥ 0,

2. при а≥ 0 и при а<0.

Т.е. квадратный корень из степени числа а равен модулю числа а при любом значении а. при любом значении а.

IYэтап. Выдвижение гипотезы: Данные выражения равны только при неотрицательных значениях а.

Выполним проверку гипотезы построением графиков функций у = и у= и убедимся в правильности найденного нами вывода

у = у =

Совместим эти графики и найдем их пересечение.

Вывод:

Значения выражений и равны при неотрицательных значениях а.

3.Мин - исследование на уроке алгебры по теме «Квадрат суммы трех чисел».

Мини - исследование из серии «формулы сокращенного умножения»

Тема. «Квадрат суммы трех чисел».

В результате данного исследования учащиеся «открывают» новую формулу.

I этап.Постановка проблемы.

Мотивирующей (исходной) задачей может служить следующая задача: «Необходимо вычислить площадь участка квадратной формы со стороной 121м ». Как это сделать устно и, притом, быстро?

II этап. Выдвижение гипотезы и ее проверка.

Учащиеся высказывают предположения, обосновывают их, приходят к необходимости умножения многочлена на многочлен. А удобно ли каждый раз выполнять умножение многочленов?

Анализируя модель этой практической задачи, ученики формулируют проблему:

Давайте проанализируем результаты умножения многочлена на многочлен, установим закономерности с формулой квадрата суммы двух чисел и попробуем вывести формулу квадрата суммы трех чисел, так как пользоваться готовой формулой всегда удобнее.

II этап. Исследование. Учащимся предлагается план исследования:

1.Выполните умножение квадрата суммы трех чисел в общем виде (а+в+с)².

2.Проанализируйте полученный результат и определите общие закономерности.

Полученный результат: (а+в+с)²=(а+в+с)∙(а+в+с)=а²+ва+са+ав+в²+св+ас+вс+с²=а²+в²+с²+2ав+2са+2св.

Учитель и учащиеся обсуждают полученные решения. Сравнивают, выявляют сходства, обобщают, делают первоначальные выводы.

После умножения многочлена на многочлен в результате получается сумма квадратов каждого из чисел и попарных удвоенных произведений этих чисел. Значит можно сразу записывать эти слагаемые, не умножая многочлен на многочлен.

Формулировка гипотезы: (а+в+с)²= а²+в²+с²+2ав+2са+2св

(словесный вывод) «Квадрат суммы трех чисел равен сумме квадратов каждого слагаемого плюс всевозможные удвоенные произведения».

III этап. Проверку гипотезы проведем геометрической иллюстрацией с применением свойств площадей.

(а+в+с)²= а²+в²+с²+2ав+2са+2св

Заключение. Теперь вы сможете выполнить решение задачи. Площадь садового участка квадратной формы равна 121² = (100 + 20 + 1) ² = 100² + 20² +1² +2∙100∙20 + 2∙100∙1 + 2∙20∙1 = 10000 +400 + 1 + 4000 + 200 +40 =14641.

Можно вывести самостоятельно новые формулы, используя знания и умения, полученные в ходе исследования ( а - в + с)² ; (а - в- с )²; (а + в - с)².