Министерство образования и науки, молодежи и спорта России

Министерство образования и науки Автономной Республики Крым

Малая академия наук школьников Крыма «Искатель»

Симферопольский городской филиал

Отделение: математики

Секция: прикладная математика

МИР ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКОВ

Работу выполнила:

Гончаренко Карина Артуровна,

учащаяся 8 класса

УВК «Школа- гимназия» №10

им. Э.К. Покровского

Симферопольского городского совета

Научный руководитель:

Кулькова Людмила Михайловна

учитель математики

УВК «Школа- гимназия» №10 им.

Э.К. Покровского

Симферопольского городского совета

Симферополь - 2014

Содержание проекта Страницы

1. Введение__________________________________________ 1

2. Цели, задачи и методы исследования___________________1

3. Мы изучаем четырехугольники _____________________ 2-6

4. Признаки четырехугольников_______________________ 7-8

5. Интересные задачи о четырехугольниках.____________ 8-11

6. Что связывает четырехугольники между собой _________ 12

7. Геометрия в постройках _____________________________13

8. Сказка - загадка о четырехугольниках _________________14

9. Домино, тримино, тетрамино, пентамино ______________15

10. План моего дома ___________________________________16

11. Возможен ли мир без четырехугольников? _____________17

12. Четырехугольники в архитектуре ___________________18-19

13. Геометрия в технике ________________________________20

14. Геометрия в быту ________________________________21-22

15. Четырехугольники в мире школы ___________________22-23

16. Мы, класс и четырехугольники________________________24

17. Выводы_________________________________________24-25

18. Заключение ________________________________________25

1. Введение

Квадраты, ромбы, прямоугольники… каждый ученик сталкивается с ними в школе на уроках геометрии.

Научная формулировка гласит, что геометрия - это раздел математики, который изучает пространственные фигуры и формы.

Можно ли представить себе мир без четырехугольников? Стоит осмотреться, и мы увидим, что многие предметы имеют форму, похожую на уже знакомые нам геометрические фигуры. В современной архитектуре смело используются самые разные геометрические формы, чаще всего - четырехугольники. Стены, пол и потолок являются прямоугольниками, комнаты, кирпичи, шкаф, железобетонные блоки, напоминают своей формой прямоугольный параллелепипед. Посмотрим на паркетный пол: планки паркета - прямоугольники или квадраты. Плитки пола в ванной, на тротуарах, на вокзалах чаще бывают четырехугольными. По улице движутся автомобили, автобусы, троллейбусы, их окна это четырехугольники: трапеции, квадраты, прямоугольники.

2. Цели, задачи и методы исследования

Цель моей работы - выяснить виды четырехугольников и дать их определение, показать, как и где используются четырехугольники.

Исходя из цели, были поставлены следующие задачи:

• 1. Рассмотреть определения четырехугольников и их площади.

2. Изучить виды и свойства четырехугольников.

3. Рассмотреть основные виды задач по теме.

• 4. Выяснить, где применяются четырехугольники.

5. Показать практическое применение данной теории в нашей деятельности.

Методы исследования:

изучение дополнительной литературы по данному вопросу;

наблюдения в повседневной жизни.

3. Мы изучаем четырехугольники

Параллелограмм

Параллелограмм- это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Свойства

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны

[Введите содержимое боковой полосы. Боковая полоса представляет собой независимое дополнение к основному документу. Обычно она выровнена по левому или правому краю страницы либо расположена в самом верху или в самом низу. Для изменения форматирования надписи, содержащей боковую полосу, используйте вкладку "Средства рисования".]

Прямоугольник

Прямоугольник- это параллелограмм, у которого все углы прямые.

Свойства

В прямоугольнике противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам.

Квадрат

Квадрат- это прямоугольник, у которого все стороны равны

Свойства

Все углы квадрата прямые.

Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.

Трапеция

Трапеция- это четырехугольник, у которого две стороны параллельны(основания), а две другие стороны не параллельны.

Виды

- прямоугольная

Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной.

- равнобедренная

Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны.

Ромб

Ромб- это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

В ромбе противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

4. Признаки четырехугольников

1 признак параллелограмма:

Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник будет являться параллелограммом.

Доказательство:

Рассмотрим четырехугольник ABCD. Пусть в нем стороны AB и СD параллельны. И пусть AB=CD. Проведем в нем диагональ BD. Она разделит данный четырехугольник на два равных треугольника: ABD и CBD.

Эти треугольники равны между собой по двум сторонам и углу между ними (BD - общая сторона, AB = CD по условию, <1 = <2 как накрест лежащие углы при секущей BD параллельных прямых AB и CD.), а следовательно <3 = <4.

А эти углы будут являться накрест лежащими при пересечении прямых BC и AD секущей BD. Из этого следует что BC и AD параллельны между собой. Имеем, что в четырехугольнике ABCD противоположные стороны попарно параллельны, и, значит, четырехугольник ABCD является параллелограммом.

2 признак параллелограмма:

Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник будет параллелограммом.

Доказательство:

Рассмотрим четырехугольник ABCD. Проведем в нем диагональ BD. Она разделит данный четырехугольник на два равных треугольника: ABD и CBD.

Эти два треугольника буду равны между собой по трем сторонам (BD - общая сторона, AB = CD и BC = AD по условию). Следовательно, <1 =< 2. Отсюда следует, что AB параллельна CD. А так как AB = CD и AB параллельна CD, то по первому признаку параллелограмма, четырехугольник ABCD будет являться параллелограммом.

3 признак параллелограмма:

Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник будет являться параллелограммом.

Рассмотрим четырехугольник ABCD. Проведем в нем две диагонали AC и BD, которые будут пересекаться в точке О и делится этой точкой пополам.

Из равенства углов 1 и 2 имеем, что AB параллельно CD. Тогда в четырехугольнике ABCD стороны AB и CD равны и параллельны, и по первому признаку параллелограмма четырехугольник ABCD будет являться параллелограммом. Треугольники AOB и COD будут равны между собой, по первому признаку равенства треугольников. (AO = OC, BO = OD по условию, < AOB = < COD как вертикальные углы.)

5. Интересные задачи о четырехугольниках.

Задача 1. В параллелограмме сумма двух противолежащих углов равна 152°. Найдите градусную меру каждого из углов параллелограмма.

Решение. По условию задачи <����������������������������������������������������������������������������

�����������������

����

Задача 2. В параллелограмме ABCD<CAD=15° <DCA=34°

Найти градусную меру <������������

����������������������������������������������������������������������

����������������������

�����������������������������

����������������������������������������������������������������������������

����49°, 49°,131°131°.

Рис. 3

Задача 3. В параллелограмме ABCD периметр равен 68 см AD = (AB + 2) см.

Найти стороны параллелограмма.

Решение.

Пусть AB = х см, тогда AD =( х + 2)см. Так как периметр равен сумме длин всех сторон, то составляем уравнение:

(х + 2+х )2 = 68

2х = 32

х = 16

Значит, AB = CD = 16см, AD =BC = 16 + 2 = 18 (см)

Ответ: 16см, 16см, 18см, 18см.

Рис. 4

Задача 4. ABCD - четырехугольник, AB ||CD? <A = <C.

Доказать, что ABCD параллелограмм.

Доказательство.

По условию AB ||CD, значит, <ABD = <BDC, как внутренние накрест лежащие при AB ||CD и секущей BD. Мы знаем, что <A = <C, а сумма углов треугольника 180°, то <ADB= <CBD, значит ,

Δ ABD = Δ CDB по стороне и двум прилежащим углам.

(BD - общая) А у равных треугольников против равных углов, лежат равные стороны, тогда AB = CD. По признаку параллелограмма: если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны (AB = CD; AB ||CD) , то этот четырехугольник параллелограмм, значит, ABCD параллелограмм. Что и требовалось доказать.

Рис. 5

Н

Задача 5. В параллелограмме ABCD периметр равен 52см. <���������������������������������������������

��������������

���������

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

���� 2 или АВ = 2 ВН = 16см. В параллелограмме противоположные стороны равны, то АВ = CD = 16см. Так как периметр параллелограмма 52см, то AD = (52 - 32):2 = 10см. По свойству параллелограмма AD = ВС =10см.

Ответ: 16см, 10см.

КРис. 6

Задача 6. ABCD - параллелограмм. АК - биссектриса. ВК =12см, КС =8см.

Найти периметр ABCD.

Решение.

Так как ABCD - параллелограмм, то ВС ||AD и <�������������������������������������������������������������������������������

��������������������������������������������������

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

������������

����64см.

6. Что связывает четырехугольники между собой?

Вид геометрической фигуры

Общие свойства

прямоугольник

квадрат

1. Углы в прямоугольнике и квадрате прямые.

2. Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

3. Противоположные стороны равны.

квадрат

ромб

1. Диагонали взаимно перпендикулярны и делят углы пополам.

2. Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

3. Противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

параллелограмм

ромб

1. Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

2. Противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

7. Геометрия в древних постройках

Геометрия - одна из древнейших частей математики, изучающая пространственные отношения и формы тел. Из геометрии зародилась математика как наука. Люди с незапамятных времен использовали геометрические знания в быту. Геометрической формы были не только бытовые предметы, но и культовые. Ещё в эпоху неолита люди составляли на стенах пещер орнаменты из квадратов, ромбов, прямоугольников. Человек отмечал равенство, симметрию, подобие фигур. Со временем он научился использовать свойства фигур в практической жизни.

Геометрические фигуры интересовали наших предков не только потому, что помогали решать практические задачи. Некоторые из фигур имели для людей магическое значение. Так, например, квадрат считался символом стабильности.

Геометрия - наука, давшая людям возможность находить площади и объемы, правильно чертить проекты зданий и машин. Таким образом, она является основной частью «фундамента», на котором строится другое не менее важное направление деятельности человека - архитектура. Архитектура - это соединение искусства, науки и производства.

Первый этап строительства - вычерчивание геометрических очертаний будущего здания.

Второй этап - переход к реальным очертаниям здания на строительной площадке, т.е. чертеж в натуральную величину.

8. Сказка - загадка о четырехугольниках

Отвлечемся ненадолго от задач, научных терминов, определений, исторических фактов и попытаемся найти правильный ответ к сказке-загадке о наших, уже успевших стать друзьями, четырехугольниках.

Как-то раз собрались все четырехугольники на лесной поляне и стали обсуждать вопрос о выборе своего короля. Долго спорили и никак не могли прийти к единому мнению. И вот один старый параллелограмм сказал: "Давайте отправимся все в царство четырехугольников. Кто первым придет, тот и будет королем". Все согласились. И рано утром все отправились в далекое путешествие. На пути им встретилась река, которая сказала, что переплывут ее только те, у кого диагонали пересекаются и делятся пополам. Часть четырехугольников осталась на берегу, а остальные переправились и пошли дальше. Но вскоре на пути им встретилась гора, которая сказала, что даст пройти только тем, у кого диагонали равны. Несколько путешественников осталось у горы, остальные продолжили путь. Дошли они до обрыва, где был узкий мост. Мост поставил условие, что пропустит только тех, у кого диагонали пересекаются под прямым углом. В итоге по мосту прошел только один четырехугольник, который первым добрался до царства и был провозглашен королем. Кто стал королем четырехугольников? (РОМБ)

Домино, тримино, тетрамино,пентамино

Фигуры домино, тримино, тетрамино, пентамино состоят из двух, трех, четырех, пяти одинаковых квадратов так, чтобы любой квадрат имел общую сторону с одним квадратом. Из двух одинаковых квадратов можно составить только одну фигуру домино. Можно сказать, что существует только пять разных фигур тетрамино и только двенадцать фигур пентамино.

Полиомино - односвязная фигура, составленная из квадратов. Тримино - фигура, составленная из трех квадратов. Тетрамино называется полиомино, занимающие четыре квадрата. Пентамино- это фигуры составленные из пяти одноклеточных квадратов так, что каждый квадрат примыкает хотя бы к одному соседнему, имеющему с ним общую сторону.

10. План моего дома, который состоит из геометрических фигур.

Построенный в масштабе план (чертеж) дома - это точное схематическое изображение, выполненное в пропорциональном уменьшении.Большие просторные комнаты, уютная кухня, коридор выглядят на плане как прямоугольники разного размера. На чертеже указаны реальные размеры помещений, что позволяет, глядя на такой план, иметь представление о реальном размере и конфигурации дома.

Вот как запросто, вооружившись линейкой и карандашом, а также измерительным прибором, так называемой рулеткой, зная свойства четырехугольников (ведь наши комнаты, как мы уже выяснили, это чаще всего прямоугольники) можно почувствовать себя настоящим архитектором или проектировщиком, схематично изображая на бумаге свой будущий дом или даже целый жилой комплекс с бассейном, детской площадкой и зоной отдыха.

Это наглядный пример того, как с помощью простых геометрических фигур можно схематично изображать квартиры, дома, школы, промышленные здания и даже целые города, уменьшенные в масштабе в тысячи раз.

11. Возможен ли мир без четырехугольников?

Работая над проектом, наблюдая за окружающим меня миром, я все чаще приходила к мысли, что четырехугольники окружают нас повсюду. И я поставила перед собой задачу: непременно найти такое изобретение, где применение четырехугольных форм является нецелесообразным. И вот, побывав на экскурсии в Севастополе, я все-таки нашла то, что искала. Подводная лодка имеет обтекаемую форму, ее иллюминаторы и люки круглые. Все дело в том, что обеспечить герметичность в углу прямоугольного люка очень и очень непросто. Жесткость круглого выше жесткости прямоугольного. Изготовить круглое проще чем прямоугольное. Совокупность этих факторов и дает техническое решение. Именно поэтому у подводной лодки, батискафа, космического корабля иллюминаторы и люки круглой формы. Вот так-то!

12. Четырехугольники в архитектуре.

Большой Белый Ливадийский дворец

Совсем недавно мы с родителями ездили в Ливадийский дверец. Я там была впервые и мне очень понравилось. На экскурсии нам рассказали много интересного об этом дворце. Большой Ливадийский дворец - бывшая летняя резиденция последнего российского императора Николая ІІ - главная достопримечательность Ялты. Ныне это один из самых посещаемых в мире дворцов. Пока мы слушали экскурсовода, я размышляла, как же много четырехугольников присутствует в этом замечательном дворце. Они представлены в архитектуре этого прекрасного здания: окна, колонны, декоративная плитка, элементы декора.

Ласточкино гнездо

Год назад я с бабушкой ездила в Ласточкино гнездо. В этой поездке я узнала много нового. Высота замка Ласточкино гнездо достигает порядка 12 метров, а общая площадь равна всего лишь 10 м * 20 м. Кроме того, к высоте замка также стоит приплюсовать высоту скалы, на которой он высится - а это 40 метров дополнительно. Благодаря такому раскладу дворец стал невероятно знаменитым и архитектурно приобрел компактную ступенчатую композицию. Я обошла весь замок и насчитала шестнадцать окон. 1046- это примерное количество кирпичей замка с наружной части, которое я смогла подсчитать. А кирпичи, как вы уже догадались, это четырехугольники, причем каждый из них имеет историческую ценность.

Храм- маяк в Малореченском святителя Николая Чудотворца

Прошлым летом наша семья ездила отдыхать в живописное место Крыма - Малореченское. На восточной окраине Малореченского, над обрывом, построен храм-маяк святого Николая Чудотворца памяти погибших на водах и путешественников. Этот православный храм высотой в 54 метра стал редкостным украшением не только для села, но и для всего Крыма. А для тех, кто видит его с моря, он может служить маяком. В архитектуре этого достояния крымчан, за исключением арочных сводов присущих храмам, преимущественно использованы четырехугольники.

13. Геометрия в технике

Пока я думала над проектом, мне пришла мысль привести наглядный пример простого автомобиля, ведь его форма преимущественно состоит из четырехугольников. Его окна - это сплошные трапеции, равнобокие и прямоугольные. Даже двери машины, хоть и не точной формы, но все равно имеют форму трапеции. Несколько обтекаемая форма автомобиля позволяет развивать большую скорость и уменьшать силу сопротивления воздуха.

Много приборов четырехугольной формы я увидела, когда мы посетили с экскурсией Симферопольский пивзавод. Там сплошная геометрия: станки, конвейеры, баки, ящики и т.д. Мне кажется, что такая форма конструкций дисциплинирует: четкие линии, прямые углы, все строго, никаких лишних деталей. Серьезное производство, как ни крути!

14. Геометрия в быту

Я уже столько интересного увидела, столько узнала! Побывала в замечательных местах, провела целый ряд наблюдений. Наконец я дома, кажется, пришло время слегка отдохнуть, посмотреть любимый фильм. Включаю телевизор и … Невероятно, он прямоугольной формы. А мой светильник? Это квадрат с прямоугольником! Шкаф - четырехугольный, микроволновая печь - четырехугольная, кухонные шкафчики, журнальный столик, картины на стенах, фотографии в рамках, узоры на обоях, комод, кровать, полка с любимыми книгами и сами книги - все имеет четырехугольную форму.

Выхожу во двор, а там тротуарная плитка - красивые прямоугольнички разных цветов. Гараж, ворота, забор, колонны - четырехугольные. Отсюда вывод, что четырехугольные предметы, которые нас окружают, очень удобны в использовании. Ну представьте себе, что телевизор имеет форму треугольника, а шкаф, к примеру, овальный.

А как разместить книги на полке, имеющей форму круга?

Спасибо, ГЕОМЕТРИЯ, за твои четырехугольники!!!

15. Четырехугольники в мире школы

Я так увлеклась четырехугольниками, что теперь считаю их повсюду. Ведь окна в школе и плитка в школьном дворе это тоже четырехугольники. Интересно, а сколько их? Если взглянуть на план школы, то мы увидим, что она представляет собой четырехугольник с пустой серединой. В правом и левом крыле четыре этажа, а в двух остальных частях по два. Всего в школе я насчитала 1097 окон, что в 9,5 раз меньше, чем в Гарварде и в 50 раз больше, чем у меня дома. А плитку возле школы сосчитать не так просто, и тут мне пригодились математические знания. Умножаем, прибавляем, снова умножаем и в результате 560 плиток. Вот такие результаты я получила.

Я составила диаграмму стоимости окон, плитки и паркета.

16. Мы, класс и четырехугольники

Практическая работа

№

Площадь

Кол-во товара

Цена

Сумма

1

51,06 м²

568 штук плитки

32 руб.

18176 руб.

2

1 парта - 0,6м²

6 парт - 3,6м²

1 парта - 90г

6 парт - 540г

1кг - 95 руб.

0,54кг-51,3 руб.

1 парта- 8,55руб.

6 парт - 51,3руб.

3

33,8 м²

4 рулона

1 рулон-105руб

420руб.

Практическую работу мы выполняли всем классом. Ребят заинтересовал мой проект, и они решили принять в нем участие.

Как мы выполняли практическую работу?

Нам дали тему - измерение площади.

Мы поставили цель: научиться измерять площадь прямоугольников, вычислять количество краски, обоев или плитки для покрытия пола, стен и парт, учиться находить сумму необходимую для приобретения товара.

Можем ли мы позволить себе такие расходы? Наши расчеты в таблице.

Да, такой ремонт нам пока не под силу! Выходит, что надо беречь то, что уже сделано: не портить стены и парты, следить за целостностью линолеума и паркета, осторожно вести себя возле окон. Ведь школа - это наш родной дом, и мы должны его беречь!

17. Выводы

К сожалению все хорошее когда-нибудь кончается. Вот и моя работа подошла к концу. Итак, делаю вывод:

Я изучила:

Виды четырехугольников.

Свойства, которыми обладают различные четырехугольники.

Признаки четырехугольников.

Я научилась:

Решать задачи с четырехугольниками.

Считать площадь, определять количество необходимого товара и находить его стоимость.

Я проанализировала:

Как используются четырехугольники, и какое применение находят в нашей жизни.

Необходимость применения других геометрических форм.

И, наконец, Я ПОНЯЛА, что четырехугольники играют важную роль в нашей жизни: определяют форму столь необходимых нам предметов, приборов и механизмов, радуют глаз, красуясь на фасадах памятников архитектуры и исторических сооружений, помогают в построении планов и схем, делают наш быт и повседневность проще, легче и удобней.

18. Заключение

Роль четырехугольников в нашей жизни велика. Зная их виды, признаки, свойства, умея вычислять их площади и находить периметры, можно решать сложные задачи, которые преподносит нам жизнь. Например, подготовить расчет материалов и денежных средств, необходимых для проведения ремонта, графически изобразить любые объекты, даже самые большие, уменьшая их размеры в тысячи раз. И еще целая куча полезных дел, которые можно сделать, применив полученные знания!

Работа над этим проектом помогла мне научиться не только добывать информацию, а и уметь анализировать прочитанное или увиденное, делать выводы, строить предположения, применять полученные знания. А также научила меня относиться к подобным заданиям творчески и дала мне возможность преподнести, казалось бы, на первый взгляд простые факты весело и интересно.

19. Использованная литература:

Ресурсы Интернета

Собственные наблюдения.

Мои фотографии.

Фотографии из интернета.

Геометрия 7-9классы . Учебник для общеобразовательных организаций с приложением в электронном носителе/ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.