Методическое пособие: Систематизация решений тригонометрических уравнений

Систематизация типов тригонометрических уравнений 12

Уравнения, которые сводятся к простейшим решением квадратных уравнений относительно тригонометрических функций.

Решить уравнение; cos 2x + sin x = 0.

Решение.

cos 2x + sin x = 0. ( применим формулу косинуса двойного угла)

cos² x - sin² x + sin x = 0;

1 - sin²x - sin²x + sin x =0;

2sin²x - sin x - 1 = 0;

Пусть sin x = t , тогда

2t² - t - 1 = 0;

t₁ = 1; t₂ = -.

Имеем: 1) sin x = 1 ; 2) sin x = ;

х = + 2pn , nÎ Z ; х = (-1)^k arcsin + pk , kÎ Z ;

х = (-1)^k + pk , kÎ Z ;

Ответ : + 2pn , nÎ Z ; (-1)^k + pk , kÎ Z .

Однородным уравнением первой степени называется уравнение вида

a sin + b cosx = 0

Делим обе части уравнения на cosx  0, тогда получим линейное уравнение

относительно tg x.

a tg x + b = 0

tg x= -

x = arctg (-) + n , n Z

***************************************************

Уравнение вида a sin²x+ b sinx cos x + c cos²x = 0 называется однородным уравнением второй степени относительно тригонометрических функций .

При сведении к синусу или косинусу не будет квадратным ни относительно синуса ни относительно косинуса. Чтобы решить его, надо почленно разделить на cos²x  0 обе части уравнения, получим квадратное уравнение относительно тангенса.

Решить уравнение: sin²x+ 3 sinx× cos x - 2 = 0 .

( данное уравнение не однородно относительно синуса и косинуса , так как присутствует свободный член , имеющий нулевую степень , в то время , как другие два члена имеют вторую степень . Сведём это уравнение к однородному .)

Решение .

sin²x+ 3 sinx× cos x - 2 = 0;

sin² x + 3 sin x cos x - 2 sin² x - 2 cos² x = 0 ;

sin² x - 3 sin x cos x + 2 cos² x = 0;

Делим на cos² x  0. Имеем :

tg²x - 3 tg x + 2 = 0 ;

пусть tg x = t , тогда t² - 3t + 2 = 0;

t₁ = 1 ; t₂ = 2.

1) tg x = 1 или 2) tg x = 2;

x = arctg 1 + pn , nÎZ; x = arctg 2 + pk , kÎZ;

x = + pn , nÎ Z ;

Ответ : + pn , arctg 2 + pk , k , nÎ Z .

************************************************

Уравнения, решаемые приведением к одной тригонометрической функции одинакового аргумента.

Например: Решите уравнение : tg x + 3 ctg x = 4.

Решение.

tg x + 3 ctg x = 4 , учитывая , что ctg x = и сделав соответствующую замену, получим tg x + 3 = 4 ( получили уравнение, приведённое к одной тригонометрической функции )

Пусть tg x = t , тогда t² + - 4 = 0, t² - 4t + 3 = 0, t = 3 и t = 1.

Имеем: 1) tg x = 3 , x = arctg 3 + πn , n  Z.

2) tg x = 1, x = + πk , k  Z.

Ответ: x = arctg 3 + πn , n  Z ; x = + πk , k  Z.

***********************************************************************

Рассмотрим наиболее часто встречающиеся тип уравнений - уравнения, решаемые разложением на множители. Причём при этом способе обязательно используется условие равенства произведения нулю .

Пример 1 : Решить уравнение 1 + cos 2x = 2 cos x.

Решение.

1 + cos 2x = 2 cos x , используя формулу тригонометрической единицы и косинуса двойного угла получим :

cos² x + sin² x + cos² x - sin² x - 2 cos x = 0 ,

можно было использовать формулу 2 cos² x = 1 + cos 2x

2 cos² x - 2 cos x = 0 ; Вынесем общий множитель .

2 cos x ( cos x - 1 ) = 0; Из условия равенства произведения нулю следует :

cos x = 0 и cos x = 1;

x = 2πn , n Z ; x = + πk , k  Z ;

Ответ: 2πn , n Z ; + πk , k  Z ;

*****************

Решить уравнение: sin 2x - sin x = 0.

Решение.

sin 2x - sin x = 0 , 2 sin x · cos x - sin x = 0 , (Вынесем общий множитель .)

sin x ( 2 cos x - 1 ) = 0; (Из условия равенства произведения нулю следует :)

sin x = 0 или 2 cos x - 1 = 0;

x = πn , n Z cos x = ,

х = ± + pk , kÎ Z.

.

Ответ : πn , n Z ; ± + pk , kÎ Z .

Таким образом , при решении уравнения методом разложения на множители необходимо все компоненты перенести в левую часть и найти такие тождественные тригонометрические преобразования , которые позволили бы найти общие множители .

*************************

Дробно - рациональные уравнения.

При решении уравнений данного типа используется условие равенства дроби нулю.

Дробь равна нулю , когда числитель равен нулю , а знаменатель отличен от нуля.

Например : из условия равенства дроби нулю данное неравенство равносильно системе:

; ;

Отметим на единичной окружности точки числителя , исключим точки знаменателя и получим :

x =  + 2n , n Î Z .

Ответ:  + 2n , n Î Z .

Обращаю ваше внимание , что мы рассматривали уравнение, в котором левая часть - дробь , а правая часть - нуль. Если уравнение дробно - рациональное , но в правой части выражение, отличное от нуля , то необходимо провести такое тождественное преобразование, чтобы в правой части был нуль.

*****************************

Уравнения, содержащие произведение тригонометрических функций.

Рассмотрим решение уравнения sin 5x · sin 3x + sin 10x · sin 2x = 0

Применяя формулу преобразования произведения синусов в сумму получим :

( cos ( 5x - 3x ) - cos ( 5x + 3x ) ) + ( cos ( 10x - 2x ) - cos ( 10x + 2x )) =

( cos 2x - cos 8x ) + ( cos 8x - cos 12x ) = 0 | · 2

cos 2x - cos 8x + cos 8x - cos 12x = 0,

cos 2x - cos 12x = 0,

- 2sin· sin = 0,

- 2 sin 7x · sin (-5x) = 0,

2 sin 7x · sin 5x = 0,

получили уже знакомое вам произведение равное нулю.

Отсюда имеем два уравнения:

sin 5x = 0 , 5x = πn , x = πn , nÎ Z ;

sin 7x = 0 , 7x = pk , x = pk, kÎ Z.

Ответ : πn , nÎ Z ; pk, kÎ Z.

для чего мы производили преобразование произведений в сумму?

- для того , чтобы проверить не упростится ли левая часть . Упростилась .

Но затем упрощённую сумму преобразовываем в произведение . Зачем?

- чтобы получить произведение равное нулю.

********************************************************************

Уравнения, содержащие сумму тригонометрических функций.

Рассмотрим решение уравнения sin x - sin 2x + sin 5x + sin 8x = 0

Имеем сумму тригонометрических функций разных аргументов . Задача - преобразовать левую часть уравнения так, чтобы можно было разложить на множители и использовать условие равенства произведения нулю.

Произведём перестановку и группировку одночленов, используя формулы преобразования суммы и разности синусов в произведение получим:

(sin x + sin 5x ) + ( sin 8x - sin 2x ) = 0,

2 · + 2 = 0,

2 sin 3x·cos ( - 2x) + 2 sin 3x · cos 5x = 0,

2 sin 3x· (cos 2x + cos 5x) = 0,

4 sin 3x· = 0,

4 sin 3x · cos · cos = 0, используя условие равенства произведения нулю получим:

sin 3x = 0 , cos = 0 , cos = 0,

x₁ = , x₂ = , x₃ = n , k , l  Z.

первый и третий ответы объединяются в один ответ.

Ответ : , n , k  Z .

********************************************************

Уравнения , решаемые понижением степени .

Решить уравнения: cos² x + cos² 2x - cos² 3x - cos² 4x = 0.

Имеем сумму квадратов тригонометрических функций разных аргументов .

Задача - преобразовать левую часть уравнения так, чтобы можно было разложить на множители и использовать условие равенства произведения нулю. Для решения таких примеров используются формулы понижения степени .

cos² x = , sin² x =

Решение .

cos² x + cos² 2x - cos² 3x - cos² 4x = 0.

+ - - = 0 | · 2

1 + cos 2x + 1 + cos 4x - 1 - cos 6x - 1 - cos 8x = 0,

cos 2x + cos 4x - cos 6x - cos 8x = 0,

- получили уравнение , содержащее сумму тригонометрических функций .

(cos 2x + cos 4x ) - ( cos 6x + cos 8x ) = 0, после применения формулы преобразования суммы косинусов в произведение получим:

2 cos x ( cos 3x - cos 7x ) = 0,

4 cos x · sin 5x · sin 2x = 0 , ( произведение, равное нулю )

cos x = 0, sin 5x = 0, sin 2x = 0.

x₁ = π n , x₂ = , x₃ = n , k , l  Z

Третий ответ «поглощает» точки первого ответа.

Ответ : , , k , l  Z

*******************************************************

Рассмотрим решение уравнений типа sin²ⁿ x + cos²ⁿ x = f(x)

покажем методы решения на примерах:

sin⁶ x + cos⁶ x = ; sin⁴ x + cos⁴ x - sin x · cos x = 0 ; sin⁴ x + cos⁴ x = cos 4

Конечно, можно такие уравнения решать как уравнения с чётными степенями синуса и косинуса, однако после тяжелых преобразований мы получим алгебраическое уравнение высокой степени.

Разумно в этом случае использовать специальные тождества чётных степеней. Но, запоминать их нет необходимости. Лучше понять используемые приемы преобразования и каждый раз использовать:

Выделение полного квадрата

Тождества сокращенного умножения

Тождества двойного аргумента .

Выведем формулы тождеств чётных степеней

sin⁴ x + cos⁴ x = (sin⁴ x + 2sin² x · cos² x + cos⁴ x ) - 2 sin² x · cos² x =

(sin² x + cos² x )² -· 4 sin² x · cos² x = 1 - sin² 2x

Таким образом получили тождество : sin⁴ x + cos⁴ x = 1 - sin² 2xsin⁶ x + cos⁶ x = (sin² x)³ + (cos² x)³ =

(sin² x + cos² x) (sin⁴ x - sin² x · cos² x + cos⁴ x ) =

sin⁴ x - sin² x · cos² x + cos⁴ x =

(sin⁴ x + 2sin² x · cos² x + cos⁴ x) - sin² x · cos² x - 2sin² x · cos² x =

(sin² x + cos² x )² - 3sin² x · cos² x = 1 - sin² 2x

Таким образом получили тождество : sin⁶ x + cos⁶ x = 1 - sin² 2xАналогично выводятся тождества:

sin⁶ x - cos⁶ x = -cos 2x ( 3 + cos² 2x )

sin⁸ x - cos⁸ x = - cos 2x ( 1 + cos² 2x )

Решить уравнение: sin⁶ x + cos⁶ x = .

Решение.

sin⁶ x + cos⁶ x = ; ( раскладываем на множители, используя формулу суммы кубов )

(sin² x + cos² x) (sin⁴ x - sin² x · cos² x + cos⁴ x ) = ;

(используем формулу «тригонометрической единицы»)

sin⁴ x - sin² x · cos² x + cos⁴ x = ; ( дополняем до полного квадрата)

(sin⁴ x + 2sin² x · cos² x + cos⁴ x) - 3sin² x · cos² x = ;

(sin² x + cos² x )² - 3sin² x · cos² x = ;

(используем формулы «тригонометрической единицы» и синуса двойного угла )

1 - sin² 2x = ;

(упрощаем и сводим к решению простейших тригонометрических уравнений )

sin² 2x = ;

sin² 2x = 1; ( Решаем квадратное уравнение )

sin 2x = 1 или sin 2x = -1;

х = + pn ; х = - + pk , n, k Î Z .

Ответ :  + pk , k Î Z .

****************

Решить уравнение: sin⁴ x + cos⁴ x - sin x · cos x = 0.

Решение.

sin⁴ x + cos⁴ x - sin x · cos x = 0;

( дополняем до полного квадрата и используем формулы «тригонометрической единицы» и синуса двойного угла, упрощаем и сводим к решению простейших тригонометрических уравнений )

(sin⁴ x + 2sin² x · cos² x + cos⁴ x) - 2sin² x · cos² x - sin x · cos x = 0;

(sin² x + cos² x )² - 2sin² x · cos² x - sin x · cos x = 0 ;

1 - sin² 2x - sin 2x = 0 |· (-2)

sin² 2x + sin 2x - 2 = 0 ;

Пусть sin 2x = t

t² + t - 2 = 0;

t₁ = 1 , t₂ = - 2 ;

sin 2x = 1 ; sin 2x = - 2 ;

х = + pk , k Î Z . нет решения

Ответ: + pk , k Î Z .

*************

Решить уравнение : sin⁴ x + cos⁴ x = cos 4x.

Решение.

sin⁴ x + cos⁴ x = cos 4x;

( дополняем до полного квадрата и используем формулы «тригонометрической единицы» и синуса двойного угла, упрощаем и сводим к решению простейшего тригонометрического уравнения )

(sin⁴ x + 2sin² x · cos² x + cos⁴ x ) - 2 sin² x · cos² x = cos 4x;

(sin² x + cos² x )² -· 4 sin² x · cos² x = cos 4x ;

1 - sin² 2x = 1 - 2 sin² 2x;

3 sin² 2x = 0;

sin 2x = 0;

x = , n Î Z .

Ответ: , n Î Z.

*****************************************************************************

уравнения с кратными аргументами х, 2х , 4х…

уравнения этой группы могут содержать разные функции разных , но кратных аргументов

Решить уравнение: cos 4x + 2cos² x = 1.

В этом примере два аргумена х и 4х .

Если использовать тождество двойного аргумента и приводить к аргумету х , то получим уравнение четвёртой степени.

Если же использовать тождества понижения степени и приводить к аргументу 4х , то получим уравнение , содержащее корень.

Поэтому в данном уравнении целесообразно приводить к среднему аргументу - 2х.

Решение.

cos 4x + 2cos² x = 1;

( используя тождество косинуса двойного аргумента и тождество понижения степени )

(2cos²2x - 1) + (1 + cos 2x) = 1;

2cos²2x + cos 2x - 1 = 0 ;

Пусть cos 2x = t;

2t² + t - 1 = 0;

t₁ = , t₂ = - 1;

cos 2x = или cos 2x = - 1 ;

2x =  + 2n , n Z ; 2х =  + 2k , k Z;

х =  + n , n Z; x = + k , k Z.

Ответ:  + n ; + k , n, k Z.

********************

Решить уравнение: 4sin² 2x - 2 cos² 2x = cos 8x.

Решение.

4sin² 2x - 2 cos² 2x = cos 8x;

( используя тождество косинуса двойного аргумента и тождество понижения степени приводим аргументы к среднему значению - 4х )

2( 1 - cos 4x ) - ( 1 + cos 4x ) = 2cos² 4x - 1;

2 - 2 cos 4x - 1 - cos 4x ) - 2cos² 4x + 1 = 0;

2cos² 4x + 3cos 4x - 2 = 0;

Пусть cos 4x = t,

2t² + 3t - 2 = 0;

t₁ = , t₂ = - 2;

cos 4x = или cos 4x = - 2 ;

4x =  + 2n , n Z ; нет решения

x =  + , n Z .

Ответ :  + , n Z.

*******************************************************************

Решение линейного тригонометрического уравнения введением вспомогательного угла.

a) Уравнения вида a sin x + b cos x = с , где а, b, c - действиетельные числа называется линейным . Рассмотрим вывод алгоритма его решения .

(sin х + cos x ) = c ;

так как , то

= cos  и = sin  , тогда tg φ =

где  = arctg ;

(cos sin x + sin  cos x) = с ;

sin ( x +  ) = c ;

sin ( x +  ) = ; Обратите внимание , если < c , то уравнение решения не имеет, так как | sin x |  1

х +  = (-1)^k arcsin + pk, k Î Z ;

х = (-1)^k arcsin -  + pk, k Î Z ;

х = (-1)^k arcsin - arctg + pk, k Î Z .

а) Решить уравнение sin x + cos x = 1.

Решение

sin x + cos x = 1;

а = 1; b = 1; с = 1 ; =

sin(x +  ) = 1;

sin(x +  ) = ;

x +  = (-1)^k + pk, k Î Z ;

т.к.  = arctg = arctg 1 = , то

x = (-1)^k - + pk, k Î Z ;

x₁ = + 2π n , n Î Z ; x₂ = 2π m , m Î Z.

Ответ: + 2π n , 2π m ; n Î Z , m Î Z.

*****************************

б) Решить уравнение 3sin x + 4cos x = 5.

Решение.

3sin x + 4cos x = 5;

а = 3; b = 4; с = 5 ;

5sin(x + ) = 5 ;

sin(x +  ) = 1;

x +  = + 2pn, n Î Z ;

т.к.  = arctg = arctg , то

x = - arctg + 2pn, n Î Z ;

Ответ: - arctg + 2pn, n Î Z .

в) решим это же уравнение другим способом .

3sin x + 4cos x = 5

3 2 sin cos + 4 (cos² - sin² )- 5(sin² + cos² ) = 0 ;

9 sin² - 6 sin cos + cos² = 0 ; ( получили однородное уравнение второй степени )

Делим обе части уравнения на cos² ¹ О

9 tg² - 6tg + 1 = О ;

(3 tg - 1)² = 0 ;

tg = ;

= arctg + pn, n Î Z ;

x = 2 arctg + 2pn, n Î Z ;

Ответ: 2 arctg + 2pn, n Î Z .

*****************************************************************

Разные функции одинаковых аргументов.

При решении примеров этой группы необходимо провести такие тождественные преобразования, чтобы получилось уравнение, содержащее одинаковые функции одинаковых аргументов. Упрощённое уравнение обычно решается как квадратное или разложением на множители для получения простейшего тригонометрического уравнения .

Решить уравнение: 4tg² 3x - cos ^-23x = 2.

Решение.

4tg² 3x - = 2; ( применим тригонометрическое тождество и получим уравнение, содержащее одинаковые функции одинаковых аргументов)

4tg² 3x - ( 1 + tg²3x) = 2;

3tg² 3x = 3;

tg² 3x = 1 ; ( решаем квадратное уравнении )

tg 3x = 1 или tg 3x = -1;

3x =+  n, n Z , 3x = - +  k, k Z,

x = + , n Z , x = - + , k Z.

Ответ:  + , n Z .

****************

Решить уравнение .

Решение.

 ∙ cos⁴ x ; ОДЗ

sin⁴ x - 1 = cos⁴ x ; cos x  0;

sin⁴ x - cos⁴ x = 1; x  +  n , n  Z;

(sin² x - cos² x )( sin² x + cos² x ) = 1;

- cos 2x = 1;

cos 2x = - 1,

2x =  + n , n Z ;

x = +  n , n  Z, но x  +  n , n  Z , следовательно решения нет.

Ответ: решения нет.

******************************************************************

Рассмотрим решение уравнений , содержащих комбинации

sin x  cos x и cos x · sin x

Решить уравнение sin x + sin x ∙ cos x + cos x = 1

Если это уравнение решать понижением аргумента, то получим уравнение четвёртой степени. Поэтому для его решения используется особый метод с введением новой переменной . Сумму ( разность) принимают , например, за t (sin x + cos x = t ) Возводят левую и правую части полученного тождества в квадрат и , используя тождество тригонометрической единицы, выражают sin x ∙ cos x через переменную t . Затем делают две подстановки в исходное уравнение

Решение .

sin x + sin x ∙ cos x + cos x = 1

Пусть sin x + cos x = t , (возведём левую и правую части в квадрат)

(sin x + cos x)² = t² ;

sin² x + 2sin x ∙ cos x + cos² x = t² ; ( выразим sin x ∙ cos x )

2sin x ∙ cos x + 1 = t² ;

sin x ∙ cos x = ; ( Подставляем в первое уравнение )

+ t = 1,

t² - 1 + 2t = 2;

t² + 2t- 3 = 0; ( решаем квадратное уравнение )

t₁ = 1 t₂ = - 3; ( делаем обратную подстановку )

( получили два линейных тригонометрических уравнения)

sin x + cos x = 1 ; sin x + cos x = -3;

a = 1, b = 1, c = 1, = ; Решения нет, т. к.

sin(x +  ) = ;  sin x   1 и  cos x   1

т.к.  = arctg = arctg 1 = , то

sin(x + ) = ;

x + = (-1)^k + pk, k Î Z ;

x = (-1)^k - + pk, k Î Z ;

x₁ = + 2π n , n Î Z ; x₂ = 2π m , m Î Z.

Ответ: + 2π n , 2π m ; n Î Z , m Î Z.

Решение уравнений с помощью универсальной подстановки

Универсальной, постановкой называется группа тождеств, выражающих все тригонометрические функции через тангенс половинного аргумента. Они называются так потому, что позволяют рационально (то есть в виде дробей) выразить все тригонометрические функции через одну.

; ;

Казалось бы, что это позволяет принципиально решить проблему тригонометрических уравнений с разными функциями одинаковых аргументов. В самом деле, используя тождества универсальной подстановки, мы сразу получим уравнение с одинаковыми функциям одинаковых аргументов.

Однако, этот метод имеет два существенных недостатка:

1. Тождества универсальной подстановки определены не для всей области действительных чисел. Поэтому прежде, чем применять эти тождества, надо проверить те значения переменной, которые недопустимы для тождества, но могут быть решениями уравнения. (Иначе может произойти потеря корней!!!)

2. Применение тождеств универсальной подстановки приводит к громоздким алгебраическим дробно-рациональным уравнениям относительно тангенса половинного аргумента, что создает огромные трудности при их решении. Поэтому применять универсальную подстановку надо крайне осторожно и, как правило, тогда, когда в уравнении уже есть тангенс или котангенс половинного аргумента.

Решить уравнение: 1 - cos 6x = tg 3x.

Так как уравнение содержит два аргумента 6х и 3х , причём тангенс содержит меньший

( половинный аргумент ) , то применим формулу .

Решение.

1 - cos 6x = tg 3x;

1 - = 0;

; так как знаменатель- положительное число, то после раскрытия скобок и приведения подобных получим следующее уравнение:

;

;

;

= 0 или = 1;

= πn ; n Z ; = + pk, k Î Z ;

x = 2πn ; n Z ; x = + 2πk , k Î Z ;

Ответ : 2πn ; + 2πk ; k , n Î Z .

Глухов В. В. МБОУ « Новопокровская школа»

Обучение алгоритму решения тригонометрических уравнений