Конспект урока 'Показательные уравнения'

Урок алгебры в 11 классе по теме "Решение показательных уравнений".

Цель: Систематизировать умения решать и выбирать способы решения показательных уравнений, развивать исследовательские навыки в решении нестандартных показательных уравнений.

Ход урока:

I Орг. момент.

II Разбор "ключевых задач".

1. Доказать, что числа (√2 - √ 3 )^х и (√2 + √ 3 )^х взаимно обратные.

Доказательство: (√ 2 - √3 )^х х (√ 2 + √ 3 )^х = (√ (2 - √ 3 )(2 + √ 3 )^х = (√ 4 - 3 )^х = (√ 1 )^х =1^х = 1

2. Доказать, что для t > 0 t + 1/t ≥ 2

Доказательство: t + 1/t - 2 ≥ 0

(t² + 1 - 2t)/t ≥ 0

(t - 1)²/t ≥ 0 , при любом t > 0

III Фронтальная работа

Решить уравнение

1. (√2 + √ 3 )^х + (√2 - √ 3 )^х = 4

Решение: Пусть (√2 - √ 3 )^х = t, t > 0, тогда (√2 + √ 3 )^х = 1/t

t + 1/t = 4

t² - 4t + 1 = 0

t_1,2 = (2 ± √ 4 - 1)/1

t₁ = 2 + √ 3 t₂ = 2 - √ 3

a) (√2 - √ 3 )^x =2 + √ 3 б) (√2 - √ 3 )^x = 2 - √ 3

(√2 - √ 3)^x = 1/(2 - √3 ) 1/2x = 1

1/2x = -1 x = 2

x = -2

Ответ: -2 ; 2

2. Решить уравнение: 2^х + 2^-х = 2cos(x/3)

Решение: т.к. -2 ≤ 2cos(x/3) ≤ 2 и 2^x + 2^-x = 2^x + 1/2^x ≥ 2 (по "ключевой задаче" 2),

то 2^х + 2^-х ≥ 2 , 2^х + 2^-х = 2 ,

2cos(x/3) ≤ 2 ; 2cos(x/3) = 2;

Решим 1-е уравнение системы: 2^x + 2^-x = 2

2^x + 1/2^x - 2 = 0

2^2x - 2*2^x + 1 = 0

(2^x - 1)² = 0

2^x - 1 = 0

2^x = 1

x = 0

Проверка: подставим х = 0 во 2-е уравнение системы, получим 2 = 2.

Ответ: х = 0.

3. Решим уравнение: 2^х+3/(4^х + 16) = х² - 4х + 5

Решение: х² - 4х + 5 = (х - 2)² + 1 ≥ 1 и 2^х+3/(4^х + 16) ≤ 1 т.к. (4^х + 16)/2^х+3 = (4^х + 16)/(8 * 2^х)=

= 2^2х/(8 * 2^х) + 16/(8 * 2^х) = 2^х/8 + 2/2^х = 1/2 * (2^х/4 + 4/2^х) ≥ 1

≥ 2

т.о. 2^х+3/(4^х + 16) ≤ 1, 2^х+3 /(4^х + 16) = 1

х² - 4х + 5 ≥ 1 ; х² - 4х + 5 = 1

Решим 2-е уравнение системы: х² - 4х + 4 = 0

( х - 2 )² = 0

х = 2

Проверка: подставим х = 2 в 1-е уравнение системы, получим 1 = 1.

Ответ: х = 2.

4. Решить уравнение: 2^3х - 8 * 2^-3х - 6(2^х - 1/2^х-1) = 1

Решение: 2^3х - 2^3-3х - 6(2^х - 2^1-х) = 1

2^3х - 2^3(1-х) - 6(2^х - 2^1-х) = 1

Пусть у = 2^х - 2^1-х,

тогда у³ = 2^3х - 3 * 2^2х * 2^1-х + 3 * 2^х * 2^2-2х - 2^3-3х = 2^3х - 2^3-3х - 3 * 2^х * 2^1-х(2^х - 2^1-х) =

= 2^3х - 2^3-3х - 3 * 2у = 2^3х - 2^3(1-х) - 6у,

у³ + 6у = 2^3х - 2^3(1-х)

у³ + 6у - 6у = 1

у³ = 1, у = 1

т.о. 2^х - 2^1-х = 1

2^х = t, t > 0

t - 2/t = 1

t² - t - 2 = 0

t₁ = 2; t₂ = -1 (не удовлетворяет условию t > 0)

2^х = 2

х = 1

Ответ: х = 1

5. Решить уравнение: 12^х + (√5 )^2х = 13^х

Решение: 12^х + 5^х = 13^х

х = 2

х = 2 - единственный корень, т.к. 12^х + 5^х = 13^х / :5^х > 0

(13/5)^х - (12/5)^х = 1

у = t^x- возрастающая функция, т.к. t = 13/5 >1

у = р^х - возрастающая функция, т.к. р = 12/5 >1

у = t^х - р^х возрастает на R

Ответ: х = 2

IV Постановка домашнего задания: №1. (√7 + √48 )^х + (√7 - √48 )^х = 14

№2. 5^3х + 5^3(1-х) + 15(5^х + 5^1-х) = 216

№3. (sin7)^x + (cos7)^x =1

V Итог урока