Научная работа по теме Р-адические числа

Міністерство освіти і науки України

Департамент освіти і науки Харківської облдержадміністрації

Харківське територіальне відділення МАН України

Відділення: математика

Секція: математика

Р-АДИЧНІ ЧИСЛА

Роботу виконав:

Нестеренко Артем Віталійович,

учень 11- А класу

Харківської гімназії №43

Харківської міської ради Харківської області

Науковий керівник:

Малюк Ірина Володимирівна, вчитель математики Харківської гімназії №43 Харківської міської ради Харківської області

Харків - 2016

ЗМІСТ

Вступ…………………………………………………….………………………..4

Розділ 1. З історії р-адичних чисел………………….…………………..……5

1. Витоки..……………………………………………………………….…...5

2. Курт Гензель та його числа……………………………………….……. 7

3. Історія відкриття р-адичних чисел………………………………………8

Розділ 2. Введення р-адичних чисел …………………………………….….11

2.1 Різні підходи до визначення р-адичних чисел ………………….…….11

2.2 Неархімедова метрика……………………………………………..…..13

2.3 Дії над р-адичними числами …………………………………..…..…15

Розділ 3. Сума геометричної прогресії за р-адичними нормами…………….17

3.1 Послідовності та їхні суми ……………….……………………….…...17

Висновки………………………………………………………………………...21

Список використаних джерел………………………………………………...22

ВСТУП

Опис природничонаукових моделей за допомогою дійсних чисел - як одного з можливих розширень раціональних чисел - відбувався кілька сотень років і на мікромасштабах потрапив у глухий кут. Відомий математик О.Островський довів теорему, що наразі носить його ім'я, відповідно до якої раціональні числа можна поповнити до неперервної множини лише двома альтернативними способами - або апаратом дійсних чисел, або р-адичних. Жодних інших варіантів немає і не може бути… Зазначена теорема показує, що іншим логічно виправданим варіантом для описання світу є р-адичні числа, у просторі яких аксіома Архімеда порушується. Оскільки якихось інших варіантів поповнення раціональних чисел до поняття неперервності у світі математики більше немає (можливо, поки…), то природньо припустити, що настав час для описання світу у термінах р-адичної арифметики і неархимедової геометрії. Ця думка і стала темою нашого дослідження.

Об'єкт дослідження - розширення поля раціональних чисел.

Предмет дослідження - р-адичні числа.

Метою дослідження стало знаходження сум геометричних прогресій за р-адичними нормами.

Об'єкт, предмет, мета дослідження обумовили наступні його завдання:

- дібрати літературу за темою;

- познайомитися з історією р-адичних чисел та розглянути різні підходи до їхнього визначення;

- розібратись з поняттям «ультраметричний простір»;

- вивести правило знаходження сум геометричних прогресій за р-адичними нормами;

- зробити висновки.

Основними методами дослідження стали: аналіз і синтез літератури, узагальнення, практична діяльність з оволодіння обчислювальними навичками при роботі з р-адичними числами.

РОЗДІЛ 1. З ІСТОРІЇ Р-АДИЧНИХ ЧИСЕЛ

1. Витоки

Хорхе Борхес в одному зі своїх нарисів «Сфера Паскаля» робить спробу представити історію кількох метафор. У своїх міркуваннях він зазначає, що у Платона в «Тимеї» написано: сфера - це найдовершеніша фігура і водночас найпростіша, бо усі точки її поверхні рівновіддалені від центра. Але абсолютний простір, який для Бруно був визволенням, став для Паскаля лабіринтом і безоднею. Він страшився Всесвіту і хотів поклонятися Богу, але Бог для нього був менш реальним, ніж жахаючий Всесвіт. Паскаль нарікав, що небосхил не може говорити, порівнював наше життя з життям тих, хто зазнав корабельної аварії на пустельному острові. Він відчував невпинний гніт фізичного світу, відчував запаморочення, страх, самотність і виразив їх іншими словами: «Природа - це нескінченна сфера, центр якої скрізь, а коло ніде» [1].

Що стосується Всесвіту, то тільки відносно недавно виявлено, що переважна частина галактик сконцентровані у сильно витягнуті, нитковидні структури товщиною меншою за мільйонів світових років і довжиною до мільйонів світових років. Сусідні нитки перетинаються між собою і утворюють зв'язну трьохмірну сітчасто-коміркову структуру. Надскупчення заповнюють лише малу частину Всесвіту (біля 1), інший простір майже не містить галактик (рис. 1).

Рис.1. Великомасштабна структура Всесвіту

Придивіться до орнаменту туркменського килима (рис. 2), за словами дослідника А.Дурдиєва, схожість зі Всесвітом вражаюча [2].

Рис.2. Узор Şelpe та його «тіні» на (Заході) і (Сході).

Вочевидь сонячний візерунок за центром краю килима нагадує бризки води, що розлітаються під час удару долонею по її поверхні. Назва цього узору (Şelpe) у туркмен як раз і асоціюється з цим. Розглянемо більш детально орнамент (рис. 3).

Рис.3. Голь ахалтеке і проекції на двомірну площину кубів з розмірністю 0D, 1D, 2D, 3D, 4D, 5D і 6D.

Судячи з усього, шестимірний простір заповнюється 6D кубами без порожнин між собою. Що стосується порожнин, то вони з'являються у світі з меншою розмірністю. Узор, розташований у цій порожнечі, з туркменської буквально так і називається - голь - розташований між просторами (Aragol). Такі множини реалізують ідею мікрокосмосу, принципу «кожне у кожному».

А.Дурдиєв вбачає в узорах килима контури ліній з 1D кубів, які представляють світ рослин за туркменськими описами. Простіше - це Світове дерево, уявлення, що має вікові витоки. Стає питання, як математично описати дану обставину, яка мала б ускладнити її формалізацію. Виявляється необхідний математичний апарат існує, знаходиться не тільки у стадії інтенсивного розвитку, але і має вже завершені результати.

У математиці усі проміжки між раціональними числами можна альтернативно заповнити за аналогією дійсних чисел - представляючи ірраціональні числа (корені рівнянь, значення логарифмів, синусів-косинусів, тощо) у виді нескінчених розкладів за степенями р. Усяка система р-адичних чисел вибудовується або зростає немов дерево окремо для кожного простого числа р. Можна сказати, що в математиці відкрили нескінченну множину паралельних всесвітів.

Узагалі останнім часом доволі часто можна зустріти публікації, у яких проводяться аналогії між східною філософією та сучасними науковими ідеями, за якими матеріальний Всесвіт складається не з фундаментальних «цеглинок» матерії, а розглядається як мережа взаємопов'язаних подій. Жодна властивість будь-якої частини цієї мережі не є фундаментальною: усі часточки однієї частини випливають із властивостей інших частин і загальна зв'язність взаємин визначає структуру усієї мережі [3, с.39].

2. Курт Гензель та його числа

Гензель (Курт Вільгельм Себастьян Гензель - німецький математик, що народився в 1861 році у Кенігсберзі, помер у 1941 році) виявив: якщо раціональні числа, тобто дроби, визначеним математичним чином (за допомогою модульної арифметики) виражати через степені простого числа, то можна отримати особливий, цілком повноцінний світ чисел.

Зазначимо, що дійсними числами описується рух макроскопічних матеріальних об'єктів, частина природи, яка має описуватися р-адичними числами, невідома [7]. Р-адичне число має ієрархічну деревоподібну структуру. Важливим для аналізу є саме ця властивість, і, з іншого боку, всі ієрархічні структури описуються р-адичними числами. Також важливо зазначити, що однією з властивостей таких чисел є те, що множина р-адичних чисел не впорядкована. Особливості будови р-адичних чисел надають їх сукупностям кластерну, фрактальну структуру.

3. Історія відкриття р-адичних чисел

Наприкінці 19 століття Курт Гензель увів адичні числа. За основу він узяв визначення Кантора дійсних чисел [4]. Тобто, за аналогією, розглядаються фундаментальні послідовності раціональних чисел - такі послідовності, елементи яких необмежено зближаються. Але тепер близькість розуміється у якісно іншому смислі. Наприклад, для близькість двох різних раціональних чисел та визначається наступним чином. Їхня різниця представляється у вигляді , де ціле, а і - непарні числа. Тоді відстань між числами вважається рівною . Наприклад, при , їхня різниця дорівнює числу 19/12, яку можна представити у вигляді . Тоді відстань між даними числами за Гензелем дорівнює , тобто чотирьом. Така відстань характеризує степінь подільності даного раціонального числа на просте число : чим менша відстань (тобто чим ближче числа одне до одного), тим «краще» дане число (різниця) ділиться на . Так ділиться на краще, ніж , - краще за , а - краще за .

Повторюючи конструкцію Кантора, Гензель отримує адичні числа як границі відповідних послідовностей, де збіжність розуміється у смислі описаної вище степені близькості. При цьому кожне просте число визначає свій числовий клас. Отримані множини зберігають чимало властивостей дійсних чисел, зокрема, є полями (по́ле - алгебраїчна структура, для елементів якої визначено дві пари бінарних операцій: додавання / віднімання та множення / ділення (окрім ділення на нуль), що задовольняють умовам, подібним до властивостей арифметичних операцій над раціональними, дійсними або комплексними числами [5]. Хоча назви операцій поля взяті з арифметики, треба мати на увазі, що елементи поля не обов'язково є числами і визначення операцій можуть бути далекі від арифметичних). Але є і відмінності, наприклад, розглянемо відому аксіому Архімеда, яку висунув ще Евдокс при його побудові теорії чисел і яка входить у склад стандартної аксіоматики дійсних чисел. Згідно цього твердження, якщо є дві величини, то взявши меншу з них деяку кількість разів, ми отримаємо величну, що перевищує більшу з них. На множині адичних чисел ця властивість не реалізується.

Є й інша версія відкриття адичних чисел. У 1897 році метод Вейєрштрасса розширення степеневих рядів для алгебраїчних функцій привів його до відкриття адичних чисел. Але у математику винайдені числа були введені на прикінці ХІХ століття його учнем німецьким математиком К. Гензелем за аналогією з поліномами у комплексній області [6]. Виявилось, що числа і функції комплексної змінної багато в чому поводять себе схожим чином. Подібно тому, як комплексні числа аналогічні векторам на площині, адичні числа являють собою аналогію розкладу у так званий ряд Лорана довільної функції і записуються у виді або нескінченого ряду за степенями будь-якого простого числа

або у запису, що є подібним десятковому запису числа, але тільки з нескінченою «цілою» частиною, що відповідає додатнім степеням

Оскільки, як видно, адичні числа нескінченно великі за звичайною метрикою, то величина такого числа визначається за першим ненульовим членом ряду за формулою:

Смисл у тому, що ця величина обернено пропорційна степені подільності даного числа на фіксоване просте число . Чим «більшу кількість разів» дане число ділиться на р, тобто чим більше параметр , тим менша його адична величина (наприклад, , , , ). Головна відмінність таким чином введеної величини числа заключається у її неархимедовості - у відмінності від звичних лінійних мір, у невиконанні умов простого додавання . Таке визначення величини числа - не просто абстрактна теоретична конструкція. Виявляється, якщо ми хочемо щось виміряти, побудувати або розвинути кількісні оцінки і методи, то вибір у нас невеликий: або звичайні раціональні числа з модулем (довжиною), або адичні числа з указаною адичною величиною (частотою).

РОЗДІЛ 2. ВВЕДЕННЯ Р-АДИЧНИХ ЧИСЕЛ

2.1 Різні підходи до визначення р-адичних чисел

З. Боревич та І. Шафаревич вводять цілі р-адичні числа [9] через відповідне порівняння, модуль якого є степінь простого числа.

Наприклад, розв'яжемо рівняння .

При порівняння має два розв'язки (1)

При маємо , отже, , тобто розв'язок порівняння треба шукати у вигляді , де одне з чисел (1).

Розглянемо ( аналогічно). Маємо , , 1, . Таким чином, .

Аналогічно при , тобто . Знаходимо , тобто .

Неважко помітити, що цей процес можна продовжити до нескінченності. Отримаємо послідовність (2), яка має властивості , , .

Процес побудови послідовності (2) нагадує процес добування квадратного кореня з . Дійсно, обчислення складається з побудови послідовності раціональних чисел квадрати яких стають як завгодно близькими до , наприклад, . У нашому випадку будується послідовність цілих чисел для яких ділиться на . Подана аналогія стає більш чіткою, якщо ми домовимось два цілих числа називати близькими (точніше, р-близькими, де р - деяке просте число), коли їхня різниця ділиться на достатньо велику степінь р. При такому розумінні близькості можна сказати, що квадрати чисел послідовності (2) при зростанні , стають скільки завгодно -близькими до .

Задання послідовності визначає дійсне число . Можна припустити, що послідовність (2) також визначає ціле число деякої нової природи, причому таке, що .

Звернемо увагу, якщо послідовність раціональних чисел така, що при будь-яких , то її границею також буде . Природно припустити, що послідовність , для якої , визначає теж саме нове число (для нової послідовності , вочевидь, також маємо і ).

Подані зауваження приводять нас до наступного визначення: нехай р - деяке просте число. Послідовність цілих чисел , які мають таку властивість, що для усіх , визначає новий об'єкт, що називається цілим р-адичним числом. Дві послідовності і тоді і тільки тоді визначають одне і те ж ціле р-адичне число, коли для усіх .

Владимиров B., Волович І. та Зеленов Є. визначають р-адичні числа через відповідні ряди [10].

Будь-яке дійсне число може бути записано у вигляді десяткового дробу, тобто ряду:

Аналогічно, будь-яке р-адичне число може бути записано у вигляді ряду

де цілі, . Якщо , то представлення однозначне. Поданий ряд є рядом за степенями простого числа .

Волович І. та Козирєв С. вводять р-адичні числа через поповнення поля раціональних чисел за р-адичною нормою [11].

Будь-яке раціональне число можна єдиним чином представити у вигляді нескоротного дробу

де просте число, цілі числа, натуральне число, , , взаємно прості.

адичною нормою вище наведеного раціонального числа називається число

Таким чином, р-адична норма вимірює, на який степінь ділиться раціональне число, і норма тим менша, чим більшим є цей степінь, тобто послідовність , , буде прямувати до нуля у р-адичній нормі.

Отже, полем р-адичних чисел називається поповнення поля раціональних чисел за р-адичною нормою.

2.2 Неархімедова метрика

Якщо для дійсних чисел є очевидним, що всі вони впорядковано розташовані на числовій осі, а будь-який відрізок на даній прямій можна до нескінченості ділити на два менших із загальною границею, то для адичних чисел картина виглядає істотно інакше. Як зазначалось вище, почнемо з того, що множина адичних чисел є невпорядкованою. Тобто для будь-якої пари таких чисел неможна сказати, що одне з них є «більше», а інше «менше». Відповідно, між цими числами немає й інтервалу, в якому можна було б шукати інші числа, що є «більші за перше та менші за друге». Але при цьому, маючи суто дискретну природу, адичні числа щільно заповнюють собою весь «числовий простір».

Множина адичних чисел утворює «ультраметричний простір», де метрика, тобто міра відстані між елементами задається не так, як зазвичай. Звичайну метрику ілюструє евклідова геометрія: метрика завжди додатна, а нулю дорівнює лише при співпаданні елементів, відстань від точки A до точки B дорівнює відстані від точки B до точки A, для вершин трикутника відстань між двома будь-якими не перевищує суму відстаней від цих точок до третьої (властивість, що має назву нерівності трикутника). Але якщо її дещо посилити, вимагаючи, щоб відстань між будь-якими вершинами довільного трикутника завжди не перевищувала довжину найбільшої з двох інших сторін (посилена нерівність трикутника), то отримаємо загадкові речі. З'ясувалось, що геометрія простору з такою «ультраметрикою» не тільки істотно відрізняється від евклідової, але і звичайна людська інтуїція відносно властивостей простору не працює. Наприклад, у будь-якому ультраметричному просторі довільний трикутник є або рівностороннім, або рівнобедреним. Більш того, основа рівнобедреного трикутника не може бути більше за бічні сторони. Одним із цікавих наслідків цієї властивості виявляється те, що будь-які дві кулі в ультраметричному просторі або взагалі не перетинаються, або одна з них повністю міститься всередині іншої. Схожим чином поводять себе крапельки ртуті.

Завдяки цим властивостям ультраметричні простори утворюють, як іноді говорять, систему з природною ієрархією. У такій системі кулі меншого радіусу без перетин і пустот повністю заповнюють собою кулі більшого радіусу. Причому всередині довільної з куль ієрархії відстань між будь-якими двома точками завжди одна і та ж і дорівнює радіусу даної кулі. Цілком логічним, але при цьому все одно доволі неочікуваним наслідком такої «природної ієрархічної» структури виявляється те, що довільна точка ультраметричної кулі є її центром.

Таким чином, серед найважливіших особливостей ультраметричних просторів вважається наступна: їхня геометрія є неархімедовою. Безпосередньо у даному контексті властивість неархімедовості означає, що з довільної точки ультраметричного простору неможна віддалитись на відстань, що перевищує деяку величину R, якщо робити кроки не більші за R. Тобто, щоб вийти за межі круга, необхідно обов'язково зробити крок, що є більшим за радіус цього круга. Описана особливість ніяк не відповідає представленням про світ і всьому досвіду людства, що описується евклідовою геометрією та її аксіомами. Зокрема і з тієї причини, що серед аксіом класичної геометрії є одна особлива - так звана аксіома Архімеда, сутність якої взагалі можна вважати самоочевидною істиною (хоча деякі апорії давньогрецького філософа Зенона нагадують про те, що все ж таки не все так очевидно). Розглянемо аксіому більш детально. Візьмемо пряму лінію і виберемо на ній два відрізка, що мають різну довжину і виходять із спільної точки. За аксіомою Архімеда, якщо прикладати менший відрізок вздовж прямої достатню кількість разів, то зрештою ми неодмінно перевершимо довжину другого, більш довшого відрізка. Тобто фактично, подана аксіома описує стандартну процедуру виміру - ми як би порівнюємо довільну величину з еталоном меншого (більшого) розміру. Саме тому аксіому Архімеда іноді називають аксіомою виміру. Одним з її природних висновків є те, що завжди має бути можливість для виміру скільки завгодно малих відстаней - шляхом ще більш дрібного еталону. І саме тут виявляється протиріччя між традиційною, архімедовою математикою простору і будовою реального світу, що на разі описується квантовою фізикою - фізикою мікросвіту.

2.3 Дії над р-адичними числами

Цілі р-адичні числа можна додавати, віднімати і множити, пам'ятаючи, що в множині р-адичних чисел є відсутнім природний порядок. Згадані дії виконують за звичайними правилами додавання, віднімання і множення «стовпчиком» у р-ічній системі числення (наведемо приклад з p=5).

При цьому подати числа у р-адичному виді просто, для прикладу розглянемо -адичне подання:

Ділення таких чисел можна також проводити аналогічно «шкільному» правилу, але починаючи з молодших, а не старших розрядів числа. Так, у той же п'ятирічній системі маємо:

РОЗДІЛ 3. СУМА ГЕОМЕТРИЧНОЇ ПРОГРЕСІЇ ЗА Р-АДИЧНИМИ НОРМАМИ

3.1 Послідовності та їхні суми

Пригадаємо формулу для суми нескінченої спадної геометричної прогресії:

або її варіант при

Якщо замість у дану формулу підставити , то отримаємо

Але формула виводиться для , а у нашому випадку . То ж як розуміти отриману рівність? Для того, щоб ряд був збіжним (частинна сума членів послідовності при необмеженому зростанні прямувала до якогось певного числа), необхідно, щоб при . Припустимо, що дійсно прямує до нуля, тобто окіл нуля за номером складається з усіх чисел, які діляться на і самого нуля. При цьому, нехай околи з більшим номером виявляються вкладені в околи з меншим. Тоді за -адичним розкладом буде подано як .

Визначення: сумою ряду за р-адичною нормою називається раціональне число , якщо послідовність є нескінченно малою, тобто прямує до нуля [13].

Отже, виходячи з даного визначення, знайдемо суму ряду 1 за р-адичною нормою . Так як поданий ряд є сумою геометричної прогресії, то знайдемо його частинну суму за формулою перших членів геометричної прогресії

Візьмемо . Послідовність

є нескінченно малою, отже сума даного ряду , тобто дійсно за р-адичною нормою .

Розглянемо ще кілька прикладів.

Знайти суму ряду за р-адичною нормою .

Знайдемо частинну суму заданого ряду, тобто суму перших його членів . Так як є сумою перших членів геометричної прогресії, то за відповідною формулою знаходимо

Нехай . Тоді послідовність

є нескінченно малою, отже можна стверджувати, що сума даного ряду , тобто за р-адичною нормою .

Знайти суму ряду за р-адичною нормою .

За формулою суми перших членів геометричної прогресії отримаємо

Припустимо . Тоді послідовність

є нескінченно малою, тому сума даного ряду , тобто

за р-адичною нормою .

І ще один приклад, знайти суму ряду

за р-адичною нормою .

Візьмемо . Тоді послідовність

є нескінченно малою, отже, сума даного ряду , тобто

за р-адичною нормою .

Таким чином, можна узагальнити послідовність дій, яка дає змогу знаходити суми геометричних прогресій за р-адичними нормами:

1. знаходимо частинну суму заданого ряду, тобто суму перших його членів за формулою ;

2. знайдена у пункті 1 сума зазвичай складається з двох доданків. Приймаємо за доданок числа , який не залежить від степеня;

3. складаємо різницю ;

4. перевіряємо, чи є отримана послідовність нескінченно малою, щоб відповідно до визначення, прийняти число за суму ряду за певною р-адичною нормою.

ВИСНОВКИ

Проведене дослідження по вивченню р-адичних чисел було цікавим і відкрило багато доволі незвичних фактів відносно сталих уявлень. Слід підкреслити, що за даною темою є достатня кількість літератури, але часто матеріал подається доволі складно. Не дивлячись на певні труднощі усвідомлення нового матеріалу, у ході роботи було з'ясовано, що історія р-адичних чисел має стародавні витоки, пов'язана зі східною філософією, а відкриття самих чисел дозволяє вивчати й описувати мікросвіт та ієрархічні структури.

Було виокремлено кілька різних підходів до визначення р-адичних чисел: так учені З. Боревич та І. Шафаревич вводять цілі р-адичні числа через відповідне порівняння, модуль якого є степінь простого числа, Владимиров B., Волович І. та Зеленов Є. визначають р-адичні числа через відповідні ряди, а Волович І. та Козирєв С. вводять р-адичні числа через поповнення поля раціональних чисел за р-адичною нормою.

Незвичним стало відкриття для себе ультраметричного простору, найважливішою особливостю якого вважається наступна: його геометрія є неархімедовою.

Робота над р-адичними числами дала можливість вивести правило знаходження сум геометричних прогресій за р-адичними нормами, а саме:

1. знаходиться частинна сума заданого ряду, тобто сума перших його членів за формулою ;

2. знайдена у пункті 1 сума зазвичай складається з двох доданків. Приймається за доданок числа , який не залежить від степеня;

3. складається різниця ;

4. перевіряється, чи є отримана послідовність нескінченно малою, щоб відповідно до визначення, можна було прийняти число за суму ряду за певною р-адичною нормою.

Хотілося б продовжити розпочату роботу і дослідити інші цікаві факти.

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

1. Борхес Х. Л. Сфера Паскаля. - [Электронный ресурс] - Режим доступа. - thelib.ru/books/borhes_horhe_luis/sfera_paskalya.html

2. Дурдыев А.С. Туркменский ковёр - машина времени, созданная в Атлантиде. - Ашгабат, 2014. - 10 с.

3. Capra F. The Web of Life. Flamingo, 1997.

4. Серовайский С.Я. В мире чисел. - [Электронный ресурс] - Режим доступа. - www.tphs.info/lib/exe/fetch.php/wiki:autor:serov:2012_03_

numbers.pdf

5. https://uk.wikipedia.org/wiki/Поле_(алгебра)

6. Маврикиди Ф.И. Фракталы: постигая взаимосвязанный мир // Вестник единства, 2012, выпуск №12 (104). - с. 20-26.

7. Мінаєва Ю.І. Використання неархімедової метрики для розв'язання задач в умовах невизначеності / Ю.І. Мінаєва // Управління розвитком складних систем, 2013, №14. - с. 170-175.

8. Б. Беккер, С. Востоков, Ю. Ионин 2-адические числа // Квант</<font face="Times New Roman, serif">. - 1979. - Т. 2. - С. 26-31.

9. Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. - М.: Наука, 1985.

10. Владимиров B.C., Волович И.В., Зеленов Е.И. Р-адический анализ и математическая физика. - М.: Физматлит, 1994. - 352 с.

11. Волович И.В., Козырев С.В. р адическая математическая физика: основные конструкции, применения к сложным и наноскопическим системам. - М.: Физматлит, 2008. - 30 с.

12. Коблиц Н. р-адические числа, р-адический анализ и дзета-функции, - М.: Мир, 1982

13. Анашин В.С. Введение в прикладной р-адический анализ. - М.: МФТИ, 2010. - 22 с.