Конспект по математике на тему 'Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Определители второго порядка. Правило Крамера' (9 класс)

Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Определители второго порядка. Правило Крамера.

При исследовании систем двух линейных уравнений с двумя переменными удобно пользоваться геометрической интерпретацией.

Будем считать, что в каждом уравнении системы хотя бы один из коэффициентов при переменных отличен от нуля. В этом случае каждое уравнение системы является уравнением некоторой прямой на координатной плоскости.

Эти прямые либо пересекаются, либо параллельны, либо совпадают. В первом случае система имеет одно решение, во втором не имеет решений, а в третьем система имеет бесконечное множество решений.

Простейшей системой линейных уравнений является следующая система

каждое из уравнений которой в прямоугольной системе координат определяет некоторую прямую.

Если система имеет единственное решение (x₀;y₀), то прямые пересекаются в данной точке. Если система имеет бесконечное множество решений, то прямые совпадают. Если система несовместна, то прямые параллельны.

Рассмотрим правило Крамера.

Пусть - определители этой системы,

Тогда при система имеет единственное решение

При могут быть два случая:

1. Если хотя бы один из определителей не равен нулю, то исходная система несовместна;

2. Если , то исходная система будет недоопределенной (имеет множество решений).

Пример 1. Решить систему уравнений

Решение. 1 способ. Воспользуемся геометрической интерпретацией системы двух линейных уравнений с двумя переменными.

Начнем со случая а = 0. При а=0 система, очевидно, имеет единственное решение.

Пусть теперь а≠0. Перепишем систему (1) в виде:

Угловой коэффициент прямой, задаваемой первым уравнением системы, равен

-0,5(а+1), а угловой коэффициент прямой, задаваемой вторым уравнением системы, равен . Поэтому при,т.е. при эти прямые пересекаются, и, следовательно, система имеет единственное решение. Найдем это решение.

Приравняем правые части уравнений системы (2), получаем:

откуда после упрощений находим:

Подставляем найденное значение х в любое из уравнений системы (2),получаем, что

При а = - 2 прямые параллельны и не имеют общих точек. Подставляем а = - 2 в исходную систему, получаем систему не имеющую решений.

При а = 1 прямые совпадают, система имеет бесконечно много решений. Подставив а=1, получим системуравносильную одному уравнению х+у = 3, все решения которого имеют вид (t; 3-t), где

Ответ. При система имеет единственное решение: при а = - 2 система решений не имеет; при а = 1 система имеет бесконечно много решений (t; 3-t), где

2 способ. Исследование этой системы можно провести и без использования геометрической интерпретации. Систему линейных уравнений можно решить методом алгебраического сложения. Рассмотрим этот способ на том же примере.

Умножим второе уравнение системы на (- 1) и прибавим к первому уравнению, умноженному на , получим: или

(3)

Если то уравнение (3) имеет одно решение: . Подставим найденное значение х в любое из уравнений системы, находим: При а = - 2 система несовместна, при а = 1 система имеет бесконечно много решений, и у нас получился такой же результат, что и в первом случае.

3 способ. Это же задание можно решить и, используя правило Крамера.

Найдем определители

1). Система имеет единственное решение, если , т.е.

2). Система имеет множество решений, если

Система при а=1 имеет вид Следовательно, решение имеет вид

3). Система не имеет решений, если

Система явно не имеет решений.