Учителю
Рабочая тетрадь по математике к разделу Комбинаторика

Рабочая тетрадь по математике к разделу Комбинаторика

Автор публикации: Клещина Н.В.

Дата публикации: 08.10.2016

Краткое описание:

предварительный просмотр материала

Пояснительная записка

Назначение данной тетради - помочь обучающему в достижении ряда важных целей, которые стоят перед ним в процессе обучения математике.

Комбинаторика традиционно представляют для обучающихся сложность в логическом, техническом и психологическом плане. Однако именно решение таких задач открывает перед ними большое число эвристических приемов общего характера, применяемых в исследованиях на любом математическом материале.

Главной методической особенностью тетради является ориентированность её на возможность самостоятельного овладения учащимися содержанием.

В тетради задачи сформированы по основным темам раздела «Комбинаторика» :

-правило умножения;

-перестановки и факториалы;

-выбор нескольких элементов;

-биномиальные коэффициенты;

-случайные события и вероятности.

В результате выполнения задач рабочей тетради учащийся должен

Знать:

- правила комбинаторики ;

- метод перебора и правило умножения;

- понятиям комбинаторики: размещениями, сочетаниями, перестановками;

- бином Ньютона;

- треугольник Паскаля;

Уметь:

-применять правила комбинаторики при решении комбинаторных задач;

- формулы вычисления размещениями, сочетаниями, перестановками;

- решать практические задачи на обработку числовых данных, вычисление их характеристик;

В завершении тетради дан тести контрольная работа для итогового контроля уровня знаний.

Тетрадь поможет обучающимся привить интерес к решению комбинаторных задач в процессе самоподготовки и самопроверки уровня знаний и навыков.

Урок №1

Правило умножения. Перестановки и факториалы

1.Дайте определение правилу умножения

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2.Продолжите фразу: Число всех перестановок n-элементов

_____________________________________________________________________________и находиться по формуле ______________________________________________________

3. Размещениями из n объектов по m, а их число равно______________________________

4.Сочетаниями из n объектов по m, а их число равно______________________________

5.Проверьте верно ли?

а) =15 да/нет. Если да, то решите__________________________________

б) да/нет. Если да, то решите__________________________________

в) =1722 да/нет. Если да, то решите__________________________________

г) =40 да/нет. Если да, то решите__________________________________

6. Сравнить и

__________________________________________________________________________________________________________________________________

7.Решите задачу:

Четыре студента, готовясь к экзамену, выучили только 5 билетов из 20. Сдавать экзамены они будут в разных аудиториях. Какова вероятность того, что:

А) все четыре друга сдадут экзамен?

Б) никто из студентов не сдаст экзамен?

В) сдадут экзамен 3 из 4-х студентов?

Г) сдаст экзамен хотя бы один из студентов?

8.Заполните таблицу9. Выполните тест.(правильный ответ )

Вариант 1 Вариант 2

1. Найти значение выражения 6! 1.Найти значение выражения 7!

а) 5040 б) 120 в) 720 г)540

2. Найти значение выражения 6!-4! 2. Найти значение выражения 7!-3!

а) 2! б) 5034 в)696 г)4!

3. Сколько существует способов 3. Сколько существует способов

рассадить 5 человек за столом? расставить 4 книги?

а) 20 б) 120 в) 12 г)24

4. Сколько четырёхзначных чисел 4. Сколько трёхзначных чисел

можно составить из цифр 2,3,4,5, можно составить из цифр 3,4,5,

чтобы цифры не повторялись? чтобы цифры не повторялись?

а) 24 б) 120 в) 6 г) 60

5. 5.

а) 12144 б) 120 в)110 г) 72

10.Решите задачи:

Урок 2

Выбор нескольких элементов. Биномиальные коэффициенты.

1.Сформулируйте теорему о выборе двух элементов

2.Вычислить сумму .

3.Построен треугольник Паскаля для нахождения коэффициентов разложения бинома Ньютона .Найдите ошибки.n

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

4.Написать разложение по формуле бинома Ньютона и упростить:

а) ___________________________________________________________________

б) ___________________________________________________________________

в) ___________________________________________________________________

5.Найти пятый и девятый член разложения:

а) , __________________________________________________________________

б) . _________________________________________________________________

6. Найти два средних члена разложения

7. Вычислить:

8.Решите уравнение:

______________________________________________________________________________________________________________________________

9.Решите неравенство:

120<

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________

10.Упростите выражение:

11.Выполните тест:

Найти сумму коэффициентов в разложении (_a + b_) ²

Найти, чему равен коэффициент при в разложении бинома .

Найти сумму коэффициентов в разложении .

4.Сколько нечетных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 4, 5, 9?

Сколько четных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?

6. Сколько нечетных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?

7. Сколько нечетных трехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?

8. Сколько четных трехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?

9. Одновременно бросают 3 монеты. Сколько равновозможных исходов у этого эксперимента?

 8

 6

 9

 3

10. Одновременно бросают 2 кубика. Сколько равновозможных исходов у

этого эксперимента?

11. У Пети есть 4 монеты по 1 рублю и 2 монеты по 10 рублей. Петя, не глядя, достал из кармана 1 монету номиналом 1 рубль и еще 1 монету номиналом 10 рублей, чтобы купить сигарету за 11 рублей у бабули в подземном переходе. Сколькими способами он может выбрать эти монеты?

12. В корзине лежат 7 черных шаров и 5 красных. Мальчик достает 2 шара одинакового цвета. Сколькими способами он может это сделать?

13. Сколько будет костей в игре домино, если использовать 5 цифр?

Урок 3

Случайные события и вероятности

1.Опишите классическую вероятностную схему

2.Напишите формулу вероятности суммы событий.

_____________________________________________________________________________

3.Продолжите фразу:

Все случайные события можно разделить на:

1____________________

2____________________

3____________________

4. Дополните свойства событий:

A + A = *,
AA = *
A + B = * + A,
AB = B*
(A + B) + * = * + (B + C),
(A*)C = A*B*)
(A + B)C = AC + BC,
A + *C = (A + B)(* + C)

5. Ответьте на вопрос:

1.Какова вероятность того, что наудачу выбранное целое число от 40 до 70 является кратным 6?

_________________________________________________________________________

2.Какова вероятность того, что при пяти бросаниях монеты она три раза упадет гербом к верху?

_________________________________________________________________________

3.Какова вероятность того, что наудачу выбранное целое число от 1 до 30 (включительно) является делителем числа 30?

_________________________________________________________________________

4.В НИИ работает 120 человек, из них 70 знают английский язык, 60 - немецкий, а 50 - знают оба. Какова вероятность того, что выбранный наудачу сотрудник не знает ни одного иностранного языка?

_________________________________________________________________________

6. Решите задачи:

Задача 1.. Какова вероятность появления четного числа очков (событие А) при одном бросании игрального кубика?

________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задача 2. В урне 5 белых и 10 черных шаров. Шары тщательно перемешивают и затем наугад вынимают 1 шар. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется белым?

________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задача 3. Ребенок играет с шестью буквами азбуки: А, А, Е, К, Р, Т. Найти вероятность того, что он сможет сложить случайно слово КАРЕТА (событие А).

________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задача 4. Таня и Ваня договорились встречать Новый год в компании из 10 человек. Они оба очень хотели сидеть рядом. Какова вероятность исполнения их желания, если среди их друзей принято места распределять путем жребия?

________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задача 5. Группа из 5 женщин и 20 мужчин выбирает трех делегатов. Считая, что каждый из присутствующих с одинаковой вероятностью может быть выбран, найти вероятность того, что выберут двух женщин и одного мужчину.

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________

7.Кроссворд

4, 5, 6, 7 (7)

Последовательное расположение чисел (3)

Разность между наибольшим и наименьшим элементом ряда (6)

Итоговый тест по разделу «Комбинаторика»

и - независимые события. Тогда справедливо следующее утверждение: а) они являются взаимоисключающими событиями

б)

в)

г)

д)

, , - вероятности событий , , соответственно - приведены в таблице. Отметьте в первом столбце знаками плюс и минус те ситуации, которые могут иметь место, и те, которые не могут произойти, соответственно.

0.1

0.3

0.2

0.5

0.8

0.9

0.5

0.6

0.9

0.8

Вероятности событий и равны , . Тогда наименьшая возможная вероятность события есть:

а) 1,25 б)0,3886 в)0,25 г)0,8614

д) нет правильного ответа

4. Докажите равенство с помощью таблиц истинности или покажите, что оно неверно.

5.Бросаем одновременно две игральные кости. Какова вероятность, что сумма выпавших очков не больше 6?

а) ; б) ; в) ; г) ; д) нет правильного ответа

6.Каждая буква слова «РЕМЕСЛО» написана на отдельной карточке, затем карточки перемешаны. Вынимаем три карточки наугад. Какова вероятность получить слово «ЛЕС»?

а) ; б) ; в) ; г) ;д) нет правильного ответа

7.Среди студентов второго курса 50% ни разу не пропускали занятия, 40% пропускали занятия не более 5 дней за семестр и 10% пропускали занятия 6 и более дней. Среди студентов, не пропускавших занятия, 40% получили высший балл, среди тех, кто пропустил не больше 5 дней - 30% и среди оставшихся - 10% получили высший балл. Студент получил на экзамене высший балл. Найти вероятность того, что он пропускал занятия более 6 дней.

а) ; б) ; в) ; г) ; д) нет правильного ответа

8.Предлагаются следующие оценки математического ожидания , построенные по результатам четырех измерений :

А) Б)

В) Г)

Д) .

Из них несмещенными оценками являются:

9.Дисперсия каждого измерения в предыдущей задаче есть . Тогда наиболее эффективной из полученных в первой задаче несмещенных оценок будет оценка

На основании результатов независимых наблюдений случайной величины X, подчиняющейся закону Пуассона, построить методом моментов оценку неизвестного параметра распределения Пуассона

а) 2.77; б) 2.90; в) 0.34; г) 0.682; д) нет правильного ответа

Полуширина 90% доверительного интервала, построенного для оценки неизвестного математического ожидания нормально распределенной случайной величины X для объема выборки n=120, выборочного среднего =23 и известного значения =5, есть

а) 0.89; б) 0.49 ; в) 0.75; г) 0.98; д) нет правильного ответа

Контрольная работа

по разделу «Комбинаторика»

Планируемые достижения

-Умение решать простейшие комбинаторные задачи, применяя правило умножения, правило умножения для конечного числа испытаний; применять теорему о выборе двух элементов, находить число сочетаний из n элементов по k;

-Умение находить число размещений из n элементов по k; применять формулу Бинома Ньютона;

-Умение применять схему нахождения вероятности события A, правило суммы, теорему о вероятности суммы событий.

Вариант 1

1. Вычислите:1) 2)

2. Решите уравнение: 1) 2)

3. Сколькими способами из 10 игроков волейбольной команды можно выбрать стартовую шестерку?

4. Сколькими способами можно из четырёх офицеров и шести солдат составить два патруля из двух офицеров и трёх солдат?

5. Найти коэффициент при после раскрытия скобок и приведения подобных членов в выражении:

а) (1+x)

б) (2-x)

6. Упростите выражение:

7.Тест

1.На плоскости даны 10 точек, причем три из них не лежат на одной прямой. Сколько существует лучей с началом в любой из данных точек, проходящих через любую другую из данных точек?

1) 720 2) 360 3) 500 4) 100

2. Три выключателя соединены параллельно. Вероятность выхода из строя первого выключателя равна 3%, второго - 4%, третьего - 1%. Какова вероятность того, что цепь будет разомкнута?

1) 12 2) 0,5 3) 0,12 4) 12 ∙10

3. В лотерее 1000 билетов, среди которых 20 выигрышных. Приобретается один билет. Какова вероятность того, что этот билет невыигрышный?

1) 2) 0,2 3) 4) 0,5

4. Отдел технического контроля типографии «Фаворит» проверил книжную продукцию на наличие брака. Вероятность того, что книга не бракованная равна 0,9. Найти вероятность того, что из двух проверенных книг только одна бракованная.

1) 0,18 2) 0,81 3) 0,5 4) 0,01

5.25 выпускников мединститута направили работать в три села. В Хацепеевку попало 7 молодых специалистов, в Хачапуровку - 12, В Красные Огурейцы - остальные. Какова вероятность того, что три друга будут сеять разумное, доброе, вечное в одном селе?

1) 2) 3) 0,5 4) 0,35

Вариант 2

1. Вычислите: 1) 2)

2. Решите уравнение: 1) 2)

3. Сколькими способами можно группу из 17 учащихся разделить на 2 группы так, чтобы в одной группе было 5 человек, а в другой - 12 человек.

4. Сколько можно сыграть аккордов из четырёх нот, выбранных из семи заданных различных нот?

5. Найти коэффициент при после раскрытия скобок и приведения подобных членов в выражении:

а) (1+x)

б) (2-x)

6. Упростите выражение:

7.Тест

Вариант 10

1. Николай и Леонид выполняют контрольную работу. Вероятность ошибки при вычислениях у Николая составляет 70%, а у Леонида - 30%. Найдите вероятность того, что Леонид допустит ошибку, а Николай нет.

1) 0,21 2) 0,49 3) 0,5 4) 0,09

2. На соревнованиях по легкой атлетике приехала команда из 12 спортсменок. Сколькими способами тренер может определить, кто из них побежит в эстафете

4 по 100 на первом, втором, третьем и четвертом этапах?

1) 1200 2) 88000 3) 11880 4)3000

3. На карточках выписаны числа от 1 до 10 (на одной карточке - одно число). Карточки положили на стол и перемешали. Какова вероятность того, что на вытащенной карточке окажется число 3?

1) 2) 0,1 3) 4) 0,4

4. Из партии изделий товаровед отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что наудачу взятое изделие, окажется высшего сорта равна 0,8. Найдите вероятность того, что из трех проверенных изделий только два высшего сорта.

1) 0,384 2) 0,5 3) 0,3 4) 0,4

5.На соревнованиях по стрельбе стрелок попадает в десятку с вероятностью 0,04, в девятку 0,1, в восьмерку - 0,2. Какова вероятность того, что одним выстрелом стрелок наберет не менее восьми очков.

1) 0,5 2) 0, 35 3) 0,04 4) 0,34

Интернет-ресурсы:

www.ziimag.narod.ru - персональный сайт автора Мордковича А. Г. "Практика развивающего обучения".

www.math.ru -Интернет - поддержка учителей математики.

www.it-n.ru-Сеть творческих учителей. Материалы и ресурсы, касающиеся использования ИКТ в учебном процессе:

- библиотека готовых учебных проектов с применением ИКТ, а также различные проектные идеи, на основе которых можно разработать свой собственный проект;

- библиотека методик проведения уроков использованием разнообразных электронных

ресурсов;

- руководства и полезные советы по использованию программного обеспечения в учебном процессе;

- подборка ссылок на интересные аналитические и тематические статьи для педагогов.

www.exponenta.ru -Образовательный математический сайт. Содержит материалы по работе с математическими пакетами Mathcad, MATLAB, Mathematica, Maple и др. Методические разработки, примеры решения задач, выполненные с использованием математических пакетов. Форум и консультации для студентов и школьников.

http:school-collection.edu -Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов. Цифровые образовательные ресурсы (ЦОР) к учебникам.

www.intellectcentre.ru</ - сайт издательства «Интеллект-Центр», -тренировочные материалы, демонстрационные версии, банк тренировочных заданий с ответами, методические рекомендации и образцы решений.

⇧

⇩

скачать материал