Урок "Арккосинус. Решение уравнения cos t = a"

Тип урока: изучение нового материала.

Цели урока:

• дидактические: сформировать у учащихся понятие арккосинуса; вывести общую формулу решения уравнения cos t = a; выработать алгоритм решения данного уравнения;

• развивающие: развитие познавательного интереса, логического мышления, интеллектуальных способностей; формирование математической речи;

• воспитательные: формировать эстетические навыки при оформлении записей в тетради и самостоятельность мышления у учащихся.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, экран, презентация «Арккосинус. Решение уравнения cos t =a» , ноутбуки, карточки.

Ход урока

1. Организационный момент. Создание положительной мотивации урока( слайд 1)

Добрый день! Прошу садитесь!

Прозвенел звонок.

Для урока соберитесь

И начнем урок.

2. Актуализация опорных знаний

1. Повторение тригонометрического круга. Тригонометрический круг - тренажер. Точка-смайлик скользит по кругу, останавливаясь то на осях координат, то на различных точках круга. Учитель называет ученика и тот быстро называет значение точки (либо угол в радианах, либо значения синуса, косинуса, тангенса или котангенса на осях). ( слайд 2)

2.Индивидуальная работа на оценку. На задних партах 2 человека за ноутбуками выполняют то же задание на оценку, выписывая ответы на листочках по порядку.

3.Работа с классом:

Повторить способ решения уравнения вида cos t = a, где а - действительное число, с помощью числовой окружности. Решить уравнения: 1) cos t = ; 2) cos t = 1 .

Используем геометрическую модель - числовую окружность на координатной плоскости.

1) cos t = (слайд 3-4);

.

2) cos t = 1 (слайд 5-6);

.

III. Изучение нового материала

Ввести проблемную ситуацию: любое ли тригонометрическое уравнение вида

cos t = a можно решить с помощью числовой окружности?

1) Предложить учащимся решить уравнение cos t = (слайд 7).

С помощью числовой окружности получим (слайд 8):

где t₂ = - t₁.

Когда впервые возникла ситуация с решение уравнений такого типа, ученым-математикам пришлось придумать способ её описания на математическом языке. В рассмотрение был введен новый символ arccos а (слайд 9).

Читается: арккосинус а; «arcus» в переводе с латинского значит «дуга» (сравните со словом «арка»).

Попросить детей объявить тему и цели урока(слайд 10).

С помощью этого символа числа t₁ и t₂ записываются следующим образом: t₁ = arccos , t₂ = - arccos .( слайд 11)

Теперь с помощью этого символа корни уравнения cos t = можно записать так: (слайд12).

Предложить учащимся обобщить полученные знания, ответив на вопрос: «Что же означает arccos ?» (слайд13 ).

Вывод: это число (длина дуги), косинус которого равен и которое принадлежит первой четверти числовой окружности.

2) Решить уравнение cos t = - (слайд 14).

С помощью числовой окружности и символа arccos а получим (слайд 15):

.

Предложить учащимся обобщить полученные знания, ответив на вопрос: «Что же означает arccos () ?» (слайд 16).

Вывод: это число (длина дуги), косинус которого равен и которое принадлежит второй четверти числовой окружности.

3) Сформулировать определение арккосинуса в общем виде (слайд 17):

Если │а│≤ 1, то

4) Рассмотреть примеры на вычисление арккосинуса.

Пример 1. Вычислите arccos (слайд 18).

Решение.

Пусть

Значит, поскольку и Итак, arccos=

Пример 2. Вычислите arccos (слайд 19).

Пример 3. Вычислите arccos 0 (слайд 20).

Пример 4. Вычислите arccos 1 (слайд 21).

5) Сделать общий вывод о решении уравнения cos t = a (слайд 22).

Если │a│≤ 1, то уравнение cost = a имеет решения: .

6) Рассмотреть частные случаи, т.е. случаи в которых записывают решение уравнения без помощи аркосинуса: вывесить плакат , по нему дети выводят .

Выделим формулы для решения следующих уравнений: cos t = 0, cos t =1 , cos t = -1 (слайд 23).

7) Доказать теорему и рассмотреть её применение на практике.

Теорема.

Для любого а [-1;1] выполняется равенство arccos a + arccos (-a) = (слайд 24).

Применение теоремы (слайд 25).

На практике используется: arccos (-a) = - arccos a , где 0 ≤ а ≤ 1.

Пример.

arccos= - arccos = -

IV.Закрепление изученного материала

1.Работа в парах: один решает, а другой проверяет( потом меняются) ( см. карточки)

2.Первичный контроль: если считаете , что тему поняли хорошо и готовы получить оценку, то берите карточку №1, если не уверены в своих силах или какие-то моменты вычисления арккосинуса непонятны, то берите карточку №2.

V. Домашнее задание: с подробным объяснением

1) учить,

2) №№