- Учителю
- 3 задачи по теме «Пирамида у которой две грани перпендикулярны основанию» (10 класс)
3 задачи по теме «Пирамида у которой две грани перпендикулярны основанию» (10 класс)
«Пирамида у которой две грани перпендикулярны основанию»
Пирамида у которой две грани перпендикулярны основанию, тогда и только тогда, когда:
I случай (смежные боковые грани):
-
Боковое ребро пирамиды перпендикулярно к плоскости основания. По рис.1 АДС АВС
-
Высота пирамиды совпадает с боковым ребром.
По рис.1 , АД - высота.
-
Вершина пирамиды проектируется в вершину основания. По рис.1 вершина Д проектируется в А.
-
Угол основания является линейным углом двугранного угла при боковом ребре пирамиды.
II случай (несмежные боковые грани):
-
Высота пирамиды принадлежит линии пересечения плоскостей двух граней.
По рис.2 , ДА - высота пирамиды ДКЕСВ.
Рис.1 Рис.2
Задача 1: Основанием пирамиды SАВСД является квадрат. Ребро SA перпендикулярно основанию. Площадь основания в m раз меньше площади боковой поверхности. Найти двугранные углы при рёбрах ВС и СД.
Дано:
SАВСД - пирамида,
АВСД - квадрат,
,.
Найти:
?
?
Решение:
1) линейный угол двугранного угла , так как , это следует из условия, что АВСД - квадрат. По теореме о трёх перпендикулярах .
2) линейный угол двугранного угла , так как , это следует из условия, что АВСД - квадрат. По теореме о трёх перпендикулярах .
3) Рассмотрим и , они равны по двум катетам: SA - общая сторона и АД=АВ как стороны квадрата.
4) Рассмотрим и , они равны по трём сторонам: SC- общая сторона, ДС=ВС как стороны квадрата и SB=SD как гипотенузы равных треугольников и .
5) Пусть АВ=а. По условию ,
;
;
Рассмотрим - прямоугольный, по теореме Пифагора: ,
;
;
, SD>0, так как - длина;
;
;
/ : ;
/ :;
/ *;
;
.
5) ;
;
;
.
Ответ: .
Задача 2: Основание пирамиды - прямоугольная трапеция, у которой меньшее основание равно 3, а меньшая боковая сторона равна 2 и острый угол равен . Две её боковые грани перпендикулярны к плоскости основания. Найдите площадь боковой поверхности и объём пирамиды, если высота пирамиды равна 4.
При решении данной задачи, возможны пять случаев.
Рассмотрим 1 случай:
Дано:
SABCD - пирамида,
ABCD - прямоугольная трапеция,
BC=3, AB=2, , SB=4,
.
Найти:
?
?
Решение:
1);
.
Дополнительное построение: проведём .
Рассмотрим - равнобедренный и прямоугольный, так как и .
Следовательно, СК=КД=АВ=2.
АК=ВС, так как АВСК - прямоугольник.
АД=АК+КД=3+2=5;
кв. ед.
куб. ед.
2) Рассмотрим - прямоугольный, так как SB - высота пирамиды.
кв. ед.
3) Рассмотрим - прямоугольный, так как SB - высота пирамиды.
кв. ед.
4) Рассмотрим - прямоугольный, так как в прямоугольной трапеции ABCD и SA - наклонная, тогда по теореме о трёх перпендикулярах .
;
кв. ед.
5) Дополнительное построение: .
по теореме обратной теореме о трёх перпендикулярах ,
- прямоугольный.
ВН=НС=.
Из прямоугольного , по теореме Пифагора:
.
6) кв. ед.
7) ;
кв. ед.
Ответ: куб. ед., кв. ед.
Рассмотрим 2 случай:
Дано:
SABCD - пирамида,
ABCD - прямоугольная трапеция,
BC=3, AB=2, , SС=4,
.
Найти:
?
?
Решение:
1) ;
.
Дополнительное построение: проведём .
Рассмотрим - равнобедренный и прямоугольный, так как и .
Следовательно, СК=КД=2.
АК=ВС, так как АВСК - прямоугольник.
АД=АК+КД=3+2=5;
кв. ед.
куб. ед.
2) Рассмотрим - прямоугольный.
кв. ед.
3) Рассмотрим - прямоугольный.
.
По теореме Пифагора: .
кв. ед.
4) Рассмотрим - прямоугольный, так как по теореме о трёх перпендикулярах: SA - наклонная, ВС - проекция SA на (АВС),
.
Из прямоугольного , по теореме Пифагора:
;
кв. ед.
5) Рассмотрим .
Дополнительное построение: SK.
По теореме о трёх перпендикулярах: SK - наклонная, СK - проекция SK,
. Значит SK - высота .
;
По теореме Пифагора: ;
кв. ед.
6) ;
кв. ед.
Ответ: куб. ед., кв. ед.
Рассмотрим 3 случай:
Дано:
SABCD - пирамида,
ABCD - прямоугольная трапеция,
BC=3, AB=2, , SD=4,
.
Найти:
?
?
Решение:
1) ;
.
Дополнительное построение: проведём .
Рассмотрим - равнобедренный и прямоугольный, так как и.
Следовательно, СК=КД=АВ=2.
АК=ВС, так как АВСК - прямоугольник.
АД=АК+КД=3+2=5;
кв. ед.
куб. ед.
2) Рассмотрим - прямоугольный, так как SD - высота пирамиды.
.
Из прямоугольного, по теореме Пифагора: .
кв. ед.
3) Рассмотрим - прямоугольный, так как SD - высота пирамиды.
;
кв. ед.
4) Рассмотрим - прямоугольный, так как по теореме о трёх перпендикулярах: SA - наклонная, АD - проекция SA,
.
Из прямоугольного , по теореме Пифагора: .
кв. ед.
5) Дополнительное построение: проведём .
По теореме обратной теореме о трёх перпендикулярах: SH - наклонная, DH - проекция SH, .
Следовательно, SH - высота .
.
По теореме Пифагора: .
кв. ед.
6) ;
кв. ед.
Ответ: куб. ед., кв. ед.
Рассмотрим 4 случай:
Дано:
SABCD - пирамида,
ABCD - прямоугольная трапеция,
BC=3, AB=2, , SА=4,
.
Найти:
?
?
Решение:
1) ;
кв. ед.,
куб. ед.
2) Рассмотрим - прямоугольный, так как SА - высота пирамиды.
кв. ед.
3) Рассмотрим - прямоугольный, так как SА - высота пирамиды.
;
кв. ед.
4) Рассмотрим - прямоугольный так как по теореме о трёх перпендикулярах: SB - наклонная, AB - проекция SB, .
По теореме Пифагора: .
.
5) Дополнительное построение: , SH.
Следовательно, по теореме о трёх перпендикулярах: SH - наклонная, AH - проекция SH, .
Значит, SH - высота .
Рассмотрим - прямоугольный и равнобедренный. Обозначим за .
По теореме Пифагора: ;
;
;
;
.
Из прямоугольного , по теореме Пифагора:
.
кв. ед.
6) ;
кв. ед.
Ответ: куб. ед., кв. ед.
Рассмотрим 5 случай:
Дано:
SABCD - пирамида,
ABCD - прямоугольная трапеция,
BC=3, AB=2, , SH=4,
.
Найти:
?
?
Решение:
1) ;
Рассмотрим - равнобедренный и прямоугольный, так как по условию.
Следовательно, СК=КД=2.
АК=ВС, так как АВСК - прямоугольник.
АД=АК+КД=3+2=5;
кв. ед.
куб. ед.
2) Рассмотрим - прямоугольный, так как по теореме о трёх перпендикулярах: - наклонная, AH - проекция , .
Рассмотрим - равнобедренный и прямоугольный, так как , как соответственные углы.
Следовательно, ВН=СВ=3;
АН=АВ+ВН=2+3=5.
Из прямоугольного, по теореме Пифагора: .
Из прямоугольного , по теореме Пифагора: .
3) Рассмотрим - прямоугольный, так как .
кв. ед.
4) Рассмотрим - тупоугольный, так как по теореме о трёх перпендикулярах: SB - наклонная, НВ - проекция SB, ;
кв. ед.
6) Рассмотрим - тупоугольный, SH - высота.
.
Из прямоугольного , по теореме Пифагора: .
кв. ед.
7) ;
кв. ед.
Ответ: куб. ед., кв. ед.