Разработка урока 'Симметрия' 8 класс

Открытый урок.

Центральная и осевая симметрии.

8 класс.

Учитель математики Морозова Е.А.

Гимназия № 21.

2013 г.

Объяснение нового материала по теме « Центральная и осевая симметрии» целесообразно построить в виде лекции, сопровождающейся большого иллюстративного материала: чертежей, рисунков, фотографий,орнаментов и т.д.

В результате изучения темы учащиеся должны знать определение симметричных точек и фигур относительно прямой и точки; уметь строить симметричные точки и распознавать фигуры, обладающие осевой симметрией и центральной симмтрией.

План урока.

1. Симметрия вокруг нас. (лекция, показ слайдов)

2. Центральная и осевая симметрия геометрических фигур. (практическая работа )

3. Построение фигур, симметричных относительно точки и относительно прямой. (практическая работа)

Ход урока.

Тема нашего урока «Симметрия». Эпиграфом этой красивой темы хотелось бы взять слова немецкого математика Германа Вейля « Симметрия…- есть идея, с помощью которой человек веками пытался объяснить порядок, красоту и совершенство».

Сегодня на уроке мы рассмотрим примеры окружающей нас симметрии. Остановимся на симметрии геометрических фигур и научимся строить фигуры, симметричные данным относительно прямой и точки.

Что же такое симметрия?

Симметрия является фундаментальным свойством природы, представление о котором, как отмечал академик В. И. Вернадский (1863-1945), «слагалось в течение десятков, сотен, тысяч поколений".

Первоначальное понятие о геометрической симметрии как о гармонии пропорций, как о "соразмерности'' (что и означает в переводе с греческого слово "симметрия'') с течением времени приобрело универсальный характер и было осознано как всеобщая идея неизменности относительно некоторых прeобразований. Таким образом, геометрический объект или физическое явление считаются симметричными, если с ними можно сделать что-то такое, после чего они останутся неизменными.

Симметрия имеет множество видов:

• 1 Центральная симметрия - симметрия относительно точки.

• 2 Осевая симметрия - симметрия относительно прямой.

• 3 Зеркальная симметрия - симметрия относительно плоскости (в биологии - билатеральная).

• 4 Поворотная симметрия или поворот вокруг точки или оси.

• 5 Скользящая симметрия или параллельный перенос вдоль прямой.

• 6 Винтовая симметрия - это поворот и параллельный перенос одновременно.

Рассматривая примеры, старайтесь задумываться, какой вид симметрии в них присутствует.

С симметрией мы встречаемся всюду - в природе, технике, искусстве, науке, например, симметрия, свойственная бабочке и кленовому листу, симметрия форм автомобиля и самолета, симметрия в ритмическом построении стихотворения, симметрия атомной структуры молекул и кристаллов.

Своим развитием учение о симметрии обязано в первую очередь естествоиспытателям, углубленно изучавшим кристаллические образования, это: И. Кеплер, Н. Стенон, П. Кюри.

Каждая снежинка- это маленький кристалл замерзшей воды. Форма снежинок может быть очень разнообразной, но все они обладают симметрией.

Простые на первый взгляд снежинки столь же уникальны как и человеческая личность - на свете не найти двух одинаковых. Не бывает пятиугольных или семиугольных снежинок. Все снежинки имеют строго шестиугольную форму.

Снежинки сохраняют сложную форму на протяжении всего пути, сохраняя при этом симметрию. Обращаясь к аналогиям в симметрии шестиугольных пчелиных сот и зерен граната, ученые открывает некоторые особенности этой формы. Например, из всех правильных геометрических фигур только треугольники, квадраты и шестиугольники могут заполнить плоскость, не оставляя пустот, причем правильный шестиугольник покрывает наибольшую площадь. Ученые делают вывод, что форма сот и зерен обусловлена не природой их вещества и не внешними обстоятельствами, а уже заложена в них.

Мир неживой природы - это прежде всего мир симметрии, придающей его творениям устойчивость и красоту.

А как красива симметрия живой природы!

Так, бабочка симметрична по отношению к отражению в воображаемом зеркале, разделяющем

бабочку пополам вдоль ее туловища. Симметричны формы жука, листа, цветка и т.д.

Достаточно взглянуть на растения, и мы увидим строго симметричные цветы и листья, многие плоды и даже сами растения с их симметрично-винтовым расположением листьев на стержне ствола.

Переходя от одного поколения данного растения к другому, наблюдается сохранение определенных свойств. Так из семечка вырастает новый подсолнух (подсолнечник) с таким же огромным соцветием-корзинкой, также исправно поворачивающимся к Солнцу. Это тоже есть симметрия, ее обычно называют наследственностью.

Для растений характерна симметрия конуса, которая хорошо видна на примере фактически любого дерева.

Когда природа показывает человеку такую красоту, человек не может не творить! Симметрия в искусстве - это красота, сотворённая руками человека. Симметрия как объективный признак красоты проходит через всю историю искусств.

Прекрасные образцы симметрии демонстрируют произведения архитектуры. Большинство зданий зеркально симметричны. Общие планы построек, фасады, орнаменты, карнизы, колонны обнаруживают соразмерность, гармонию.

Симметрия прослеживается почти во всех стилях и направлениях архитектуры.

В средние века возник ГОТИЧЕСКИЙ стиль. Готические здания отличаются обилием ажурных, как кружева, украшений, скульптур, орнаментов, поэтому и снаружи, и внутри они производят впечатление легкости и воздушности. Фасады сооружений обладают зеркальной (осевой) симметрией.

Архитекторы Возрождения создали стиль - РЕНЕССАНС, в котором использовали наследие античного искусства, греческие архитектурные ордеры. Здания в стиле ренессанс строги по форме, с четкими прямыми линиями. Сохраняется симметрия фасадов

Все здания, построенные
в стиле КЛАССИЦИЗМ, имеют четкие прямолинейные формы и симметричные композиции.

Много примеров использования симметрии дает старая русская архитектура: колокольни, сторожевые башни, внутренние опорные столбы.

Симметрия, воспринимаемая человеком как закономерность структуры, как внешнее проявление внутреннего порядка, начинает обладать эстетической ценностью, т.е. воспринимается как красота.

Симметрию можно наблюдать и в технике.

Технические объекты - самолеты, мосты, автомашины, ракеты, молотки, гайки - практически все они от мала до велика обладают той или иной симметрией.

В технике красота, соразмерность механизмов часто бывает связана с их надежностью, устойчивостью в работе. Симметричная форма дирижабля, самолета, подводной лодки, автомобиля и т.д. обеспечивает хорошую обтекаемость воздухом или водой, а значит, и минимальное сопротивление движению

В технике существует своего рода постулат: наиболее целесообразные и функционально совершенные изделия являются наиболее красивыми. В подтверждение этого постулата приведем слова генерального авиаконструктора О.К. Антонова: "Мы прекрасно знаем, что красивый самолет летает хорошо, а некрасивый плохо, а то и вообще не будет летать. Это не суеверие, а совершенно материалистическое положение... конструктор может идти часто от красоты к технике, от решений эстетических к решениям техническим".

«Сфера влияния'' симметрии поистине безгранична: природа - искусство - техника.

Но именно противоборство, а часто и единство двух великих начал - симметрии и асимметрии, во многом определяют гармонию природы, мудрость науки и красоту искусства. Мы живем, находясь под воздействием с одной стороны, симметрии, а с другой - асимметрии и случайности и используя в своей практике диалектику симметрии - асимметрии.

Например, строители современных мостов, высотных зданий, башен знают, что конструкция не должна быть безупречно симметричной из-за опасности возникновения резонансных колебаний, которые могут привести к ее разрушению. Поэтому симметрию конструкций сознательно нарушают, вводя в нее отдельные асимметричные элементы. Т. е. Чистая симметрия может оказаться опасной. Она неустойчива.

Примером удивительного сочетания симметрии и асимметрии вляется храм Василия Блаженного на Красной площади в Москве. Эта причудливая композиция из десяти храмов, каждый из которых обладает центральной симметрией, в целом не имеет ни зеркальной, ни поворотной симметрии. Симметричные архитектурные детали собора кружатся в своем асимметричном, беспорядочном танце вокруг его центрального шатра. Без своей удивительной асимметрии храм Василия Блаженного просто немыслим!

танце вокруг его центрального шатра. Без своей удивительной асимметрии храм Василия Блаженного просто немыслим!

А теперь рассмотрим геометрические фигуры, свойсмва которых изучаем на уроках геометрии.

Обладают ли они симметрией?

Начнём с определения осевой симметрии.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ:

• Две точки А и А1 называются симметричными относительно прямой а, если эта прямая проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к нему.

• Фигура называется симметричной относительно оси а, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно оси а также принадлежит этой фигуре.

Прямая а называется осью симметрии фигуры.

Рассмотрим фигуры, обладающие осевой симметрией.

(Учащиеся выполняют практическую работу с макетами фигур, находят их оси симметрии и определяют их количество.)

Осью симметрии равнобедренного треугольника является прямая, содержащая медиану, проведённую к основанию.

Оси симметрии ромба содержат его диагонали.

У прямоугольника, не являющегося квадратом, оси симметрии - отрезки, соединяющие середины его противолежащих сторон.

У квадрата четыре оси симметрии: две из них содержат диаметры квадрата, а две другие- отрезки, соединяющие середины его противоположных сторон.

Равнобедренная трапеция имеет только одну ось симметрии, которая соединяет середины её оснований.

Окружность имеет бесконечно много осей симметрии. Каждая из них содержит диаметр этой окружности.

В параллелограмме как диагонали так и середины его противоположных сторон не являются осями симметрии. Вместе с тем можно заметить, что точки A,B,C,D,E,F,G,H являются концами отрезков, делящихся точкой пересечения диагоналей О пополам.

Существует такое преобразование параллелограмма, при котором эти точки могли перейти бы одна в другую.

Возникла необходимость дать определение центральной симметрии:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ:

• Две точки А и А1 называются симметричными относительно точки О, если отрезок, их соединяющий, делится точкой О пополам.

• Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре.

Точка О называется центром симметрии фигуры.

Какие из рассмотренных фигур, как и параллелограмм, обладают центральной симметрией?

А теперь научимся строить фигуры, симметричные данным, относительно прямой и относительно точки.

( Учащиеся выполняют практическую работу в тетради, руководствуясь программой на экране и указаниями учителя.)

Чтобы выполнить построение фигуры, симметрично данной относительно прямой, необходимо из вершин фигуры провести перпендикулярные к данной прямой отрезки, которые этой прямой будут делиться пополам. Соединить последовательно полученные симметричные точки.

Чтобы построить фигуру, симметричную данной относительно точки, необходимо отложить отрезки ,проходящие через точку О и делящиеся точкой О пополам. Получившиеся концы отрезков будут вершинами искомой фигуры.

Домашнее задание.

Закрепить навык построения симметричных фигур учащиеся смогут выполнив задание № 25,26 в тетрадях с печатной основой.

В качестве творческого задания предлагается выполнить рисунки, обладающие центральной и осевой симметрией. Образцы имеющихся детских рисунков можно показать.

Наиболее любознательным ученикам будет интересен кроссворд на тему « Симметрия"

Кроссворд «Симметрия».

По горизонтали: 1. Симметрия при повороте на некоторый угол. 2. Симметрия при одновременном повороте и параллельном переносе. 3. Соразмерность, одинаковость в расположении частей чего-нибудь по противоположным сторонам от точки, прямой или плоскости. 4. Эмблема государства, геральдический знак. 5. Рисунок, представляющий собой определённое сочетание, переплетение линий, красок, фигур, теней. 6. Иное название переносной симметрии. 7. Плоская фигура, имеющая бесконечное множество симметрий. 8. Иное название билатеральной симметрии. 9. Тело, имеющее бесконечное множество симметрий.

10. Периодически повторяющееся чередование каких-либо сменяющих друг друга элементов.

По вертикали: 1. Узор, состоящий из повторяющихся, ритмически упорядоченных элементов. 2. Симметрия относительно точки. 3. Симметрия при параллельном переносе на вектор вдоль одной прямой. 4. Орнамент, вписанный в круг или в правильный многоугольник. 5. Симметрия относительно прямой. 6. Иное название пентаграммы.

7. Ленточный орнамент.

1

5

7

2

3

3

2

4

5

4

6

6

7

1

8

9

10

ОТВЕТЫ К КРОССВОРДУ

п

о

в

о

р

о

т

н

а

я

с

е

б

в

и

н

т

о

в

а

я

п

а

р

с

и

м

м

е

т

р

и

я

д

р

ю

ц

г

е

р

б

у

з

о

р

е

н

н

о

р

т

с

к

о

л

ь

з

я

щ

а

я

к

р

у

г

н

з

в

о

а

а

е

е

з

е

р

к

а

л

ь

н

а

я

т

з

н

ь

к

д

а

н

а

а