Учителю
Справочные материалы по теме Некоторые приемы решения тригонометрических уравнений

Справочные материалы по теме Некоторые приемы решения тригонометрических уравнений

Автор публикации: Лунёва Л.Ю.

Дата публикации: 13.04.2016

Краткое описание:

предварительный просмотр материала

Некоторые приёмы решения тригонометрических уравнений.

cos x=a , пÎZ

tg x=a , пÎZ

сtg x=a , пÎZ

1.Уравнения, приводимые к алгебраическим.

-Функции разных аргументов привести к функции одного аргумента.

-Разные функции одного аргумента привести к одной функции.

-Обозначить эту функцию новой переменной.

-Привести уравнение к алгебраическому виду и решить.

-Перейти к старым переменным.

-Найти корни исходного уравнения.

cos 2x+3 sin x=2;

cos² x- sin² x+3 sin x=2;

1-2 sin² x+3 sin x-2=0;

sin x=y 2y²-3y+1=0;

y₁=0,5; y₂=1;

sin x=0,5 или sin x=1

х=

2 cos² 3x - sin 3x =1;

2(1 - sin² 3x) - sin 3x = 1;

2 sin² 3x - sin 3x - 1 = 0;

sin 3x=у 2у² - у - 1 = 0;

у₁=1; у₂= - 0,5;

sin 3x = 1; sin 3x = - 0,5

3х=;3х=

х=; х=

2.Однородные уравнения.

a sin x + b cos x = 0 - I степ.

a sin² x + b sin x cos x + c cos² x = 0 - II степ.

cos x=0 не является корнем исходного уравнения, т.к. если cos x=0, то в силу исходного уравнения и sin x=0, что противоречит основному тригонометрическому тождеству. Поэтому можно разделить обе части уравнения на cos x (на cos² x) или на sin x (на sin² x).

2 sin x - 3 cos x = 0;

;

2 tg x - 3 = 0;

tg x =1,5

х= arctg1,5+p п; пÎZ

sin² x - 3 sin x cos x + 2 cos² x=0;

tg² x - 3 tg x + 2 = 0;

tg x =у у² - 3у + 2=0;

у₁=1 у₂=2

tg x=1 tg x=2

х= х= arctg2+p k

п,kÎZ

При оформлении решения нужно пояснять, почему можно делить на cos x (cos² x)

3. Уравнения, решаемые с помощью разложения на множители.

- Перенести все слагаемые в левую часть уравнения.

- Разложить левую часть уравнения на множители (с помощью вынесения общего множителя за скобки, группировки, формул сокращённого умножения и др.)

- Каждый множитель приравнять к нулю.

- Решить полученные уравнения.

sin 4x=3cos 2x

2sin 2xcos 2x-3cos 2x=0

cos 2x(2sin 2x - 3)=0

cos 2х=0 или 2 sin 2x- 3=0

2х=sin2x=1,5

, пÎZ

cos² x+sin xcos x=0

cos x(cos x+sin x)=0

cos x=0 или cos x+sin x=0

1+ tg x=0

п,kÎZ

sin x + cos x - 1 - sin 2x = 0

sin x + cos x - (cos² x+sin² x +

+ 2sin xcos x )=0

(sin x+cos x) - (sin x+cos x)²=0

(sin x+cos x)(1-sin x-cos x)=0

………

4. Линейные тригонометрические уравнения.

a sin x + b cos x =с где а²+b²  с² (т.е. с ≤) - иначе уравнение не будет иметь решения.

1 способ: применение универсальной подстановки: . Тогда

При таком переходе возможна потеря решений: следует помнить, что (в этих не существует). Поэтому значения х= p +2p т нужно проверять, подставляя в исходное уравнение.

2 способ: введение дополнительного аргумента:

Обе части уравнения разделить на .

Ввести дополнительный аргумент - угол α такой, что

и тогда

Если ввести угол b такой, что

и , то получим

sin x + cos x= - 1

2t+1- t²= - 1 - t²

2t = -2

t = -1

Подставив в исходное уравнение

убеждаемся, что эти числа также являются его решениями.

Ответ: , п,тÎZ

sin x + cos x= - 1

a=1, b=1, c= - 1.

a²+b²=2

Учитывая, что

получим

При данном способе решения нет риска потери корней.

3sin x +4 cos x= 2

a=3, b=4, c=2. a²+b²=25, с²=4, т.е. a²+b² > с²

. Значит .

5. Уравнения вида Р(sin x cos x,

sin x cos x)

Уравнения вида Р(sin x± cos x, sin x cos x), где Р(х,у) - многочлен, удобно решать при помощи введения новой переменной t= sin x ± cos x. Тогда 1± 2sin x cos x = t².

sin x+cos x+4sin xcos x - 1 =0

t=sin x+cos x; t²=(sin x+cos x)²=1+2sin xcos x

Значит 4sin xcos x=2t² - 2

2t² + t - 3=0 sin x+cos x=1