Конспект урока для 9 класса 'Применение метода интервалов для решения неравенств высоких степеней'

Разработка урока по курсу: «Уравнения и неравенства в школьном курсе математики» (9 класс)

Тема урока: «Применение метода интервалов для решения неравенств высоких степеней»

Цель урока: расширить знания обучающихся по теме: «Применение метода интервалов для решения неравенств различных типов».

Задачи урока:

• развивать у обучающихся умение пользоваться опорными знаниями для их применения в новой ситуации;

• продолжить развитие логического мышления, внимания, речи учащихся и интереса к предмету.

Оборудование: проектор, карточки, раздаточный материал.

Ход урока.

1. Организационный момент (1 мин.).

2. Повторение и закрепление пройденного материала (10 мин.).

1. Фронтальный опрос:

• Какое неравенство называется рациональным? Привести пример.

• Какое неравенство называется целым, дробно-рациональным? Привести пример.

• Что значит решить неравенство?

• Что называется решением неравенства

2. Проверяется решение графическим способом неравенств: х²-11х+24 ≤ 0

3х²-х+1>0

Ученик у доски подробно комментирует решение (см. Приложение 1).

в) Устно.

Как связан знак квадратного трёхчлена ах²+вх+с со знаком коэффициента а, если Д<0; Д=0; Д>0?

Ожидаемый ответ:

1. если Д<0, то знак квадратного трехчлена совпадает со знаком коэффициента а при любых значениях х;

2. если Д=0, то знак квадратного трехчлена совпадает со знаком коэффициента а при любых значениях х, кроме корня трехчлена;

3. если Д>0, то знак квадратного трехчлена противоположен знаку а в промежутке между корнями и совпадает со знаком а вне этого промежутка.

Учитель классу:

-Где эти положения находят своё применение?

Ожидаемый ответ:

-При решении неравенств второй степени.

Учитель спрашивает алгоритм решения квадратных неравенств методом интервалов. Несколько человек проговаривают его, затем все в тетрадях решают неравенство 9х²-х+9≥3х²+18х-6 методом комментирования.

Каждый этап решения проектируется на экран (см. Приложение 2).

• Приведение неравенства к виду ах²+вх+с>0

• Решение соответствующего квадратного уравнения.

• Разложение квадратного трехчлена на множители.

• Изображение промежутков на числовой оси и знаков квадратного трехчлена в каждом из них.

• Выбор промежутков с соответствующим знаку неравенства знаком.

• Ответ.

Во время проверки домашнего задания два обучающихся работают по карточкам.

Карточка № 1.

1. Решить графически неравенство 4х² +4х-3<0.

2. Методом интервалов решить неравенство (5х-2)*(х+6)≥0

Карточка № 2.

1. Методом интервалов решить неравенство (2х-5)*(х+4)<0

2. Найти область определения функции

3. Изучение нового материала (16 мин).

Учитель классу.

-Вы научились применять метод интервалов для решения квадратных неравенств, оказывается им можно решать неравенства высоких степеней. Рассмотрим схему решения на конкретном примере. Решить неравенство х*(х+5)⁸*(х+2)³*(х-1)²*(х-3)⁷>0

Так как функция f(x)= х*(х+5)⁸*(х+2)³*(х-1)²*(х-3)⁷ непрерывна в каждой точке своей области определения, то для решения этого неравенства можно использовать метод интервалов.

Если в разложении многочлена на множители входит множитель (х-а)^к, то говорят, что а - корень многочлена кратности к. Найдите корни многочлена в левой части неравенства и определите их кратность.

Ожидаемый ответ:

Х1=0 кратности1; Х2=-5 кратности 8; Х3=-2 кратности 3; Х4=1 кратности 2; Х5= 3 кратности 7.

Учитель классу:

- Отметим на числовой оси полученные корни, подчеркнем корни четной кратности одной чертой, а нечетной - двумя.

- - + - - +

--------------|--------------------|------------|--------|-----------------|-----------------------------------

-5 -2 0 1 3 х

- = = - =

- Определите знак многочлена на каждом интервале при любом значении х, не совпадающим с корнями и взятом из данного интервала.

Три группы учащихся определяют знак многочлена в своих интервалах.

Учитель классу:

- Проанализируйте смену знаков в корнях различной кратности. Какой можно сделать вывод?

Ожидаемый ответ:

-В корнях четной кратности смена знаков не произошла, а в корнях нечетной кратности знак меняется.

Из рисунка видно, что х (-2;0)(3;+ ∞)

Ответ: х (-2;0)(3;+ ∞)

Учитель классу:

Решить неравенство:

1-ый вариант: (х-7)*(х+2)⁸*(х-1)²*(х+4)⁵>0

2-ой вариант: (х-9)²*(х-2)³*(х+5)⁶*(х-3)⁴<0

Два ученика выполняют работу у доски, остальные выполняют работу самостоятельно в тетрадях, затем проверяем полученное решение по вариантам.

Фотография доски.

1вариант. (х-7)*(х+2)⁸*(х-1)²*(х+4)⁵>0

Х1 =7 кратности 1; Х2=-2 кратности 8; Х3=1 кратности 2; Х4=-4 кратности 5.

+ - - - +

--------------|-----------|---------------------|----------------------------|-----------------------

-4 -2 1 7 х

= - - =

Ответ: х (-;-4)(7;+ ∞)

2 вариант. (х-9)²*(х-2)³*(х+5)⁶*(х-3)⁴<0

Х1=9 кратности 2; Х2=2 кратности 3; Х3=-5 кратности 6; Х4=3 кратности 4.

- - + + +

--------------------------|------------------|--------|-------------------------|-------------

-5 2 3 9 х

- = - -

Ответ: х (-;-5)(-5;2)

Учитель классу: Обобщая ваши наблюдения, приходим к важным выводам:

• для решения неравенств важно знать, является ли к четным или нечетным числом;

• при четном к многочлен справа и слева от х имеет один и тот же знак ( т.е. знак многочлена не меняется);

• при нечетном к многочлен справа и слева от х имеет противоположные знаки (т.е. знак многочлена изменяется).

Рассмотрим теперь решение дробно - рационального неравенства методом интервалов.

Вопрос классу:

-Каким равносильным неравенством можно заменить данное неравенство?

Ожидаемый ответ: Р(х)*Q(х)

Учитель классу

-Данное неравенство равносильно системе которая решается методом интервалов.

Пример. Решить неравенство

Учащиеся под руководством учителя определяют последовательность шагов. Один ученик на доске, а остальные в тетрадях решают неравенство. Ученик подробно рассказывает решение неравенства.

• Находим область определения неравенства.

• Заменяем исходное неравенство равносильным неравенством

• Решим полученное неравенство методом интервалов.

Х1=0 кратности 2, Х2=1 кратности3, Х3=-2 кратности 1, Х4=3, кратности1.

- + + - +

--------------|-------------|---------|------------------|--------------------------------------

-2 0 1 3

= - = =

Ответ: х (-;-2)(1;3)

4. Первичное закрепление материала (15 мин.).

1. Самостоятельная работа с последующей проверкой с помощью проектора.

Решить неравенство.

1 вариант

2 вариант

Для обоих вариантов (работа в парах)

2. Устно.

1. Сформулировать свойство функции, на котором основан метод интервалов.

2. Что такое кратность корня?

3. Как меняется знак многочлена от степени кратности его корней?

5. Подведение итогов (2 мин.).

Учитель классу:

Прошу заполнить карточки, которые вы получили перед уроком.

1. Данная тема мне понятна (непонятна). Нужное подчеркнуть.

На уроке было непросто………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………….

Урок мне понравился (не понравился). Нужное подчеркнуть.

2. Выставление оценок за урок.

6. Задание на дом по карточкам (1 мин.).

Решить неравенство:

1. х³-25х<0,

2. (х+3)³*(х-6)*(х+2)⁴0,

3. (3-х)*(х³+3)*(х²-8х+16)0

Найти область определения функции

Литература:

1. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Мендюк, К.И. Нешков, И.Е. Феоктистов. «Алгебра-учебник для углубленного изучения алгебры».

2. Под редакцией В.М. Говорова, Н.В. Мирошина. «Сборник задач для поступающих в вузы».

3. Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. « Задачи по математике. Алгебра».

4. И.М. Петрушко, В.И. Прохоренко, В.Ф. Сафонов. «Сборник задач по алгебре, геометрии и началам анализа».

Приложение 1

Решить графически неравенства:

1. x²-11x+24≤0

1. x²-11x+24=0

D=b²-4ac=11²-4*24=121-96=25>0, 2 корня

x =

x₁= x₂ == 3

a=1>0

x

3

8

3≤x≤8

Ответ: [3; 8]

2. 3x²-x+1>0

1. 3x²-x+1=0

D=b²-4ac=1-12=-11<0

D<0, a=3>0

x

Ответ: (-∞ ;+∞)

Приложение 2

Решить неравенство методом интервалов.

9х²-х+9 ≥ 3х²+18х-6

1. 9х²-х+9-3х²-18х+6≥0

6х²-17х+15≥0

2. 6х²-17х+15=0

D= b²-4ac=17²-4*6*15=361-360=1>0

x=

x₁=

x₂ == = = 1

3. 6х²-19х+15=6*(х-1)*(x-1,5)

6 (х-1)*(х-1,5)≥0

+ +

1

1,5

x

_

Ответ: (-∞; 1][1,5;+∞)