Материал для подготовки к уроку по теме Вписанная и описанная окружность

УРОК 60.

Тема: Вписанная и описанная окружность.

Прежде чем перейти к теме урока, повторим теоремы о серединном перпендикуляре к отрезку.

Теорема 1. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1). Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности.

Рис. 1

Следствие. В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности, удобно представить в виде следующей таблицы.

Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Теорема 3 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

,

где a, b, c - стороны треугольника, r - радиус вписанной окружности,- полупериметр (рис. 6).

Рис. 2

Доказательство. Из формулы

с помощью формулы Герона получаем:

что и требовалось.

Теорема 4. Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

,

где a - боковая сторона равнобедренного треугольника, b - основание, r - радиус вписанной окружности (рис. 3).

Рис. 3

Доказательство. Поскольку для произвольного треугольника справедлива формула

,

где

,

то, в случае равнобедренного треугольника, когда

получаем

что и требовалось.

Теорема 5 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

где a - сторона равностороннего треугольника, r - радиус вписанной окружности (рис. 4).

Рис. 4

Доказательство. Поскольку для равнобедренного треугольника справедлива формула

,

то, в случае равностороннего треугольника, когда

b = a,

получаем

что и требовалось.

Замечание. Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

Теорема 6. Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

где a, b - катеты прямоугольного треугольника, c - гипотенуза, r - радиус вписанной окружности.

Доказательство. Рассмотрим рисунок 5.

Рис. 5

Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником, у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник - квадрат. Следовательно,

СВ = СF= r,

В силу теоремы 3 справедливы равенства

Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

что и требовалось.

В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником.

Рис.6

Свойства описанной около треугольника окружности

Теорема 7. Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Доказательство. Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC, и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 7).

Рис. 7

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC, то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

CO = AO .

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB, то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

AO = BO .

Следовательно, справедливо равенство:

CO = BO ,

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.

</ Следствие. Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Доказательство. Рассмотрим точку O, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABC(рис. 2).

При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:

AO = OB = OC ,

из которого вытекает, что окружность с центром в точке O и радиусами OA, OB, OC проходит через все три вершины треугольника ABC, что и требовалось доказать.

Выполните задания.