Урок по теме: 'Понятие вектора'

Урок геометрии в 9 классе по теме

«Понятие вектора»

Цель урока: ввести определение вектора, нулевого вектора, длины вектора, коллинеарных векторов, равных векторов, сонаправленных и противоположнонаправленных векоров, отработать навыки применения понятия вектор при решении задач.

Ход урока.

1. Организационный момент

2. Введение нового материала:

Тема нашего сегодняшнего урока: «Понятие вектора». Здесь на этом уроке мы с вами познакомимся с понятием векторная величина (или просто вектор), т.е. такой величиной, которая, кроме своего численного значения, характеризуется еще направленностью. Вообще величины в математике делятся на векторные и скалярные. В школе чаще всего с векторными величинами мы встречаемся в физике. Физическими примерами векторных величин могут служить смещение материальной точки, двигающейся в пространстве, скорость и ускорение этой точки, а также действующая на нее сила. Примерами скалярных величин могут служить время, расстояние между точками, возраст человека.

Но сегодня мы отойдем от физических векторных величин и придем к понятию «вектор» в геометрии.

2. Историческая справка.

Как институт без ректора,

Так геометрия без вектора!

Теория векторов развивалась в XIX в. параллельно с теорией систем линейных уравнений. Направленные отрезки использовал Арган (J.R. Argand, 1768-1822) в работе "Опыт некоторого представления мнимых величин … ", опубликованной в 1806 году. Эти отрезки Арган обозначал символами →a, →b и т.п. Мëбиус обозначал отрезок с началом в точке A и концом в точке B символом AB . Он считается одним из основателей теории векторов. Термин "вектор" ввел Гамильтон приблизительно в 1845 году. Он же определил скалярное и векторное произведения векторов в 1853 году. Заметим, что эти произведения фигурировали в работах Грасмана еще в 1844 году. Он называл их внутренним и внешним произведениями. Однако работы Грасмана не были поняты и по достоинству оценены современниками. Символ [→a, →b] для обозначения векторного произведения ввел Грасман. Гиббс (J.W. Gibbs, 1839-1903) в 1881 году ввел символы →a ×→b и →a · →b для векторного и скалярного произведений векторов →a и →b . В 1903 году О. Хенричи

предложил обозначать скалярное произведение символом (→a, →b) .

4. Релаксация.

А теперь для знакомства с понятием «вектор» мы с вами отправимся в увлекательное путешествие.

Займите удобное положение. Расслабьте лицо, руки, шею, тело. Представьте, как мышцы лица становятся мягкими, расслабленными. Почувствуйте свое расслабленное тело. Улыбнитесь и представьте, как вы красивы, когда улыбаетесь. Представьте, что все ваше тело улыбается.

Представьте ваш любимый уголок природы или какое либо другое место, где вы чувствуете себя спокойно, где вы счастливы, место вашего покроя. Представьте себя в месте покоя, как вы выглядите, когда отдохнули, освободились от ненужных мыслей. Поблагодарите этот образ, ваше место покоя. Будьте искренни с собой.

А теперь представьте, что вы стоите перед полем, засеянном пшеницей. Полюбуйтесь его красотой. Посмотрите, какие краски вас окружают. Наклонитесь и рассмотрите налитые силой колосья. Какие они. Почувствуйте запахи этого поля. Вдохните аромат нивы. Прислушайтесь к звукам, которые вас окружают: шелесту пшеницы, пению птиц. Ощутите легкий ветерок на своем лице. Насладитесь покоем. Пройдитесь по этому полю. Почувствуйте, как колосья, мягкие и теплые, касаются ваших рук, ног, тела, как они нежно вас гладят, слегка щекочут. Попросите это поле стать символом понятия «вектор». Посмотрите, как волшебным образом на ниве появляется надпись: «Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой концом, называется направленным отрезком или вектором». На рисунках вектор изображается отрезком со стрелкой на конце, показывающей его направление. Любая точка плоскости также является вектором, в этом случае он называется нулевым вектором. А теперь представьте, что ветер стих. Наклонитесь и рассмотрите один колосс. Из маленького зернышка, закопанного в землю, он вырос, стремясь к солнцу. Посмотрите, каким он стал сильным, мощным. Колос сам как вектор: зернышко - это его начало, а прекрасное соцветие - колос - конец. Его направление - это движение к солнцу. Сорвите один колос. У него есть длина. Посмотрите, на поле появляется еще одна надпись: «Длиной или модулем ненулевого вектора называется длина отрезка, которым он изображен». Рассмотрите, как все колосья параллельны. И еще одна надпись появляется на ниве: «Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых; нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору». Все колосья как стрелы направлены вверх. Если также в одну сторону направлены коллинеарные векторы, то они называются сонаправленными. Возьмите сорванный колос и опустите его вертикально вниз соцветием. Он направлен в противоположную сторону с любым растущим колосом. Коллинеарные векторы называются противоположно направленными, если они направлены в противоположные стороны. Рассмотрите два колоса, растущих рядом и равных по высоте. Они оба стремятся к солнцу. И новая надпись появляется на поле: «Векторы называются равными, если они равны по длине и сонаправлены». Поблагодарите поле пшеницы за то, что оно помогло нам так легко понять, что такое вектор. Пройдите еще по нему. Погладьте колосья, подержите их в своих руках. Насладитесь красотой и покоем хлебной нивы. Пошлите ей свою любовь. Почувствуйте ступни ног, прилив сил к рукам и ногам. Ощутите спину, плечи. Улыбнитесь и сделайте глубокий вдох. Медленно каждый в своем режиме возвращайтесь в класс. Откройте глаза, потянитесь. Поверните голову влево, вправо. Улыбнитесь соседям, сидящим слева и справа. И давайте обсудим, что кому удалось увидеть.

4. Визуализация.

- Удалось ли вам увидеть место покоя? Какое оно: реальное или фантазийное?

- Увидели ли вы поле? Какое оно было? Опишите его.

- Какие звуки вас окружали? Какие цвета? Опишите их.

- Увидели ли вы кольсья пшеницы? Какие они были? Опишите их.

4. Закрепление.

- Что вы увидели на поле?

- Что такое вектор?

- Как он изображается на рисунках?

- Какой вектор называется нулевым?

- Что такое длина вектора?

- Какие векторы называются коллинеарными?

- Сонаправленными?

- Противоположно направленными?

- Какие векторы называются равными?

А теперь зарисуйте свой образон.

Давайте, запишем основные понятия, с которыми мы познакомились на сегодняшнем уроке.

4. Решение задач.

А теперь давайте решим несколько задач на понятие вектор.

№ 738, 740(а), 741(б,г), 742, 747(б), 748.

8. Итог урока.

Сегодня на уроке мы с вами познакомились с понятием вектор. Что это такое?

- Как он изображается на рисунках?

- Какой вектор называется нулевым?

- Что такое длина вектора?

- Какие векторы называются коллинеарными?

- Сонаправленными?

- Противоположно направленными?

- Какие векторы называются равными?

В дальнейшем, мы изучим простейшие операции над векторами (сложение векторов, умножение векторов на число).

Домашнее задание: № 740(б), 747(а), 749.

Всем спасибо за урок.